熊佳富，李君龍，張 銳，劉雨昂，冉茂鵬

(1. 北京航空航天大學(xué)自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京 100191；2. 北京電子工程總體研究所，北京 100854)

0 引 言

攔截彈作為導(dǎo)彈防御體系的重要組成部分，擔(dān)負(fù)著對來襲目標(biāo)的精準(zhǔn)攔截任務(wù)。在整個(gè)攔截過程中，攔截彈的控制系統(tǒng)性能直接影響了攔截成功率，因此提高攔截彈控制系統(tǒng)的控制精度和響應(yīng)速度，使其在復(fù)雜環(huán)境中仍能保持良好的魯棒性顯得至關(guān)重要。

當(dāng)前對于攔截彈的控制器設(shè)計(jì)方法多采用最優(yōu)控制、自適應(yīng)控制、反步法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等。相對于傳統(tǒng)控制算法，上述方法有效提高了攔截彈系統(tǒng)在特定環(huán)境下的穩(wěn)定性和快速響應(yīng)能力，但上述設(shè)計(jì)方法并未重點(diǎn)考慮有界未知不確定性和外界干擾給系統(tǒng)穩(wěn)定性帶來的影響，因此具有一定的保守性。滑?？刂凭哂袑Ω蓴_和模型參數(shù)攝動(dòng)不敏感等特點(diǎn)，在導(dǎo)彈控制系統(tǒng)中得到了廣泛應(yīng)用。文獻(xiàn)[7]基于導(dǎo)彈的狀態(tài)方程和模型參考狀態(tài)方程構(gòu)建滑模面，引入自適應(yīng)趨近律獲得固定時(shí)間控制律。文獻(xiàn)[8]基于干擾-狀態(tài)混合觀測器提出有限時(shí)間收斂的滑?？刂破鳎ＷC了非匹配干擾下導(dǎo)彈姿態(tài)跟蹤誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂。為改善傳統(tǒng)滑模控制的跟蹤時(shí)間問題，文獻(xiàn)[9]通過設(shè)計(jì)積分滑模面替代反步控制算法，實(shí)現(xiàn)了跟蹤誤差有限時(shí)間收斂。文獻(xiàn)[10]利用積分滑模和齊次理論，使得系統(tǒng)跟蹤誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂至零，同時(shí)避免奇異性問題。文獻(xiàn)[11]通過降低控制系統(tǒng)階數(shù)，設(shè)計(jì)指數(shù)滑模趨近律有效降低了舵偏飽和效應(yīng)，并且使得降階后的系統(tǒng)保持與高階系統(tǒng)相當(dāng)?shù)母櫨?。上述滑?？刂破鲗?shí)現(xiàn)了擾動(dòng)環(huán)境下對指令信號的有限時(shí)間跟蹤，但是大都是以損失正常的控制性能換取對干擾的魯棒性，對執(zhí)行機(jī)構(gòu)提出較高要求，并且輸出難以避免抖振現(xiàn)象。

擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(Extended state observer，ESO)是自抗擾控制的核心，其設(shè)計(jì)過程可以獨(dú)立于對象的數(shù)學(xué)模型，能夠有效地對外部環(huán)境變化引起的氣動(dòng)參數(shù)的不確定因素和內(nèi)部模型參數(shù)攝動(dòng)合并估計(jì)，從而有效提高控制系統(tǒng)的抗干擾能力。近年來，基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的導(dǎo)彈控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)受到了越來越多的關(guān)注，文獻(xiàn)[14]設(shè)計(jì)了基于不變性方法的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器，以保證對時(shí)變擾動(dòng)的估計(jì)誤差收斂。文獻(xiàn)[15]引入擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對多個(gè)不確定性進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)并在控制動(dòng)作中補(bǔ)償，提高了系統(tǒng)控制性能并增強(qiáng)了魯棒性。文獻(xiàn)[16]利用擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對姿態(tài)控制系統(tǒng)中的參數(shù)不確定性進(jìn)行準(zhǔn)確估計(jì)，提升了姿態(tài)控制系統(tǒng)的抗干擾能力。

本文針對考慮有界未知不確定性和外界干擾的攔截彈快速穩(wěn)定控制問題，提供了一種基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器和快速滑?？刂频目垢蓴_自動(dòng)駕駛儀設(shè)計(jì)方法。首先建立考慮有界未知不確定性和外界干擾的攔截彈非線性動(dòng)力學(xué)模型；利用擴(kuò)張狀態(tài)觀測器將有界未知不確定性和外界干擾視作一個(gè)新的狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)，并結(jié)合快速滑模對系統(tǒng)進(jìn)行控制律設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)在復(fù)合干擾情況下攔截彈的快速穩(wěn)定控制。最后通過數(shù)值仿真驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制算法在干擾環(huán)境下的有效性。

1 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

考慮外部干擾，建立攔截彈控制系統(tǒng)模型：

(1)

(2)

式中：,,,,為氣動(dòng)力和氣動(dòng)力矩中的干擾因素。

選取攔截彈的狀態(tài)量為=[,,]和=[,,]以及控制量為=[,,]。考慮實(shí)際末端攔截過程中攔截彈姿態(tài)角可作為小量，因此做近似處理：sin≈,cos≈1, sin≈,cos≈1。最終得到系統(tǒng)的狀態(tài)模型表達(dá)式：

(3)

式中：

=[,,0],=[,,]。

2 控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

2.1 擴(kuò)張狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)

擴(kuò)張狀態(tài)觀測器是自抗擾控制的核心，能夠?qū)ο到y(tǒng)內(nèi)部參數(shù)變化的有界不確定性和外界干擾進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)。在設(shè)計(jì)擴(kuò)張狀態(tài)觀測器前首先給出2個(gè)合理假設(shè)。

參考指令信號1=[,,]有上界且其導(dǎo)數(shù)均已知并有界。

干擾項(xiàng),與其導(dǎo)數(shù)均有界，即

(4)

式中：=1,2；>0為正常數(shù)。

基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的估計(jì)值，控制器能夠有效補(bǔ)償干擾，受文獻(xiàn)[18]啟發(fā)，本文構(gòu)造如下形式的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器：

(5)

為便于對擴(kuò)張狀態(tài)觀測器收斂性進(jìn)行證明給出假設(shè)3。

(6)

對于式(5)，可分為兩個(gè)相似結(jié)構(gòu)，這里對第一個(gè)擴(kuò)張狀態(tài)觀測器進(jìn)行分析，首先分析擴(kuò)張狀態(tài)的導(dǎo)數(shù)的有界性：

(7)

(8)

(9)

則

(10)

根據(jù)假設(shè)3，得：

(11)

(12)

通過假設(shè)3有：

(13)

結(jié)合()和()有：

(14)

通過合理調(diào)節(jié)本文中擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)參數(shù),,能夠改善擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的估計(jì)能力，即能夠準(zhǔn)確估計(jì)攔截彈系統(tǒng)模型中的有界未知不確定性以及外部干擾從而進(jìn)行有效補(bǔ)償。

2.2 快速滑?？刂坡稍O(shè)計(jì)

上一小節(jié)證明了所設(shè)計(jì)的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對干擾的估計(jì)值能夠準(zhǔn)確逼近真值，這為控制器的穩(wěn)定性提供了基礎(chǔ)?；？刂葡到y(tǒng)的穩(wěn)定過程分為兩個(gè)階段：1)系統(tǒng)從初始狀態(tài)收斂至滑模面；2)在運(yùn)動(dòng)到滑模面后沿著滑模面滑動(dòng)至系統(tǒng)零點(diǎn)。

基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的輸出，控制器能夠?qū)烙?jì)的不確定性和干擾進(jìn)行實(shí)時(shí)補(bǔ)償。

=-1

(15)

對求導(dǎo)得：

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

進(jìn)一步，定義角速率誤差滑模面：

=-2

(21)

采用上一步同樣的趨近律形式得控制律形式：

(22)

對于系統(tǒng)(3)，在滿足假設(shè)1的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)虛擬控制量(18)和控制律(22)能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)漸近跟蹤參考信號。

. 選取Lyapunov函數(shù)

(23)

對求導(dǎo)有：

(24)

將上式分為三部分進(jìn)行求解，有：

(25)

式中：,分別為矩陣,的元素最小值。同理可得：

(26)

式中：,分別為矩陣,的元素最小值。

(27)

由上述計(jì)算可知虛擬控制量及其導(dǎo)數(shù)是非負(fù)連續(xù)量，并且存在上界，即存在正常數(shù)和，使得：

(28)

將式(25)～(28)代入式(24)有：

(29)

相對于傳統(tǒng)滑?？刂破?，本文通過分析氣流角與實(shí)際輸入量即各舵偏之間的非線性關(guān)系，通過引入虛擬控制量的方法將系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì)分為兩步，并分別為其設(shè)計(jì)滑模面與趨近律。由于易改變參數(shù)矩陣,中相應(yīng)的最小值min,min，進(jìn)而加快系統(tǒng)在到達(dá)階段的收斂速度，從而提高系統(tǒng)快速響應(yīng)能力；同時(shí)在控制律設(shè)計(jì)過程中對系統(tǒng)有界未知不確定性和外界干擾實(shí)時(shí)進(jìn)行估計(jì)補(bǔ)償，使得系統(tǒng)具有良好的抗干擾的能力。

2.3 滑模控制抖振的抑制

在滑?？刂坡傻脑O(shè)計(jì)過程中因使用符號函數(shù)sgn(·)造成系統(tǒng)的狀態(tài)在滑模面附近運(yùn)動(dòng)時(shí)出現(xiàn)“抖振”現(xiàn)象。當(dāng)前針對滑?？刂浦械亩墩駟栴}主要有兩種解決方案：1)調(diào)整符號函數(shù)sgn(·)為連續(xù)的函數(shù)；2)調(diào)整系統(tǒng)狀態(tài)在逼近滑模面的到達(dá)速率。方法1)雖然便于在實(shí)際系統(tǒng)中應(yīng)用并且消除抖振，但是同時(shí)減弱了系統(tǒng)的抗干擾能力；方法2)有效抑制了系統(tǒng)輸入抖振，但是有些控制系統(tǒng)在設(shè)計(jì)時(shí)需要對切換函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，而切換函數(shù)作為分段函數(shù)在分段點(diǎn)無法獲得其導(dǎo)數(shù)。

雙曲正切函數(shù)因能夠有效逼近符號函數(shù)而在控制中得到廣泛應(yīng)用。雙曲正切函數(shù)不僅能有效抑制抖振現(xiàn)象，并且當(dāng)滑模面趨近于零時(shí)也能提供足夠大的收斂速度。為使得系統(tǒng)具有良好的收斂性能，本文使用如下形式的雙曲正切函數(shù)：

(30)

式中：0<<1，且應(yīng)盡可能靠近零。

3 仿真校驗(yàn)

觀測器參數(shù)為=4,=4,=002?？紤]實(shí)際攔截過程中攔截彈舵偏存在限制，在本文設(shè)置最大舵偏角度為30°，仿真結(jié)果如圖1～8所示。

圖1 攻角響應(yīng)曲線

圖2 側(cè)滑角響應(yīng)曲線

圖3 傾斜角響應(yīng)曲線

圖4 升降舵偏轉(zhuǎn)角度曲線

圖5 方向舵偏轉(zhuǎn)角度曲線

圖6 副翼偏轉(zhuǎn)角度曲線

圖7 干擾d11與ESO估計(jì)值

圖8 干擾d21與ESO估計(jì)值

圖1～3為兩種環(huán)境下攔截彈氣流角的響應(yīng)，雖然圖中干擾環(huán)境下攻角和側(cè)滑角曲線響應(yīng)速度慢于理想環(huán)境下的響應(yīng)曲線，但是即使在干擾環(huán)境下本文所設(shè)計(jì)的控制器也使得氣流角快速準(zhǔn)確跟蹤期望指令。圖4～6為理想環(huán)境和干擾環(huán)境下攔截彈的舵偏角響應(yīng)曲線，同樣可以看出在干擾情況下舵偏曲線存在一定的滿偏狀態(tài)，但是與理想無干擾情況時(shí)的舵偏曲線基本相同。圖7～8反映的是存在干擾情況下觀測器對干擾的估計(jì)效果，從估計(jì)值曲線可以看出觀測器能夠在短時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定跟蹤并準(zhǔn)確估計(jì)干擾，說明本文設(shè)計(jì)的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的有效性和優(yōu)勢。

4 結(jié) 論

本文針對攔截彈抗干擾穩(wěn)定控制問題設(shè)計(jì)了一種基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器和快速滑?？刂频淖詣?dòng)駕駛儀。所設(shè)計(jì)控制器能夠保證系統(tǒng)在干擾環(huán)境下快速準(zhǔn)確跟蹤參考指令信號，并采用連續(xù)變化的控制律消除了滑?？刂浦械亩墩瘳F(xiàn)象。首先從攔截系統(tǒng)模型出發(fā)，設(shè)計(jì)擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對系統(tǒng)有界未知不確定性和外界干擾進(jìn)行合并估計(jì)。在此基礎(chǔ)上，引入虛擬控制量分步設(shè)計(jì)快速滑?？刂坡?，最后得到三個(gè)方向上的實(shí)際舵偏。仿真結(jié)果表明本文所設(shè)計(jì)的控制器能夠有效處理系統(tǒng)有界未知不確定性和外界干擾，具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。