孫韓玉

(安徽省滁州中學(xué) 239001)

數(shù)學(xué)教材為學(xué)生的學(xué)習(xí)活動提供了主題、基本線索和知識結(jié)構(gòu)，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源[1].同時(shí)，教材也是制定教學(xué)大綱和高考考試大綱的基本依據(jù).羅增儒教授曾指出：“教材是課程的載體，所以高考命題最具體、最方便的依據(jù)其實(shí)就是教材.”歷年高考試題中都有一些題目源于教材而又高于教材，它既能體現(xiàn)考試公平，又能考查教學(xué)成果，具有鮮明的教學(xué)導(dǎo)向.因此，對一道教材習(xí)題的深度拓展與開發(fā)，抽象其數(shù)學(xué)本質(zhì)，形成其知識體系，發(fā)揮其教育價(jià)值，這對于更好地培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有著重要的意義.

1 溯教材之源——見山是山

高中人教A版數(shù)學(xué)課本選修2-1第49頁第7題：如圖1，圓O的半徑為定長r，A是圓O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn).線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？為什么？[2]

圖1

由垂直平分線的性質(zhì)可知，|QP|=|QA|，所以|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|，而|OP|是圓O的半徑r為定值且大于|OA|，故點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)的橢圓如圖2.

圖2

數(shù)學(xué)家波利亞曾形象地說：“好問題同某種蘑菇相像，它們成堆生長，找到一個(gè)以后，你應(yīng)當(dāng)在周圍找找，很可能附近就有幾個(gè).”這道課本上的例題就如同“蘑菇”一樣，我們可以改變點(diǎn)A的位置，依然研究線段AP的垂直平分線l和半徑OP的交點(diǎn)Q的軌跡，那么點(diǎn)Q的軌跡又會是什么呢？考慮到點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，下面分別來研究當(dāng)點(diǎn)A在圓內(nèi)(與圓心O重合)、圓上、圓外時(shí)的點(diǎn)Q的軌跡.

當(dāng)點(diǎn)A在圓外時(shí)，線段AP的垂直平分線與半徑OP無交點(diǎn)，為了能繼續(xù)研究，我們這里研究線段AP的垂直平分線與半徑OP所在的直線的交點(diǎn)，這樣點(diǎn)Q便可以畫出.同樣由垂直平分線的性質(zhì)可知|QP|=|QA|，所以|QA|-|QO|=|QP|-|QO|=|OP|=r<|OA|，故點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，如圖3.當(dāng)移動點(diǎn)P時(shí)，此時(shí)又有|QO|-|QA|=|QO|-|QP|=|OP|=r<|OA|，故點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，如圖4，綜上，點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)的雙曲線.

圖3

圖4

2 探高考之變——見山不是山

在圖1的基礎(chǔ)上，如果我們把PA延長與圓交于點(diǎn)M，連接OM，QA，因?yàn)镼P=QA，所以∠QAP=∠QPA，又因?yàn)镺P=OM，所以∠OPA=∠OMP，故∠QAP=∠OMP，于是QA∥OM，如圖5，從而由“線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q”可推出“QA∥OM”，顯然其逆命題也成立，故可以把課本習(xí)題改頭換面為：A是半徑為r的圓O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l與圓O交于P，M兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作OM的平行線交OP于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的軌跡是什么？

圖5

以上基于課本習(xí)題的改編和2016年全國I卷理科第20題第(1)問如出一轍：設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點(diǎn)B(1，0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E，如圖6． 證明：|EA|+|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程.(過程同上，此處省略)

圖6

學(xué)生可能做過課本上的習(xí)題，但這道改編后的高考題卻給學(xué)生一種“見山不是山”的新鮮感，由此可見，一些高考題源于教材而又高于教材.由圖3可知，當(dāng)點(diǎn)A在圓外時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡為雙曲線，故將這道高考題嘗試作以下改編，希望對后續(xù)備考作一些參考意義，改編如下：設(shè)圓x2+y2+2x=0的圓心為A，直線l過點(diǎn)B(1，0)交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E． 求點(diǎn)E的軌跡方程.

圖7

圖8

本道改編題較原高考題增加了不少難度，這是因?yàn)閷W(xué)生可能會忽視對另外一種情況的討論，從而得到的軌跡只是雙曲線的一支，這恰恰是學(xué)生的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)和難點(diǎn)，所以本道改編題在軌跡專題復(fù)習(xí)中具有很好的警示作用，它不僅能考察雙曲線的定義，還能培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性.

3 究實(shí)驗(yàn)之道——見山還是山

數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾在《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》一書中指出：“將數(shù)學(xué)作為一種活動來進(jìn)行解釋和分析，建立在這一基礎(chǔ)上的教學(xué)方法稱之為再創(chuàng)造方法”[3].弗賴登塔爾認(rèn)為“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確的方法就是實(shí)行‘再創(chuàng)造’”.數(shù)學(xué)教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行這種再創(chuàng)造的活動，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)就是一個(gè)很好的抓手，它能讓學(xué)生在做數(shù)學(xué)的過程中培養(yǎng)自己的思維能力和創(chuàng)新能力.為此，在圖1探究點(diǎn)Q軌跡的基礎(chǔ)上，在課堂上開展如下數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，從而深化對橢圓概念的理解：

①先準(zhǔn)備一個(gè)圓形紙片，在紙片內(nèi)部確定異于中心點(diǎn)O的一點(diǎn)F，如圖9；

圖9

②開始折疊圓，將圓折起一角，使得圓周正好過點(diǎn)F，此時(shí)產(chǎn)生了一條折痕L，如圖10；

圖10

③重復(fù)上述過程繼續(xù)折下去，將得到若干條折痕，將每一條折痕都用筆標(biāo)記出來，仔細(xì)觀察，這些折痕圍成了一個(gè)什么圖形，如圖11，你能解釋其中的原理嗎？

圖11

問題1圓周上與F重合的點(diǎn)記為M，F(xiàn)和M具有怎樣的位置關(guān)系，折痕可以看作是F和M的什么？

學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)F和M關(guān)于折痕L對稱，折痕實(shí)為F和M的垂直平分線如圖12，當(dāng)點(diǎn)M在圓上運(yùn)動時(shí)，折痕會隨之而動.接下來教師再用GeoGebra對折痕進(jìn)行動態(tài)演示，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)折痕圍成了一個(gè)橢圓如圖13.

圖12

圖13

問題2我們知道點(diǎn)動成線，折痕作為一條直線為什么能圍成一個(gè)曲線呢？

引導(dǎo)學(xué)生從本質(zhì)上把握曲線形成的原因：點(diǎn)運(yùn)動的軌跡.從而把關(guān)注點(diǎn)轉(zhuǎn)移到折痕上某個(gè)點(diǎn)所形成的軌跡.

問題3我們可以利用什么來判斷動點(diǎn)的軌跡是橢圓呢？

學(xué)生不難想到利用橢圓的定義，教師讓學(xué)生復(fù)述定義的具體內(nèi)容即平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之和為定值(大于兩定點(diǎn)間的距離)的點(diǎn)的軌跡為橢圓，再一次明確定義中的關(guān)鍵要素：一個(gè)動點(diǎn)、兩個(gè)定點(diǎn)、和為定值.

問題4定義中涉及到一個(gè)動點(diǎn)和兩個(gè)定點(diǎn)，折痕上的點(diǎn)是我們研究的動點(diǎn)，圖中哪些是定點(diǎn)呢？

圓心O和圓內(nèi)一點(diǎn)F為兩個(gè)定點(diǎn)，這為研究動點(diǎn)到這兩定點(diǎn)的距離之和為定值做好方向性的指引.

問題5說到定值，你覺得圓里面哪個(gè)量是不變的呢，由此，你想到連接哪條線了嗎，你可以找到那個(gè)點(diǎn)了嗎？

由于圓中半徑是定值，學(xué)生不難想到連接OM，此時(shí)OM與折痕交于點(diǎn)P,如圖14，由垂直平分線的性質(zhì)可知|PM|=|PF|，于是再結(jié)合兩個(gè)定點(diǎn)便有|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|,且|OM|>|OF|，故P的軌跡是以O(shè)和F為焦點(diǎn)的橢圓，最后教師再通過GeoGebra的動態(tài)演示讓學(xué)生直觀的感受折痕圍成的橢圓就是折痕上的點(diǎn)運(yùn)動的軌跡，如圖15.

圖14

圖15

以上過程可以總結(jié)為：重復(fù)折疊紙片——圓周點(diǎn)M運(yùn)動——折痕直線運(yùn)動——點(diǎn)P運(yùn)動——形成橢圓.在這個(gè)過程中，學(xué)生需要把“折疊圓使得圓周正好過點(diǎn)F” 抽象為“折痕為F和M的垂直平分線”；然后在已有垂直平分線性質(zhì)和橢圓定義的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析，推理出折痕上某個(gè)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和是定值.本實(shí)驗(yàn)其實(shí)就是教材習(xí)題所蘊(yùn)含的一個(gè)動手實(shí)踐，過程中處處體現(xiàn)著數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理.學(xué)生看過了以前的“山”即圖1點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，再去看現(xiàn)在的“山”即折紙實(shí)驗(yàn)，就會有一種“看山還是山”的頓悟和喜悅，從而揭示出該問題的數(shù)學(xué)本質(zhì).

由于該實(shí)驗(yàn)的原理就是出自于圖1，我們可以讓學(xué)生根據(jù)圖2自己設(shè)計(jì)一個(gè)折紙實(shí)驗(yàn)——折雙曲線：①先準(zhǔn)備一張A4紙，在紙上畫一個(gè)圓，在圓的外部確定一點(diǎn)F；②開始 折疊圓，將圓折起一角，使得圓周正好過點(diǎn)F，此時(shí)產(chǎn)生了一條折痕L；③重復(fù)上述過程繼續(xù)折下去，將每一條折痕都用筆標(biāo)記出來，這些折痕就圍成了一個(gè)雙曲線.

行文至此，對教材這道習(xí)題的開發(fā)似乎可以拉下帷幕了，但真的就沒有遺珠了嗎？事實(shí)上，還有一些問題有待深挖，如從縱向的角度來看，在探究點(diǎn)Q軌跡的過程中，通過改變點(diǎn)Q的位置，我們可以得到圓、橢圓、雙曲線，但唯獨(dú)沒有圓錐曲線中的拋物線，似乎有些遺憾，我們知道數(shù)學(xué)是追求和諧與統(tǒng)一的，那如何通過類似的操作得到拋物線呢？又如從橫向的角度來看，除了教材習(xí)題呈現(xiàn)圓錐曲線的方式，還有哪些作法可以得到圓錐曲線的軌跡呢？限于篇幅，這里就不再詳細(xì)探討，留給讀者思考.

結(jié)束語

我國著名的教育家葉圣陶曾說：“教材無非是個(gè)例子，它只能作為教課的依據(jù)，要教得好，使學(xué)生收益，還要靠教師善于應(yīng)用.”本文通過深耕教材上的一道習(xí)題，開啟了一段探高考之變、究實(shí)驗(yàn)之道的智慧之旅，將書本上“冰冷的美麗”轉(zhuǎn)化為學(xué)生“火熱的思考”.在高三復(fù)習(xí)備考的過程中，希望越來越多的教師能創(chuàng)造性地使用教材和整合資源，帶領(lǐng)學(xué)生跳出題海，回歸教材，正所謂“眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”.