姜恩華，李素文，周建芳

(淮北師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，安徽 淮北 235000)

數(shù)字信號(hào)處理教材中常常把IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)與數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)基本結(jié)構(gòu)的內(nèi)容編寫(xiě)在不同章節(jié)進(jìn)行講解，這樣導(dǎo)致關(guān)于IIR數(shù)字濾波器的知識(shí)點(diǎn)比較分散[1-2]，不利于學(xué)生系統(tǒng)掌握IIR數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)方面的知識(shí).如何有效開(kāi)展IIR濾波器設(shè)計(jì)與數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)內(nèi)容的課堂教學(xué)，是一個(gè)值得研究的問(wèn)題[3].

IIR數(shù)字濾波器通常采用系統(tǒng)函數(shù)H(z)描述，通過(guò)系統(tǒng)函數(shù)H(z)或線(xiàn)性常系數(shù)差分方程能夠得到 IIR直接型數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).系統(tǒng)函數(shù)H(z)一般是關(guān)于z的分式，由分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式組成.采用因式分解法，把系統(tǒng)函數(shù)H(z)分解為若干個(gè)一階或二階分式相乘的形式，求得IIR數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)；采用部分分式展開(kāi)法，把系統(tǒng)函數(shù)H(z)分解為若干個(gè)一階或二階分式相加的形式，求得IIR數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)的并聯(lián)型結(jié)構(gòu).Matlab軟件提供了直接型轉(zhuǎn)換為級(jí)聯(lián)型的函數(shù)tf2sos[2]，文獻(xiàn)[4]提供了直接型轉(zhuǎn)換為并聯(lián)型的函數(shù)tf2par.借助Matlab函數(shù)，能夠求得IIR數(shù)字濾波器的級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu).

應(yīng)用Matlab軟件，以IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)和數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)為線(xiàn)索，通過(guò)IIR基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)完成濾波，使得IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)和數(shù)字濾波過(guò)程形成一個(gè)有機(jī)的整體.

1 IIR數(shù)字濾波器

通過(guò)系統(tǒng)函數(shù)H(z)描述IIR數(shù)字濾波器，通過(guò)傳輸函數(shù)H(ejω)描述IIR數(shù)字濾波器幅頻特性，通過(guò)幅頻特性曲線(xiàn)很容易看出IIR數(shù)字濾波器是低通、高通、帶通和帶阻濾波器.系統(tǒng)函數(shù)H(z)和傳輸函數(shù)H(ejω)的關(guān)系為：

H(ejω)=H(z)|z=ejω.

(1)

1.1 根據(jù)H(z)確定IIR數(shù)字濾波器的類(lèi)型

對(duì)式(1)兩邊取絕對(duì)值

|H(ejω)|=|H(z)|z=ejω.

(2)

在數(shù)字域頻率ω的一個(gè)周期[-π,π]內(nèi)，取ω=0和ω=π兩點(diǎn)，計(jì)算出z1=ej0=1和z2=ejπ=-1，代入式(2)，根據(jù)計(jì)算出的|H(z)|值，可以判斷IIR數(shù)字濾波器的類(lèi)型[1-2,5].

1.2 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法

在數(shù)字信號(hào)處理教材中，主要講解的IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法為脈沖響應(yīng)不變法、雙線(xiàn)性變換法和直接設(shè)計(jì)方法.采用脈沖響應(yīng)不變法和雙線(xiàn)性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的步驟為：①通過(guò)頻率變換，把IIR數(shù)字濾波器的邊界頻率變換為模擬濾波器的通帶和阻帶邊界截止頻率；②通過(guò)選擇合適的原型模擬濾波器，設(shè)計(jì)出需要的模擬濾波器，求得其系統(tǒng)函數(shù)Ha(s);③通過(guò)脈沖響應(yīng)不變法和雙線(xiàn)性變換法把Ha(s)轉(zhuǎn)化為H(z)[2,6];④采用直接設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器，根據(jù)IIR數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)，調(diào)用Matlab函數(shù)，求得IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z).

在Matlab軟件中,提供了脈沖響應(yīng)不變法、雙線(xiàn)性變換法和直接設(shè)計(jì)方法的設(shè)計(jì)函數(shù)，借助設(shè)計(jì)函數(shù)，可以設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器.

2 IIR數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)

IIR數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)基本結(jié)構(gòu)，主要分為直接型、級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu).通過(guò)IIR數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)的線(xiàn)性常系數(shù)差分方程，求得IIR數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)的直接型結(jié)構(gòu).對(duì)線(xiàn)性常系數(shù)差分方程進(jìn)行雙邊Z變換，求得系統(tǒng)函數(shù)H(z).通過(guò)對(duì)系統(tǒng)函數(shù)H(z)進(jìn)行因式分解，求得IIR數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu).通過(guò)對(duì)系統(tǒng)函數(shù)H(z)進(jìn)行部分分式展開(kāi)，求得IIR數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)[1-2,5].

2.1 直接型濾波網(wǎng)絡(luò)

若IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)如式(3)所示，求得IIR直接型數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)[1,2,5]，如圖1所示.

(3)

圖1 IIR網(wǎng)絡(luò)的直接型濾波結(jié)構(gòu)

以直接型低通濾波網(wǎng)絡(luò)為例，已知IIR數(shù)字低通濾波器的技術(shù)參數(shù)為：通帶截止頻率ωp，阻帶截止頻率ωs，通帶最大衰減αp，阻帶最小衰減αs.采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)步驟為：①把數(shù)字域頻率變換為模擬域頻率;②選擇原型模擬濾波器，進(jìn)行模擬濾波器設(shè)計(jì)，得到模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s);③對(duì)系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)進(jìn)行拉氏逆變換得到單位沖激響應(yīng)h(t);④對(duì)h(t)進(jìn)行時(shí)域采樣，得到單位采樣序列h(n);⑤對(duì)h(n)進(jìn)行Z變換，求得該IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z).由于時(shí)域采樣一定要滿(mǎn)足時(shí)域采樣定理，即在ω=π處為IIR數(shù)字濾波器的阻帶.由于IIR數(shù)字高通和帶阻濾波器在ω=π處為通帶，所以脈沖響應(yīng)不變法不適合設(shè)計(jì)IIR數(shù)字高通和帶阻濾波器，只適合設(shè)計(jì)低通和帶通濾波器[1-2,7].

借助Matlab軟件，假設(shè)模擬濾波器采用巴特沃斯低通模擬濾波器，首先進(jìn)行頻率變換，其次調(diào)用Matlab函數(shù)[N,wc]=buttord(wp,ws,rp,rs′,s')，求得模擬濾波器的階數(shù)N和通帶截止頻率ωc；再次調(diào)用Matlab函數(shù)[B,A]=butter(N,wc′,s')，求得模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)B和A；最后調(diào)用Matlab函數(shù)[Bz,Az]=impinvar(B,A,Fs)，求得IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)Bz和Az[6,8].設(shè)計(jì)的巴特沃斯模擬低通濾波器和IIR數(shù)字低通濾波器的損耗函數(shù)如圖2所示.

圖2 模擬和數(shù)字低通濾波器的損耗函數(shù)

圖3 直接型IIR濾波網(wǎng)絡(luò)輸入和輸出信號(hào)及其頻譜

按照式(4)設(shè)計(jì)輸入序列x(n),借助Matlab函數(shù)y(n)=filter(Bz,Az,x)，對(duì)輸入序列x(n)進(jìn)行直接型數(shù)字低通濾波，濾除其高頻成分，低頻成分即為直接型數(shù)字低通濾波網(wǎng)絡(luò)的輸出y(n).x(n)和y(n)的時(shí)域波形與頻譜如圖3所示.

x(n)=20*sin(3.14*1/16*n)+
10*sin(3.14*10/32*n).

(4)

從圖3中的子圖(2)和(4)可以看出，輸入序列x(n)的低頻成分被保留，高頻成分被濾除.

2.2 級(jí)聯(lián)型濾波網(wǎng)絡(luò)

對(duì)系統(tǒng)函數(shù)H(z)進(jìn)行因式分解，分解為若干個(gè)一階或二階分式相乘的形式，例如二階分式形式如式(5)所示.求得IIR數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)[1-2,5]，如圖4所示.

(5)

圖4 IIR網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)型濾波結(jié)構(gòu)

以IIR級(jí)聯(lián)型高通濾波網(wǎng)絡(luò)為例，采用雙線(xiàn)性變換法設(shè)計(jì)IIR高通濾波器，假設(shè)模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器，雙線(xiàn)性變換法設(shè)計(jì)步驟為：①根據(jù)雙線(xiàn)性變換法的頻率變換關(guān)系，把IIR高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)ωp和ωs變換為模擬高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)Ωp和 Ωs，通帶最大衰減αp和阻帶最小衰減αs不變；②對(duì)模擬高通濾波器的邊界截止頻率Ωp和 Ωs歸一化，求得模擬低通濾波器的歸一化頻率λp和λs;③進(jìn)行巴特沃斯低通濾波器設(shè)計(jì)，求得歸一化系統(tǒng)函數(shù)G(p)，對(duì)G(p)去歸一化，求得模擬高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)B和A;④調(diào)用Matlab函數(shù)[Bz,Az]=bilinear(B,A,Fs)，將系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)轉(zhuǎn)化為數(shù)字高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z).設(shè)計(jì)的巴特沃斯模擬高通濾波器AF和數(shù)字高通濾波器DF的損耗函數(shù)曲線(xiàn)如圖5所示.

圖5 模擬和數(shù)字高通濾波器的損耗函數(shù)

根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)H(z)分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)Bz和Az，調(diào)用Matlab函數(shù)[s,g]=tf2sos(Bz,Az)，把IIR數(shù)字高通濾波器的直接型結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換為級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)，按照式(4)設(shè)計(jì)輸入序列x(n)，調(diào)用Matlab函數(shù)y(n)=filtfilt(s,g,x)，對(duì)輸入序列x(n)進(jìn)行級(jí)聯(lián)型高通濾波，濾除其低頻成分，高頻成分即為級(jí)聯(lián)型數(shù)字高通濾波網(wǎng)絡(luò)的輸出y(n).x(n)和y(n)的時(shí)域波形和頻譜如圖6所示.

圖6 級(jí)聯(lián)型IIR濾波網(wǎng)絡(luò)的輸入和輸出時(shí)域信號(hào)及其頻譜

從圖6中的子圖(2)和(4)可以看出，輸入序列x(n)的高頻成分被保留，低頻成分被濾除.

2.3 并聯(lián)型濾波網(wǎng)絡(luò)

對(duì)系統(tǒng)函數(shù)H(z)進(jìn)行部分分式展開(kāi)，展開(kāi)為若干個(gè)一階或二階分式相加的形式，如式(6)所示.求得IIR數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)[1-2,5]，如圖7所示.

(6)

以IIR并聯(lián)型數(shù)字帶通濾波網(wǎng)絡(luò)為例，采用直接設(shè)計(jì)方法，其設(shè)計(jì)步驟為：首先選擇濾波器類(lèi)型，如巴特沃斯、切比雪夫1型和橢圓濾波器；其次根據(jù)數(shù)字帶通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，調(diào)用Matlab函數(shù)，直接設(shè)計(jì)出相應(yīng)類(lèi)型的濾波器.以數(shù)字橢圓濾波器為例，調(diào)用[N,wpo]=ellipord(wp,ws,rp,rs)計(jì)算數(shù)字橢圓濾波器的階數(shù)N和通帶截止頻率，調(diào)用[Bz,Az]=ellip(N,rp,rs,wpo)函數(shù)，求得數(shù)字橢圓濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)Bz和Az.設(shè)計(jì)的數(shù)字橢圓濾波器損耗函數(shù)曲線(xiàn)如圖8所示.

圖7 IIR網(wǎng)絡(luò)的并聯(lián)型濾波結(jié)構(gòu)

圖8 數(shù)字帶通濾波器損耗函數(shù)

圖9 并聯(lián)型IIR濾波網(wǎng)絡(luò)的輸入和輸出時(shí)域信號(hào)及其頻譜

根據(jù)文獻(xiàn)[4]提供的Matlab函數(shù)：[C,B,A] = tf2par(Bz,Az)，把數(shù)字橢圓濾波器的直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換為并聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).根據(jù)式(7)設(shè)計(jì)輸入序列x(n)，根據(jù)文獻(xiàn)[4]提供的并聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)濾波函數(shù)：y(n)= parfilt(C,B,A,x)，對(duì)輸入序列x(n)進(jìn)行并聯(lián)型帶通濾波，濾除其高頻和低頻成分，帶通成分即為并聯(lián)型數(shù)字帶通濾波網(wǎng)絡(luò)的輸出y(n).x(n)和y(n)的時(shí)域波形和頻譜如圖9所示.

x(n)=20*sin(3.14*1/10*n)+
20*sin(3.14*3/10*n)+
20*sin(3.14*7/10*n).

(7)

從圖9中的子圖(2)和(4)可以看出，輸入序列x(n)的帶通成分被保留，高頻和低頻成分被濾除.

3 結(jié)語(yǔ)

本文探索了借助Matlab軟件有效開(kāi)展IIR數(shù)字濾波器和數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)章節(jié)的課堂教學(xué).根據(jù)IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)，通過(guò)系統(tǒng)函數(shù)H(z)的因式分解法和部分分式展開(kāi)法，求得IIR數(shù)字濾波器級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型濾波網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).借助Matlab函數(shù)，設(shè)計(jì)了IIR數(shù)字濾波器.設(shè)計(jì)了輸入序列，通過(guò)IIR數(shù)字濾波器的直接型、級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型濾波網(wǎng)絡(luò)對(duì)輸入序列濾波，形象地展現(xiàn)了IIR濾波器的設(shè)計(jì)和濾波過(guò)程.通過(guò)本文設(shè)計(jì)加深學(xué)生對(duì)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法和數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)基本結(jié)構(gòu)的理解，起到較好的教學(xué)示范作用.