喻 平 徐時(shí)芳

(1.南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 210023；2.黔南民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 558000)

王策三先生認(rèn)為：教學(xué)過(guò)程的理論所要回答和解決的問(wèn)題主要有兩個(gè)：一是關(guān)于過(guò)程的性質(zhì)問(wèn)題，包括教學(xué)過(guò)程與其他自然、社會(huì)諸過(guò)程的聯(lián)系和區(qū)別問(wèn)題等；一是關(guān)于過(guò)程的結(jié)構(gòu)、環(huán)節(jié)、階段、程序等即模式問(wèn)題[1].與王先生在學(xué)理層面討論教學(xué)過(guò)程不完全相同，我們這里把教學(xué)過(guò)程圈定在課堂教學(xué)范圍，即基于某種教育理念設(shè)定教學(xué)目標(biāo)，為實(shí)現(xiàn)這個(gè)教學(xué)目標(biāo)而設(shè)計(jì)的教學(xué)程序和策略.顯然，這涉及對(duì)教學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)問(wèn)題，也涉及與教學(xué)模式相關(guān)的問(wèn)題.

在提倡發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的大背景下，教學(xué)目標(biāo)發(fā)生了變化，學(xué)習(xí)理論基礎(chǔ)也在嬗變[2]，那么，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程應(yīng)當(dāng)如何認(rèn)識(shí)和如何設(shè)計(jì)，這是需要認(rèn)真思考的問(wèn)題.在“教學(xué)過(guò)程是師生交往的動(dòng)態(tài)過(guò)程、教學(xué)過(guò)程是教師指導(dǎo)下學(xué)生的特殊認(rèn)識(shí)過(guò)程、教學(xué)過(guò)程是一個(gè)促進(jìn)學(xué)生身心發(fā)展的過(guò)程、教學(xué)過(guò)程是教書(shū)育人緊密結(jié)合的過(guò)程”[3]這些對(duì)教學(xué)本質(zhì)的宏觀理解前提下，本文結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，按照發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的目標(biāo)討論數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì).

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》在教學(xué)建議中的基本要點(diǎn)是：教學(xué)目標(biāo)制定要突出數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)；情境創(chuàng)設(shè)要有利于發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)；整體把握教學(xué)內(nèi)容，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展；既要重視教，更要重視學(xué)，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)；重視信息技術(shù)運(yùn)用，實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合[4].這是一種“新教學(xué)”的要求，它不同于知識(shí)為本的教學(xué)理念.知識(shí)建構(gòu)立意的教學(xué)設(shè)計(jì)、問(wèn)題探究方式的教學(xué)設(shè)計(jì)、深度學(xué)習(xí)傾向的教學(xué)設(shè)計(jì)是實(shí)現(xiàn)“新教學(xué)”目標(biāo)的有效途徑.下面分別論述.

1 知識(shí)建構(gòu)立意的教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

知識(shí)建構(gòu)立意的教學(xué)，是指教學(xué)過(guò)程始終要考慮學(xué)生對(duì)知識(shí)建構(gòu)因素的教學(xué)形式.這種教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)是建構(gòu)主義.

知識(shí)立意的教學(xué)過(guò)程主要有兩種樣態(tài)，一是在新知識(shí)學(xué)習(xí)中體現(xiàn)知識(shí)建構(gòu)；二是在問(wèn)題解決過(guò)程中體現(xiàn)知識(shí)建構(gòu).

1.1 新知識(shí)學(xué)習(xí)中的知識(shí)建構(gòu)教學(xué)設(shè)計(jì)

在新知識(shí)學(xué)習(xí)的教學(xué)中，其知識(shí)建構(gòu)立意的教學(xué)設(shè)計(jì)，是指要把知識(shí)學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)為一種由學(xué)生通過(guò)對(duì)知識(shí)的自我建構(gòu)或共同體建構(gòu)來(lái)獲得知識(shí)的過(guò)程.

教師把概念直接告訴學(xué)生，給他們解釋概念的內(nèi)涵、外延，直到他們弄懂，這叫做知識(shí)的傳授；教師給學(xué)生提供一個(gè)包含某個(gè)概念的情境，或者給學(xué)生關(guān)于這個(gè)概念的一組特例，由學(xué)生從這個(gè)情境中抽象或從這些例子中概括出概念，這叫做知識(shí)的自我建構(gòu)；教師給學(xué)生的學(xué)習(xí)小組提供一個(gè)包含某個(gè)概念的情境，或者給學(xué)生關(guān)于這個(gè)概念的一組特例，由學(xué)習(xí)小組共同討論，相互補(bǔ)充意見(jiàn)，從而在情境或特例中抽象出概念，這叫做知識(shí)的共同建構(gòu).當(dāng)然，可以在情境或特例的基礎(chǔ)上，先由個(gè)人獨(dú)立思考，各人將自己思考的結(jié)果放到共同體中討論，修正和完善個(gè)人觀點(diǎn)，形成共同的意見(jiàn)，這個(gè)過(guò)程是個(gè)人建構(gòu)與共同建構(gòu)的結(jié)合.

簡(jiǎn)單地說(shuō)，新知識(shí)學(xué)習(xí)中知識(shí)建構(gòu)就是學(xué)生依據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)和思維，采用由特殊到一般或特殊到特殊的認(rèn)識(shí)事物方式，自己認(rèn)識(shí)知識(shí)、理解知識(shí)、建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程.將這個(gè)過(guò)程寫(xiě)成一個(gè)流程圖(如圖1)，就是新知識(shí)學(xué)習(xí)中知識(shí)建構(gòu)的教學(xué)程序.

圖1 新知識(shí)學(xué)習(xí)中知識(shí)建構(gòu)教學(xué)過(guò)程

在新知識(shí)學(xué)習(xí)的知識(shí)建構(gòu)教學(xué)過(guò)程中，由于教學(xué)目標(biāo)不是只讓學(xué)生理解和掌握呈現(xiàn)結(jié)果狀態(tài)的知識(shí)，而是將知識(shí)生成的過(guò)程融入教學(xué)環(huán)節(jié)，要求學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待情境，用數(shù)學(xué)思維分析情境中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，使學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的抽象思維過(guò)程，采用歸納、類(lèi)比的合理推理方式提出假設(shè)并用演繹推理去證偽或證實(shí)假設(shè).因此，這個(gè)教學(xué)過(guò)程直接指向發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一種教學(xué)模型.

1.2 問(wèn)題解決中的知識(shí)建構(gòu)教學(xué)設(shè)計(jì)

一堂課可以分為兩個(gè)階段，第一階段是學(xué)習(xí)知識(shí)，第二階段是解決問(wèn)題，兩個(gè)階段其實(shí)都與知識(shí)建構(gòu)相關(guān).

問(wèn)題解決有不同層次之分，簡(jiǎn)單的問(wèn)題解決主要是一種模仿，可以直接用所學(xué)的知識(shí)來(lái)解決.解決這類(lèi)問(wèn)題的行為主要是模仿或知識(shí)的簡(jiǎn)單遷移，其作用是通過(guò)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題逐步加深對(duì)新知識(shí)的理解和鞏固，但這個(gè)過(guò)程不能叫作知識(shí)建構(gòu).如果解答一個(gè)問(wèn)題需要用到多種知識(shí)、多個(gè)規(guī)則，或者這個(gè)問(wèn)題是結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題(比如開(kāi)放性問(wèn)題)，那么解答過(guò)程就與建構(gòu)知識(shí)有關(guān).

問(wèn)題解決活動(dòng)可以使學(xué)習(xí)者更主動(dòng)、更廣泛、更深入地激活自己的原有經(jīng)驗(yàn)，理解分析當(dāng)前的問(wèn)題情境，通過(guò)積極的分析、推理活動(dòng)生成新理解、新假設(shè).而這些觀念的合理性和有效性又在問(wèn)題解決活動(dòng)中自然地得以檢驗(yàn)，其結(jié)果可能是對(duì)原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的豐富、充實(shí)，也可能是對(duì)原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的調(diào)整、重構(gòu).因此，在問(wèn)題解決活動(dòng)中，新舊經(jīng)驗(yàn)間的相互作用得以更充分、更有序地進(jìn)行，這使得學(xué)習(xí)活動(dòng)真正切入到學(xué)習(xí)者的經(jīng)驗(yàn)世界中，而不只是按照教學(xué)設(shè)計(jì)者預(yù)先確定的框架和路線(xiàn)來(lái)生成聯(lián)系.問(wèn)題解決為新、舊經(jīng)驗(yàn)的同化和順應(yīng)提供了理想的平臺(tái).通過(guò)問(wèn)題解決來(lái)學(xué)習(xí)，基于問(wèn)題解決來(lái)建構(gòu)知識(shí)，這是各種探索性學(xué)習(xí)活動(dòng)的重要特征[5].

問(wèn)題解決中的知識(shí)建構(gòu)主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面.

其一，在解決問(wèn)題中獲得新方法.在解決一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題或結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題的過(guò)程中，解題者需要充分利用自己的知識(shí)貯存，激活與當(dāng)前問(wèn)題相關(guān)的信息，將可能用于解決當(dāng)前問(wèn)題有關(guān)的知識(shí)進(jìn)行梳理、篩選、提取、組合，可能形成與以往經(jīng)驗(yàn)不同的路徑，由此產(chǎn)生出新的解決問(wèn)題的方法和策略.對(duì)于解題者而言，這些新的方法與策略就是一種新知識(shí)，是解題者自己建構(gòu)的新知識(shí).

其二，在提出問(wèn)題中獲得新結(jié)論.對(duì)問(wèn)題解決應(yīng)當(dāng)作寬泛地理解，它不只是指解決一個(gè)現(xiàn)成的問(wèn)題，也包括解決這個(gè)問(wèn)題之后的反思并由反思生成新的問(wèn)題.解題后的反思包括幾種情形：(1)考慮問(wèn)題的逆命題.把原來(lái)的問(wèn)題看成是原命題，如果把它的因果關(guān)系顛倒過(guò)來(lái)，把原來(lái)的因變成果，原來(lái)的果變成因，那么會(huì)得到什么結(jié)論.(2)對(duì)問(wèn)題的推廣.把一個(gè)特殊情形的問(wèn)題推廣到一般情形，得到更有意義的普遍性結(jié)論.(3)將問(wèn)題作變式.適當(dāng)改變問(wèn)題的條件或情境，去猜想或推導(dǎo)一個(gè)新的結(jié)果.顯然，無(wú)論哪一種情況，解題者都可能得到一些新的結(jié)論，于是就形成一種自我建構(gòu)的新知識(shí).應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是，通過(guò)解題反思并用了上述的手段，解題者并沒(méi)有發(fā)現(xiàn)什么有意義的結(jié)果，這是無(wú)關(guān)緊要的，因?yàn)?，他?jīng)歷了知識(shí)建構(gòu)的過(guò)程，過(guò)程有時(shí)比結(jié)果更重要.

問(wèn)題解決中的知識(shí)建構(gòu)教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)如圖2.

圖2 問(wèn)題解決中的知識(shí)建構(gòu)教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

由于問(wèn)題有各種不同的類(lèi)型，因此，問(wèn)題解決的知識(shí)建構(gòu)過(guò)程設(shè)計(jì)可能涉及6個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).數(shù)形結(jié)合的問(wèn)題與直觀想象相關(guān)、尋找新算法的問(wèn)題與數(shù)學(xué)運(yùn)算相關(guān)、數(shù)據(jù)問(wèn)題與數(shù)據(jù)分析相關(guān)、模型問(wèn)題與數(shù)學(xué)建模相關(guān).但是，這種教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)的主要指向還是數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理，因?yàn)橥茝V與變式本身就是數(shù)學(xué)抽象過(guò)程，其間又與合情推理和演繹推理如影隨形.

2 問(wèn)題探究方式的教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

問(wèn)題探究方式教學(xué)，是指圍繞問(wèn)題進(jìn)行探究學(xué)習(xí)的教學(xué)形式.這種教學(xué)設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)是布魯納的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論與薩奇曼探究學(xué)習(xí)理論.

數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)包括哪些類(lèi)型，需要作一個(gè)分類(lèi).就“探究”而言，包括：(1)解決問(wèn)題或驗(yàn)證問(wèn)題的探究.這類(lèi)探究指問(wèn)題已經(jīng)明確，去驗(yàn)證一個(gè)結(jié)論的正確性，或者探究解決問(wèn)題的方法和路徑.這里所說(shuō)的問(wèn)題，是有一定難度或者解決這個(gè)問(wèn)題有多種方法的問(wèn)題，不包括可以直接使用規(guī)則、程序去解答的問(wèn)題.(2)提出問(wèn)題的探究.這類(lèi)探究所強(qiáng)調(diào)的是通過(guò)探究，能夠提出新的概念、問(wèn)題、結(jié)論、方法.

把解決問(wèn)題或驗(yàn)證問(wèn)題的探究學(xué)習(xí)稱(chēng)為第Ⅰ類(lèi)探究學(xué)習(xí)，提出并解決問(wèn)題的探究學(xué)習(xí)稱(chēng)為第Ⅱ類(lèi)探究學(xué)習(xí).兩類(lèi)不同探究學(xué)習(xí)的差異見(jiàn)表1.

表1 探究學(xué)習(xí)的類(lèi)型與功能

兩類(lèi)探究學(xué)習(xí)有不完全相同的思維方式.在第Ⅰ類(lèi)探究學(xué)習(xí)中，問(wèn)題的條件是明確的，問(wèn)題的目標(biāo)也是明確的，探究主要針對(duì)尋找解決問(wèn)題的思路和策略，找到從條件到目標(biāo)的一條或多條通路，與我們通常的解題意義相同，主要是演繹推理過(guò)程.第Ⅱ類(lèi)探究學(xué)習(xí)的問(wèn)題目標(biāo)可能明確也可能不明確，關(guān)鍵是條件不充分，這就需要學(xué)習(xí)者通過(guò)對(duì)情境的理解和感悟，通過(guò)自己的猜想來(lái)確定問(wèn)題研究的目標(biāo)，因而在探究過(guò)程中需要發(fā)散性思維或直覺(jué)思維，同時(shí)伴隨著一系列證偽的活動(dòng).另一方面，問(wèn)題的條件不充分，需要解題者通過(guò)補(bǔ)充或刪減問(wèn)題的條件，使條件變成充分條件，這個(gè)過(guò)程既需要解題者具備扎實(shí)的知識(shí)儲(chǔ)備，又需要解題者有良好的知識(shí)遷移能力，直覺(jué)思維與邏輯思維并重.

2.1 第Ⅰ類(lèi)探究學(xué)習(xí)的教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

根據(jù)第Ⅰ類(lèi)探究學(xué)習(xí)的涵義，將教學(xué)過(guò)程表述為圖3.

圖3 第Ⅰ類(lèi)探究學(xué)習(xí)教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

(1)教師提出一個(gè)問(wèn)題，問(wèn)題的條件和目標(biāo)都是清楚的，學(xué)生的任務(wù)是探究一條從條件到目標(biāo)的通路，本質(zhì)是驗(yàn)證由這個(gè)條件可以推導(dǎo)出已知的結(jié)論.(2)教師引導(dǎo)學(xué)生探究適當(dāng)?shù)姆椒ㄈソ鉀Q問(wèn)題，探究的目標(biāo)是尋找方法.(3)探究結(jié)束后，教師組織學(xué)生匯報(bào)探究成果，相互交流，相互評(píng)判，最后由教師對(duì)這些成果進(jìn)行評(píng)價(jià).

一般說(shuō)來(lái)，開(kāi)始提供的多是目標(biāo)清楚、條件充分的問(wèn)題，學(xué)生的任務(wù)主要是尋求恰當(dāng)?shù)姆椒ㄈヲ?yàn)證結(jié)論.然后提供條件清楚，目標(biāo)不明確的問(wèn)題，讓學(xué)生自由探索，可以先猜想后論證，也可以直接進(jìn)行推理推出結(jié)論.同時(shí)注意對(duì)學(xué)生的探究結(jié)果作出恰當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià).

2.2 第Ⅱ類(lèi)探究學(xué)習(xí)的教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

根據(jù)第Ⅱ類(lèi)探究學(xué)習(xí)的涵義，將教學(xué)過(guò)程表述為圖4.

圖4 第Ⅱ類(lèi)探究學(xué)習(xí)教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

教師提供一個(gè)條件不充分(指或者條件不足，或者條件冗余，或者條件不準(zhǔn)確)、目標(biāo)清楚的問(wèn)題，或者提供一個(gè)條件不充分、目標(biāo)不清楚的問(wèn)題(指可能完全沒(méi)有目標(biāo)，或者目標(biāo)是模糊的，或者是只有大的目標(biāo)而沒(méi)有具體目標(biāo)).

由學(xué)生自己進(jìn)行探究.對(duì)于目標(biāo)清楚、條件不充分的問(wèn)題，學(xué)生需要補(bǔ)充、修正、完善問(wèn)題的條件，然后選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問(wèn)題；對(duì)于目標(biāo)不清楚、條件不充分的問(wèn)題，學(xué)生首先要通過(guò)分析、辨認(rèn)，概括出目標(biāo)，然后根據(jù)目標(biāo)尋找條件，選擇可能與目標(biāo)相匹配的條件，最后選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問(wèn)題.在這個(gè)過(guò)程中，教師可以根據(jù)學(xué)生探究的情況作適當(dāng)?shù)奶崾?

在第Ⅱ類(lèi)探究性學(xué)習(xí)教學(xué)過(guò)程中，要注意兩個(gè)問(wèn)題.

(1)提供的問(wèn)題要具有探究性.教師提供的問(wèn)題要有探究性，首先，探究的思路不是唯一的，可能存在多種途徑.如果探究路徑只有一條，那就是體現(xiàn)的特殊技能與技巧，缺少探究的性質(zhì).所謂“探”本意就是多方位、多角度地尋找，而不是只有一條路可走.其次，探究的結(jié)果可能不是唯一的，當(dāng)探究得到一個(gè)結(jié)果后，還可以回過(guò)頭來(lái)繼續(xù)探究得到另外的結(jié)果.因此，問(wèn)題設(shè)計(jì)質(zhì)量的高低直接影響到探究性學(xué)習(xí)的質(zhì)量.

(2)證實(shí)與證偽的有機(jī)結(jié)合.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)是一種由知識(shí)的不確定性到知識(shí)確定性的漸進(jìn)過(guò)程.知識(shí)的不確定性階段是提出問(wèn)題的過(guò)程，此時(shí)，證偽扮演著重要角色；知識(shí)的確定性階段，證實(shí)是主要手段，知識(shí)依托于邏輯去建立它的科學(xué)性，這個(gè)環(huán)節(jié)是必不可少的.探究性教學(xué)兼有證實(shí)和證偽二重性，是一種以證實(shí)為主、證偽為輔的結(jié)構(gòu)系統(tǒng).證實(shí)是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的有效手段，具有證偽的不可替代性；但是反過(guò)來(lái)，證偽能訓(xùn)練學(xué)生反思意識(shí)和批判性思維，這又是證實(shí)力所不能及的.證實(shí)與證偽兩者的融通才能充分發(fā)揮教育的功能.因此，教師要從傳統(tǒng)的教學(xué)觀向現(xiàn)代教學(xué)觀轉(zhuǎn)移，把課堂教學(xué)從證實(shí)充斥全部過(guò)程的束縛中解脫出來(lái)，整合證實(shí)與證偽，正確處理兩者的關(guān)系.

根據(jù)探究問(wèn)題的不同類(lèi)型，探究學(xué)習(xí)教學(xué)可以覆蓋6個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，更主要的取向是邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象.

3 深度學(xué)習(xí)傾向的教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

深度學(xué)習(xí)傾向的教學(xué)，是指教學(xué)過(guò)程指向深度學(xué)習(xí)的教學(xué)形式.這種教學(xué)設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)是深度學(xué)習(xí)理論.

深度學(xué)習(xí)有四個(gè)關(guān)鍵詞：(1)深度理解.學(xué)習(xí)者對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解，對(duì)事物或知識(shí)意義的理解及對(duì)自我生命意義的理解；(2)高階思維.學(xué)習(xí)者在知識(shí)建構(gòu)、問(wèn)題解決的過(guò)程中，要有多種思維形式介入以及元認(rèn)知的參與；(3)知識(shí)遷移.學(xué)習(xí)者能將在一個(gè)學(xué)科中習(xí)得的知識(shí)或方法遷移到另一學(xué)科情境或現(xiàn)實(shí)情境中去解決問(wèn)題；(4)實(shí)踐創(chuàng)新.學(xué)生具有一定的批判性思維意識(shí)與創(chuàng)新能力.

下面討論深度學(xué)習(xí)傾向的教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)，主要圍繞深度理解、高階思維、知識(shí)遷移這三個(gè)概念來(lái)展開(kāi)，將實(shí)踐創(chuàng)新維度融入到高階思維與知識(shí)遷移中去.需要指出，下面討論的三種教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)，它們并不一定是各自獨(dú)立的，也就是說(shuō)，它們既可以分別作為三種課型作獨(dú)立設(shè)計(jì)，也可以在一堂課或一個(gè)單元的課程中相互穿插，形成復(fù)合式的教學(xué)模型.

3.1 指向深度理解的教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

簡(jiǎn)單地說(shuō)，深度理解即對(duì)事物的理解達(dá)到了一定的深度.斯根普的“關(guān)系性理解”水平，SOLO的“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平”“拓展抽象水平”即為深度理解.從心理學(xué)的角度解釋?zhuān)褪墙⒘岁愂鲂灾R(shí)的圖式，形成了程序性知識(shí)的雙向產(chǎn)生式系統(tǒng)，構(gòu)建了過(guò)程性知識(shí)的關(guān)系表征和觀念表征[6].

指向深度理解的教學(xué)，就是把教學(xué)目標(biāo)定位于促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的深度理解，應(yīng)圍繞發(fā)展學(xué)生邏輯推理、直觀想象的教學(xué)目標(biāo)來(lái)設(shè)計(jì).

(1)不僅知道“是什么”而且知道“為什么”

學(xué)習(xí)者只知道“是什么”，就是停留于工具性理解層面，如果他還知道“為什么”，就進(jìn)入了關(guān)系性理解層面.直白地說(shuō)，教學(xué)中教師不能只告訴學(xué)生“算法”還要分析“算理”.為什么有的學(xué)生只能模仿老師去解題，習(xí)慣于記憶一些固定的套路、固有的模式，面對(duì)不同于樣例的問(wèn)題就無(wú)從下手，不能舉一反三，其原因就是只知其法、不知其理.事實(shí)上，這樣的教學(xué)只是要求學(xué)生對(duì)知識(shí)的淺層理解而非深層理解.

在以深度理解為目標(biāo)的教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師應(yīng)當(dāng)把講道理作為一個(gè)必要的教學(xué)環(huán)節(jié).蘇霍姆林斯基舉了一個(gè)例子，可以說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題.“我面前有關(guān)于‘光合作用’這一課的教材.應(yīng)當(dāng)給學(xué)生講清楚，植物的綠色葉片里發(fā)生了什么變化.可以做到把這一切講得在科學(xué)上有根有據(jù)，在理論上和教學(xué)法上頭頭是道，但這完不成使學(xué)生達(dá)到一定的智力積極性的任務(wù).我對(duì)教材琢磨了一番，有因果關(guān)系的關(guān)鍵在哪里？有了，最關(guān)鍵的就是變無(wú)機(jī)物為有機(jī)物.這是一幅奇異而神秘的圖景：植物從土壤和空氣里吸收無(wú)機(jī)物，在自己的復(fù)雜機(jī)體中又把它們變成有機(jī)物.”[7]也就是說(shuō)，要告訴學(xué)生這個(gè)東西是什么，這是容易做到的，但并不是教育的主要目標(biāo)，關(guān)鍵是要告訴學(xué)生為什么是這樣的，這樣才可能達(dá)到對(duì)知識(shí)的深度理解.

(2)幫助學(xué)生形成知識(shí)體系

對(duì)知識(shí)的理解，不能只是停留在對(duì)這個(gè)知識(shí)本身的理解上，還應(yīng)當(dāng)對(duì)這個(gè)知識(shí)所在的知識(shí)體系有全方位的認(rèn)識(shí).例如，要理解一個(gè)概念，如果只是對(duì)它的內(nèi)涵和外延的認(rèn)識(shí)比較清楚，還不能說(shuō)你就完全理解了這個(gè)概念.孤立地看待一個(gè)概念是沒(méi)有太大意義的，因?yàn)楦拍钪g總是可能存在某種關(guān)系，它只有存在于體系中方能體現(xiàn)出價(jià)值.換句話(huà)說(shuō)，理解概念必須在概念體系中來(lái)理解.事實(shí)上，SOLO評(píng)價(jià)體系中的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平和拓展抽象水平，強(qiáng)調(diào)的就是知識(shí)之間的連通性.

例如，定義平行四邊形要用到四邊形和平行線(xiàn)概念，定義長(zhǎng)方形要用到平行四邊形概念，定義正方形要用到長(zhǎng)方形或平行四邊形概念，定義梯形要用到四邊形和平行線(xiàn)概念，但要理解梯形概念又必須辨析它與平行四邊形的異同.因此，要理解四邊形、平行四邊形、長(zhǎng)方形、正方形、梯形，就必須在頭腦中建立一個(gè)以“平行”“相等”和“垂直”概念為基礎(chǔ)的網(wǎng)絡(luò)，形成一個(gè)“要理解你必須理解我、要理解我必須理解你”的邏輯理路.

(3)加強(qiáng)知識(shí)的應(yīng)用

知識(shí)的應(yīng)用階段需要研究的一些問(wèn)題.其一，關(guān)于知識(shí)應(yīng)用的數(shù)量如何把握.數(shù)學(xué)學(xué)科每天都有大量的作業(yè)，教師要思考的問(wèn)題是，知識(shí)的基本應(yīng)用、綜合應(yīng)用、遷移應(yīng)用各階段到底需要多大的練習(xí)量，當(dāng)然這既與學(xué)習(xí)內(nèi)容有關(guān)也與學(xué)生的能力水平相關(guān).其二，關(guān)于知識(shí)應(yīng)用的質(zhì)量如何把握.選擇怎樣的練習(xí)能起到事半功倍之效？這涉及研究題目的質(zhì)量，研究題目對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科關(guān)鍵能力的作用.其三，知識(shí)的應(yīng)用如何做到循序漸進(jìn).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)劃分為三級(jí)水平，要研究如何設(shè)計(jì)知識(shí)應(yīng)用的問(wèn)題，使其能夠由低水平向高水平過(guò)渡自然、進(jìn)階井然有序.

(4)理解學(xué)科思想方法

只要有知識(shí)，就有潛藏于知識(shí)深層的思想方法，兩者相互融合、共同流淌.對(duì)知識(shí)的深度理解，就是要教師揭開(kāi)這層面紗，轉(zhuǎn)隱性知識(shí)為顯性知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生去領(lǐng)略學(xué)科思想方法的美麗容顏.基于數(shù)學(xué)知識(shí)的科學(xué)性和文化性雙重成分，在設(shè)計(jì)對(duì)知識(shí)深度理解的教學(xué)過(guò)程中，要考慮知識(shí)教學(xué)與文化教學(xué)的有機(jī)結(jié)合，要充分揭示知識(shí)中蘊(yùn)含的文化元素，讓學(xué)生能夠領(lǐng)略數(shù)學(xué)思想方法.知識(shí)可能被遺忘，思想方法卻是長(zhǎng)存的；知識(shí)是個(gè)性化的，思想方法卻是通性化的；知識(shí)是樹(shù)木，思想方法是森林.因此，缺乏對(duì)思想感悟和方法領(lǐng)會(huì)的知識(shí)理解，是一種殘缺的知識(shí)理解.

3.2 指向高階思維的教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

從思維角度看，高階思維主要包括幾個(gè)要素：邏輯思維、探索思維、批判思維、創(chuàng)新思維.指向高階思維的教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)，要思考如何將這些基本的高階思維要素融入到課程教學(xué)之中，實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)目標(biāo).

(1)在知識(shí)講解中建構(gòu)邏輯推理鏈

邏輯推理鏈的建構(gòu)，可以采用不斷追因的方法，也可結(jié)合不斷索果的方法，目標(biāo)是構(gòu)建一個(gè)完整的因果關(guān)系鏈.對(duì)于一個(gè)新學(xué)習(xí)的知識(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生向前追究原因，探求這個(gè)知識(shí)形成的緣由；也可以向后索果，追問(wèn)這個(gè)知識(shí)會(huì)產(chǎn)生一些什么結(jié)果.其實(shí)，就是厘清知識(shí)的來(lái)龍去脈，知識(shí)從何而來(lái)，知識(shí)向何而去，認(rèn)識(shí)知識(shí)的這兩個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程，甚至與理解這個(gè)知識(shí)是什么有同等重要的意義，因?yàn)椋斑^(guò)程”在高階思維訓(xùn)練中具有更獨(dú)特的作用，它可為學(xué)生的思維、想象提供一種足夠大的空間.

要強(qiáng)調(diào)的是，高階思維不能脫離低階思維而獨(dú)立存在.涓涓小溪匯聚方能成河，我們可以把低階思維視為小溪，高階思維視為河流，這大概是一種恰當(dāng)?shù)碾[喻，無(wú)小溪之水何來(lái)河流之源.高階思維的材料是知識(shí)，知識(shí)的積淀依托于低階思維，這是一條事實(shí)性因果邏輯鏈，離開(kāi)低階思維的高階思維只是空中樓閣.例如，衡量高階思維水平高低的一個(gè)重要指標(biāo)是解決結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題的能力，如果學(xué)生連結(jié)構(gòu)良好的問(wèn)題都解決不了，怎么可能解決結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題？這個(gè)基本的道理告訴我們，不能脫離根基而一味拔高，追求所謂的高階思維而放棄對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的培養(yǎng)顯然是海市蜃樓.因此，在知識(shí)講解中構(gòu)建邏輯推理鏈時(shí)，要以低階思維作為基礎(chǔ)或作為高階思維的起點(diǎn).

(2)在課堂教學(xué)中創(chuàng)設(shè)探索思維情境

探索性思維情境的設(shè)計(jì)，首先，要為學(xué)生提供有探索價(jià)值的問(wèn)題.有價(jià)值體現(xiàn)在幾個(gè)方面：通過(guò)探索可以抽象出一些新的概念，通過(guò)探索可以歸納出一些新的結(jié)論，通過(guò)探索可以找到幾種解決問(wèn)題的路徑，通過(guò)探索可以將問(wèn)題推廣為更一般的情形，通過(guò)探索可以將問(wèn)題變式從而得到一串新的問(wèn)題，通過(guò)探索可以發(fā)現(xiàn)隱藏在知識(shí)背后的思想方法等等.沒(méi)有好的問(wèn)題，探索過(guò)程可能變得毫無(wú)意義.其次，不能把難題與探索性問(wèn)題混為一談.所謂難題，是指可能需要用到多種知識(shí)、可能用到高超技巧來(lái)解決的問(wèn)題.這類(lèi)問(wèn)題的解答有兩個(gè)明顯的特征，其一，在解答過(guò)程中，邏輯推理會(huì)進(jìn)入一種較高層面，推理步驟會(huì)增多，邏輯鏈會(huì)加長(zhǎng)；其二，解決難題也是一個(gè)探究過(guò)程，探究解決問(wèn)題的方案和解決問(wèn)題的方法.從這兩個(gè)特征看，解決難題的確有高階思維的成分.但是也必須清楚地認(rèn)識(shí)到，解答難題的前提是必須運(yùn)用已有的知識(shí)、規(guī)則和算法，不是在創(chuàng)新知識(shí)或創(chuàng)設(shè)算法，而且注重一些特殊的技能技巧，探究性思維顯得單一.高階思維與“難度”有關(guān)，但更與探究、批判、創(chuàng)新有直接的相關(guān)性.

3.3 指向知識(shí)遷移的教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

在教育心理學(xué)領(lǐng)域，遷移是指一種學(xué)習(xí)對(duì)另外一種學(xué)習(xí)的影響.這里所說(shuō)的知識(shí)遷移是指將知識(shí)用于一種新情境中去解決問(wèn)題.新情境包括其他學(xué)科情境、現(xiàn)實(shí)生活情境，也包括同一個(gè)學(xué)科中不同知識(shí)體系的情境.

指向知識(shí)遷移的教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)，要思考如何設(shè)置情境，圍繞培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)開(kāi)展.

(1)加強(qiáng)學(xué)科知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系

每個(gè)學(xué)科都有自己特定的知識(shí)內(nèi)容和研究范疇，看上去呈現(xiàn)一種相對(duì)封閉的樣態(tài).但事實(shí)上，不論是什么學(xué)科的知識(shí)，都是對(duì)自然規(guī)律和社會(huì)現(xiàn)象的描述.自然科學(xué)知識(shí)是對(duì)自然現(xiàn)象、規(guī)律的揭示和描述；社會(huì)科學(xué)知識(shí)是對(duì)社會(huì)現(xiàn)象、規(guī)律的揭示和描述；人文知識(shí)是對(duì)人類(lèi)文明發(fā)展的記錄和反思.這些知識(shí)的來(lái)源是人類(lèi)和自然，因此，現(xiàn)實(shí)世界就成為溝通不同知識(shí)領(lǐng)域疆界的中介.

在新知識(shí)的教學(xué)中，作教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)要思考：這個(gè)知識(shí)的產(chǎn)生是否有現(xiàn)實(shí)背景？它的現(xiàn)實(shí)背景可能不是唯一的，我應(yīng)當(dāng)選擇哪一種背景才能產(chǎn)生更好的教學(xué)效果？用什么方法來(lái)展示這個(gè)知識(shí)的現(xiàn)實(shí)背景使得知識(shí)的生成顯得更加自然？需要指出的是，教材上在引入一個(gè)新知識(shí)時(shí)也可能提供了一個(gè)現(xiàn)實(shí)背景，但老師應(yīng)辯證地對(duì)待，盡管這個(gè)情境是編者頗具匠心的設(shè)計(jì)，還是要思考它是否適合自己的學(xué)生學(xué)習(xí)，這個(gè)情境對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是他們熟悉的嗎？對(duì)他們來(lái)說(shuō)是有意義的嗎？這樣的反思會(huì)促使你去評(píng)價(jià)從而作出更好的選擇.

數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析是直面現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的眼光審視這些問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的思維分析這些問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表述這些問(wèn)題，本質(zhì)上就是將數(shù)學(xué)知識(shí)遷移到現(xiàn)實(shí)情境中去解決問(wèn)題.

對(duì)教材上的例題和習(xí)題，可以適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行改造，將問(wèn)題放到具有現(xiàn)實(shí)的背景中考察.進(jìn)一步地說(shuō)，對(duì)題目的改造不只是在現(xiàn)實(shí)情境的加入層面上思考，還可能在現(xiàn)實(shí)情境的社會(huì)意義層面作思考.也就是說(shuō)，在情境的設(shè)置中，完全可以考慮將品格和價(jià)值觀的教育滲入其中，使題目的解答發(fā)揮出更大的教育功能.

(2)突出數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部遷移的訓(xùn)練

知識(shí)遷移發(fā)生得更多的情形是在學(xué)科的內(nèi)部.因?yàn)?，每個(gè)學(xué)科的知識(shí)也是分體系的，將一個(gè)體系中的知識(shí)或方法用于解決另一知識(shí)體系中的問(wèn)題，就是一種內(nèi)部的知識(shí)遷移.如果把知識(shí)在學(xué)科內(nèi)部的遷移視為一種近遷移或中遷移，那么不同學(xué)科之間的遷移就可以認(rèn)為是一種遠(yuǎn)遷移.

突出數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部遷移訓(xùn)練的教學(xué)設(shè)計(jì)，要考慮以下幾個(gè)方面.

第一，要考慮促進(jìn)學(xué)生形成完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu).現(xiàn)代遷移理論指出，個(gè)體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是影響遷移的決定因素，優(yōu)良的認(rèn)知結(jié)構(gòu)可促進(jìn)遷移的發(fā)生.Schunk認(rèn)為，知識(shí)遷移涉及對(duì)記憶網(wǎng)絡(luò)中知識(shí)的激活……記憶中的各個(gè)信息塊相互聯(lián)系得越多，那么一條信息的激活就越能成為其它信息激活的導(dǎo)火索.由此，學(xué)習(xí)者只有根據(jù)條件、提示信息或意義相近的命題來(lái)激活知識(shí)，才能在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中找到與問(wèn)題相關(guān)的知識(shí)或與學(xué)習(xí)者的計(jì)劃、意圖有關(guān)的信息，才能有效實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移[8].優(yōu)良的認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立，取決于學(xué)習(xí)者對(duì)知識(shí)的深度理解，取決于學(xué)習(xí)者能否將知識(shí)結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化，并將其內(nèi)化在自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)重要任務(wù)就是幫助學(xué)生形成完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

第二，要組織不同遷移類(lèi)型題目進(jìn)行訓(xùn)練.一般說(shuō)來(lái)，學(xué)科內(nèi)部問(wèn)題解決的遷移，往往是指先前解答的問(wèn)題對(duì)后面問(wèn)題解答產(chǎn)生的影響，先前問(wèn)題叫做源題，后面的問(wèn)題叫做靶題.源題A與靶題B之間存在四種關(guān)系：表面內(nèi)容相同內(nèi)在結(jié)構(gòu)相同、表面內(nèi)容相同內(nèi)在結(jié)構(gòu)不同、表面內(nèi)容不同內(nèi)在結(jié)構(gòu)相同、表面內(nèi)容不同內(nèi)在結(jié)構(gòu)不同.表面內(nèi)容是指問(wèn)題的背景、情節(jié)、對(duì)象等具體內(nèi)容，內(nèi)在結(jié)構(gòu)指解決問(wèn)題要用到的思想、原理、方法等.一般說(shuō)來(lái)，在教學(xué)設(shè)計(jì)中要思考如何編制近遷移問(wèn)題(表面內(nèi)容相同內(nèi)在結(jié)構(gòu)相同)、中遷移問(wèn)題(表面內(nèi)容相同內(nèi)在結(jié)構(gòu)不同、表面內(nèi)容不同內(nèi)在結(jié)構(gòu)相同)、遠(yuǎn)遷移問(wèn)題(表面內(nèi)容不同內(nèi)在結(jié)構(gòu)不同)來(lái)訓(xùn)練學(xué)生，以提升他們的問(wèn)題解決遷移能力.

第三，要注重樣例的多形式設(shè)計(jì).①樣例的變式設(shè)計(jì).包括圖形的變化、規(guī)則變形、問(wèn)題的條件強(qiáng)化或弱化等方法的運(yùn)用.變式的目的是促使學(xué)生在頭腦中形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)，從而促進(jìn)遷移的產(chǎn)生.②樣例的數(shù)量變化.不同的知識(shí)點(diǎn)其練習(xí)量是有區(qū)別的，就每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的特性，教師應(yīng)當(dāng)研究究竟需要多少題目的訓(xùn)練學(xué)生就能夠掌握這個(gè)知識(shí)，太多的練習(xí)無(wú)疑是一種對(duì)學(xué)生時(shí)間的浪費(fèi).③樣例的組織形式.這同樣是教師需要研究的問(wèn)題，不同的內(nèi)容其源題的組織形式可能是有差異的，而不同的組織形式又可能帶來(lái)教學(xué)效果的差異.例如，成組地組織樣例(一次性講解一組樣例，然后學(xué)生再練習(xí))與分散地組織樣例(講解一個(gè)樣例后學(xué)生練習(xí)，再講解一個(gè)樣例學(xué)生再練習(xí)，……)，這兩種方式到底適合于哪些內(nèi)容？這需要教師在教學(xué)實(shí)踐中去認(rèn)真研究和總結(jié).