朱炎

摘要：極限思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中具有至關(guān)重要的作用，本文通過總結(jié)歸納現(xiàn)階段幾種常見的求極限方法，具體說明求極限方法在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：極限理論;數(shù)學(xué)分析;極限求解;函數(shù)極限

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）16-0075-03

1 極限思想在概念中的應(yīng)用

極限思想貫穿了整個(gè)數(shù)學(xué)分析過程，也是解決數(shù)學(xué)問題必不可少的方法之一，可以巧妙地解決各類問題.因此，在具體應(yīng)用前，必須掌握極限的概念和具體思想內(nèi)容.由上可知，極限的概念是動(dòng)態(tài)變化的，會(huì)根據(jù)具體變量和過程發(fā)生變化，以函數(shù)為例，如果定義函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，就是當(dāng)自變量增量趨于零時(shí)，那么函數(shù)值的增量趨近于零，如果是對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行定義，就是當(dāng)自變量增量趨于零時(shí)，函數(shù)增量和自變量增量比的極限值.極限思想就是要在解決數(shù)學(xué)問題過程中，先確定未知量的近似值，然后根據(jù)近似值的具體趨向，確定量的具體數(shù)值.因此，掌握良好的極限求解方法是數(shù)學(xué)分析的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，在參考現(xiàn)有的例題內(nèi)容后，從公式、定義、法則、性質(zhì)這幾個(gè)角度出發(fā)，確定具體的求極限方法.

2 極限理論在數(shù)學(xué)分析中的作用

極限的定義并不是一成不變的，需要根據(jù)不同類型變量、過程進(jìn)行確定，而受到變量和過程多元化特點(diǎn)的影響，極限的形式和定義也并不固定.在這樣的情況下，只需要了解常見、重要的極限形式，以此為中心進(jìn)行拓展，就可以掌握其他極限形式，進(jìn)而科學(xué)地展開數(shù)學(xué)分析活動(dòng).極限思想貫穿了數(shù)學(xué)分析過程的始末，這一點(diǎn)在很多數(shù)學(xué)著作中都有所體現(xiàn)，在實(shí)際應(yīng)用過程中，借助這一思想將變量和常量、有限和無限之間的統(tǒng)一關(guān)系直觀地表現(xiàn)出來，也是唯物辯證法對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律在數(shù)學(xué)分析中的具體實(shí)現(xiàn).

數(shù)學(xué)分析的主要作用在于解決初等數(shù)學(xué)無法解決的問題，如，瞬時(shí)速度、曲邊形面積、曲邊形體積等內(nèi)容，有賴于微積分的發(fā)展，極限思想得到了完善，相應(yīng)的概念體系規(guī)范化、系統(tǒng)化，目前已經(jīng)成為了數(shù)學(xué)求解中的主要內(nèi)容.作為數(shù)學(xué)分析的重要組成部分，在很多數(shù)學(xué)問題上都可以利用極限思想進(jìn)行分析.由此可見，極限理論在數(shù)學(xué)分析中占有著重要位置.從實(shí)際應(yīng)用情況來看，極限思想引出了連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)等重要概念，數(shù)學(xué)分析之所以可以解決初等數(shù)學(xué)無法解決的問題，正是因?yàn)槠洳捎昧藰O限思想方法.

3 極限理論在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)體系的重要分支，而極限理論是數(shù)學(xué)分析的核心基礎(chǔ)，作為重要的數(shù)學(xué)工具，必須要讓其得到科學(xué)的應(yīng)用.極限的定義的如下：

limn→∞an=aε> 0，N，當(dāng)n>N，有| an-a |<ε.

從文字的角度來看，ε>0，|an-a|<ε描述數(shù)列{an}和a的接近程度，極限理論中{an}在變化時(shí)無限趨近于a.而N，n>N 則表示在n>N這一時(shí)刻后，an和a的絕對(duì)值之差小于ε.在實(shí)際判別過程中可以采用連續(xù)性定理、夾逼定理、柯西準(zhǔn)則等方式進(jìn)行判斷，這也是最常見的求解極限的方法.此外，初等函數(shù)的連續(xù)性、泰勒公式、定積分求和式極限、級(jí)數(shù)收斂的必要條件等也是求解極限的常見方式.以洛必達(dá)法則這一求解方法為例，其常見于00和∞∞這兩種模式的求解中，如limx→0sinxx=limx→0 （sinx）′x′= limx→0 cosx1= cos0=1，這就是一種00型模式，通過對(duì)分子和分母的求導(dǎo)，完成極限求解，最終得到結(jié)果.∞∞型的求解方法也是如此，但需要注意的是，這種方法僅適用于導(dǎo)數(shù)存在的形式.

4 求極限方法在數(shù)學(xué)分析中的具體應(yīng)用

4.1 利用定義求極限

根據(jù)前文分析，對(duì)極限的定義有了一定的認(rèn)識(shí)，前文中主要介紹的是數(shù)列極限的概念，在對(duì)極限進(jìn)行定義的過程中，還可能應(yīng)用到函數(shù)知識(shí)，具體分為兩種定義方式，分別為：函數(shù)f（x）在x0某一去心鄰域內(nèi)和在|x|大于某一正數(shù)時(shí)，兩者均有任意給定正數(shù)ε，總存在正數(shù)δ.前者需要讓0δ中所有x對(duì)應(yīng)的函數(shù)f（x）滿足|f（x）-A|<ε，此時(shí)A就是函數(shù)f（x）在x→x0時(shí)的極限值.

例1求解極限limx→4（x2+1）.

解析根據(jù)前文的定義，該函數(shù)極限符合x0某一去心鄰域要求，因此有任意給定正數(shù)ε，總存在正數(shù)δ，需要讓其滿足0

4.2 利用法則求極限

例2求解極限limx→4x2-3x-4x3-3x2-10x+24.

解析已知函數(shù)分子分母極限為0，那么可以通過因式分解的方式去除共同零因子，進(jìn)而借助四則運(yùn)算法則完成求解，最終得到的結(jié)果為514.具體的求解過程如下：

limx→4x2-3x-4x3-3x2-10x+24

=limx→4 （x-4）（x+1）（x-4）（x-2）（x+3）

=limx→4（x+1）（x-2）（x+3）

= limx→4（x+1）limx→4（x-2）·limx→4（x+3）.

需要注意的是，在應(yīng)用四則運(yùn)算法則前，必須要保證每個(gè)因子均存在極限，或者變形后存在極限，同時(shí)分母極限不能夠?yàn)榱?任何一個(gè)條件不滿足都不能夠應(yīng)用這種計(jì)算方式.

兩個(gè)準(zhǔn)則主要為夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則，常用于數(shù)列極限求解.前者主要是通過函數(shù)h（x）找出兩個(gè)極限相同的一大一小函數(shù)f（x）和g（x），進(jìn)而就可以得到極限.后者主要是借助數(shù)列的單調(diào)性和有界性，利用通項(xiàng)遞推公式和極限的唯一性求解極限.因此，單調(diào)有界性準(zhǔn)則中要求單調(diào)有界數(shù)列必須有極限，且極限唯一.前文對(duì)洛必達(dá)法則進(jìn)行了一定的介紹，這是一種未定式極限，利用兩個(gè)無窮小量或者無窮大量的比求出極限，主要是以導(dǎo)數(shù)為工具展開研究，同類型包括0-∞，∞-∞，∞0，00等都屬于此類型，可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為00和∞∞型.在利用該法則進(jìn)行求解的過程中，必須要滿足以下兩個(gè)條件：（1）函數(shù)f（x）和g（x）均可求導(dǎo)，且函數(shù)g′（x）≠0;（2）limf ′（x）g′（x）存在或者無窮大.

4.3 利用公式求極限

利用公式求極限的過程中，主要包括兩個(gè)重要的極限公式法、泰勒公式法這兩個(gè)方面.前者主要借助了三角函數(shù)的“00”型未定式和“1∞”型未定式.

例3求解極限limx→0sinx32x.

解析從三角函數(shù)的“00”型未定式出發(fā)，將x3視為一項(xiàng)，具體求解過程：limx→0sinx32x=limx→0x3·sinx32x4=limx→0x32x·limx→0sinx3x3，最終得到極限值為0.

例4求解極限limx→0x（1+3x）

解析limx→0x（1+3x）=limx→0（1+3x）13x·3

=limx→0（1+3x）13x3=e3.

需要注意的是在利用這兩個(gè)重要極限公式的過程中，必須要慎重觀察函數(shù)形式是否符合未定式形式，如果不符合，則證明求解過程中存在錯(cuò)誤，或者該極限思路并不適用于這一數(shù)學(xué)分析過程.

在利用泰勒公式求解的過程中，先利用這一公式將函數(shù)展開，然后再利用普通的求極限方式進(jìn)行計(jì)算分析.實(shí)際上，泰勒公式對(duì)一些較為復(fù)雜的求極限過程具有化簡(jiǎn)作用.在實(shí)際應(yīng)用過程中，函數(shù)f（x）需要在x=0時(shí)，存在n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在此基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步展開處理.

例5求解極限limx→0ax+a-x-2x2（a>0）.

解析按照泰勒公式，對(duì)該函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，就可以得到ax和a-x的具體數(shù)值，進(jìn)而按照具體的簡(jiǎn)化步驟進(jìn)行求解.

ax=exlna=1+xlna+x22ln2a+…+R，

a-x=e-xlna=1-xlna+x22ln2a+…+R，

最終得到limx→0ax+a-x-2x2=limx→0xln2a+Rx2=ln2a.

4.4 利用性質(zhì)求極限

除了上述幾個(gè)方法之外，利用性質(zhì)也可以求解極限，主要分為無窮小量性質(zhì)法、函數(shù)連續(xù)性法.以無窮小量性質(zhì)法求解為例，在該性質(zhì)中有三點(diǎn)性質(zhì)和極限有關(guān)，只要符合這三點(diǎn)性質(zhì)，就可以利用無窮小量的性質(zhì)解決相關(guān)的極限問題.（1）有限無窮小量的代數(shù)和為無窮小;（2）無窮小量與有界函數(shù)的乘積為無窮小;（3）有限無窮小量的乘積為無窮小.

4.5 其他求解方法除了上述幾個(gè)方面之外，也可以利用微分中值定理、積分中值定理完成極限求解.這兩個(gè)定理內(nèi)容也較為相似，都需要函數(shù)f（x）在閉區(qū)間＼[a，b＼]內(nèi)連續(xù)，但微分需要其在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b），而積分則需要函數(shù)g（x）在區(qū)間＼[a，b＼]內(nèi)不變號(hào)且可積，至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b）.定積分法也是求解極限的一種模式，主要是利用定積分的定義進(jìn)行極限求解，將定積分劃分成和式極限的形式，完成求解過程.反之亦然，在求解和式極限的過程中也可以將其轉(zhuǎn)化為定積分的形式.綜合來看，微分中值定理、積分中值定理，實(shí)際應(yīng)用中可以提高解題效率，簡(jiǎn)化解題步驟，解題準(zhǔn)確率也會(huì)得到大幅度提高.

綜上所述，數(shù)學(xué)分析中求極限的方法眾多，但每個(gè)方法都具有一定的局限性，在實(shí)際使用過程中需要充分考慮到使用前提和具體條件，正確完成計(jì)算求解.通過對(duì)求極限方法的歸納分析，明確不同方法的求解條件、內(nèi)在條件，以及不同方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，讓求極限方法在數(shù)學(xué)分析中得到靈活的應(yīng)用.

參考文獻(xiàn)：

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