張圣兵 宋 峰
(1.江蘇省通州高級中學 226300;2.南開大學物理科學學院 300071)
摩擦力并不總是各向同性的,也就是說各個方向上的摩擦力不一定都是相同的。通常情況下,摩擦力的大小和方向取決于物體運動的方向。比如,在物體接觸面上存在一定方向的“溝槽”時,各方向上的摩擦力就不同(橡木對橡木的摩擦系數(shù),沿著紋理方向和垂直于紋理方向,分別等于0.48 和0.34)。摩擦的各向異性會導致不尋常的運動特性,本題將就此特性進行研究。
假設一個表面是由各向異性的材料構成的。關于各向異性摩擦力的最流行的模型之一是這么考慮的:作用在物體上的摩擦力將取決于物體的運動方向,設互相垂直的X和Y軸(它們被稱為主軸),x和y方向的摩擦力分別為
其中Fx和Fy為摩擦力分量,N是作用在物體上的法向作用力,vx和vy是速度矢量v→的分量,μx和μy是沿兩個主軸的摩擦系數(shù)。
在此,可以理解為平面上的坐標軸與主軸相吻合。我們設摩擦系數(shù)為μx=0.75,μy=0.5。另有說明的除外。
在本題的A和B部分,物體均被視為質點。在本題的所有部分中,物體運動的平面都是水平的。
如果可以得到數(shù)值答案,則需要給出具體數(shù)值。
A.1 摩擦力的絕對功率值達到最大時,物體速度矢量與X軸成的角度α1為多少?0.5pt
A.2 摩擦力功率的絕對值小于最大值的1.2 倍時,物體速度矢量應與X軸成的角度α2為多少?0.5pt
A.3 令初始速度的分量v0x=1 m/s,v0y=1 m/s。一段時間后,沿Y軸的速度分量等于v1y=0.25 m/s。此刻的速度大小是多少?1.0pt
A.4 設速度為v2=1.0 m/s。為了使軌跡的曲率半徑最小,速度矢量應與X軸成什么角度?這個半徑等于多少?已知自由落體的加速度為g=9.8 m/s2。1.0pt
A.5 在XY平面圖中,畫出在上述摩擦系數(shù)下,以α4=π/6和α5=π/3角度發(fā)射的物體的軌跡。初始速度的大小是相同的。對于摩擦系數(shù)μx=0.4 和μy=0.7的情況,再回答該題。1.0pt
B.1 一個質量為m的物體靜止在原點上。有一個力以與X軸成夾角α施加在該物體上。力的大小F(t)=γt隨時間線性增長。求物體開始運動的時刻對α的依賴性。忽略停滯現(xiàn)象。2.0pt
兩個相同的質點通過一根長度為L=1 m的重量可忽略且不可伸長的桿相連,系統(tǒng)位于一個具有各向異性摩擦的表面上。桿沿著與Y軸放置,不接觸表面。其中一個質點具有初始速度,其方向垂直于桿。
C.1 假定另一質點保持靜止,對于給定的初始速度v0,求其速度v與桿的旋轉角度φ的關系。1.5pt
C.2 求最大初速度v0max為多少,設另一物體仍保持靜止。1.5pt
C.3 如果初始速度為v0max,則物體在完全停止前走過的距離為多少?1.0pt
各向異性摩擦在生活中是常見的。比如本題中給出的例子:兩個木塊,互相平行放置和垂直放置時,其紋理不同,導致摩擦系數(shù)不同。在實際應用中,利用這種特性可制作特殊的材料和器件。比如,將通過3D打印得到的取向性倒刺結構,埋植于某種納米材料中,在光照射下納米材料軟化,其表面倒刺的取向角度可發(fā)生改變,從而引起兩個正交方向上的摩擦力發(fā)生顯著改變。這種光熱響應的摩擦各向異性材料可被用作智能開關。
本題涉及到運動學和動力學基礎概念。
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