張曉釗 周緒紅 王宇航 鄧曉蔚

1.重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 400035

2.香港大學(xué) 999077

引言

隨著煤、石油、天然氣等傳統(tǒng)能源的逐漸枯竭，綠色、清潔、可再生的風(fēng)能日益受到人們的關(guān)注［1］。為了更好地利用風(fēng)能，風(fēng)電機(jī)組鋼-混凝土混合結(jié)構(gòu)塔筒成了當(dāng)下的研究熱點(diǎn)，該結(jié)構(gòu)將鋼塔與混凝土塔兩種塔筒形式組合，下部為混凝土塔段，上部為鋼塔段，如圖1所示。混合結(jié)構(gòu)塔筒充分發(fā)揮了混凝土受壓而鋼材受拉的力學(xué)性能，具有剛度大、抗疲勞性能好等優(yōu)勢(shì)，在我國(guó)低風(fēng)速區(qū)風(fēng)電能源開(kāi)發(fā)中具有廣闊的應(yīng)用前景。

圖1 鋼-混凝土混合結(jié)構(gòu)塔筒Fig.1 Steel-concrete hybrid tower

風(fēng)電機(jī)組塔筒是一種高聳結(jié)構(gòu)，自振頻率較低，容易和風(fēng)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率接近，從而引發(fā)共振，對(duì)結(jié)構(gòu)不利。在塔筒設(shè)計(jì)時(shí)，第1 階自振頻率是主要的控制因素之一。目前在方案選型和投標(biāo)階段，均采取建立精細(xì)化有限元模型來(lái)求解塔筒的自振頻率，此方法固然可以得到精度較高的解，但在設(shè)計(jì)時(shí)，每更改一次參數(shù)就需要重新建立塔筒的有限元模型，重新定義屬性參數(shù)、設(shè)置邊界條件、劃分網(wǎng)格、計(jì)算等，效率低下，不利于工程設(shè)計(jì)。

目前，對(duì)于塔筒自振頻率理論計(jì)算公式的研究相當(dāng)匱乏，尤其是對(duì)于鋼-混凝土混合結(jié)構(gòu)塔筒。本文通過(guò)理論推導(dǎo)，得到了混合結(jié)構(gòu)塔筒振動(dòng)的頻率方程，并分析了材料密度、混凝土塔段高度占比系數(shù)、混凝土塔段與鋼塔段壁厚比、錐度等參數(shù)對(duì)其1 階自振頻率的影響，通過(guò)參數(shù)修正得到了鋼-混凝土混合結(jié)構(gòu)塔筒自振頻率的解析計(jì)算公式，以期提高工程設(shè)計(jì)效率。

1 計(jì)算假定

為推導(dǎo)出混合結(jié)構(gòu)塔筒自振頻率的計(jì)算公式，做出如下假定，簡(jiǎn)化力學(xué)模型如圖2 所示。

圖2 簡(jiǎn)化模型Fig.2 Simplified model

（1）在推導(dǎo)時(shí)忽略塔筒的錐度，推導(dǎo)完對(duì)理論解進(jìn)行錐度修正；

（2）塔筒與地面剛接；

（3）塔筒力學(xué)性能在橫截面內(nèi)的各個(gè)方向上無(wú)差別。

2 頻率方程的推導(dǎo)

2.1 混凝土段高度占比系數(shù)μ的定義

研究對(duì)象是鋼-混凝土混合結(jié)構(gòu)塔筒。由于上部與下部的材料不同，混合結(jié)構(gòu)在計(jì)算動(dòng)能與勢(shì)能時(shí)需要分段考慮，對(duì)于分界點(diǎn)處的高度，做出如下定義：

式中：μ為混凝土段高度占比系數(shù)，Hc為塔筒混凝土段高度，H為塔筒總高度。μ 的物理意義是混合結(jié)構(gòu)塔筒中混凝土段所占的高度比例，如圖3 所示。分界點(diǎn)高度可表示為Hc＝μH。

圖3 模型截面Fig.3 Simplified model

2.2 振動(dòng)方程的推導(dǎo)

基于Hamilton原理進(jìn)行推導(dǎo)，力學(xué)計(jì)算模型如圖4，推導(dǎo)中分別為截面外徑（m）、彈性模量（Pa）、截面慣性矩（m4）、截面壁厚（m）、分布質(zhì)量（kg／m）、材料密度（kg／m3）、截面面積（m2），下標(biāo)c、s 分別代表混凝土塔段與鋼塔段。

圖4 力學(xué)計(jì)算模型Fig.4 Mechanical calculation model

Hamilton原理表明：當(dāng)積分上下限給定時(shí)，在所有可能的運(yùn)動(dòng)軌跡中，真實(shí)的運(yùn)動(dòng)應(yīng)使得Hamilton泛函取得極小值，即Hamilton 泛函的1階變分等于零［2，3］：

結(jié)構(gòu)的自振頻率與外荷載無(wú)關(guān)，其動(dòng)能可表示為式（2），勢(shì)能可表示為式（3）：

式（2），式（3）代入式（1），得混合結(jié)構(gòu)塔筒振動(dòng)的變分方程：

該變分方程對(duì)任意位移擾動(dòng)δy1，δy2，轉(zhuǎn)角擾動(dòng)均成立，可推導(dǎo)得振動(dòng)方程式（5）與自然邊界條件式（6）：

2.4 邊界條件的化簡(jiǎn)處理

根據(jù)計(jì)算假定2，塔筒與地面剛接，由幾何關(guān)系，位移邊界條件為：

沿分界點(diǎn)處將結(jié)構(gòu)切開(kāi)，如圖5 所示，該截面兩側(cè)位移，轉(zhuǎn)角，彎矩，剪力均相等［4］，即：

圖5 分界點(diǎn)計(jì)算模型Fig.5 Calculation model at dividing point

且在分界點(diǎn)處，曲線(xiàn)連續(xù)，故有：

將式（7），式（8），式（9）代入式（6），化簡(jiǎn)后可得混合結(jié)構(gòu)塔筒振動(dòng)的邊界條件：

2.5 振動(dòng)方程的求解

假設(shè)混合結(jié)構(gòu)塔筒任意一點(diǎn)的位移為：

式（11）代入式（5），并求解，得到振動(dòng)微分方程的通解為［5］：

2.6 頻率方程的建立

將邊界條件代入振型通解，即將式（10）代入式（12）并化簡(jiǎn)，得到矩陣方程：

化簡(jiǎn)后的式（14）是一個(gè)六階矩陣方程，該方程有非零解［6］，則：

式（15）即為混合結(jié)構(gòu)塔筒振動(dòng)的頻率方程。令μλ1H＝x，x由方程式（15）解出，此時(shí)的工程頻率為：

3 有限元模型驗(yàn)證

3.1 有限元建模計(jì)算結(jié)果

根據(jù)混合結(jié)構(gòu)塔筒高度、外徑、混凝土段高度占比系數(shù)不同，設(shè)計(jì)了9 組參數(shù)模型，混凝土塔段與鋼塔段均為圓形薄壁截面，每組內(nèi)μ 從0.4 等距0.05 增長(zhǎng)到0.6，tc＝0.3（m），ts＝0.025（m），其余參數(shù)如表1 所示。使用ABAQUS

表1 模型參數(shù)Tab.1 Model parameter

軟件建立這9 個(gè)組的有限元模型，材料參數(shù)設(shè)置為Ec＝3 ×1010（Pa），Es＝2 ×1011（Pa），ρc＝2200（kg／m3），ρs＝7850（kg／m3），材料屬性設(shè)置為均質(zhì)。分析步采用線(xiàn)性攝動(dòng)——頻率，計(jì)算方法采用子空間迭代法，邊界條件設(shè)置為底邊完全固定，網(wǎng)格劃分時(shí)采用四面體網(wǎng)格，尺寸設(shè)置為0.5m。計(jì)算結(jié)果如圖6 所示。

圖6 有限元計(jì)算結(jié)果Fig.6 Finite element calculation results

3.2 頻率方程計(jì)算結(jié)果

求解這9 個(gè)組中不同參數(shù)對(duì)應(yīng)的頻率方程，并通過(guò)式（16）解出對(duì)應(yīng)的1 階自振頻率，如圖7所示。結(jié)果表明，不同參數(shù)下頻率方程計(jì)算結(jié)果均比有限元模擬高10%左右，說(shuō)明頻率方程計(jì)算結(jié)果與有限元吻合良好。由于偏差較小，且偏差集中，認(rèn)為方程具有較高的價(jià)值。

圖7 頻率方程計(jì)算結(jié)果Fig.7 Frequency equation calculation results

4 參數(shù)分析與處理

顯然，式（15）沒(méi)有參數(shù)解。為了得到一個(gè)便于計(jì)算的1 階自振頻率解析表達(dá)式，將通過(guò)參數(shù)分析化簡(jiǎn)方程，求得該矩陣方程的參數(shù)解。

4.1 材料參數(shù)的處理

本研究針對(duì)鋼-混凝土混合結(jié)構(gòu)塔筒，其屬性參數(shù)Ec、Es、ρs可認(rèn)為是常量。對(duì)于混凝土的密度ρc，其值常在2000 ～2500（kg／m3）變化，選取表1 中組1、組2、組6 和組7，并取μ ＝0.5，計(jì)算這4 組中ρc從1800 變化到2600 時(shí)，對(duì)應(yīng)的1 階自振頻率，如圖8 所示。

圖8 f1 －ρc 關(guān)系曲線(xiàn)Fig.8 Curve of f1 and ρc

結(jié)果表明，ρc在1800 ～2600 變化時(shí)，對(duì)頻率計(jì)算結(jié)果的影響小于1%，因此求解式（15）時(shí)材料屬性參數(shù)取為Ec＝3 ×1010（Pa），Es＝2 ×1011（Pa），ρc＝2200（kg／m3），ρs＝7850（kg／m3）。

4.2 頻率方程參數(shù)解分析

α表示截面內(nèi)外徑之比，混凝土塔段與鋼塔段截面類(lèi)型均為同種薄壁型截面，故：

將式（17）及材料參數(shù)代入式（15），結(jié)果表明頻率方程的解x僅跟μ與tc／ts有關(guān)，當(dāng)μ與tc／ts

確定時(shí)，頻率方程的解x將被確定。在實(shí)際工程中，一般有μ∈［0.3，0.7］和tc／ts∈［7，15］。為了得到頻率方程的參數(shù)解，固定μ ＝0.5 及tc／ts＝12，得到方程的解后再對(duì)參數(shù)μ與tc／ts進(jìn)行修正。

圖9 εμ －μ 關(guān)系曲線(xiàn)Fig.9 Curve of εμ and μ

4.3 參數(shù)μ的處理

對(duì)于表1 中的9 組模型，求解出μ從0 變化到1 時(shí)，每組對(duì)應(yīng)的頻率方程，并通過(guò)式（16）解出對(duì)應(yīng)的f1，如圖10 所示。結(jié)果表明f1隨μ 的增加先增大后減小。

圖10 f1 －μ 關(guān)系曲線(xiàn)Fig.10 Curve of f1 and μ

相關(guān)系數(shù)R＝0.9982，結(jié)果如圖11 所示。

圖11 εμ（μ）擬合曲線(xiàn)Fig.11 Fitting curve of εμ（μ）

4.4 參數(shù)tc／ts 的處理

選取表1中組1、組2、組6與組7，并取μ ＝0.5，計(jì)算這4組中tc／ts從0 變化到15時(shí)，對(duì)應(yīng)的1階自振頻率，如圖12所示。結(jié)果表明，f1隨著tc／ts的增加而增加。tc／ts對(duì)結(jié)果有一定影響。

圖12 f1 －tc／ts 關(guān)系曲線(xiàn)Fig.12 Curve of f1 and tc／ts

固定tc／ts＝12，并記εt表示tc／ts這一項(xiàng)的修正系數(shù)，使用1stOpt 軟件對(duì)這4 組數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到：

相關(guān)性系數(shù)R＝0.9990，結(jié)果如圖13 所示。

圖13 εt（tc／ts） －tc／ts 關(guān)系曲線(xiàn)Fig.13 Curve of εt（tc／ts）and tc／ts

5 頻率解析式的求解

取μ ＝0.5 以及tc／ts＝12，求解化簡(jiǎn)后的頻率方程，得：

將式（20）、Ic＝I、Ac＝A代入式（16），并代入修正系數(shù)，得混合結(jié)構(gòu)塔筒的1 階自振頻率：

式中：H為塔筒總高度（m），I、A分別為塔筒底截面慣性矩（m4）與截面面積（m2）。εμ（μ）與εt（tc／ts）為修正系數(shù)，表示為了得到六階矩陣方程的參數(shù)解而做的修正。

6 理論解的修正

6.1 多元非線(xiàn)性修正

式（21）為解簡(jiǎn)化頻率方程得到的1 階自振頻率解析式，而不同參數(shù)下頻率方程比有限元計(jì)算結(jié)果高10%左右。為了得到更加準(zhǔn)確的計(jì)算公式，需要對(duì)理論解進(jìn)行偏差修正。記偏差修正系數(shù)為ξ ＝fFEA／f1，f1表示式（21）計(jì)算結(jié)果，fFEA表示相同參數(shù)下有限元計(jì)算結(jié)果，ξ 的物理意義是理論公式需要修正的倍率，使用1stOpt軟件對(duì)表1中9 個(gè)組模型進(jìn)行多元非線(xiàn)性擬合，得到的修正函數(shù)如下：

相關(guān)系數(shù)R＝0.9574，修正后的理論公式與有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)比如圖14 所示，此時(shí)有：

圖14 多元非線(xiàn)性修正結(jié)果Fig.14 Multivariate nonlinear correction results

同時(shí)，為了驗(yàn)證理論公式的可靠性，還設(shè)計(jì)了10，11 兩組參數(shù)模型，底部外徑均為6m，其余參數(shù)見(jiàn)表2，分別用有限元與理論公式（23）計(jì)算其1 階自振頻率，結(jié)果高度吻合，如圖15所示。

圖15 壁厚比驗(yàn)證Fig.15 Wall thickness ratio verification

6.2 錐度修正

根據(jù)計(jì)算假定1，在推導(dǎo)時(shí)忽略了塔筒錐度的影響，而實(shí)際工程中，塔筒具有一定的錐度，一般θ∈［0，0.025］。因此，對(duì)推導(dǎo)出的理論公式還需要進(jìn)行錐度修正。設(shè)計(jì)了12，13 兩組參數(shù)模型，tc、ts均為0.3m 和0.025m，其余參數(shù)見(jiàn)表2。

記錐度修正系數(shù)κ（θ）＝fFEA，θ／f1，ξ，θ表示塔筒錐度，κ（θ）表示錐度修正系數(shù)，fFEA，θ表示考慮錐度時(shí)有限元模型計(jì)算結(jié)果，f1，ξ為公式（23）計(jì)算結(jié)果。κ（θ）的物理意義是考慮塔筒錐度時(shí)，理論公式需要修正的倍率。使用1stOpt 軟件對(duì)表2中12、13 兩組模型的κ（θ）計(jì)算結(jié)果進(jìn)行擬合，得到的結(jié)果如下：

表2 模型參數(shù)2Tab.2 Model parameter of group 2

相關(guān)系數(shù)R＝0.9799，錐度修正后的理論公式與有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)比如圖16 所示。

圖16 錐度修正結(jié)果Fig.16 Taper correction results

7 自振頻率計(jì)算公式

綜上所述，鋼-混凝土混合結(jié)構(gòu)塔筒1 階自振頻率計(jì)算公式如下：

式中：H為塔筒總高度（m），I、A分別為塔筒底截面慣性矩（m4）與截面面積（m2），μ 為混凝土段所占的高度比例，tc為混凝土段截面壁厚（m），ts為鋼塔段截面壁厚（m），θ 表示塔筒錐度；εμ（μ）、εt（tc／ts）為使六階矩陣方程得到參數(shù)解的修正系數(shù)，見(jiàn)式（18）、式（19）；ξ為理論公式與有限元之間的偏差修正系數(shù)，見(jiàn)式（22）；κ（θ）表示錐度修正系數(shù)，見(jiàn)式（24）。

8 結(jié)論

1.通過(guò)理論推導(dǎo)得到了混合結(jié)構(gòu)塔筒振動(dòng)的頻率方程，該方程的解與有限元計(jì)算結(jié)果吻合良好。并通過(guò)參數(shù)分析，參數(shù)修正得到了鋼-混凝土混合結(jié)構(gòu)塔筒的1 階自振頻率計(jì)算公式。

2.混凝土的密度ρc波動(dòng)較大，但在其正常波動(dòng)范圍內(nèi)，ρc對(duì)1 階自振頻率f1的影響非常小。

3.混凝土高度占比系數(shù)μ對(duì)1 階自振頻率f1有一定的影響，不可忽略，且f1隨μ的增加先增大后減小，峰值大概發(fā)生在μ ＝0.4。

4.混凝土段與鋼塔段截面的壁厚比tc／ts對(duì)1階自振頻率f1影響較大，且f1隨tc／ts的增加而增加。

5.在實(shí)際工程中，錐度θ∈［0，0.025］，此范圍內(nèi)，錐度與對(duì)混合結(jié)構(gòu)塔筒的影響較小，因此假定1 合理，且錐度對(duì)f1的影響幾乎為線(xiàn)性。