黃欣怡, 凡震彬

(揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 揚州 225002)

Sobolev型半線性積微分泛函方程是具體的偏積分微分方程的一種抽象形式, 在流體通過裂隙巖石的流動和剪切運動等方面有著廣泛的應(yīng)用． Brill[1]和Showalter[2]等研究了Banach空間中半線性Sobolev型方程解的存在性; Balachandran等[3-4]利用緊半群和Schauder不動點定理得到了Banach空間中Sobolev型非線性積微分方程解的存在性和可控性; Li等[5]利用非緊測度和不動點方法, 得到了可分Banach空間中具有非局部條件的Sobolev型分?jǐn)?shù)階積微分方程溫和解的存在性; Ponce[6]研究了Sobolev型分?jǐn)?shù)階擴散波動方程的從屬原理; Vijayakumar等[7]利用多值不動點定理, 通過求解算子得到了一組具有無窮時滯的中立型積微分包含近似可控的條件．另一方面, 具有非局部條件的微分方程在應(yīng)用中自然出現(xiàn), 而非局部初值條件概念的引入使描述自然現(xiàn)象時比經(jīng)典初值問題更自然、更精確．Fan等[8]在緊半群情形時,利用非緊測度和Darbo-Sadovskii不動點定理得到了當(dāng)非局部函數(shù)g僅為連續(xù)條件時, 脈沖方程解的存在性;李建利等[9]研究了一類帶有非局部條件的廣義Bagley-Torvik型分?jǐn)?shù)階微分包含解的存在性; Pinaud 等[10]建立了一個一般的非局部條件的包含問題,得到了非線性方程近似可控的結(jié)果．本文在非局部函數(shù)g非緊的情況下研究了一類Sobolev型半線性積微分方程溫和解的存在性, 利用拓?fù)渥儞Q技巧和逼近思想,分別克服了相關(guān)算子的可交換性以及解算子在零點處的緊性困難,獲得了方程溫和解的存在性結(jié)果．

1 預(yù)備知識

本文研究Banach空間中帶有非局部條件的Sobolev型非線性積微分方程

(1)

假設(shè)X,Y為Banach空間, 算子K:D(K)?X→Y和算子Ξ:D(Ξ)?X→Y為閉線性算子, 且D(Ξ)?D(K),Ξ是雙射,Ξ-1:Y→D(Ξ)連續(xù)．對任意的t∈[0,a]和λ∈ρ(KΞ-1),R(λ,KΞ-1)是緊算子．由閉圖像定理知算子KΞ-1:Y→Y為有界算子, 故KΞ-1生成一致連續(xù)半群{Q(t)}t≥0．

引理1[11]假設(shè)A是一致連續(xù)半群{T(t)}t≥0的無窮小生成元．若對任意的λ∈ρ(A),R(λ,A)是緊算子, 則{T(t)}t≥0為緊半群．

由引理1可知, {Q(t)}t≥0是緊半群, 且存在正數(shù)M, 使得maxt∈I‖Q(t)‖≤M．

對任意的x∈C(I;X), 令y(t)=Ξx(t), 則方程(1)可等價于

(2)

定義1[11]若存在連續(xù)函數(shù)y:I→Y滿足方程

則稱y是方程(2)的溫和解．

令r是非負(fù)常數(shù), 設(shè)Br={y∈Y:‖y‖≤r},ωr={y∈C(I;Y):y(t)∈Br,t∈[0,a]}, 對函數(shù)ρ和非局部項g有以下假設(shè):

(H1)ρ:I×X×X→Y是Carathéodory函數(shù), 即對幾乎處處的t∈I,ρ(t,·,·)連續(xù); 對任意的(y,z)∈X×X,ρ(·,y,z):I→D(Ξ)可測, 且存在常數(shù)C1>0,φ∈L1(I;Y), 以及非負(fù)遞增函數(shù)Ψ1: (0,+∞)→(0,+∞), 使得‖ρ(t,y,z)‖≤(φ(t)+C1)Ψ1(‖y+z‖)．

引理3假設(shè)條件(H1)～(H3)成立, 則算子S2是緊算子．

引理4[12](Schauder不動點定理) 設(shè)D?X是非空有界閉凸集,F:D→D是連續(xù)的緊映射, 則F在D中至少有一個不動點．

2 主要結(jié)果

定理1假設(shè)條件(H1)～(H3)成立, 且滿足不等式

(3)

則方程(1)在[0,a]上至少有一個溫和解．

因為非局部項g沒有緊性, 且在無窮維空間中半群Q(t)在t=0處非緊, 為了解決解算子在t=0處的緊性問題, 對n≥1, 考慮方程(2)的逼近問題:

(4)

定理2假設(shè)條件(H1)～(H3)成立, 且滿足不等式(3), 則對每個n≥1, 方程(4)在[0,a]上至少有一個溫和解．

證明 對固定的n≥1, 定義算子Sn:C(I;Y)→C(I;Y),

顯然,Sn的不動點就是逼近方程(4)的溫和解, 接下來用Schauder不動點定理證明Sn有不動點．

接下來證明存在r>0, 使得Snωr?ωr．對任意的y∈ωr,‖Sny‖≤MC2Ψ2(‖Ξ-1‖r)+M(‖φ‖L1+aC1)Ψ1[(ν*+1)‖Ξ-1‖r]．因不等式(3)成立, 故存在充分大的r, 使‖Sny‖≤r, 故Snωr?ωr．

最后證明Sn是一個緊算子．對任意的y∈ωr,t∈[0,a], 令Sny=Sn1y+Sn2y, 其中

(Sn1y)(t)=Q(t)Q(n-1)h(Ξ-1y),

對任意的t∈[0,a],n≥1,Q(t)Q(n-1)=Q(t+n-1)是緊算子,{Q(t)Q(n-1)h(Ξ-1y):y∈ωr}在Y中相對緊．又對任意的y∈ωr, 0≤t1

‖Sn1y(t2)-Sn1y(t1)‖≤‖Q(t2+n-1)-Q(t1+n-1)‖C2Ψ2(r‖Ξ-1‖)→0,

故Sn1ωr在區(qū)間[0,a]上等度連續(xù)．由Arzel-Asocil定理可知,Sn1是緊算子．類似引理3的證明, 可得Sn2也是緊算子, 故Sn是緊算子．因此, 根據(jù)Schauder不動點定理,Sn在C(I;Y)中至少有一個不動點, 即逼近方程(4)在[0,a]上至少有一個溫和解．證畢．

定義逼近方程解集Ω={yn∈ωr:Snyn=yn,n≥1}．

定理1的證明1) 證明逼近方程解集Ω在C(I;Y)中相對緊．對任意的yn∈ωr,t∈[0,a],令Snyn=Sn1yn+Sn2yn,n≥1, 其中

(Sn1yn)(t)=Q(t)Q(n-1)h(Ξ-1yn),

對t∈(0,a], 由Q(t)的緊性及{Q(n-1)h(Ξ-1yn):yn∈ωr}的有界性, 得{(Sn1yn)(t):n≥1}在Y中相對緊．類似引理3的證明, 對t∈(0,a],{(Sn2yn)(t):n≥1}在Y中相對緊, 故Ω(t)在Y中相對緊．

則方程(1)在[0,a]上至少有一個溫和解．

推論2假設(shè)條件(H1)和(H3)成立,h是連續(xù)的緊算子, 且對任意的y∈C(I;X), 存在常數(shù)C2>0, 以及非負(fù)遞增函數(shù)Ψ2: (0,+∞)→(0,+∞), 使得‖h(y)‖≤C2Ψ2(‖y‖)和不等式(3)成立, 則方程(1)在[0,a]上至少有一個溫和解．