楊文珍，何 慶

1.貴州大學(xué) 大數(shù)據(jù)與信息工程學(xué)院，貴陽 550025

2.貴州大學(xué) 貴州省公共大數(shù)據(jù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，貴陽 550025

算術(shù)優(yōu)化算法（arithmetic optimization algorithm，AOA）是Abualigah等[1]于2021年根據(jù)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)制提出的一種基于群體的新型算法，由于該算法具有可移植性強(qiáng)、參數(shù)少以及執(zhí)行效率快等優(yōu)點(diǎn)，算法整體性能相較于蟻獅算法（ant lion optimization，ALO）[2]、樽海鞘算法（salp swarm algorithm，SSA）[3]、灰狼優(yōu)化算法（grey wolf optimizer，GWO）[4]等更具有競(jìng)爭(zhēng)力，在模型識(shí)別[5]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[6]、約束性[7]等實(shí)際領(lǐng)域中具備長(zhǎng)遠(yuǎn)的發(fā)展?jié)摿Α?/p>

盡管不同的元啟發(fā)式算法搜索機(jī)制不同，但大部分算法最終目標(biāo)在于豐富種群多樣性以及平衡算法全局勘探與局部開發(fā)的性能平衡，在保證算法收斂精度的條件下，最大性能的優(yōu)化算法收斂速度以及避免算法早熟現(xiàn)象。針對(duì)這一優(yōu)化目標(biāo)，國內(nèi)外研究學(xué)者展開研究工作以期針對(duì)算法特點(diǎn)達(dá)到不同領(lǐng)域的優(yōu)化效果，如Guan等[8]提出一種自動(dòng)更新機(jī)制的改進(jìn)蟻獅算法，在保留優(yōu)質(zhì)變量的情況下優(yōu)化賦值，在這樣的機(jī)制下，改進(jìn)算法只能優(yōu)化選定賦值的非優(yōu)變量值對(duì)，從而改進(jìn)算法有更大概率尋找到更好的候選方案以提高算法收斂性能。Ren等[9]提出將兩種策略與標(biāo)準(zhǔn)算法結(jié)合的改進(jìn)樽海鞘算法，一種是隨機(jī)替換策略以一定概率將當(dāng)前位置替換成最優(yōu)解位置，另一種策略是雙自適應(yīng)權(quán)重控制算法早、后期的搜索性能，達(dá)到算法收斂速度優(yōu)化的效果，開發(fā)能力顯著提高。Yu 等[10]把對(duì)立學(xué)習(xí)引入灰狼優(yōu)化算法，將對(duì)立學(xué)習(xí)以跳躍率的形式在不增加計(jì)算復(fù)雜度的基礎(chǔ)上幫助算法識(shí)別局部最優(yōu)值，平衡了算法的勘探與開發(fā)。

為提高標(biāo)準(zhǔn)AOA 的迭代搜索性能，本文提出一種使用最優(yōu)個(gè)體引導(dǎo)算法尋優(yōu)以及小孔成像原理的算術(shù)優(yōu)化算法，激活機(jī)理策略是基于算子位置更新層面，以最優(yōu)位置為基準(zhǔn)的引導(dǎo)個(gè)體尋優(yōu)的概率進(jìn)化機(jī)制，激活曲線sigmoid在保留算子父代信息的同時(shí)調(diào)整算法前后期最優(yōu)個(gè)體占比領(lǐng)域進(jìn)行再次開采以提高算法尋優(yōu)概率；引入基于位置均值的小孔成像原理以及概率變異方法，以增加算子之間信息反饋并幫助算法識(shí)別局部極值，從而優(yōu)化全局搜索能力；同時(shí)適當(dāng)?shù)匦拚齅OA的迭代形式以微調(diào)算法不同階段種群個(gè)體間的位置信息交流以及算法搜索機(jī)制。最后通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證策略的有效性以及競(jìng)爭(zhēng)力。

1 算術(shù)優(yōu)化算法

AOA 函數(shù)尋優(yōu)過程首先隨機(jī)初始化一組候選解(X)，假設(shè)每次算法迭代結(jié)果為最優(yōu)解決方案，隨著算法一次次迭代更新最優(yōu)值尋找到函數(shù)最優(yōu)值。

其中，M_min、M_max分別為優(yōu)化器的最大、小值，為方便做算法對(duì)比，本文設(shè)置其值分別為1、0.2。t、T分別表示算法當(dāng)前迭代以及最大迭代次數(shù)，MOA 函數(shù)值隨著當(dāng)前迭代次數(shù)變化不斷更新。

圖1 算術(shù)運(yùn)算符的層次結(jié)構(gòu)Fig.1 Hierarchy of arithmetic operators

在算法的探索階段，AOA 的探索算子在多個(gè)區(qū)域隨機(jī)探索，使用兩種策略即乘法策略（multiplication，M）和除法策略（division，D）的數(shù)學(xué)計(jì)算產(chǎn)生高分布式的值或解決方案，由于其高分散性賦予該搜索階段優(yōu)異的尋優(yōu)潛力，在多次搜索檢測(cè)后推導(dǎo)出更好的解決方案。

基于探索階段的兩種搜索策略(D,M)的數(shù)學(xué)模型如式（3）所示，設(shè)置隨機(jī)值r1，在式（2）更新MOA 函數(shù)值后，若r1>MOA執(zhí)行乘除法算子執(zhí)行探索階段，在該階段下細(xì)分各算子執(zhí)行條件，除法算子執(zhí)行條件在r2<0.5（r2為隨機(jī)數(shù)）條件下被選擇，乘法算子將被忽略，直到該運(yùn)算符完成當(dāng)前任務(wù)，否則即運(yùn)行當(dāng)前尋優(yōu)任務(wù)，當(dāng)前探索部分位置更新方程如式（4）：

此處α描述一個(gè)敏感參數(shù)決定著算法迭代期間的開發(fā)精度，本文設(shè)置其值為5，下一階段就開發(fā)進(jìn)行建模。

在算法開發(fā)階段使用具有集中性較好的加減算子進(jìn)行算法開發(fā)任務(wù)，開發(fā)搜索將更接近于最優(yōu)值，通過不斷迭代更新找到更接近最優(yōu)值的解，將隨機(jī)值r1與MOA 相比，因?yàn)殡S機(jī)值具有不穩(wěn)定性，利用MOA 函數(shù)改進(jìn)開發(fā)項(xiàng)，使得加減法算子在眾多密集的區(qū)域中有極大概率尋找到適當(dāng)?shù)慕鉀Q方案，數(shù)學(xué)建模表達(dá)式如下：

該階段的減法算子S以r3<0.5 為條件，加法算子忽略不計(jì)，直到該算子完成當(dāng)前尋優(yōu)任務(wù)，否則執(zhí)行加法算子A代替減法算子執(zhí)行尋優(yōu)功能，由于算法活動(dòng)范圍較小，存在局部極值情況，隨機(jī)值μ的設(shè)置有助于開發(fā)階段的進(jìn)行。

算法探索與開發(fā)的位置更新原理如圖2所示，展示了算法通過運(yùn)算符選擇探索或者開發(fā)過程。算法偽代碼如下：

圖2 位置更新原理示意圖Fig.2 Schematic diagram of location update principle

2 IX-AOA原理介紹

標(biāo)準(zhǔn)AOA 中算法由隨機(jī)值與MOA 控制勘探與開發(fā)階段，轉(zhuǎn)換機(jī)制隨機(jī)且不穩(wěn)定，個(gè)體間的位置信息交流并以隨機(jī)概率交換某些變量分量，且根據(jù)隨機(jī)值圍繞最優(yōu)個(gè)體進(jìn)行當(dāng)前分量的隨機(jī)更新，這樣的搜索機(jī)制基于個(gè)體的代間更新，同時(shí)個(gè)體位置的質(zhì)量直接影響算法尋優(yōu)性能，若是個(gè)體存在距離最優(yōu)解較遠(yuǎn)或較近的情況，過多或較少圍繞最優(yōu)個(gè)體都會(huì)導(dǎo)致算法陷入局部極值以及找不到全局最優(yōu)值的問題存在，因此標(biāo)準(zhǔn)的AOA 缺乏最優(yōu)個(gè)體的二次開采而導(dǎo)致錯(cuò)失最優(yōu)解，以及隨機(jī)調(diào)整勘探和開采的不穩(wěn)定策略有待修正。鑒于以上分析，本文提出一種基于個(gè)體間橫向位置更新以及縱向微調(diào)整勘探與開發(fā)功能的改進(jìn)AOA算法（IX-AOA），以保證在保證收斂精度的環(huán)境下提高收斂速度以及平衡勘探與開發(fā)的性能。

2.1 微調(diào)更新時(shí)間分配

標(biāo)準(zhǔn)AOA 中MOP 系數(shù)是控制算法勘探和開發(fā)的重要參數(shù)，由式（2）可知MOA 隨著迭代次數(shù)線性變化，在算法初期增加太快導(dǎo)致個(gè)體不能覆蓋更多的候選解區(qū)域，因此導(dǎo)致算法的全局搜索能力欠佳，同時(shí)算法后期參數(shù)下降漸趨平緩，有可能導(dǎo)致陷入局部極值的情況發(fā)生，為更好地分配算法尋優(yōu)時(shí)間，采用非線性曲線調(diào)整算法不同時(shí)間勘探和開發(fā)的功能切換，其數(shù)學(xué)模型如式（8）：

上式參數(shù)與上一章定義一致，f定義為數(shù)組[5，15]間的隨機(jī)整數(shù)，保證了算法在前后期勘探與開發(fā)并存，分工合作達(dá)到更好的尋優(yōu)效果，同時(shí)由式（8）可知，根據(jù)雙曲線性質(zhì)，c(t)仍為遞減函數(shù)且雙曲線減緩了曲線下降速度，且前期函數(shù)值取值較小采用算法全局搜索功能大范圍遍歷候選解進(jìn)行最優(yōu)值更新；同時(shí)算法后期隨著迭代次數(shù)增加函數(shù)值增加，隨機(jī)值大于MOA 的情況下進(jìn)行全局勘探，圍繞最優(yōu)個(gè)體進(jìn)行局部極值識(shí)別更新最優(yōu)解，達(dá)到收斂精度的提升效果。

2.2 最優(yōu)個(gè)體激活引導(dǎo)策略

在標(biāo)準(zhǔn)AOA 中，算法由隨機(jī)值(r1、r2、r3)與系數(shù)MOA 來調(diào)整算法搜索策略，由式（4）與式（6）可知算法位置更新使用全局最優(yōu)個(gè)體的引導(dǎo)以及在本地開發(fā)階段從種群中隨機(jī)選擇的個(gè)體來產(chǎn)生子代個(gè)體，這兩個(gè)等式目的在于實(shí)現(xiàn)探索與開發(fā)能力的協(xié)調(diào)，但是算法的隨機(jī)切換機(jī)制將會(huì)導(dǎo)致算法陷入局部極值以及遠(yuǎn)離全局最優(yōu)位置，并且全局最優(yōu)位置對(duì)加快收斂速度作用突出，但是標(biāo)準(zhǔn)AOA 中并沒有充分利用最優(yōu)個(gè)體位置的信息。因此本節(jié)提出一種基于sigmoid激活函數(shù)的最優(yōu)個(gè)體引導(dǎo)位置更新方程，即：

借鑒粒子群（PSO）[11]中利用慣性權(quán)重調(diào)整勘探和開發(fā)的啟發(fā)，在AOA 位置更新部分使用較大的權(quán)重有利于全局搜索，較小的權(quán)重將優(yōu)化局部開發(fā)。在此，慣性權(quán)重使用基于sigmoid 激活函數(shù)曲線特性微調(diào)算法功能，經(jīng)過多次實(shí)驗(yàn)節(jié)可得μ為20其尋優(yōu)效果最佳，其調(diào)節(jié)曲線sigmoid函數(shù)曲線如圖3所示。

圖3 w 函數(shù)曲線Fig.3 w function curve

圖3 繪制了sigmoid 曲線后半部分曲線，從圖中看出，迭代初期較大的w值有益于算法早期的全局搜索能力優(yōu)化，后期較小的w值改善算法后期的局部開發(fā)功能，使得算法整體性能得到有效協(xié)調(diào)。

2.3 小孔成像學(xué)習(xí)策略

在標(biāo)準(zhǔn)AOA 后期中，種群個(gè)體聚集于潛在最優(yōu)值個(gè)體周圍，種群多樣性退化導(dǎo)致算法早熟情況的發(fā)生，基于豐富種群多樣性的優(yōu)化目標(biāo)，目前研究多使用levy飛行[12]、對(duì)立學(xué)習(xí)[13]以及混合其他算法[14]的方法等。

小孔成像是自然界中一種常見的物理折射現(xiàn)象，其原理與對(duì)立學(xué)習(xí)相似，為豐富算法后期種群多樣性，在尋優(yōu)過程增加基于小孔成像原理結(jié)合雙曲線性質(zhì)改善種群分布質(zhì)量。

由以上推理可知，在k=1 時(shí)，對(duì)立學(xué)習(xí)即小孔成像，在本文設(shè)置中，k=2，同時(shí)由于小孔成像產(chǎn)生的候選解不排除解覆蓋現(xiàn)象，種群多樣性并沒有得到改善，由此，在小孔成像位置更新部分加入雙曲線，增加候選解錯(cuò)開分布性，達(dá)到改善種群分布的目標(biāo)。

3 IX-AOA執(zhí)行流程

IX-AOA迭代尋優(yōu)進(jìn)程主要步驟如下：

步驟1 初始化算法參數(shù)如α、μ。

步驟2 初始種群位置，并確定初始最優(yōu)個(gè)體和最優(yōu)值。

步驟3 計(jì)算式（5）MOP 和式（8）MOA 確定算法尋優(yōu)機(jī)制，根據(jù)MOA 隨著迭代次數(shù)變化縱向微調(diào)算法尋優(yōu)過程。

步驟4 種群個(gè)體橫向更新，按照式（9）隨迭代次數(shù)t動(dòng)態(tài)更新權(quán)重系數(shù)，橫向更新種群個(gè)體進(jìn)化產(chǎn)生子代種群個(gè)體。

步驟5 前位置的多樣性候選解生成。當(dāng)算法進(jìn)行到后期時(shí)，在當(dāng)前位置的范圍內(nèi)即[a,b]按照式（15）產(chǎn)生交錯(cuò)分布的候選解，對(duì)當(dāng)前位置周圍進(jìn)行二次開采以豐富算法種群多樣性。

步驟6 對(duì)候選解之間適應(yīng)度進(jìn)行競(jìng)爭(zhēng)對(duì)比，保留更有價(jià)值的位置信息。

步驟7 判斷當(dāng)前迭代步數(shù)是否達(dá)到最大迭代次數(shù)，若是，則算法終止進(jìn)程并輸出最優(yōu)值以及最佳個(gè)體解信息；否則返回步驟3。

4 算法性能分析

4.1 時(shí)間復(fù)雜度分析

時(shí)間復(fù)雜度作為體現(xiàn)算法尋優(yōu)效率的重要指標(biāo)，其主要取決于算法使用策略，為探索以及驗(yàn)證本文算法框架未對(duì)標(biāo)準(zhǔn)AOA造成時(shí)間代價(jià)，進(jìn)行以下分析：

環(huán)境參數(shù)設(shè)置種群規(guī)模為N、維度為D、最大迭代次數(shù)為M_iter，標(biāo)準(zhǔn)AOA時(shí)間復(fù)雜度為：

4.2 收斂性分析

5 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

本文仿真環(huán)境在操作系統(tǒng)Win10 以及Matlab R2018a 環(huán)境下進(jìn)行，實(shí)驗(yàn)公共參數(shù)設(shè)置為種群規(guī)模N=30，最大迭代次數(shù)M_iter=500，各測(cè)試函數(shù)獨(dú)立運(yùn)行30次。

為進(jìn)行有效公平的測(cè)試環(huán)境，本文主要將實(shí)驗(yàn)分為4組進(jìn)行。

（1）將本文算法與其他智能算法，例如ALO[2]、SSA[3]、GWO[4]在高維環(huán)境下進(jìn)行性能對(duì)比，為保證算法對(duì)比公平性，各算法參數(shù)設(shè)置一致，特定參數(shù)不變。

（2）為驗(yàn)證本文優(yōu)化算法（IX-AOA）的分策略有效性以及組合有效性，使用多指標(biāo)將各分策略與標(biāo)準(zhǔn)AOA進(jìn)行對(duì)比分析。

（3）將IX-AOA與同類型改進(jìn)算法在高維環(huán)境下進(jìn)行尋優(yōu)對(duì)比實(shí)驗(yàn)，對(duì)尋優(yōu)效果進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證本文算法的有效競(jìng)爭(zhēng)力。

在實(shí)驗(yàn)仿真部分，不同測(cè)試函數(shù)表1 所示，本章選取高維度單模函數(shù)、高維多模函數(shù)中的部分函數(shù)作為算法對(duì)比測(cè)試函數(shù)，8個(gè)測(cè)試函數(shù)維度設(shè)置為高維100，更凸顯算法之間的尋優(yōu)性能差異，設(shè)置單模函數(shù)如f1～f5測(cè)試算法收斂速度，多模函數(shù)f6～f8檢驗(yàn)算法勘探與開發(fā)平衡能力。

表1 測(cè)試函數(shù)Table 1 Test functions

5.1 高維智能算法收斂對(duì)比

標(biāo)準(zhǔn)AOA 算法在低維環(huán)境下表現(xiàn)良好，但是在高維眾多局部極值的情況下，性能有待增強(qiáng)，為此，為驗(yàn)證本文改進(jìn)算法在高維環(huán)境下仍保持其良好尋優(yōu)性能，將本文改進(jìn)算法與標(biāo)準(zhǔn)AOA 以及其他智能算法，例ALO[2]、SSA[3]、GWO[4]參照參數(shù)設(shè)置標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表2所示。表中均值、標(biāo)準(zhǔn)差、p-value以及R作為評(píng)價(jià)算法改進(jìn)有效性指標(biāo)，其中p-value、R分別為秩檢驗(yàn)數(shù)據(jù)以及顯著性判斷結(jié)果，表格中“N/A”表示算法尋優(yōu)數(shù)據(jù)無較大差異以及無法與自身數(shù)據(jù)對(duì)比。由表2 所示32 組實(shí)驗(yàn)中，p值均小于0.01 以及R均為“+”表示改進(jìn)效果顯著，其中均值以及標(biāo)準(zhǔn)差指標(biāo)分別體現(xiàn)算法收斂精度、收斂速度以及尋優(yōu)穩(wěn)定性。

表2 算法數(shù)據(jù)對(duì)比Table 2 Comparison of algorithm data

在高維函數(shù)測(cè)試環(huán)境中，IX-AOA 在所以測(cè)試函數(shù)中均取得最優(yōu)結(jié)果，在f1、f2、f3、f4、f6、f8、f12、f13、f14、f15均尋到理論值，在未尋到理論值的函數(shù)中，其尋優(yōu)精度相較于其他算法仍有不同程度提升，例f7測(cè)試函數(shù)中改進(jìn)算法相較于對(duì)比算法精度提高了12～17 個(gè)數(shù)量級(jí)。4 種對(duì)比算法中，ALO、SSA 相較于GWO、AOA尋優(yōu)效果較差，其次GWO次于AOA，AOA在f6函數(shù)尋找到理論值，但其他函數(shù)3 種對(duì)比算法在其余函數(shù)均未尋到最優(yōu)值，由表2 中均值與標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)據(jù)表明改進(jìn)算法IX-AOA 具備更高以及更穩(wěn)定的尋優(yōu)效果。

為將表2中數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為直觀效果對(duì)比，由于篇幅有限，在單模函數(shù)、多模函數(shù)各抽取3 組函數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析，圖4中將各函數(shù)的迭代曲線進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。試函數(shù)理論值，并且總曲線走勢(shì)可知，在算法后期，其他對(duì)比算法陷入局部最優(yōu)時(shí)，IX-AOA仍保持較強(qiáng)的局部開發(fā)能力避免算法停滯。

圖4 迭代曲線對(duì)比效果圖Fig.4 Comparison effects of iterative curves

綜上分析，IX-AOA 在收斂性能即精度以及速度上比其他算法優(yōu)勢(shì)顯著，在算法前后期都保持良好的全局搜索能力以及局部開發(fā)能力，算法尋優(yōu)性能的改進(jìn)有效性得到直觀驗(yàn)證。

5.2 分策略的消融實(shí)驗(yàn)

由圖4迭代曲線可知，5種對(duì)比算法在8組測(cè)試函數(shù)各階段尋優(yōu)效果各異，在迭代前期，改進(jìn)算法IX-AOA已表現(xiàn)其優(yōu)勢(shì)顯著的尋優(yōu)性能。在算法前期，IX-AOA收斂速度與4種對(duì)比算法較大收斂速度差異，其全局搜索能力明顯更具優(yōu)勢(shì)；在算法后期局部開發(fā)能力逐漸占據(jù)重要位置，在6 組測(cè)試函數(shù)中迭代曲線分析，在迭代次數(shù)未達(dá)到T時(shí)，IX-AOA在收斂速度以及精度上已經(jīng)遙遙領(lǐng)先其他對(duì)比算法，在迭代步數(shù)100以內(nèi)已找到測(cè)

為保證算法對(duì)比環(huán)境公正性，本節(jié)消融實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置與上節(jié)一致，為驗(yàn)證各策略的改進(jìn)有效性以及各策略的組合有效性，將標(biāo)準(zhǔn)AOA 算法與優(yōu)化系數(shù)MOA（CAOA）、最優(yōu)個(gè)體激活機(jī)制（GAOA）、非線性小孔成像（XAOA）做對(duì)比實(shí)驗(yàn)。

（1）微調(diào)控制（CAOA）與AOA

CAOA策略在根據(jù)雙曲線性質(zhì)改變?cè)糓OA線性遞減前后期遍歷與開發(fā)缺陷，為更好地使勘探與開發(fā)配合協(xié)作，將雙曲線遞變性質(zhì)引入MOA，在算法前期彌補(bǔ)了原始MOA 遞減太快而導(dǎo)致錯(cuò)失潛在最優(yōu)值，同時(shí)算法后期新MOA 函數(shù)值增加，在隨機(jī)值小于MOA 值而進(jìn)行全局搜索能力加強(qiáng)而提高局部極值識(shí)別能力，最優(yōu)值得到迭代更新，最終收斂性能得到有效提高。

由圖5迭代函數(shù)曲線對(duì)比可知，分策略CAOA不管在單峰還是多峰函數(shù)下收斂精度與速度與標(biāo)準(zhǔn)AOA相比優(yōu)勢(shì)顯著，驗(yàn)證CAOA在算法不同時(shí)期發(fā)揮其獨(dú)特的調(diào)節(jié)作用。

圖5 CAOA與AOA曲線Fig.5 CAOA and AOA curves

（2）基于sigmoid 最優(yōu)個(gè)體引導(dǎo)進(jìn)化機(jī)制（GAOA）與AOA

為更好地發(fā)揮算法最優(yōu)個(gè)體對(duì)算法尋優(yōu)的引導(dǎo)作用以及對(duì)子代位置的有益影響，避免算法由于隨機(jī)切換勘探與開發(fā)所造成遠(yuǎn)離最優(yōu)值與陷入局部極值的情況，借鑒PSO 算法思想，提出基于sigmoid 激活函數(shù)的慣性權(quán)重原理動(dòng)態(tài)協(xié)調(diào)最優(yōu)個(gè)體在算法勘探與開發(fā)過程的影響作用。收斂曲線對(duì)比如圖6所示。由圖6迭代曲線走勢(shì)分析，通過對(duì)最優(yōu)個(gè)體的S形曲線占比調(diào)整算法前后期勘探與開發(fā)的分配，在位置更新部分加強(qiáng)最優(yōu)個(gè)體子代種群的尋優(yōu)引導(dǎo)，產(chǎn)生更多有價(jià)值的位置信息，在迭代過程反復(fù)推導(dǎo)逐漸逼近全局最優(yōu)位置，而達(dá)到位置橫行區(qū)域的多次開采而達(dá)到更優(yōu)質(zhì)的尋優(yōu)能力，提高了算法收斂精度以及速度。

圖6 GAOA與AOA曲線Fig.6 GAOA and AOA curves

從圖5收斂曲線對(duì)比分析可知，與其他改進(jìn)算法對(duì)比，在算法不同搜索階段，IX-AOA 都展示了其優(yōu)越的全局搜索以及局部開采能力，算法早期收斂速度已經(jīng)后期曲線保持遞減趨勢(shì)得以體現(xiàn)，例如SCAOA 在f1、f8陷入局部極值時(shí)，IX-AOA在不需要犧牲迭代次數(shù)的環(huán)境下就能尋到最優(yōu)值，由于Matlab在數(shù)學(xué)理論上無法對(duì)0 取對(duì)數(shù)，如圖8 中在曲線達(dá)到理論值后再也無法顯示曲線，IX-AOA 在4 組單峰、多峰函數(shù)，且在高維存在眾多極值的環(huán)境下仍保持尋優(yōu)性能的高效率。

圖8 D=500各改進(jìn)算法收斂性對(duì)比Fig.8 Convergence comparison of each improved algorithm with D=500

（3）非線性小孔成像（XAOA）與AOA

標(biāo)準(zhǔn)AOA在算法后期由于其螺旋隨機(jī)更新機(jī)制產(chǎn)生良莠不齊的候選解，算法性能過度依賴于位置更新子代信息，為消除算法的更新隨機(jī)性以及提高候選解多樣性，提出一種基于小孔成像的非線性位置變化更新策略，給算法尋優(yōu)提供更多優(yōu)質(zhì)候選解以提高算法精度以及局部極值識(shí)別能力，與標(biāo)準(zhǔn)AOA 迭代曲線對(duì)比效果圖如圖7所示。

圖7 XAOA與AOA曲線Fig.7 XAOA and AOA curves

由圖7 曲線迭代可知，在加入小孔成像原理后，擴(kuò)展了候選解范圍，同時(shí)非線性曲線的引入減少了候選解生成覆蓋問題，有效提高了種群多樣性，在標(biāo)準(zhǔn)AOA后期陷入局部極值后，XAOA仍保持良好的局部極值規(guī)避性以及尋優(yōu)精度。

綜上所述，通過設(shè)置標(biāo)準(zhǔn)算法AOA、IX-AOA 以及分策略的消融實(shí)驗(yàn)，各分策略都具有其改進(jìn)有效性，同時(shí)算法整體尋優(yōu)性能相對(duì)單策略使用更具競(jìng)爭(zhēng)性，驗(yàn)證改進(jìn)算法IX-AOA 各分策略在函數(shù)收斂精度以及速度上的有效合作達(dá)到更優(yōu)質(zhì)的尋優(yōu)性能。

鑒于以上分析可知，在高維測(cè)試環(huán)境下，在各種特征的測(cè)試函數(shù)中本文優(yōu)化算法IX-AOA較新改進(jìn)算法仍具有較強(qiáng)競(jìng)爭(zhēng)力，函數(shù)求解的高效率性得到有效驗(yàn)證。

6 CEC2014基準(zhǔn)函數(shù)測(cè)試

為體現(xiàn)IX-AOA不同環(huán)境下保持的尋優(yōu)競(jìng)爭(zhēng)力，本文引入CEC2014 函數(shù)中，選取單峰、多峰、混合以及復(fù)合類型的不同函數(shù)進(jìn)行理論值求解，選取函數(shù)信息如表3所示。

表3 CEC2014部分函數(shù)Table 3 Some functions of CEC2014

5.3 改進(jìn)算法間高維對(duì)比

為更細(xì)致分析算法整體性能，將IX-AOA與目前最新改進(jìn)算法進(jìn)行高維環(huán)境對(duì)比實(shí)驗(yàn)，由于AOA所提時(shí)間較短，可對(duì)比改進(jìn)算法較少，將IX-AOA與實(shí)現(xiàn)機(jī)理相似的新改進(jìn)算法即SCAOA[5]、MSCA[15]在單模、多模函數(shù)上，高維D=500 進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，由于篇幅有限，在8 組測(cè)試函數(shù)中抽取4組特征各異函數(shù)單獨(dú)運(yùn)行30次實(shí)驗(yàn)。

為保證算法對(duì)比實(shí)驗(yàn)的公平性，CEC2014函數(shù)參數(shù)除維度為30 以及迭代次數(shù)1 000 以外的參數(shù)設(shè)置與以上章節(jié)一致，取實(shí)驗(yàn)運(yùn)行均值與標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行分析。

由表4 記錄各函數(shù)運(yùn)行數(shù)據(jù)即均值與方差，由于CEC2014函數(shù)存在復(fù)雜度高，算法尋優(yōu)難度增加，從表4數(shù)據(jù)可知IX-AOA在均值與方差方面均優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)AOA，在CEC02雖然均值優(yōu)勢(shì)不顯，但改進(jìn)算法IX-AOA方差具有較大優(yōu)勢(shì)，同時(shí)CEC27、CEC28的方差為0，驗(yàn)證了算法尋優(yōu)的有效性。因此從實(shí)驗(yàn)部分可知，IX-AOA在求解復(fù)雜函數(shù)具備較大的競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)。

表4 CEC2014優(yōu)化結(jié)果Table 4 CEC2014 optimization results

7 總結(jié)

為改進(jìn)標(biāo)準(zhǔn)AOA高維尋優(yōu)精度低以及收斂速度慢等問題，本文提出一種橫向與縱向更新機(jī)制的算術(shù)優(yōu)化算法即IX-AOA，分別從算法種群整體層面以及最優(yōu)個(gè)體層級(jí)進(jìn)行更新機(jī)制的改進(jìn)。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，縱向更新機(jī)制的MOA系數(shù)微調(diào)與引入非線性小孔成像原理的橫向更新機(jī)制改進(jìn)效果尤為顯著，同時(shí)基于sigmoid 激活函數(shù)的最優(yōu)個(gè)體占比橫向迭代通過權(quán)重發(fā)揮最優(yōu)個(gè)體在算法不同階段的影響比重更新優(yōu)質(zhì)子代位置，有效加快了算法尋優(yōu)效率，展示了本文改進(jìn)算法IX-AOA早期強(qiáng)勢(shì)的全局搜索以及良好的局部極值識(shí)別精確度。接下來的研究工作，將針對(duì)改進(jìn)AOA 以解決神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)優(yōu)化、云計(jì)算任務(wù)調(diào)度以及多約束等實(shí)際問題進(jìn)行應(yīng)用實(shí)踐。