張文濤 林 健

(廣東深圳中學(xué) 518024)

1 引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》[1]強(qiáng)調(diào)學(xué)生綜合實(shí)踐素養(yǎng)能力的培養(yǎng)，并由此推動(dòng)育人模式的改革.新課標(biāo)把“數(shù)學(xué)建?！绷袨閿?shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，而“數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”作為高中數(shù)學(xué)課程四大主線之一，被列入必修與選擇性必修課程.數(shù)學(xué)建模具有綜合性強(qiáng)、與其他五大核心素養(yǎng)聯(lián)系緊密的特點(diǎn)，是培養(yǎng)學(xué)生綜合實(shí)踐素養(yǎng)的重要內(nèi)容.

數(shù)學(xué)建模活動(dòng)是基于數(shù)學(xué)思維運(yùn)用模型解決實(shí)際問(wèn)題的一類綜合實(shí)踐活動(dòng)，以課題研究的形式開展[1].但在指導(dǎo)學(xué)生開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生普遍缺乏數(shù)學(xué)建模活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，面對(duì)實(shí)際問(wèn)題往往無(wú)從下手，獨(dú)立開展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)很可能就變成漫無(wú)目的的探索，因此需要教師運(yùn)用實(shí)際案例，設(shè)計(jì)邏輯連貫、循序漸進(jìn)的問(wèn)題串引導(dǎo)學(xué)生有序開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)[2].筆者在2021年廣東省普通高中新課程新教材實(shí)施示范區(qū)示范校建設(shè)交流研討活動(dòng)數(shù)學(xué)學(xué)科課堂教學(xué)展示活動(dòng)中開設(shè)了“消防車調(diào)配問(wèn)題”示范課，整個(gè)課堂以邏輯連貫、具有思維挑戰(zhàn)性的問(wèn)題串，引導(dǎo)學(xué)生開展系列化的數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)活動(dòng)，結(jié)合課例探討數(shù)學(xué)建模課堂教學(xué)環(huán)節(jié)應(yīng)注意的問(wèn)題.

2 案例呈現(xiàn)

筆者選擇“消防車調(diào)配問(wèn)題”作為數(shù)學(xué)建模課堂教學(xué)的載體有以下三個(gè)原因：(1)《新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀》中“案例7-8 反思建議方式產(chǎn)生問(wèn)題”對(duì)學(xué)生的要求：高中學(xué)生除了解基礎(chǔ)圖論的有限知識(shí)(邊、道路、交點(diǎn)的度，一筆畫的判定等)外，還可以了解有向圖、最小網(wǎng)絡(luò)等，并思考定點(diǎn)接收問(wèn)題，比如在什么地方設(shè)報(bào)警站？設(shè)取奶站？設(shè)小區(qū)超市等問(wèn)題；(2)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》中“案例13 分層抽樣”對(duì)學(xué)生的要求：理解分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)，探索快速、有效計(jì)算分層抽樣數(shù)據(jù)均值和方差的方法；(3)數(shù)學(xué)建模案例的選擇最好是學(xué)生身邊常見的現(xiàn)象，這樣可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)解決問(wèn)題所用的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法大部分學(xué)生不陌生，可以提高學(xué)生的積極性.為了更好地落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用已學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，精心編寫了蘊(yùn)含數(shù)學(xué)建模本質(zhì)，反映學(xué)生實(shí)際生活和社會(huì)發(fā)展的真實(shí)數(shù)學(xué)建模案例——消防車調(diào)配問(wèn)題.

2.1 問(wèn)題情境

教師講述“哥尼斯堡七橋”故事，重點(diǎn)介紹歐拉建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程以及該模型在數(shù)學(xué)史上的重要意義.然后引出問(wèn)題情境：在我國(guó)南方，人們喜歡成村而居，但由于地形與交通等原因，村落分布較零散，因而必須考慮有限資源的優(yōu)化分配.現(xiàn)有6個(gè)村落，受限于經(jīng)濟(jì)和人力成本，只有3輛消防車，請(qǐng)問(wèn)應(yīng)該將消防車停放在哪些村落？

2.2 問(wèn)題分析與簡(jiǎn)化

問(wèn)題1：歐拉解決“七橋問(wèn)題”的過(guò)程對(duì)解決“消防車調(diào)配問(wèn)題”有什么啟發(fā)？

師生活動(dòng)

(1)大多數(shù)學(xué)生模仿歐拉抽象“哥尼斯堡七橋”的過(guò)程將6個(gè)村落簡(jiǎn)化為6個(gè)點(diǎn)，中間用線連接，如圖1所示：

圖1

(2)教師提醒學(xué)生回想物理中“質(zhì)點(diǎn)”的概念，并思考在什么情況下才能把一個(gè)物體看成質(zhì)點(diǎn).

(3)學(xué)生想到村落本身的大小相對(duì)于村落間的距離不可忽略.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生面對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題往往束手無(wú)策，通過(guò)介紹歐拉建立數(shù)學(xué)模型解決七橋問(wèn)題的過(guò)程給予學(xué)生啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類比、模仿到嘗試解決問(wèn)題.

問(wèn)題2：你認(rèn)為應(yīng)該按怎樣的指標(biāo)確定消防車的位置？

師生活動(dòng)

(1)教師引導(dǎo)學(xué)生思考、討論，并挑選學(xué)生分享.

(2)學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)想到“到達(dá)失火現(xiàn)場(chǎng)的時(shí)間應(yīng)該盡量短”.

(3)教師總結(jié)：選擇“發(fā)生火災(zāi)后，消防車應(yīng)該在最短時(shí)間內(nèi)到達(dá)失火村落”作為最優(yōu)目標(biāo).

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)建模問(wèn)題的提出和敘述往往是原始的、粗糙的，指標(biāo)的表達(dá)比較籠統(tǒng)，需要建模者根據(jù)實(shí)際情境逐步調(diào)整并確定，這是數(shù)學(xué)建模的一個(gè)難點(diǎn).

問(wèn)題3：影響消防車位置確定的主要因素有哪些？

師生活動(dòng)

(1)教師引導(dǎo)學(xué)生思考、討論，并挑選若干名學(xué)生分享.

學(xué)生甲：村落間的道路交通情況.

學(xué)生乙：各村落的人口.

教師追問(wèn)：為什么需要考慮各村落的人口？

學(xué)生乙：在失火時(shí)，人口多的村落應(yīng)該優(yōu)先救援.

同學(xué)還提出其他影響消防車位置確定的因素：村落的氣候、房屋材質(zhì)、到河流的距離等，老師給予鼓勵(lì)并與學(xué)生討論達(dá)到共識(shí)：建模時(shí)因素考慮太多會(huì)使問(wèn)題很復(fù)雜，因此建模時(shí)首先考慮主要影響因素，即村落的人口和村落之間的行使時(shí)間，當(dāng)這兩個(gè)主要影響因素研究清楚時(shí)再考慮更多因素.

教師總結(jié)：村落間的道路交通情況決定了兩個(gè)村落間的行駛時(shí)間；各村落的人口決定了不同村落的關(guān)照程度不同，因?yàn)槿丝诙嗟拇迓涫Щ鸶怕室矔?huì)高一些.真實(shí)問(wèn)題非常復(fù)雜，還有很多其他的影響因素，但是我們?cè)谘芯繂?wèn)題時(shí)應(yīng)該重點(diǎn)考慮主要影響因素，舍棄一些次要的影響因素，將問(wèn)題作適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化.

(2)教師：假設(shè)從一個(gè)村落到另一個(gè)村落所需的平均時(shí)間如表1所示，你有什么新的發(fā)現(xiàn)？

表1 從一個(gè)村落到另一個(gè)村落所需的平均時(shí)間(單位：分鐘)

學(xué)生：兩個(gè)村落間的往返時(shí)間不相等.

教師追問(wèn)：為什么兩個(gè)村落間的往返時(shí)間不相等？

學(xué)生：村落間的往返受到路況等因素的影響，可能導(dǎo)致往返時(shí)間不相等.

(3)教師：6個(gè)村落的人口分布如表2所示.數(shù)據(jù)非常多，聯(lián)想之前抽象的村落示意圖，怎樣可以更加直觀地呈現(xiàn)這些數(shù)據(jù)？

表2 每個(gè)村落的人口

學(xué)生：在之前繪制的村落示意圖中標(biāo)注數(shù)據(jù).

(4)教師展示標(biāo)注數(shù)據(jù)后的示意圖(如圖2).

圖2

教師：觀察圖中的行駛時(shí)間，是否有不合理的地方？

學(xué)生：有些救援時(shí)間太長(zhǎng)了，失火時(shí)會(huì)導(dǎo)致人們的生命財(cái)產(chǎn)遭受巨大損失.

教師：那到底多長(zhǎng)時(shí)間算長(zhǎng)呢？

學(xué)生眾說(shuō)紛紜：15分鐘，12分鐘，10分鐘等等.

教師：數(shù)學(xué)建模一定要符合實(shí)際，這不能靠我們主觀臆想.2017年公安部主編的《城市消防站建設(shè)標(biāo)準(zhǔn)》第十三條中提到，消防站布局一般應(yīng)以接到出動(dòng)指令后5分鐘內(nèi)消防隊(duì)可以到達(dá)轄區(qū)邊緣為原則確定，一般大城市都達(dá)到了這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，但是在農(nóng)村，受限于距離和路況，這個(gè)時(shí)間會(huì)稍長(zhǎng)一些.我們?cè)谶@里確定8分鐘為時(shí)間上限，據(jù)此可以刪除上圖中時(shí)間超過(guò)8分鐘的有向線段得到以下簡(jiǎn)化的圖3.

圖3

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)建模問(wèn)題的條件往往不清晰，需要建模者自行分析挖掘.影響確定消防車位置的因素很多，首先應(yīng)找出主要因素，忽略次要因素，再根據(jù)主要因素明確需要收集的數(shù)據(jù).數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)方式除了表格外還可以用圖形，最后根據(jù)國(guó)家消防要求(公安部主編的《城市消防站建設(shè)標(biāo)準(zhǔn)》)，提出消防車接警后8分鐘到達(dá)受災(zāi)地點(diǎn)的時(shí)間上限.

2.3 模型建立與求解

問(wèn)題4：你認(rèn)為有哪些停放方案可以實(shí)現(xiàn)8分鐘全覆蓋六個(gè)村落？

師生活動(dòng)

學(xué)生通過(guò)分析，可以在20種方案中找到11種8分鐘內(nèi)全覆蓋的停放方案，如表3.

表3 符合標(biāo)準(zhǔn)的方案

方案消防車停放村落8A、D、E√9A、D、F√10A、E、F√11B、C、D√12B、C、E√13B、C、F14B、D、E√

方案消防車停放村落15B、D、F√16B、E、F√17C、D、E18C、D、F19C、E、F20D、E、F

設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)模型分析和簡(jiǎn)化的結(jié)果，找出所有可能的停放方案.

問(wèn)題5：你會(huì)如何確定消防車分配的最優(yōu)方案？

師生活動(dòng)

(1)教師：以方案3和方案5為例，你會(huì)選擇哪個(gè)方案作為消防車分配方案？

(2)學(xué)生分組討論，教師觀察各組，適時(shí)提示學(xué)生選取一個(gè)合適的評(píng)價(jià)指標(biāo)量化最優(yōu)目標(biāo).

表4 各種方案下的平均救援時(shí)間

方案消防車停放村落平均時(shí)間11B、C、D3.0412B、C、E3.1314B、D、E2.8715B、D、F3.0416B、E、D3.26

(5)學(xué)生：方案3的平均救援時(shí)間最短，所以選擇將3輛消防車停放在A、B、E村落.

設(shè)計(jì)意圖：確定評(píng)價(jià)目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)從定性到定量的跨越，這也是本節(jié)課的難點(diǎn).直接給出問(wèn)題5很容易讓學(xué)生找不到方向，所以增加設(shè)問(wèn)，以比較具體的兩個(gè)方案為鋪墊，降低難度，避免思維跨度過(guò)大.課堂上要留足學(xué)生討論交流的時(shí)間，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)表各自觀點(diǎn)，在學(xué)生回答基礎(chǔ)上互動(dòng)追問(wèn)，不斷啟發(fā)學(xué)生的思維.

2.4 模型分析與檢驗(yàn)

問(wèn)題6：從實(shí)際應(yīng)用的角度考慮，你認(rèn)為方案3存在什么問(wèn)題？

師生活動(dòng)

(1)學(xué)生發(fā)現(xiàn)方案3中E村落的消防車需要覆蓋D、E、F三個(gè)村落共1100人，如果其中2個(gè)村落同時(shí)失火將無(wú)法兼顧，損失更加慘重.

(2)教師總結(jié)：如果考慮更多因素，模型還可以進(jìn)一步優(yōu)化；數(shù)學(xué)建模的結(jié)果還需進(jìn)行檢驗(yàn).

設(shè)計(jì)意圖：完整的數(shù)學(xué)建模并不是得出結(jié)論就完成了，還應(yīng)該包括模型分析和檢驗(yàn)，在這一過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神.

2.5 模型應(yīng)用

問(wèn)題7：你認(rèn)為解決“消防車調(diào)配問(wèn)題”的數(shù)學(xué)模型可以應(yīng)用到哪些場(chǎng)景？

師生活動(dòng)

(1)教師：數(shù)學(xué)建模結(jié)果經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)后就可以進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用，而且同一個(gè)模型還可能應(yīng)用到不同場(chǎng)景，比如我們今天建立的模型還可能應(yīng)用到哪些場(chǎng)景？

(2)學(xué)生提出以下場(chǎng)景：學(xué)校選址、救護(hù)車調(diào)配、110警務(wù)室選址、地鐵站選址，以及新課標(biāo)解讀中小區(qū)報(bào)警站、取奶站、小區(qū)超市等選址問(wèn)題.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)聯(lián)想其他應(yīng)用場(chǎng)景加深對(duì)本模型的理解，通過(guò)舉一反三進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

2.6 課堂總結(jié)

問(wèn)題8：通過(guò)數(shù)學(xué)建模解決“消防車調(diào)配問(wèn)題”，你對(duì)數(shù)學(xué)建模有怎樣的認(rèn)識(shí)？

師生活動(dòng)

(1)圍繞以下兩個(gè)問(wèn)題，教師請(qǐng)若干名學(xué)生談?wù)剬?duì)數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識(shí).

①什么是數(shù)學(xué)建模？

②數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用題有什么區(qū)別？

(2)教師總結(jié)：數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題.

數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用題的區(qū)別主要體現(xiàn)在以下四個(gè)方面：

①問(wèn)題呈現(xiàn)的方式不同：數(shù)學(xué)建模問(wèn)題更貼近現(xiàn)實(shí)，提出和敘述往往是原始、粗糙、不規(guī)范的，其目標(biāo)的表達(dá)比較籠統(tǒng)；而應(yīng)用題敘述嚴(yán)謹(jǐn)，目標(biāo)明確；

②已知條件的清晰度不同：數(shù)學(xué)建模往往面對(duì)的是沒(méi)有特定已知條件的問(wèn)題背景，需要建模者根據(jù)情況自己分析問(wèn)題并提出假設(shè)，并對(duì)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化；而數(shù)學(xué)應(yīng)用題已知條件是明確的，不需要提出假設(shè)和簡(jiǎn)化；

③結(jié)果評(píng)判方式不同：數(shù)學(xué)建模沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)方法和標(biāo)準(zhǔn)答案，不同人可能建立不同的數(shù)學(xué)模型，合理的方法和結(jié)論就是好的模型；而數(shù)學(xué)應(yīng)用題有一致的正確方法，有唯一正確的答案；

④問(wèn)題解決的復(fù)雜性和綜合性不同：數(shù)學(xué)建模面對(duì)的是龐大復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題，對(duì)建模者綜合能力要求更高、更全面.

設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)什么是數(shù)學(xué)建模，明確通過(guò)數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問(wèn)題和解應(yīng)用題的區(qū)別，理解數(shù)學(xué)建模的過(guò)程與步驟.

2.7 課后作業(yè)

(1)完成本課題的研究報(bào)告，增加更多影響因素，進(jìn)一步優(yōu)化模型；

(2)拓展研究：如果現(xiàn)在只有2輛消防車可以調(diào)度(有1輛要做緊急狀況下使用)，應(yīng)該把2輛消防車停放在哪兩個(gè)村落？

3 小結(jié)

課程標(biāo)準(zhǔn)指出，數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是綜合提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的載體.教師應(yīng)整體設(shè)計(jì)、分步實(shí)施數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生從類比、模仿到自主創(chuàng)新、從局部實(shí)施到整體構(gòu)想.我們認(rèn)為，“從類比、模仿到自主創(chuàng)新、從局部實(shí)施到整體構(gòu)想”的實(shí)施路徑是非常穩(wěn)妥的.筆者設(shè)計(jì)的這個(gè)案例，與課程標(biāo)準(zhǔn)的這個(gè)要求相吻合.在學(xué)生還沒(méi)有太多的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)經(jīng)驗(yàn)的時(shí)候，我們?cè)O(shè)計(jì)了由8個(gè)具有內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián)的問(wèn)題串，使數(shù)學(xué)建模的要素與環(huán)節(jié)自然地體現(xiàn)在建立數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題的過(guò)程中.經(jīng)過(guò)幾輪的實(shí)踐檢驗(yàn)，取得了比較理想的效果.

在設(shè)計(jì)問(wèn)題串時(shí)我們主要關(guān)注了以下幾個(gè)問(wèn)題：首先，注重以數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的本質(zhì)特征為線索，先明確數(shù)學(xué)建模的目標(biāo)，再考慮影響因素，為收集數(shù)據(jù)、建立模型奠定基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生按照數(shù)學(xué)建模的一般過(guò)程開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)；第二，由于通過(guò)數(shù)學(xué)建模解決問(wèn)題的條件、模型與結(jié)論均開放，所以沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)答案，因此設(shè)計(jì)問(wèn)題串時(shí)充分考慮了學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知水平和數(shù)學(xué)能力等因素，給學(xué)生自主思考留足空間，以利于學(xué)生自主探究、充分討論與交流，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維；第三，特別重視引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“問(wèn)題情境—問(wèn)題分析與簡(jiǎn)化—建立模型—求解模型—模型分析與檢驗(yàn)—模型應(yīng)用” 的完整過(guò)程，為學(xué)生理解數(shù)學(xué)建模，積累數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)經(jīng)驗(yàn)，形成數(shù)學(xué)建模的“一般套路”，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).