劉增芳 張倩男

【摘 要】企業(yè)的生產(chǎn)離不開原材料，因此原材料訂購(gòu)與運(yùn)輸成為每一個(gè)生產(chǎn)企業(yè)時(shí)刻關(guān)注的問題。針對(duì)2021年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C題的問題三和問題四，研究生產(chǎn)企業(yè)原材料的訂購(gòu)與運(yùn)輸問題，在問題一及問題二的基礎(chǔ)上，以總成本最低和損耗量最少為目標(biāo)，分別建立多目標(biāo)規(guī)劃模型，找到兩種情況達(dá)到相對(duì)最佳的結(jié)果，得到最優(yōu)的訂購(gòu)方案，使企業(yè)獲得了更多的利潤(rùn)。根據(jù)現(xiàn)有原材料的供應(yīng)商和轉(zhuǎn)運(yùn)商的實(shí)際情況，以最小損耗量為目標(biāo)函數(shù)，以轉(zhuǎn)運(yùn)平衡和最大產(chǎn)能為約束條件，建立線性規(guī)劃模型，確定該企業(yè)每周的產(chǎn)能提高量，并給出未來(lái)24周的訂購(gòu)和轉(zhuǎn)運(yùn)方案，在一定程度上為生產(chǎn)企業(yè)原材料訂購(gòu)與運(yùn)輸問題的決策提供了可靠的理論支撐和實(shí)踐指導(dǎo)。

【關(guān)鍵詞】多目標(biāo)規(guī)劃;訂購(gòu)和轉(zhuǎn)運(yùn)方案;線性規(guī)劃模型;MATLAB

【中圖分類號(hào)】R927.1 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-0688（2022）04-0134-04

1 問題背景及重述

原材料是每一個(gè)生產(chǎn)企業(yè)開展生產(chǎn)活動(dòng)的根本，如果失去了材料來(lái)源，便意味著這個(gè)企業(yè)可能將要面臨破產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)。原材料除了要滿足企業(yè)生產(chǎn)活動(dòng)的正常運(yùn)行，其質(zhì)量與性能也會(huì)直接影響成品質(zhì)量，同時(shí)若原材料的供給量達(dá)不到使用量，也會(huì)影響產(chǎn)品銷售量。因此，原材料的訂購(gòu)成本、質(zhì)量、供貨量都是影響企業(yè)生產(chǎn)效益的重要條件。隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展，原材料的相關(guān)問題逐漸凸顯，引起許多生產(chǎn)企業(yè)的重視。從經(jīng)濟(jì)效益角度看，原材料的采購(gòu)成本、運(yùn)輸成本等直接影響企業(yè)的生產(chǎn)效益。因此，可以從供貨商的供貨量、原材料的訂購(gòu)、運(yùn)輸成本等方面，結(jié)合實(shí)際情況對(duì)相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行深入分析，研究企業(yè)原材料訂購(gòu)與運(yùn)輸問題。

2021年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C題[1]旨在引導(dǎo)學(xué)生通過背包模型研究企業(yè)原材料訂購(gòu)與運(yùn)輸?shù)膬?yōu)化問題。C題：某建筑和裝飾板材的生產(chǎn)企業(yè)所用原材料為A，B，C 3種類型，該企業(yè)需要根據(jù)產(chǎn)能要求確定需要訂購(gòu)的原材料供應(yīng)商和相應(yīng)每周的原材料訂購(gòu)數(shù)量，確定轉(zhuǎn)運(yùn)商并委托其將供應(yīng)商每周的原材料供貨量轉(zhuǎn)運(yùn)到企業(yè)倉(cāng)庫(kù)。附件1給出了該企業(yè)近5年402家原材料供應(yīng)商的訂貨量和供貨量數(shù)據(jù)。附件2給出了8家轉(zhuǎn)運(yùn)商的運(yùn)輸損耗率數(shù)據(jù)。①問題三：該企業(yè)為了壓縮生產(chǎn)成本，現(xiàn)計(jì)劃盡量多地采購(gòu)A類和盡量少地采購(gòu)C類原材料，減少轉(zhuǎn)運(yùn)及倉(cāng)儲(chǔ)的成本，同時(shí)希望轉(zhuǎn)運(yùn)商的轉(zhuǎn)運(yùn)損耗率盡量少。請(qǐng)制訂新的訂購(gòu)方案及轉(zhuǎn)運(yùn)方案，并分析方案的實(shí)施效果。②問題四：該企業(yè)通過技術(shù)改造已具備提高產(chǎn)能的潛力。根據(jù)現(xiàn)有原材料供應(yīng)商和轉(zhuǎn)運(yùn)商的實(shí)際情況，確定該企業(yè)每周的產(chǎn)能可以提高多少，并給出未來(lái)24周的訂購(gòu)和轉(zhuǎn)運(yùn)方案。

針對(duì)生產(chǎn)企業(yè)原材料的訂購(gòu)與運(yùn)輸問題，根據(jù)原材料的供應(yīng)鏈管理，利用層次分析法[2]分析權(quán)重，建立多目標(biāo)規(guī)劃模型[3]，并制訂3種原材料的訂購(gòu)與運(yùn)輸方案。最后對(duì)方案進(jìn)行了效果分析，再一次完善了方案，在一定程度上可以為生產(chǎn)企業(yè)原材料訂購(gòu)與運(yùn)輸問題的決策提供可靠的理論和實(shí)踐指導(dǎo)。

2 基本假設(shè)及符號(hào)說明

基本假設(shè)如下：①假設(shè)生產(chǎn)企業(yè)在第一周初始時(shí)原材料的儲(chǔ)存量為零。②轉(zhuǎn)運(yùn)損耗率小與轉(zhuǎn)運(yùn)公司實(shí)力成負(fù)相關(guān)。③企業(yè)要保持大于等于滿足兩周生產(chǎn)需求的原材料庫(kù)存量[4]。④假設(shè)原材料只有轉(zhuǎn)運(yùn)損耗，沒有庫(kù)存損耗[5]。符號(hào)說明見表1。

3 模型的建立與求解

企業(yè)供應(yīng)鏈戰(zhàn)略[6]有效實(shí)施的基礎(chǔ)就是選擇適合企業(yè)的原材料供應(yīng)商資源，所以在供應(yīng)鏈模式下，必須采用科學(xué)合理的方法選擇供應(yīng)商。根據(jù)企業(yè)經(jīng)營(yíng)的實(shí)際需要，運(yùn)用科學(xué)的方法對(duì)供應(yīng)商進(jìn)行評(píng)價(jià)，最終確定企業(yè)采購(gòu)的原材料或服務(wù)的來(lái)源及合作方式。最優(yōu)的原材料保障計(jì)劃和保障方案可以為決策層提供科學(xué)、合理的輔助決策信息。層次分析法是一種計(jì)算簡(jiǎn)便且適合于多目標(biāo)、多準(zhǔn)則的系統(tǒng)評(píng)價(jià)方法，有許多其他方法不可比擬的優(yōu)點(diǎn)。為有效解決生產(chǎn)企業(yè)原材料的訂購(gòu)與運(yùn)輸問題，可以將這種分析方法的關(guān)鍵步驟與供應(yīng)商選擇決策問題相聯(lián)系，用于生產(chǎn)企業(yè)的原材料供應(yīng)商選擇決策上，以建立供應(yīng)商評(píng)價(jià)的遞階層次結(jié)構(gòu)[7]，從而構(gòu)建合適的層次結(jié)構(gòu)模型。層次結(jié)構(gòu)由上而下設(shè)定為目標(biāo)層、準(zhǔn)則層和方案層。在遞階層次結(jié)構(gòu)模型構(gòu)建的過程中，通過對(duì)各項(xiàng)指標(biāo)的理論分析，最終將選取合適的供貨商設(shè)為目標(biāo)層，將總供貨量、總采購(gòu)量、總供貨量與總采購(gòu)量的差值設(shè)定為準(zhǔn)則層，以402家供貨商作為方案層。以該理論為依據(jù)選出最佳的供應(yīng)商，并通過MATLAB軟件[8]對(duì)實(shí)例進(jìn)行求解，驗(yàn)證該方案的有效性和可行性。

針對(duì)生產(chǎn)企業(yè)原材料的訂購(gòu)與運(yùn)輸中需要解決的兩個(gè)問題：一是為了壓縮生產(chǎn)成本，該企業(yè)計(jì)劃盡量多地采購(gòu)A類和盡量少地采購(gòu)C類原材料，減少轉(zhuǎn)運(yùn)及倉(cāng)儲(chǔ)的成本，同時(shí)希望轉(zhuǎn)運(yùn)商的轉(zhuǎn)運(yùn)損耗率盡量少。二是該企業(yè)通過技術(shù)改造已經(jīng)具備了提高產(chǎn)能的潛力，根據(jù)現(xiàn)有原材料的供應(yīng)商和轉(zhuǎn)運(yùn)商的實(shí)際情況，需要確定該企業(yè)每周的產(chǎn)能可以提高多少?；诖?，需要制訂新的訂購(gòu)方案及轉(zhuǎn)運(yùn)方案，并分析方案的實(shí)施效果。

3.1 問題三的建模與求解

3.1.1 建立多目標(biāo)規(guī)劃模型求解

對(duì)于問題三，有兩個(gè)問題需要解決，第一，企業(yè)為了獲得更多的利潤(rùn)，要壓縮生產(chǎn)成本，要求盡量多地購(gòu)買一些成本低的A類原材料，少買B類和C類原材料，3種原材料的轉(zhuǎn)運(yùn)及倉(cāng)儲(chǔ)成本是一樣的，此處不做考慮。已知A類和B類原材料的采購(gòu)單價(jià)分別比C類原材料高20%和10%，雖然A類的采購(gòu)單價(jià)高了一些，但是生產(chǎn)同單位的產(chǎn)品中A類消耗最少。第二，供應(yīng)商原材料轉(zhuǎn)運(yùn)要保障原材料的損耗量為最少，通過建立多目標(biāo)規(guī)劃模型求得最佳的轉(zhuǎn)運(yùn)方案。

（1）建立多目標(biāo)規(guī)劃模型壓縮成本。為使轉(zhuǎn)運(yùn)成本和倉(cāng)儲(chǔ)成本盡量小，那么應(yīng)在保障生產(chǎn)運(yùn)行的前提下使總訂購(gòu)量和存儲(chǔ)量盡量少，由此建立數(shù)學(xué)規(guī)劃方程[9]，故得到目標(biāo)函數(shù)如下：

參考問題二與問題三相同的生產(chǎn)能力約束：

要達(dá)到損耗率最低，要滿足與問題二相同的條件下，由庫(kù)存狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程[10]，得到：

要滿足生產(chǎn)需要，由問題二相同的約束得到生產(chǎn)保障約束：

（2）建立目標(biāo)規(guī)劃模型降低損耗率。在轉(zhuǎn)運(yùn)過程中，供應(yīng)商供應(yīng)材料A，B，C會(huì)有一定的損耗。在總訂購(gòu)量和存儲(chǔ)量小條件成立的前提下，要合理調(diào)配轉(zhuǎn)運(yùn)方案，使總損耗達(dá)到最小。問題三要求盡可能減少轉(zhuǎn)運(yùn)損耗率，由此建立了目標(biāo)規(guī)劃模型，在此基礎(chǔ)上計(jì)算轉(zhuǎn)運(yùn)損耗量，則目標(biāo)函數(shù)如下：

要達(dá)到損耗率最低，并滿足與問題二下相同的條件，由庫(kù)存狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，得到：

基于上述條件和目標(biāo)函數(shù)建立規(guī)劃模型，然后進(jìn)行求解。

3.1.2 問題三結(jié)果分析

若要壓縮生產(chǎn)成本，減少轉(zhuǎn)運(yùn)和生產(chǎn)的成本，則可多購(gòu)進(jìn)A類原材料，少購(gòu)進(jìn)B類原材料，結(jié)果如圖1所示。與問題二的總體進(jìn)貨量進(jìn)行對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)前10周問題二的進(jìn)貨量高于問題三，在10～24周內(nèi)問題三的進(jìn)貨量普遍高于問題二，由此可得，問題三總體進(jìn)貨量多于問題二。轉(zhuǎn)運(yùn)方案如圖2所示，滿足轉(zhuǎn)運(yùn)損耗量最少，則可優(yōu)先選擇T2、T3，其次是T1、T4，這4個(gè)轉(zhuǎn)運(yùn)商在運(yùn)輸過程中的損耗率較小;而T5、T6、T7、T8因?yàn)槠滢D(zhuǎn)運(yùn)損耗率高，所以不考慮。

3.2 問題四的建模與求解

3.2.1 問題四的模型建立

對(duì)于問題四，該企業(yè)通過技術(shù)改造已具備了提高產(chǎn)能的潛力。需要解決的問題就是在確定有原材料的供應(yīng)商和轉(zhuǎn)運(yùn)商的實(shí)際情況下，該企業(yè)每周的產(chǎn)能可以提高多少，該問題的根本在于供應(yīng)商的供貨量要達(dá)到最大，轉(zhuǎn)運(yùn)過程中的損耗率要盡量減小，使得原材料供應(yīng)量達(dá)到最大?？梢越⒁赞D(zhuǎn)運(yùn)平衡和最大產(chǎn)能為約束條件的線性規(guī)劃模型進(jìn)行求解，以得到未來(lái)24周最優(yōu)的訂購(gòu)和轉(zhuǎn)運(yùn)方案。

在材料轉(zhuǎn)運(yùn)過程中，材料的損耗是一個(gè)不可忽視的因素，為了避免出現(xiàn)損耗率過大，現(xiàn)對(duì)附件2中的8家轉(zhuǎn)運(yùn)商240周的損耗率分別求平均值，將其按照升序排列，查看數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：在運(yùn)輸和儲(chǔ)存的單位費(fèi)用相同的情況下，損耗率越大，選擇這家供應(yīng)商的可能性就越小。

其中，Xj表示第j周的最大產(chǎn)量，Zj表示第j周增加的產(chǎn)量。以轉(zhuǎn)運(yùn)平衡和最大產(chǎn)能為約束條件，建立規(guī)劃模型。

3.2.2 結(jié)果分析

通過模型求解得到的最大產(chǎn)量與正常產(chǎn)量做對(duì)比，企業(yè)的產(chǎn)能逐步提高。

利用MATLAB解出上述線性規(guī)劃模型，可得到每周訂購(gòu)數(shù)量的方案（如圖3所示）?？芍趽p耗率最小的情況下最終產(chǎn)能就越大，若減小損耗率可多進(jìn)A類原材料，少進(jìn)C類原材料，降低其運(yùn)輸過程中的損耗。轉(zhuǎn)運(yùn)方案如圖4所示，可知T1、T2、T3轉(zhuǎn)運(yùn)商在轉(zhuǎn)運(yùn)過程中的損耗率最小，可以主要在T1、T2、T3轉(zhuǎn)運(yùn)商進(jìn)行轉(zhuǎn)貨，T4轉(zhuǎn)運(yùn)商次之。T5、T6、T7、T8轉(zhuǎn)運(yùn)商在轉(zhuǎn)運(yùn)過程中損耗率高，可以不選擇從該轉(zhuǎn)運(yùn)商轉(zhuǎn)運(yùn)原材料。

4 結(jié)論

為了讓該企業(yè)獲得更多的利潤(rùn)，依據(jù)原材料的供應(yīng)鏈管理準(zhǔn)則研究了生產(chǎn)企業(yè)、原材料供應(yīng)商、轉(zhuǎn)運(yùn)商3層供應(yīng)鏈中的生產(chǎn)運(yùn)輸和訂購(gòu)問題。在生產(chǎn)企業(yè)的原材料供應(yīng)商的選擇決策上，利用層次分析法建立了適合的遞階層次結(jié)構(gòu)模型，也為供應(yīng)商提供了比較好的選擇決策平臺(tái)。層次結(jié)構(gòu)由上而下設(shè)定為目標(biāo)層、準(zhǔn)則層和方案層。以此理論為依據(jù)，對(duì)生產(chǎn)企業(yè)原材料的訂購(gòu)與運(yùn)輸問題給出了有效的解決方案。首先，針對(duì)壓縮成本和降低損耗率問題建立了多目標(biāo)規(guī)劃模型，并對(duì)材料進(jìn)貨量進(jìn)行對(duì)比分析，利用MATLAB軟件求解，給出了最佳的訂購(gòu)方案和轉(zhuǎn)運(yùn)方案。其次，根據(jù)現(xiàn)有原材料的供應(yīng)商和轉(zhuǎn)運(yùn)商的實(shí)際情況，以最小損耗量為目標(biāo)函數(shù)，以轉(zhuǎn)運(yùn)平衡和最大產(chǎn)能為約束條件，建立了線性規(guī)劃模型，從而確定了該企業(yè)每周的產(chǎn)能的提高量，并給出了未來(lái)24周最優(yōu)的訂購(gòu)和轉(zhuǎn)運(yùn)方案。

參 考 文 獻(xiàn)

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