張圣兵 宋 峰

(1.江蘇省通州高級(jí)中學(xué) 226300；2.南開大學(xué)物理科學(xué)學(xué)院 300071)

摩擦力并不總是各向同性的，也就是說各個(gè)方向上的摩擦力不一定都是相同的。通常情況下，摩擦力的大小和方向取決于物體運(yùn)動(dòng)的方向。比如，在物體接觸面上存在一定方向的“溝槽”時(shí)，各方向上的摩擦力就不同（橡木對(duì)橡木的摩擦系數(shù)，沿著紋理方向和垂直于紋理方向，分別等于0.48 和0.34）。摩擦的各向異性會(huì)導(dǎo)致不尋常的運(yùn)動(dòng)特性，本題將就此特性進(jìn)行研究。

關(guān)于各向異性摩擦，你需要知道什么？

假設(shè)一個(gè)表面是由各向異性的材料構(gòu)成的。關(guān)于各向異性摩擦力的最流行的模型之一是這么考慮的：作用在物體上的摩擦力將取決于物體的運(yùn)動(dòng)方向，設(shè)互相垂直的X和Y軸（它們被稱為主軸），x和y方向的摩擦力分別為

其中Fx和Fy為摩擦力分量，N是作用在物體上的法向作用力，vx和vy是速度矢量v→的分量，μx和μy是沿兩個(gè)主軸的摩擦系數(shù)。

在此，可以理解為平面上的坐標(biāo)軸與主軸相吻合。我們?cè)O(shè)摩擦系數(shù)為μx=0.75，μy=0.5。另有說明的除外。

在本題的A和B部分，物體均被視為質(zhì)點(diǎn)。在本題的所有部分中，物體運(yùn)動(dòng)的平面都是水平的。

如果可以得到數(shù)值答案，則需要給出具體數(shù)值。

A部分：在水平面上的運(yùn)動(dòng)（4.0分）

A.1 摩擦力的絕對(duì)功率值達(dá)到最大時(shí)，物體速度矢量與X軸成的角度α1為多少？0.5pt

A.2 摩擦力功率的絕對(duì)值小于最大值的1.2 倍時(shí)，物體速度矢量應(yīng)與X軸成的角度α2為多少？0.5pt

A.3 令初始速度的分量v0x=1 m/s，v0y=1 m/s。一段時(shí)間后，沿Y軸的速度分量等于v1y=0.25 m/s。此刻的速度大小是多少？1.0pt

A.4 設(shè)速度為v2＝1.0 m/s。為了使軌跡的曲率半徑最小，速度矢量應(yīng)與X軸成什么角度？這個(gè)半徑等于多少？已知自由落體的加速度為g=9.8 m/s2。1.0pt

A.5 在XY平面圖中，畫出在上述摩擦系數(shù)下，以α4=π/6和α5=π/3角度發(fā)射的物體的軌跡。初始速度的大小是相同的。對(duì)于摩擦系數(shù)μx=0.4 和μy=0.7的情況，再回答該題。1.0pt

B部分：物體開始運(yùn)動(dòng)的條件(2.0分)

B.1 一個(gè)質(zhì)量為m的物體靜止在原點(diǎn)上。有一個(gè)力以與X軸成夾角α施加在該物體上。力的大小F(t)=γt隨時(shí)間線性增長。求物體開始運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻對(duì)α的依賴性。忽略停滯現(xiàn)象。2.0pt

C部分：圓周運(yùn)動(dòng)（4.0分）

兩個(gè)相同的質(zhì)點(diǎn)通過一根長度為L=1 m的重量可忽略且不可伸長的桿相連，系統(tǒng)位于一個(gè)具有各向異性摩擦的表面上。桿沿著與Y軸放置，不接觸表面。其中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)具有初始速度，其方向垂直于桿。

C.1 假定另一質(zhì)點(diǎn)保持靜止，對(duì)于給定的初始速度v0，求其速度v與桿的旋轉(zhuǎn)角度φ的關(guān)系。1.5pt

C.2 求最大初速度v0max為多少，設(shè)另一物體仍保持靜止。1.5pt

C.3 如果初始速度為v0max，則物體在完全停止前走過的距離為多少？1.0pt

各向異性摩擦在生活中是常見的。比如本題中給出的例子：兩個(gè)木塊，互相平行放置和垂直放置時(shí)，其紋理不同，導(dǎo)致摩擦系數(shù)不同。在實(shí)際應(yīng)用中，利用這種特性可制作特殊的材料和器件。比如，將通過3D打印得到的取向性倒刺結(jié)構(gòu)，埋植于某種納米材料中，在光照射下納米材料軟化，其表面倒刺的取向角度可發(fā)生改變，從而引起兩個(gè)正交方向上的摩擦力發(fā)生顯著改變。這種光熱響應(yīng)的摩擦各向異性材料可被用作智能開關(guān)。

本題涉及到運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)概念。

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