刁 尹，王永海，盧寶剛，韋常柱

(1. 哈爾濱工業(yè)大學航天學院，哈爾濱 150001；2. 北京臨近空間飛行器系統(tǒng)工程研究所，北京 100076；3. 北京航天長征飛行器研究所，北京 100076)

0 引 言

作為衡量火箭性能最直接也是最重要的指標，運載能力可為火箭總體參數(shù)快速論證與任務規(guī)劃提供重要的參考依據(jù)，特別是在構(gòu)型論證與任務規(guī)劃階段，運載能力估值過高可能會造成代價高昂的減重甚至導致運載任務失??；相反，估值過低則會浪費寶貴的運載能力。然而，由于受到火箭總體參數(shù)、任務模式和計算條件等多方面的限制，難以找到具有一定通用性的火箭運載能力快速計算方法，特別是在型號論證初期，需要一種能夠滿足不同構(gòu)型和任務條件下運載能力快速計算的普適方法。

針對火箭運載能力計算問題，目前主要有離線彈道積分、在線制導和純工程經(jīng)驗估算等方法。離線彈道積分方法通過將問題轉(zhuǎn)化為多約束參數(shù)優(yōu)化問題對運載能力進行離線積分計算，需要進行精細化建模且計算效率較低；在線制導方法通?；谧赃m應偽譜法、間接法、凸優(yōu)化和改進迭代制導等原理，通過設計與火箭實時狀態(tài)和目標任務精確匹配的制導模型完成剩余運載能力的求解，在總體論證和構(gòu)型優(yōu)化階段，制導系統(tǒng)的反復更改會導致求解模型的復雜化，且具有統(tǒng)一形式的凸優(yōu)化和聯(lián)立法等方法也存在非凸約束轉(zhuǎn)化、收斂性和計算效率等問題；純工程經(jīng)驗估算方法主要通過對以往型號任務與飛行經(jīng)驗的總結(jié)，對包括有效載荷在內(nèi)的各部分質(zhì)量參數(shù)進行粗略估計，構(gòu)型論證階段缺乏可用于參照的模型數(shù)據(jù)，且計算精度較低。

因此，上述方法均無法同時滿足火箭總體構(gòu)型與任務的快速論證中的準確性、快速性和普適性要求。而運載能力求解問題可以轉(zhuǎn)化為具有普適性的最大載荷條件下的速度損失計算問題，但目前僅有對火星滑行段氣動阻力速度損失的研究成果。

針對不同構(gòu)型與任務條件下的運載能力快速計算問題，本文研究了基于高斯函數(shù)與組合神經(jīng)網(wǎng)絡的火箭運載能力快速計算方法。首先，將運載能力轉(zhuǎn)化為速度損失項求解問題，并給出方法整體框架；其次，在狀態(tài)量解析計算分析的基礎上，采用高斯函數(shù)對核心的重力速度損失項進行擬合計算；為提高樣本的采樣密度，簡化數(shù)據(jù)建模過程，并增強針對不同構(gòu)型與任務的適應性，采用RBF+DNN組合網(wǎng)絡進行重力速度損失回歸分析；然后，考慮發(fā)射條件和任務參數(shù)，給出了運載能力快速迭代求解方法；最后，通過仿真實驗驗證了方法的有效性，并給出本文結(jié)論。

1 運載能力評估方法

1.1 整體框架

在給定構(gòu)型基本總體參數(shù)和初始任務條件下，通過實際速度增量與等效需要速度之間的匹配關系判斷任務的可達性，并通過調(diào)整任務參數(shù)完成運載能力的迭代求解。其中，實際速度增量計算的關鍵在于速度損失項；而重力速度損失作為速度損失項中占比最大和快速準確求解難度最高的部分，是本文研究的核心。為此，構(gòu)建了不同構(gòu)型與任務條件下的數(shù)據(jù)樣本，并分別采用基于狀態(tài)量解析特性分析的高斯函數(shù)與RBF+DNN組合神經(jīng)網(wǎng)絡進行重力速度損失相關的樣本訓練與模型調(diào)用。本文所研究方法的整體框圖如圖1所示。

圖1 整體框圖

1.2 速度損失估計

(1)

式中：Δ為理想速度增量；Δ為重力速度損失；Δ為氣動阻力速度損失；Δ為噴口壓力速度損失；Δ為攻角速度損失；為關機時間；與分別代表實際推力與真空推力；為質(zhì)量；為重力加速度；為當?shù)貜椀纼A角；為氣動阻力系數(shù)；為動壓；為發(fā)動機噴口面積；為箭體氣動參考面積。

運載火箭二級及以上飛行階段大氣稀薄，由氣動阻力和噴口壓力產(chǎn)生的速度損失可忽略不計。此外，不同火箭構(gòu)型與任務條件下最大氣動阻力系數(shù)所對應的高度和馬赫數(shù)接近，可采用同一擬合系數(shù)進行計算。根據(jù)運載火箭總體設計經(jīng)驗，氣動阻力速度損失和噴口壓力速度損失可寫成：

(2)

式中：為氣動阻力損失系數(shù)，可根據(jù)最大氣動阻力系數(shù)對應的高度和馬赫數(shù)查表得到；為一級起飛質(zhì)量；為一級壓力損失系數(shù)，可取為與火箭構(gòu)型相關的常量；和分別為火箭一級關機點的質(zhì)量比和比沖比。

在速度損失組成中，氣動阻力速度損失和噴口壓力速度損失占比很??；由二次攻角引起的攻角速度損失通常可以忽略；重力損失項作為火箭速度損失的主要組成部分，是運載能力計算的關鍵環(huán)節(jié)。

2 重力速度損失的高斯擬合方法

2.1 分段處理

重力速度損失主要與重力加速度和發(fā)射坐標系下的當?shù)貜椀纼A角有關，而重力加速度是地心距的函數(shù)，可采用擬合函數(shù)對地心距和當?shù)貜椀纼A角進行回歸分析，進而完成對重力速度損失的計算。根據(jù)運載火箭飛行特點，按照垂直飛行段、一級飛行段(不含垂直飛行段)和二級及以上飛行段進行重力速度損失估算研究。

(1)垂直飛行段

火箭垂直飛行時間較短，重力加速度可認為不變，當?shù)貜椀纼A角基本保持為90°，因此垂直飛行段重力速度損失為：

Δ=

(3)

式中：為運載火箭地面重力加速度；為運載火箭垂直飛行時間，可根據(jù)起飛推重比進行計算。

(2)一級飛行段(不含垂直飛行段)

根據(jù)總體設計經(jīng)驗，運載火箭一級重力速度損失可采用如下公式進行準確估算：

(4)

式中：為減去后的一級飛行時間；為一級關機點當?shù)貜椀纼A角；為引力場修正系數(shù)；為轉(zhuǎn)彎修正系數(shù)。上述兩個系數(shù)可通過已有工程數(shù)據(jù)查表得到。

由式(4)可知，為準確計算一級飛行段重力速度損失，需要精確求解，而與任務類型、軌道高度及飛行時間等因素密切相關，可將一級關機點以后飛行段的和地心距擬合成隨時間變化且與任務相關的函數(shù)，然后根據(jù)任務類型、軌道高度和一級工作時間得到。

(3)二級及以上飛行段

在完成，隨時間變化曲線擬合后，可由準確得到重力加速度的值，則二級及以上飛行段的重力速度損失可通過簡單積分快速獲得。

2.2 狀態(tài)量解析解分析

為選擇合適的方法對與進行擬合計算，進行狀態(tài)量解析計算研究。當運載火箭處于一級關機點以后飛行階段時，可忽略氣動力，運載火箭在射面內(nèi)飛行，且最優(yōu)飛行攻角接近于0，可得到簡化的動力學方程：

(5)

式中：為發(fā)射系速度大小。

為了便于積分，令=sin，則有：

(6)

(7)

進而可得到的解析形式：

(8)

式中：為積分常數(shù)。

2.3 高斯擬合方法

由于實際速度變化更加復雜，上述直接求解形式耗費過大，可將其等效簡化為經(jīng)典的高斯函數(shù)形式，利用高斯函數(shù)對=sin進行準確擬合：

(9)

(10)

(11)

式中：,,為高斯擬合系數(shù)，可通過彈道樣本擬合求得。為了精確計算高斯擬合系數(shù)，需要在不同構(gòu)型與任務條件下進行彈道精確設計，得到能夠覆蓋多構(gòu)型多任務的高斯擬合系數(shù)表。

此外，為消除由當前構(gòu)型飛行總時間與擬合所用標準總時間不一致帶來的擬合誤差，可根據(jù)比例關系得到修正后的擬合時間：

(12)

重力速度損失計算流程如圖2所示。

圖2 重力速度損失計算流程

3 重力速度損失的組合神經(jīng)網(wǎng)絡擬合方法

本文采用RBF+DNN組合神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化重力速度損失的計算過程。組合神經(jīng)網(wǎng)絡能夠批量地處理不同構(gòu)型與任務的樣本數(shù)據(jù)，增強了對不同構(gòu)型與任務的適應性；并且同一條飛行軌跡上按照一定間隔取的不同狀態(tài)點均可作為樣本數(shù)據(jù)，提高了樣本的采樣密度；同時省去了高斯擬合系數(shù)插值表的構(gòu)建過程。模型訓練時采用以收斂速度和結(jié)構(gòu)復雜度為指標擇優(yōu)選出的狀態(tài)特征量序列作為輸入，并以對應樣本的重力速度損失序列作為輸出；模型使用時以任務要求的狀態(tài)特征量(=1,2,…,)作為輸入，估算重力速度損失Δ。

(1)組合神經(jīng)網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)

RBF具有單隱含層的簡單結(jié)構(gòu)和收斂速度快的特性，輸入輸出節(jié)點數(shù)與數(shù)據(jù)輸入輸出維數(shù)一致，隱含層節(jié)點數(shù)與權(quán)值系數(shù)可根據(jù)OLS算法求得，而且可以證明：正則化的RBF網(wǎng)絡針對任意未知非線性函數(shù)，總存在一組最優(yōu)逼近網(wǎng)絡權(quán)值系數(shù)。因此在模型預訓練時，先采用收斂性較好的RBF網(wǎng)絡對輸入狀態(tài)特征量進行選擇性提??；進而利用DNN對重力速度損失進行精確擬合訓練。

(2)網(wǎng)絡訓練與使用

為防止欠擬合與過擬合等問題，在對數(shù)據(jù)進行歸一化處理的基礎上，采用留出法劃分樣本，訓練、驗證和測試樣本數(shù)量占比分別為75%, 15%和15%；然后采用隱含層節(jié)點數(shù)自動生成策略進行網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)訓練，即根據(jù)訓練誤差下降速度和實時網(wǎng)絡驗證誤差大小決定是否需要增加新的隱含層節(jié)點，保證訓練誤差按照指定的速度收斂至給定閾值。

根據(jù)運載火箭總體參數(shù)、任務參數(shù)以及訓練收斂的網(wǎng)絡模型即可快速得到重力速度損失。

圖3 組合神經(jīng)網(wǎng)絡的結(jié)構(gòu)關系

4 運載能力快速迭代求解方法

利用構(gòu)建好的高斯系數(shù)庫或神經(jīng)網(wǎng)絡模型對火箭運載能力進行快速計算的流程如圖4所示。

圖4 運載能力計算流程

5 仿真校驗

本文首先采用3種不同的常見火箭構(gòu)型建立通用樣本數(shù)據(jù)庫，生成高斯擬合系數(shù)插值表并完成神經(jīng)網(wǎng)絡訓練，然后以H-2A運載火箭為測試樣例，計算火箭各項損失速度，進而完成運載能力計算，并與優(yōu)化結(jié)果進行對比，評估方法的有效性。

(1)樣本集構(gòu)建

樣本庫構(gòu)建是保證模型具有普適性的關鍵。本文選用兩級、兩級半和三級等3種構(gòu)型的運載火箭進行樣本庫構(gòu)建，各構(gòu)型主要總體參數(shù)見表1。

表1 不同構(gòu)型運載火箭總體參數(shù)

分別設計了不同發(fā)射條件、有效載荷和任務參數(shù)的195條飛行彈道，在每條飛行彈道中，按照一定時間間隔擴張存取樣本點，構(gòu)建得到了包含259740條數(shù)據(jù)的樣本庫，其中3種不同構(gòu)型樣本庫分別包含71903條、106834條和81003條樣本。

(2)高斯擬合系數(shù)表構(gòu)建

以平均確定系數(shù)高于0.99為指標，則階次為1的高斯擬合函數(shù)形式即可完成數(shù)據(jù)精確擬合。將飛行時間相近的不同軌道任務高度的高斯系數(shù)取均值，得到高斯系數(shù)插值表見表2。

表2 高斯擬合系數(shù)

上述結(jié)果表明：6個高斯擬合系數(shù)沿軌道高度具有明確的單調(diào)特性，可以通過任務插值求取。

(3)重力速度損失神經(jīng)網(wǎng)絡模型構(gòu)建

1)RBF狀態(tài)特征量提取

以不同的狀態(tài)特征量組合進行網(wǎng)絡訓練和測試。可用的狀態(tài)特征量全集為：時間、高度、速度、重力加速度、當?shù)貜椀纼A角。狀態(tài)特征量備選組合包括：①時間+高度+速度+重力加速度+當?shù)貜椀纼A角；②高度+速度+當?shù)貜椀纼A角；③速度+重力加速度+當?shù)貜椀纼A角；④高度+當?shù)貜椀纼A角；⑤時間+當?shù)貜椀纼A角?？紤]上述不同狀態(tài)特征量組合情況，分別采用RBF進行網(wǎng)絡訓練，結(jié)果見表3。

表3 不同特征組合情況網(wǎng)絡訓練結(jié)果

TRY和TEY分別表示網(wǎng)絡訓練和測試所用的任務軌道高度。neurons表示收斂至給定精度所需要的神經(jīng)元數(shù)目，TER表示測試輸出的速度損失估算誤差平均值(m/s)。上述算例在網(wǎng)絡訓練中的均方誤差均能收斂至1×10量級。

上述結(jié)果中，組合序號②所對應的網(wǎng)絡在滿足訓練與測試結(jié)果精度的前提下，具有更快的收斂速度和更簡單的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)，因此選用組合中的高度、速度和當?shù)貜椀纼A角作為狀態(tài)特征量。

2) DNN速度損失模型構(gòu)建

利用前述3種不同構(gòu)型火箭的混合彈道樣本數(shù)據(jù)進行DNN網(wǎng)絡訓練。從構(gòu)型1與構(gòu)型3的混合樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取10000條樣本進行訓練和驗證，然后從構(gòu)型2的樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取1000條樣本作為測試集。訓練完成的DNN結(jié)構(gòu)如圖5所示。

圖5 DNN網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)訓練結(jié)果

網(wǎng)絡測試結(jié)果如圖6所示。

圖6 DNN測試結(jié)果

由上述仿真結(jié)果可知，在1000次隨機采樣生成的重力損失測試樣本中，測試結(jié)果中最大重力速度損失偏差為163.91 m/s，平均誤差為7.20 m/s，擬合準確率高于99%。結(jié)果表明：經(jīng)過特征提取后的DNN網(wǎng)絡可對多構(gòu)型與多任務條件下的重力速度損失進行有效擬合，網(wǎng)絡測試誤差小于1%，驗證了方法的有效性。

(4)運載能力快速計算

前文所述3種構(gòu)型僅用于樣本庫的擬合與訓練，下文將以H-2A(2022型)兩級半運載火箭為例，進行運載能力快速計算仿真校驗，該型火箭的主要總體參數(shù)見表4。

表4 H-2A運載火箭總體參數(shù)

以日本種子島航天中心(經(jīng)度131.08°，緯度31.25°，高程220 m)為發(fā)射點，設定運載任務為軌道高度500 km 的太陽同步軌道。經(jīng)過粒子群數(shù)值優(yōu)化仿真，得到最大運載能力為11142.00 kg。通過對優(yōu)化設計的標準彈道進行積分運算，可得到精確的速度增量和各項速度損失，以此作為方法對比評價的標準值。

應用高斯擬合公式對地心距、當?shù)貜椀纼A角的正弦進行精確擬合。擬合結(jié)果如圖7和圖8所示。

圖7 當?shù)貜椀纼A角的正弦值擬合結(jié)果

圖8 地心距擬合結(jié)果

采用本文所提方法對速度增量與各項速度損失進行計算，結(jié)果見表5。

表5 速度增量與損失計算結(jié)果列表

上述結(jié)果表明：高斯函數(shù)和神經(jīng)網(wǎng)絡均具備對重力速度損失的準確求取能力，與標準值2522 m/s的誤差均不超過2%。由于神經(jīng)網(wǎng)絡不需要進行插值表選取與積分過程，具有明顯的計算速度優(yōu)勢，因此，后文仿真采用組合神經(jīng)網(wǎng)絡計算重力速度損失。采用本文第4部分所述的運載能力快速迭代求解方法對H-2A運載火箭的運載能力進行計算，不同軌道任務條件下的運載能力分析結(jié)果見表6。

表6 H-2A火箭運載能力

其中,為簡化任務條件，除了近地點高度和遠地點高度不同以外，所有任務發(fā)射場均為種子島航天中心，軌道傾角約束均取97.38°，橢圓軌道的入軌點取為近地點，仿真計算機的配置為Intel(R)Core(TM)i5-7400。運載能力分析結(jié)果中，以500 km圓軌道任務為例：經(jīng)過5次迭代計算，耗時1.63 s，得到火箭運載能力為11102.67 kg，與前文優(yōu)化得到的11142.00 kg相比，運載能力估算精度誤差僅為0.35%?？梢姳疚难芯康倪\載能力快速計算方法具有較高的準確性和任務適應性。

6 結(jié) 論

針對不同構(gòu)型與任務條件下的運載能力快速計算問題，本文研究了基于高斯函數(shù)和組合神經(jīng)網(wǎng)絡的速度損失計算方法，并基于此對運載能力進行了快速分析。主要有以下結(jié)論：

(1)重力速度損失作為最大損失占比項，可采用基于狀態(tài)量解析特性的高斯函數(shù)進行準確計算。重力速度損失計算誤差小于2%；

(2)RBF+DNN組合神經(jīng)網(wǎng)絡具備樣本采樣密度高，數(shù)據(jù)建模過程簡單和任務適應性強等特點，可對重力速度損失進行快速準確地計算。采用隱含層節(jié)點自適應訓練的DNN只需要2個隱含層即可完成對重力損失的高精度擬合，擬合精度高于99%，耗時為毫秒級；

(3)基于速度損失計算結(jié)果，可通過一維迭代快速得到火箭運載能力。運載能力計算耗時小于2 s，計算精度偏差約為0.35%。

針對常規(guī)構(gòu)型的火箭運載能力計算問題，本文所提方法具有較高的準確性、快速性和可操作性，可為運載火箭總體論證與任務規(guī)劃研究提供一定參考。