丁文政，張 虎，王 娟，賀文權(quán)

（1.南京工程學院，南京 211167；2.南京工大數(shù)控科技有限公司，南京 211816；3.江蘇經(jīng)貿(mào)職業(yè)技術(shù)學院 ，南京 211168）

大模數(shù)硬齒面精密齒輪廣泛應用在能源電力、航空航天和海洋船舶等戰(zhàn)略裝備中，齒面誤差關系到齒輪的傳動精度、傳動效率和傳動噪音等關鍵性能指標。磨削是加工硬齒面齒輪最主要的精加工工藝，相比于展成磨削，成形磨削有足夠的自由度可以進行齒面廓形修形和螺旋線修形，提升齒輪的傳動性能，因而更適合于精加工大模數(shù)齒輪；同時成形磨削中，由于砂輪和齒輪之間是線接觸，加工大模數(shù)齒輪效率更高[1]。2020年我國齒輪產(chǎn)品達到2800億元，規(guī)模位居世界第一，但高檔大型數(shù)控成形磨齒機床主要被Gleason和KAPP NILES等國外廠商壟斷，制約了我國向齒輪制造強國的發(fā)展。

目前，國產(chǎn)大型數(shù)控成形磨齒機床已有應用，但磨削齒面精度與國外機床相比仍有差距。學術(shù)和工程界為此也開展了大量的工作，主要包括4個方面。（1）通過熱誤差補償提高機床的磨齒精度，Wang等[2]建立了大型數(shù)控成形磨齒機床傳動鏈的熱誤差理論模型來指導誤差補償；陽輝等[3]研究了刀具熱誤差對齒距誤差的影響規(guī)律，提出跨齒分度加工方法來降低齒距誤差。（2）聚焦于運動控制以及砂輪和工件的安裝參數(shù)調(diào)整，張虎等[4]以齒面實際拓撲偏差與目標拓撲偏差差值最小為目標，優(yōu)化磨齒機床的五軸運動控制，有效地減小了齒向修形產(chǎn)生的齒面扭曲；郭二廓等[5]建立了成形磨齒齒向修形誤差評價模型，提出了調(diào)整砂輪和工件安裝參數(shù)的優(yōu)化方法，有效減小了斜齒輪齒向修形誤差。（3）合理選取砂輪安裝角和砂輪半徑，丁國龍等[6]通過計算砂輪曲面和齒輪螺旋面間接觸線上任意點誘導法曲率值檢驗磨削是否干涉，以磨削無干涉為限制條件獲得砂輪安裝角和砂輪半徑的取值范圍；李騰等[7]對成形砂輪接觸線進行研究，精確計算出最優(yōu)砂輪安裝角，提高了加工效率，避免了極端情況下的磨削干涉。（4）構(gòu)建數(shù)控成形磨齒機床幾何誤差模型，對幾何誤差進行預測和補償[8-9]，丁爽等[10]基于齊次坐標變換矩陣方法建立了五軸機床裝配誤差模型，并通過逆向解耦運算，在NC代碼中進行誤差補償；趙飛等[11]分析了數(shù)控機床進給系統(tǒng)裝配誤差對運動精度的影響，并以此評估數(shù)控機床的運行狀態(tài)，以上研究均未涉及成形磨削齒面誤差；夏長久等[12]建立了五軸成形磨齒機床幾何誤差與齒面誤差模型，并通過敏感性分析法識別出關鍵誤差和敏感部件，但未關注磨齒機床的裝配誤差。

精密磨齒機床對裝配誤差要求極為苛刻，一味通過收緊零件公差控制裝配誤差會使零件加工成本急劇上升，甚至無法加工；另外國產(chǎn)機床的裝配工藝也缺乏定量化指導，批量生產(chǎn)的機床精度一致性得不到保證[13-16]。現(xiàn)有的數(shù)控成形磨齒機床幾何誤差模型是基于砂輪和工件之間的位姿偏離，無法直接反映成形磨削齒面誤差，如何根據(jù)齒輪齒面精度要求精準控制裝配中的主要幾何誤差是亟需解決的問題。

為此，本研究基于齒面成形磨削過程中砂輪與工件之間的共軛運動關系，利用曲面族包絡理論，建立包含裝配幾何誤差的成形磨削齒面模型，提出實現(xiàn)磨削齒面誤差評價的流程方法，定量分析關鍵裝配幾何誤差對成形磨削齒面誤差的影響；然后根據(jù)分析結(jié)果和齒輪齒面精度要求，優(yōu)化分配各裝配幾何誤差；最后進行機床裝配精度調(diào)整和齒輪成形磨削試驗。

1 包含裝配幾何誤差的成形磨削齒面建模

1.1 磨削系統(tǒng)裝配幾何誤差

如圖1所示，大型數(shù)控成形磨齒機床有4個直線軸和2個旋轉(zhuǎn)軸，分別是沿著立柱移動方向的X軸、平行于砂輪旋轉(zhuǎn)軸的Y軸、平行于工件旋轉(zhuǎn)軸的Z軸、平行于砂輪徑向的W軸、磨削主軸擺動A軸和工件旋轉(zhuǎn)C軸。另有3個主軸分別是磨削主軸SP1、修整主軸SP2和SP3。這些部件又被分成兩個系統(tǒng)：齒輪磨削系統(tǒng)和砂輪修整系統(tǒng)。齒輪磨削系統(tǒng)包括X軸、Y軸、Z軸、A軸、C軸和SP1主軸。砂輪修整系統(tǒng)包括Y軸、W軸、SP2主軸和SP3主軸。磨齒之前，Y軸和W軸聯(lián)動，用金剛滾輪修整砂輪；然后將X軸運動到砂輪和齒輪的理論中心距位置，Y軸運動到零位，A軸偏轉(zhuǎn)一個和螺旋角相適應的角度；最后Z軸和C軸聯(lián)動走螺旋線，完成一個磨削沖程。其中齒輪磨削系統(tǒng)的運動鏈長，影響齒面誤差的裝配幾何誤差眾多，是本文的主要研究內(nèi)容。

圖1 大型數(shù)控成形磨齒機床結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Schematic of a large-scale CNC gear profile grinding machine

圖2是成形磨削系統(tǒng)運動鏈，為了研究磨削系統(tǒng)裝配幾何誤差對齒面誤差的影響，建立圖3所示的各部件在裝配幾何誤差影響下的坐標系轉(zhuǎn)換來描述成形磨削中各主要部件之間的空間位置關系。

圖2 成形磨削系統(tǒng)運動鏈Fig.2 Kinematic chain of profile grinding system

圖3中S表示坐標系，S下標中的數(shù)字分別表示的部件1為轉(zhuǎn)臺； 2為工件； 3為立柱X軸； 4為縱向拖板Z軸； 5為回轉(zhuǎn)推板A軸； 6為切向拖板Y軸； 7為磨削主軸SP1； 8為砂輪。連在數(shù)字后的字母s和d分別表示該部件的靜止和運動坐標系；S下標中的其他獨立字母a、b、c、d表示的是輔助坐標系。磨削系統(tǒng)裝配中的主要幾何誤差編號和實際物理意義見表1。

表1 磨削系統(tǒng)裝配幾何誤差Table 1 Assembly geometric errors of profile grinding system

圖3 成形磨削系統(tǒng)裝配幾何誤差與坐標系Fig.3 Assembly geometric errors and coordinate systems of profile grinding system

1.2 成形磨削運動建模

齒面成形磨削的過程，可以用磨削運動中砂輪相對于工件位置和姿態(tài)的數(shù)學模型來描述，該模型包含了上述的裝配幾何誤差，表示為

式中，各個相鄰坐標系統(tǒng)的坐標變換矩陣，可以依據(jù)圖3中坐標系之間的關系得到。

式（1）中，砂輪曲面r8(u,θ)可以由砂輪的軸向廓形繞砂輪的回轉(zhuǎn)軸線旋轉(zhuǎn)而成。如圖4所示，xf(u)和yf(u)是砂輪軸向廓形h-h′在砂輪軸向坐標系Sf中的坐標。初始時砂輪軸向坐標系Sf和砂輪坐標系S8重合，當砂輪軸向坐標系Sf繞y8軸旋轉(zhuǎn)時，曲線h-h′在砂輪坐標系S8中掃掠出砂輪曲面。砂輪曲面可以表示為

圖4 砂輪軸向廓形掃掠出砂輪曲面Fig.4 Wheel surface swept by its axial profile

式中，rf(u) =[xf(u),yf(u),0,1]T，

1.3 成形磨削齒面建模

最終成形磨削出的齒面是砂輪單參數(shù)曲面族r2(u,θ;t)的包絡，為了研究裝配幾何誤差對磨削齒面誤差的影響，這里忽略砂輪修整誤差，來求解r2(u,θ;t)曲面族的包絡面。思路是建立曲面族與包絡面的接觸條件，然后依據(jù)接觸條件計算出曲面族上與包絡面相切接觸的公共點，將這些點提取出來，即可得到包絡面。為此，首先將式（1）中齊次變換矩陣改寫成旋轉(zhuǎn)變換矩陣R(t)和平移向量的P(t)組合，從而將式（1）變?yōu)?/p>

然后，依據(jù)空間曲面嚙合原理，砂輪曲面族與包絡面之間的接觸條件應滿足

從而得到砂輪曲面族的包絡面為

2 成形磨削齒面誤差評價

為了評估磨削系統(tǒng)裝配幾何誤差對成形磨削齒面誤差的影響，需要對求得的包絡齒面進行誤差評價。圖5（a）中，理論齒面上有一系列的虛線網(wǎng)格，相交形成很多網(wǎng)格點，每個網(wǎng)格點由字母和數(shù)字組成。同側(cè)齒面上數(shù)字相同、不同的一系列網(wǎng)格點形成的縱向曲線稱為齒向曲線。同側(cè)齒面上字母相同、數(shù)字不同的一系列網(wǎng)格點形成的橫向曲線稱為齒廓曲線。齒廓曲線是齒面與端面的截線，齒向曲線是齒面與圓柱面的截線。目前的齒輪評價標準（ISO∶1328—1∶2013、GB/T 10095.1—2008）都是基于齒廓曲線和齒向曲線的，沒有針對整個齒面的評價標準。為了依據(jù)現(xiàn)行標準評價磨削齒面的精度等級，必須求出齒廓曲線和齒向曲線的誤差。圖5（a）中一系列的齒廓曲線和齒向曲線組成的網(wǎng)格稱為拓撲網(wǎng)格，所有網(wǎng)格點處包絡齒面與理論齒面的誤差稱為磨削齒面誤差，大小是式（6）中G(u,t)與理論齒面之間的差值。

每一點的計算如圖5（b）所示，成形磨削齒面上G5′與理論齒廓上點G5對應，理想的情況是在理論齒面上每個網(wǎng)格點處，在端面法向上計算成形磨削齒面上對應點到該點的誤差。也就是先確定G5的坐標，然后計算G5′的坐標，再計算兩點的差值。由于磨削形成的包絡齒面沒有解析表達式，只能計算得到齒面上很多的離散數(shù)據(jù)點，為了得到點G5′的坐標必須對離散的磨削形成齒面進行曲面擬合，然后在擬合曲面上計算點G5′的坐標，由于曲面擬合的精度很難達到0.001mm，導致計算得到的G5′坐標誤差較大。本文先將磨削形成包絡面上的每個離散點在端面內(nèi)向理論齒面做垂線，由于理論齒面是有解析表達式的，這樣可以容易求得對應的理論齒面上的點，再計算兩者的誤差，然后對這些誤差進行擬合和插值，得到網(wǎng)格點處的誤差。按照這一方法，可以分別計算出齒廓形狀偏差ffα、齒廓傾斜偏差fHα、螺旋線形狀偏差ffβ、螺旋線傾斜偏差fHβ，以及齒厚偏差fsn，并對齒輪精度等級進行評價。

圖5 成形磨削齒面與理論齒面之間的偏差Fig.5 Deviations between profile grinding tooth surface and theoretical tooth surface

基于上述模型和誤差評價方法，可分析表1所列15項裝配幾何誤差對磨削齒面誤差的影響，評價流程如圖6所示。主要包括3個步驟：首先計算砂輪的理論廓形rf(u)和坐標變換矩陣；然后計算接觸方程θ=θ(u,t)，并將結(jié)果代入曲面族，得到磨削形成包絡面r2(u,θ(u,t);t)；最后對成形磨削齒面進行誤差評價。

圖6的誤差評價流程中包括A、B、C3個循環(huán)過程。A循環(huán)過程為在坐標變換矩陣定的情況下，對砂輪廓形上每一點（不同參數(shù)u）計算接觸方程，得到一系列接觸點。這些接觸點形成一條曲線，表示磨齒過程中某一時刻，砂輪與實際齒面的接觸線。B循環(huán)過程包含A循環(huán)過程，對磨齒過程的不同時刻，分別求得接觸線，這些接觸線就是磨削形成的包絡面。C循環(huán)過程包含B循環(huán)過程，分別為不同的誤差項設置合理的誤差值，得到不同的磨削齒面，并對每個磨削齒面進行誤差評價。

3 計算分析與試驗

3.1 單值計算分析

某一齒輪成形磨削、齒輪、砂輪規(guī)格以及相關參數(shù)見表2。按照圖6所示的流程，分析表1中每個誤差項所產(chǎn)生的磨削齒面誤差。表1中長度類誤差項的數(shù)值設為0.2mm，角度類誤差項的數(shù)值設為200arcsec。圖7為各誤差項對應的齒面拓撲誤差圖，其中fHα1和fHαr分別表示左右齒面中最大的齒廓傾斜偏差；fHβ1和fHβr分別表示左右齒面中最大的螺旋線傾斜偏差；fs為齒面中心點對應的齒厚偏差。此外，15個誤差項產(chǎn)生的齒廓形狀偏差和螺旋線形狀偏差均接近為0。

表2 磨齒的基本參數(shù)Table 2 Basic parameters for gear grinding

圖6 裝配幾何誤差-成形磨削齒面誤差評價流程圖Fig.6 Assessment flowchart of assembly geometric errors and gear tooth surface errors

圖7 磨削系統(tǒng)裝配幾何誤差項T7和T9產(chǎn)生的齒面拓撲誤差Fig.7 Topographical errors of gear tooth surface resulted from assembly geometric errors T7 and T9

進一步分析發(fā)現(xiàn)以下6個特點：（1）單個幾何誤差項產(chǎn)生的磨削齒面誤差，在左右齒面上數(shù)值大小是相同的，但方向有些相同，有些是相反的； （2）在15個誤差項中，如圖7所示，只有T7和T9的這兩個誤差項對螺旋線傾斜偏差有影響，而且影響顯著； （3）T1、T2、T3、T5、T6、T8、T11、T13、T14和T15對齒廓傾斜偏差有影響，如圖8所示，T1、T3、T6和T8對左右齒面的影響是相同的，如圖9所示，T2、T5、T11、T13、T14和T15對左右齒面的影響是相反的； （4）T6為A軸參考點偏移的誤差，可以理解為磨齒前砂輪偏擺的角度誤差，當該角度誤差為200arcsec時，產(chǎn)生的誤差大小只有約6μm，而一般該角度誤差均＜20arcsec，所以T6對于成形磨齒精度影響較小； （5）如圖10所示，T4、T10和T12幾乎不會產(chǎn)生任何齒面誤差，但是會影響實際加工過程中左右齒面的加工余量，所以實際中也需要控制誤差大??； （6）T1對齒厚偏差有顯著影響，而其他誤差項對齒厚偏差的影響很小。

圖8 磨削系統(tǒng)裝配幾何誤差項T1、T3、T6和T8產(chǎn)生的齒面拓撲誤差Fig.8 Topographical errors of gear tooth surface resulted from assembly geometric errors T1, T3, T6 and T8

圖9 磨削系統(tǒng)裝配幾何誤差項T2、T5、T11、T13、T14和T15產(chǎn)生的齒面拓撲誤差Fig.9 Topographical errors of gear tooth surface resulted from assembly geometric errors T2, T5, T11, T13, T14 and T15

3.2 多值計算分析

前述分析可以看出，影響齒厚偏差的為T1；影響齒廓傾斜偏差的為T1、T2、T3、T5、T6、T8、T11、T13、T14和T15；影響螺旋線傾斜偏差的為T7和T9。圖11為T1變化時，齒厚誤差的變化情況，可以看出T1與齒厚偏差之間呈線性關系。

圖11 誤差項T1與齒厚偏差之間的關系Fig.11 Relationship between tooth thinckness deviations and T1

圖12和13分別為直線類誤差項T1、T2、T3、T5和角度類誤差項T6、T8、T11、T13、T14、T15共10項誤差變化時，齒廓傾斜偏差的變化情況，可以看出在規(guī)定值范圍內(nèi)，所有這些誤差項與齒廓傾斜偏差也呈線性關系，其中T1、T2、T3、T11、T14和T15對齒廓傾斜偏差的影響較大。圖14為T7和T9兩項誤差變化時，螺旋線傾斜偏差的變化情況，也呈線性關系。上述分析結(jié)果表明，在研究數(shù)值范圍內(nèi)各項誤差之間的影響滿足線性疊加原理，多個誤差項的共同作用使得齒廓傾斜偏差和螺旋線傾斜偏差累計增大。

圖12 直線類誤差項與齒廓傾斜偏差之間的關系Fig.12 Relationship of tooth profile slope deviations and line errors

圖13 角度類誤差項與齒廓傾斜偏差之間的關系Fig.13 Relationship of tooth profile slope deviations and angle errors

圖14 誤差項T7和T9與螺旋線傾斜偏差之間的關系Fig.14 Relationship of spiral slope deviations and T7 and T9

3.3 裝配精度調(diào)整及成形磨齒試驗

根據(jù)以上分析結(jié)果，按照GB4級的齒面精度要求，優(yōu)化分配了SKMC-1200W/08數(shù)控成形磨齒機床的15項裝配幾何誤差允許值，如表3所示。并在調(diào)整到位后的數(shù)控成形磨齒機床上進行了齒輪成形磨削試驗，磨齒的基本參數(shù)如表2所示，磨削過程如圖15所示。齒輪精磨到尺寸后，在Wenzel三坐標測量儀上進行精度測量，齒廓和螺旋線的檢驗報告整理后如表4所示，齒廓和螺旋線精度均達到GB4級，滿足預期精度設計要求。

圖15 SKMC-1200W/08數(shù)控成形磨齒機床磨削過程Fig.15 Grinding process of SKMC-1200W/08 gear profile grinding machine

表3 磨削系統(tǒng)裝配幾何誤差允許值Table 3 Allowable assembly errors of profile grinding system

表4 齒廓和螺旋線偏差測量結(jié)果Table 4 Measurement results of tooth profile deviations and spiral deviations

4 結(jié)論

基于曲面族包絡理論，建立了包含磨削系統(tǒng)裝配幾何誤差的成形磨削齒面模型，提出了實現(xiàn)磨削齒面誤差評價的流程方法，分析了各裝配幾何誤差對成形磨削齒面誤差的影響。根據(jù)分析結(jié)果和齒輪齒面精度的要求，優(yōu)化分配了各裝配幾何誤差，并進行了機床裝配精度調(diào)整和齒輪成形磨削試驗。

（1）15項裝配幾何誤差中，T1、T2、T3、T5、T6、T8、T11、T13、T14和T15影響齒廓傾斜偏差，其中T1、T3、T6和T8對左右齒面的影響是同向?qū)ΨQ的，其他對左右齒面的影響是反向?qū)ΨQ的；T7和T9主要影響螺旋線偏差，其中T7對左右齒面的影響是反向?qū)ΨQ的，T9對左右齒面的影響是同向?qū)ΨQ的；T1對齒厚偏差有顯著影響；T4、T10和T12對磨削齒面誤差影響很小。

（2）在研究的誤差范圍內(nèi)，當磨削系統(tǒng)的裝配幾何誤差項數(shù)值變化時，導致相應的齒廓傾斜偏差和螺旋線傾斜偏差均呈線性變化，各項誤差之間的影響滿足線性疊加原理；研究結(jié)果應用于大型數(shù)控成形磨齒機床的裝配精度調(diào)整，齒輪成形磨削試驗結(jié)果表明，在數(shù)控成形磨齒機床的精度設計中，利用該方法可以指導優(yōu)化分配各裝配誤差。