彭 剛 胡曉娟

(廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 541004)

自1877年日本東京數(shù)學(xué)會(huì)和東京大學(xué)理學(xué)部成立，日本數(shù)學(xué)研究進(jìn)入新時(shí)期．1920年，高木貞治解決“克羅內(nèi)克青春之夢(mèng)”問(wèn)題后，日本現(xiàn)代數(shù)學(xué)開(kāi)始走上世界舞臺(tái)．時(shí)至今日，日本數(shù)學(xué)家共獲得三次菲爾茲獎(jiǎng)，三次沃爾夫獎(jiǎng)[2]．2014年日本著名數(shù)學(xué)家森重文當(dāng)選國(guó)際數(shù)學(xué)聯(lián)盟主席，2018年柏原正樹(shù)獲得數(shù)學(xué)界終身成就獎(jiǎng)“陳省身獎(jiǎng)”[3]．日本是少有的數(shù)學(xué)研究在世界上有較大影響力的亞洲國(guó)家．

從日本頂級(jí)數(shù)學(xué)家的學(xué)習(xí)背景可以發(fā)現(xiàn)，他們均有東京大學(xué)和京都大學(xué)等日本一流國(guó)立大學(xué)學(xué)習(xí)或任教經(jīng)歷．日本的大學(xué)作為日本數(shù)學(xué)研究的核心機(jī)構(gòu)，每年通過(guò)入學(xué)考試為其選拔大批優(yōu)秀后備人才，不斷增強(qiáng)本國(guó)數(shù)學(xué)研究力量．日本國(guó)公立大學(xué)入學(xué)考試作為選拔高水平人才的得力方式，其試題的設(shè)置方式與內(nèi)容均值得我們借鑒．

近二十年來(lái)，一些中國(guó)教育者致力于日本高考數(shù)學(xué)試題和大學(xué)入學(xué)考試試題的研究，比如對(duì)日本的高考試題進(jìn)行編譯[4-7]，或者對(duì)日本的大學(xué)入學(xué)試題進(jìn)行專題研究[8][9]，還有學(xué)者對(duì)2019年?yáng)|京大學(xué)和京都大學(xué)入學(xué)考試試題進(jìn)行解析評(píng)價(jià)，總結(jié)出了兩校試題的特點(diǎn)[10][11]．但總體而言，關(guān)于日本的大學(xué)入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題的系統(tǒng)研究還比較缺乏．本文通過(guò)對(duì)2020年日本八所QS世界排名前150名的著名國(guó)立大學(xué)(1)2020年QS排名前150名的日本高校有以下八所：東京大學(xué)，京都大學(xué)，東京工業(yè)大學(xué)，大阪大學(xué)，東北大學(xué)，名古屋大學(xué)，九州大學(xué)，北海道大學(xué)．理科數(shù)學(xué)入學(xué)試題的分析，窺探日本著名高校數(shù)學(xué)入學(xué)試題的特點(diǎn)，希望對(duì)當(dāng)前我國(guó)“強(qiáng)基計(jì)劃”中數(shù)學(xué)試題的命制以及中國(guó)的數(shù)學(xué)高考改革提供參考．

1 日本國(guó)公立大學(xué)入學(xué)制度

日本的大學(xué)分為國(guó)公立與私立兩類．國(guó)公立大學(xué)是由政府出資建設(shè)，多為研究性大學(xué)，如東京大學(xué)、京都大學(xué)等世界一流高等學(xué)府；私立大學(xué)則由民間資本所維持經(jīng)營(yíng)，多側(cè)重社會(huì)實(shí)踐，如慶應(yīng)義塾大學(xué)、早稻田大學(xué)等．日本的大學(xué)入學(xué)途徑大致分為一般選拔和特別選拔，國(guó)公立大學(xué)多采用一般選拔方式，特殊選拔如AO考試、推薦入學(xué)方式常見(jiàn)于私立大學(xué)[12]．國(guó)公立大學(xué)的一般選拔是由兩場(chǎng)考試構(gòu)成——學(xué)生首先需通過(guò)1月份全國(guó)統(tǒng)一的大學(xué)入學(xué)中心考試，取得合格后方有資格參加2月或者3月國(guó)公立大學(xué)自主組織的入學(xué)考試[13-15]，兩場(chǎng)考試的成績(jī)按一定比例計(jì)入總成績(jī)．由于全國(guó)國(guó)公立大學(xué)的入學(xué)考試均在同一天，學(xué)生需根據(jù)自己的實(shí)際情況選擇一所國(guó)公立大學(xué)參加考試．但日本高考不會(huì)“一考定終身”，國(guó)公立大學(xué)的校內(nèi)考試一般分為前期和后期，有的學(xué)校還有中期考試[16]，并且日本私立大學(xué)的考試時(shí)間、內(nèi)容形式十分自由，考生即使第一次發(fā)揮失常，仍有機(jī)會(huì)被名校錄?。?/p>

2 日本八所著名大學(xué)理科數(shù)學(xué)入學(xué)試題解析

日本各大學(xué)在入學(xué)考試中掌握高度的自主權(quán)，不同學(xué)校之間的考試時(shí)長(zhǎng)、題目數(shù)量、整體難度與內(nèi)容都由高校依據(jù)本校或各院系的實(shí)際情況自由設(shè)置．?dāng)?shù)學(xué)在各大學(xué)的入學(xué)考試中，分為文科卷和理科卷，本文選取上述八所著名國(guó)立大學(xué)的理科數(shù)學(xué)題目作為分析對(duì)象．

這八所學(xué)校2020年入學(xué)考試試題總數(shù)共計(jì)42道，均為解答題，其中每所大學(xué)考查4-6題數(shù)量不等，考試時(shí)長(zhǎng)則為2-3小時(shí)，詳情見(jiàn)圖1．

圖1 各校題目數(shù)及考試時(shí)長(zhǎng)

在試題分?jǐn)?shù)設(shè)置上，由于只有部分大學(xué)公布了試題的具體分?jǐn)?shù)，下面只對(duì)這些學(xué)校的試題的分?jǐn)?shù)情況進(jìn)行介紹．一方面，這些大學(xué)的總分并不相同，如東京大學(xué)試題總分共計(jì)120分，而京都大學(xué)、九州大學(xué)和東京工業(yè)大學(xué)的試題總分分別為200分、250分和300分．另一方面，有的大學(xué)的不同院系對(duì)同一份數(shù)學(xué)試題總分的設(shè)置也并不一致；以大阪大學(xué)為例，理工科的數(shù)學(xué)試題總分為250分，醫(yī)學(xué)部醫(yī)學(xué)科的數(shù)學(xué)試題總分為500分，而保健學(xué)科和齒學(xué)部數(shù)學(xué)試題總分則為200分．總體而言，這八所大學(xué)的試題總分相差較大，同一所大學(xué)的不同院系的分?jǐn)?shù)也存在較大差異．

依據(jù)日本最大的教育輔導(dǎo)社河合塾提供的數(shù)據(jù)[17]，筆者對(duì)上述八所學(xué)校的理科數(shù)學(xué)試題的難度和考查內(nèi)容進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)(詳情見(jiàn)表1)．

表1 2020年日本八所著名大學(xué)入學(xué)試題的考查內(nèi)容及難度情況

在試題難度上，東京大學(xué)、京都大學(xué)和北海道大學(xué)較2019年整體有所上升，名古屋大學(xué)和九州大學(xué)與2019年持平，而大阪大學(xué)、東北大學(xué)和東京工業(yè)大學(xué)相比去年則有所下降．此外，這42道題中難度層次為較易、標(biāo)準(zhǔn)、較難的題目數(shù)量分別為8、20、14，占比分別約為19%、48%、33%(見(jiàn)圖2)．總體而言，日本2020年著名高等院校的選拔依舊保持一貫的水平，頂尖院校如東京大學(xué)、京都大學(xué)對(duì)人才的數(shù)學(xué)知識(shí)掌握要求更為嚴(yán)格．日本著名大學(xué)的數(shù)學(xué)入學(xué)考試的難度集中在“標(biāo)準(zhǔn)”和“較難”，目的在于選拔一批具有良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)生進(jìn)入一流大學(xué)深造．

圖2 各難度層次所占的比例

為深入研究上述試題的考查內(nèi)容，筆者將這42道題所涉及的知識(shí)領(lǐng)域進(jìn)行了分析整理，并將它們分為初等數(shù)論、初等代數(shù)、初等幾何、微積分、概率和綜合共六類．其中，前五類是指題目主要涉及該類的知識(shí)，一般不涉及其他內(nèi)容；第六類綜合類則是涉及前五個(gè)內(nèi)容中的兩個(gè)或兩個(gè)以上，由此繪制出各小題難度統(tǒng)計(jì)圖(見(jiàn)圖3)．這42道題中主要涉及初等數(shù)論的題目共4題，占比約為9.5%，主要涉及初等代數(shù)的題目共4題，占比約為9.5%，主要涉及初等幾何的題目共8題，占比約為19.0%，主要涉及微積分的題目共有12題，占比約為28.6%，主要涉及概率的題目共2題，占比約為4.8%，而涉及多個(gè)知識(shí)領(lǐng)域的綜合試題則共有12題，占比約為28.6%．下面我們將針對(duì)每個(gè)內(nèi)容選取部分例題作進(jìn)一步介紹．

圖3 各小題難度統(tǒng)計(jì)

2.1 初等數(shù)論

作為數(shù)學(xué)最古老的分支之一，初等數(shù)論主要使用初等的方法來(lái)研究整數(shù)的性質(zhì)，一般包括整除理論、同余理論和不定方程(組)求解．上述42道題目主要涉及初等數(shù)論內(nèi)容的共計(jì)有4題，分別是東京工業(yè)大學(xué)第1題(考查同余方程)、名古屋大學(xué)第2題(考查素?cái)?shù)的性質(zhì))、東北大學(xué)第3題(考查不定方程)和京都大學(xué)第4題(見(jiàn)例題1)．

例題1(京都大學(xué)第4題)已知a∈Z+，令a=3bc(b,c是整數(shù)，且c不能被3整除)．規(guī)定B(a)=b，如B(32·5)=2．對(duì)于整數(shù)對(duì)(m,n)，定義f(m,n)=m3+n2+n+3，其中m,n滿足以下條件：(i)1≤m≤30； (ii)1≤n≤30； (iii)n不能被3整除．求A(m,n)=B(f(m,n))的最大值，并求出此時(shí)所有的整數(shù)對(duì)(m,n)．

解析此題難度層次屬“較難”，主要考查數(shù)論中的剩余類及同余式．解答此題的主要策略是分類討論．

2.2 初等代數(shù)

代數(shù)學(xué)是研究代數(shù)運(yùn)算和代數(shù)結(jié)構(gòu)的一門學(xué)科，一般分為初等代數(shù)和高等代數(shù)．日本的大學(xué)入學(xué)考試考查的是初等代數(shù)，主要包括數(shù)的運(yùn)算、代數(shù)方程、不等式與不等式組、數(shù)列的性質(zhì)、排列組合和二項(xiàng)式定理等等．這里所研究的42道題中主要涉及初等代數(shù)內(nèi)容的試題共4題，分別為京都大學(xué)第1題(考查高次方程)和第5題(考查排列組合)、東京大學(xué)第1題(考查不等式)和第4題(見(jiàn)例題2)．

(1)當(dāng)n≥2時(shí)，求an,2；

解析此題難度層次屬“較難”，主要考查數(shù)列、排列組合以及多項(xiàng)式運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是尋求遞推關(guān)系式．

2.3 初等幾何

初等幾何主要研究點(diǎn)、線、面以及它們的位置關(guān)系，包括平面幾何、立體幾何、平面和空間解析幾何等相關(guān)內(nèi)容．這里所研究的42道題中主要涉及初等幾何內(nèi)容的試題共8題：考查平面幾何的有東北大學(xué)第1題、北海道大學(xué)第1題和東京大學(xué)第2題(見(jiàn)例題3)，考查立體幾何的有九州大學(xué)第3題，考查解析幾何的有東北大學(xué)第2題、京都大學(xué)第3題和東京工業(yè)大學(xué)第3題，而大阪大學(xué)第5題則既考查了平面幾何、又考查了立體幾何．

例題3(東京大學(xué)第2題)平面上不共線的三點(diǎn)P，Q，R可構(gòu)成一個(gè)三角形，將其面積記為△PQR；當(dāng)P，Q，R共線時(shí)，規(guī)定△PQR=0．現(xiàn)平面上有3個(gè)點(diǎn)A，B，C，且△ABC=1．若平面上的動(dòng)點(diǎn)X滿足不等式2≤△ABX+△BCX+△CAX≤3，求X所滿足的區(qū)域的面積和．

圖4

2.4 微積分

微積分主要研究定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)的性質(zhì)，其內(nèi)容一般包括數(shù)列和函數(shù)的極限、函數(shù)的微分與積分以及它們的應(yīng)用等等．上述42道題中共有12題主要考查微積分知識(shí)，并且這八所大學(xué)中每一所大學(xué)的入學(xué)試題均包含了微積分這一內(nèi)容(除了上述12題外，還有6道綜合題涉及微積分)．比如，東京大學(xué)考查了導(dǎo)數(shù)和定積分的應(yīng)用(第3題和第5題)，京都大學(xué)考查了數(shù)列的極限和定積分的應(yīng)用(第2題和第6題)，東京工業(yè)大學(xué)考查了數(shù)列的極限、定積分的計(jì)算和應(yīng)用(第4題和第5題，其中第5題見(jiàn)下面的例題4)，大阪大學(xué)考查了數(shù)列與函數(shù)的極限以及定積分的應(yīng)用(第1題、第2題和第4題)，等等．

(1)用ak和k表示ak+2；

(2)若數(shù)列{kak}收斂于A，求A的值；

(3)若數(shù)列{kmak-knA}收斂于B，且B≠0，求整數(shù)m,n(m>n≥1)的值以及B的值；

(4)若數(shù)列{kpak-kqA-krB}收斂于C，且C≠0，求整數(shù)p,q,r(p>q>r≥1)的值以及C的值．

解析此題難度屬“較難”，考查定積分的計(jì)算以及數(shù)列的極限．

2.5 概率

概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)分支，也是統(tǒng)計(jì)學(xué)的理論基礎(chǔ)．概率與統(tǒng)計(jì)是中國(guó)高考的必考內(nèi)容，而2020年日本八所高校入學(xué)試題只考查了概率這一內(nèi)容．上述42題中涉及概率知識(shí)的有5題，其中主要考查概率計(jì)算的只有兩題，九州大學(xué)第4題和東北大學(xué)第4題(見(jiàn)例題5)．

例題5(東北大學(xué)第4題)有一個(gè)裝著5個(gè)小球的箱子，其中白球3個(gè)，紅球2個(gè)．從盒子里隨機(jī)取出一個(gè)小球，同時(shí)投擲硬幣：如果硬幣出現(xiàn)正面，小球留在手上；如果硬幣出現(xiàn)反面，小球放回盒子．重復(fù)該試驗(yàn)，當(dāng)箱中無(wú)小球時(shí)停止試驗(yàn)．假設(shè)剛開(kāi)始時(shí)手上沒(méi)有小球，請(qǐng)回答以下問(wèn)題：

(1)求經(jīng)過(guò)兩次試驗(yàn)后，手上有兩個(gè)白球的概率；

(2)求經(jīng)過(guò)三次試驗(yàn)后，手上正好有1個(gè)白球和1個(gè)紅球的概率；

(3)設(shè)n≥5，n∈Z，求第n次停止試驗(yàn)的概率pn；

(4)當(dāng)pn取最大值時(shí)，求n的值．

解析此題難度層次屬于“標(biāo)準(zhǔn)”，主要考查概率的計(jì)算．為解答方便，可設(shè)硬幣為正面且取出白球?yàn)槭录嗀，硬幣為正面且取出紅球?yàn)槭录﨎，硬幣為反面且任意取出一個(gè)球?yàn)槭录﨏．

2.6 綜合

盡管數(shù)學(xué)有很多分支，但各分支之間存在千絲萬(wàn)縷的關(guān)系，因而無(wú)論是日本還是中國(guó)，綜合題型在選拔性數(shù)學(xué)考試中都占據(jù)十分重要的地位．日本八所高校的42道大題中，綜合題共有12題，占比28.6%．這八所大學(xué)具體考查的綜合題的題號(hào)、內(nèi)容和難度情況見(jiàn)表2，部分試題參見(jiàn)例題6和例題7．

表2 八所大學(xué)所考查的綜合題具體情況表

例題6(京都大學(xué)第2題)已知p為正整數(shù)，α，β是關(guān)于x的方程x2-2px-1=0的兩個(gè)解，其中|α|>1．

(1)證明：對(duì)于所有的正整數(shù)n，αn+βn均是偶數(shù)；

解析此題屬于代數(shù)與微積分的綜合題，難度層次屬于“較難”，主要考查代數(shù)方程根與系數(shù)的關(guān)系以及數(shù)列的極限，解答過(guò)程中有些步驟對(duì)于變形的技巧要求較高．

解答(1)時(shí)可利用數(shù)學(xué)歸納法，由于第二步中的遞推關(guān)系式為αk+1+βk+1=2p(αk+βk)+(αk-1+βk-1)，因此在第一步中需要驗(yàn)證命題在n=1和n=2時(shí)成立；

例題7(名古屋大學(xué)第1題)設(shè)雙曲線x2-y2=1在x>0的部分為C1，在x<0的部分為C2，回答以下問(wèn)題：

(1)若直線l:ax-by=1與C1和C2各有一個(gè)交點(diǎn)，求a、b應(yīng)滿足的條件；

(2)設(shè)直線l與C1和C2分別交于P，Q，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,b)，求△APQ的面積；

(3)求△APQ面積的最小值，以及此時(shí)a、b應(yīng)滿足的條件．

解析此題屬于解析幾何與微積分的綜合題，難度層次屬于“標(biāo)準(zhǔn)”，主要考查雙曲線與直線的位置關(guān)系以及函數(shù)的最值(2)按照本題的參考答案，此處函數(shù)的最值是使用求導(dǎo)的方法，因此將此題歸類為解析幾何與微積分的綜合題；事實(shí)上，此題的最值也可以利用三角替換與均值不等式，這樣便可將此題歸類為解析幾何與代數(shù)的綜合題. 由此看出，表2中的內(nèi)容分類并不是唯一的；此外，對(duì)于一道數(shù)學(xué)題是否是綜合題，可能也存在不同的觀點(diǎn)，本文中的分類僅供參考.．

3 日本八所著名大學(xué)理科數(shù)學(xué)入學(xué)試題的特點(diǎn)

通過(guò)對(duì)2020年八所日本著名大學(xué)入學(xué)數(shù)學(xué)考試試題研究分析，不難發(fā)現(xiàn)試題有以下特點(diǎn)：

(1)題目少，運(yùn)算強(qiáng)度大

日本大學(xué)入學(xué)中心考試(全國(guó)統(tǒng)考)時(shí)間為1小時(shí)，主要考查學(xué)生的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，而日本的國(guó)公立大學(xué)二次入學(xué)考試試題均以解答題的形式出現(xiàn)，這些題目解答步驟多、運(yùn)算量大，對(duì)考生的計(jì)算能力提出了很高的要求．

(2)題目簡(jiǎn)潔，邏輯分析能力要求程度高

二次入學(xué)考試作為日本高校選拔高層次人才手段，理科數(shù)學(xué)入學(xué)試題充分體現(xiàn)理工學(xué)科要求的邏輯性、嚴(yán)謹(jǐn)性和縝密性．試題題目條件設(shè)置往往簡(jiǎn)潔明了，考生須在簡(jiǎn)明的題目條件中分析提煉關(guān)鍵要素，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，充分挖掘條件背后所延伸的數(shù)學(xué)知識(shí)．以初等幾何考查內(nèi)容為例，日本高校更注重考查學(xué)生二維或三維圖形的想象能力，各大學(xué)對(duì)幾何題目的考查只給文字描述，考生需要根據(jù)題目條件自行分析并畫(huà)出相應(yīng)圖形，由此圖完成相應(yīng)作答．

(3)部分試題綜合性強(qiáng)

日本各大學(xué)二次入學(xué)考試更注重學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)綜合知識(shí)的掌握與應(yīng)用．以微積分為例，東京大學(xué)要求考生運(yùn)用微積分求面積及旋轉(zhuǎn)體體積．名古屋大學(xué)要求考生熟練進(jìn)行積分變換、運(yùn)算，并證明積分不等式．北海道大學(xué)更是將微分與數(shù)學(xué)歸納法結(jié)合，積分方程與函數(shù)極限融合考查．考生不僅要對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)駕輕就熟，還必須對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系觸類旁通，才能順利進(jìn)行題目的研讀與解答．

(4)高等數(shù)學(xué)內(nèi)容豐富

日本大學(xué)二次入學(xué)考試類似于西方精英教育的選拔，考生自行選擇學(xué)校參加入學(xué)試，各學(xué)?；蛟合底灾髅}，只要總成績(jī)及格即可被錄?。鄶?shù)擅長(zhǎng)理科的考生在高中階段早已學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)內(nèi)容．因此，各大學(xué)理學(xué)部的數(shù)學(xué)入學(xué)試題都會(huì)出現(xiàn)很多如高次方程、曲線和曲面積分等高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容．

4 結(jié)語(yǔ)

2020年1月，中國(guó)教育部頒布文件《關(guān)于在部分高校開(kāi)展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作的意見(jiàn)》[18]，該文件聚焦國(guó)家重大戰(zhàn)略需求，從2020年起取消高校自主招生考試，在試點(diǎn)的36所高校實(shí)施“強(qiáng)基計(jì)劃”，以提升基礎(chǔ)學(xué)科人才選拔和人才培養(yǎng)質(zhì)量．日本高校自主招生考試自二戰(zhàn)后經(jīng)多次變革，已形成一套成熟的招考制度.各高校數(shù)學(xué)科考試在體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科性的同時(shí)，十分注重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯分析及綜合能力，充分發(fā)掘?qū)W生的數(shù)學(xué)潛能，不斷適應(yīng)日本社會(huì)各領(lǐng)域?qū)Ω呒舛巳瞬诺男枨螅虼?，?duì)日本著名國(guó)公立大學(xué)二次入學(xué)試題內(nèi)容的研究，可以為我國(guó)新提出的“強(qiáng)基計(jì)劃”數(shù)學(xué)試題設(shè)置以及數(shù)學(xué)資優(yōu)生的培養(yǎng)提供參考.