馬相如，楊澤斌

(1.國(guó)網(wǎng)漣水縣供電公司，淮安 223400；2. 江蘇大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院，鎮(zhèn)江 212013)

0 引 言

無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)(以下簡(jiǎn)稱BLDCM)的傳統(tǒng)位置傳感器控制方法，增加了硬件成本和體積，且位置傳感器易受電磁信號(hào)、粉塵等干擾，使得控制性能下降。目前BLDCM常用的無(wú)位置傳感器控制方法包括反電動(dòng)勢(shì)法、磁鏈觀測(cè)法、續(xù)流二極管導(dǎo)通檢測(cè)法、擴(kuò)展卡爾曼濾波法等，其中擴(kuò)展卡爾曼濾波法是卡爾曼濾波在非線性系統(tǒng)中的擴(kuò)展，其利用較容易獲得的電壓、電流信號(hào)，結(jié)合BLDCM狀態(tài)方程，實(shí)現(xiàn)對(duì)轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速信號(hào)的觀測(cè)，具有魯棒性好、調(diào)速范圍寬等優(yōu)點(diǎn)，是目前BLDCM無(wú)位置傳感器控制研究的熱點(diǎn)。但是這種方法是通過(guò)泰勒展開(kāi)式逼近非線性函數(shù)，由于僅保留到一階精度，觀測(cè)到的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置信號(hào)誤差較大[1-2]。

為了提高擴(kuò)展卡爾曼濾波器觀測(cè)的精度，本文提出了一種改進(jìn)的無(wú)跡卡爾曼濾波(以下簡(jiǎn)稱UKF)算法，相較于擴(kuò)展卡爾曼濾波算法，可有效提升估算精度。UKF沒(méi)有忽略高階項(xiàng)，最低可達(dá)到非線性函數(shù)的二階精度，因此具有更高的估算精度。本文將其應(yīng)用于BLDCM轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置觀測(cè)中，實(shí)現(xiàn)了BLDCM無(wú)傳感器控制[3-4]，仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果證實(shí)了理論分析的正確性。

1 BLDCM數(shù)學(xué)模型

本文的BLDCM為三相星形連接，采用全橋逆變器驅(qū)動(dòng)、兩兩導(dǎo)通方式，其連接示意圖如圖1所示。

圖1 BLDCM連接示意圖

理想情況下，BLDCM電壓方程如下：

(1)

式中：ua、ub、uc，ia、ib、ic，ea、eb、ec分別為定子繞組相電壓，相電流，反電動(dòng)勢(shì)；R、L、M分別為每相繞組電阻、自感和相間互感。

BLDCM電磁轉(zhuǎn)矩方程如下：

(2)

式中：ω是角速度。

BLDCM運(yùn)動(dòng)方程如下：

(3)

式中:J、Bv、Tl分別為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、摩擦系數(shù)和負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

2 UKF算法原理

2.1 卡爾曼濾波算法分析

卡爾曼濾波器結(jié)構(gòu)如圖2所示，其采用遞歸方法在考慮外部干擾的情況下仍然能夠獲得最優(yōu)估測(cè)值，并且便于數(shù)字化實(shí)現(xiàn)，在導(dǎo)航制導(dǎo)、信號(hào)處理等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。

圖2 卡爾曼濾波器系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

卡爾曼濾波器工作原理如下：控制系統(tǒng)的狀態(tài)變量同時(shí)輸入至系統(tǒng)模型和卡爾曼濾波器模型，系統(tǒng)模型估測(cè)值與卡爾曼濾波器模型估測(cè)值作差后，由卡爾曼濾波器模型估測(cè)出最優(yōu)值，再將其反饋至卡爾曼濾波器模型，通過(guò)不斷遞推與迭代，最終估計(jì)值收斂于接近真實(shí)值的范圍。

系統(tǒng)的狀態(tài)方程和量測(cè)方程如下：

(4)

式中：x(k)為系統(tǒng)狀態(tài)向量；Φ(k+1,k)為轉(zhuǎn)移矩陣；H(k)為測(cè)量矩陣；w(k)和v(k)分別為系統(tǒng)本身和測(cè)量過(guò)程中的干擾信號(hào)。

w(k)和v(k)的統(tǒng)計(jì)特性如下：

(5)

系統(tǒng)初值的統(tǒng)計(jì)特性如下：

(6)

(7)

根據(jù)上面的結(jié)果求出卡爾曼濾波增益Kk：

(8)

(9)

最后計(jì)算迭代過(guò)程所用最優(yōu)估測(cè)方差矩陣Pk：

Pk=Pk/k-1-KkHkPk/k-1

以上的卡爾曼濾波算法分析是基于線性模型，而實(shí)際系統(tǒng)多為非線性模型，為了彌補(bǔ)卡爾曼濾波算法不適應(yīng)非線性系統(tǒng)的缺陷，提出擴(kuò)展卡爾曼濾波算法(以下簡(jiǎn)稱EKF)，先對(duì)非線性系統(tǒng)線性化變換，再作離散化處理。然而，傳統(tǒng)EKF方法在對(duì)非線性系統(tǒng)方程進(jìn)行線性化處理時(shí)，只具有泰勒級(jí)數(shù)的一階精度，導(dǎo)致誤差較大。在實(shí)際應(yīng)用中，需要對(duì)EKF方法進(jìn)一步優(yōu)化。以確定性采樣為思路，Julier等學(xué)者進(jìn)一步將無(wú)跡變換與EKF算法相結(jié)合，提出了UKF算法，它具有更高的估測(cè)精度。

2.2 無(wú)跡變換

對(duì)于任意非線性系統(tǒng)，其非線性函數(shù)可用下式表示：

y=f(x)

(10)

無(wú)跡變換[5-6]過(guò)程如下：

首先，選取合適的Sigma點(diǎn)χi，實(shí)際選擇過(guò)程中可參考下式：

(11)

其次，對(duì)2n+1個(gè)Sigma點(diǎn)作非線性傳播，如下：

yi=f(χi) (i=0,…,2n)

(12)

計(jì)算可得：

(13)

2.3 UKF算法原理

UKF算法主要利用比例無(wú)跡變換替換EKF算法中的雅克比矩陣，從而實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)的線性化變換，其遞推過(guò)程主要包括4個(gè)步驟[7-8]。假設(shè)存在某非線性系統(tǒng)，離散化表示如下式：

(14)

式中：xk代表系統(tǒng)狀態(tài)向量；uk代表輸入向量；σk、μk代表相互獨(dú)立的高斯白噪聲，且滿足下式關(guān)系：

(15)

第一步初始化。計(jì)算初始狀態(tài)統(tǒng)計(jì)特性如下式：

(16)

(17)

第二步采樣。根據(jù)Sigma點(diǎn)的選取規(guī)則，取2n+1個(gè)Sigma點(diǎn)，并計(jì)算其權(quán)值：

(18)

第三步時(shí)間更新。利用非線性狀態(tài)函數(shù)f(·)對(duì)采樣中所得Sigma點(diǎn)作非線性傳播，如下：

(19)

進(jìn)而可得：

(20)

(21)

(22)

式中:α值通常在0.000 1～1內(nèi)，β值通常等于2。

(23)

(24)

(25)

(26)

進(jìn)一步可得：

(27)

式中：Kk代表濾波增益矩陣。

根據(jù)新的測(cè)量yk即可進(jìn)行量測(cè)更新：

(28)

(29)

3 UKF在BLDCM中的應(yīng)用

BLDCM非線性數(shù)學(xué)模型如下：

(30)

式中：x(t)代表狀態(tài)變量；u(t)、y(t)分別代表輸入、輸出變量；δ(t)代表系統(tǒng)擾動(dòng)、轉(zhuǎn)速波動(dòng)、參數(shù)誤差等所有系統(tǒng)噪聲；μ(t)代表測(cè)量噪聲。

各變量方程如下：

為了將本文研究的UKF算法運(yùn)用到BLDCM控制中，需進(jìn)一步對(duì)BLDCM系統(tǒng)方程作離散化處理，結(jié)果如下：

(31)

根據(jù)上式，結(jié)合前文分析的UKF原理，可得基于UKF算法的BLDCM無(wú)傳感器算法實(shí)現(xiàn)流程，如圖3所示[9-10]。

圖3 UKF算法實(shí)現(xiàn)流程圖

進(jìn)一步可得BLDCM基于UKF算法的無(wú)位置傳感器、雙閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)框圖[11-12]，如圖4所示。

圖4 BLDCM基于UKF算法的雙閉環(huán)控制

控制系統(tǒng)采用無(wú)跡卡爾曼濾波器觀測(cè)得出轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置信號(hào)，并將其應(yīng)用于BLDCM轉(zhuǎn)速、電流雙閉環(huán)控制中。

4 仿真分析

利用MATLAB軟件自帶的S函數(shù)功能模塊編寫UKF算法，并嵌入到模型中，搭建MATLAB仿真模型，BLDCM仿真參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)

針對(duì)不同轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)速發(fā)生突變、負(fù)載發(fā)生擾動(dòng)三種情況進(jìn)行仿真。

4.1 不同轉(zhuǎn)速下仿真分析

當(dāng)BLDCM給定轉(zhuǎn)速分別為2 000 r/min和200 r/min時(shí)，UKF觀測(cè)與實(shí)際測(cè)量的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置分別如圖5、圖6所示。需要說(shuō)明的是UKF算法得到的轉(zhuǎn)子位置信號(hào)是連續(xù)的角度，在BLDCM驅(qū)動(dòng)控制中還需要對(duì)其進(jìn)行轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換原理如圖7所示。

圖5 給定轉(zhuǎn)速為2 000 r/min時(shí)仿真結(jié)果

圖6 給定轉(zhuǎn)速為200 r/min時(shí)仿真結(jié)果

圖7 UKF算法獲取轉(zhuǎn)子位置轉(zhuǎn)換原理

由圖5、圖6可見(jiàn)，高、低速情況下UKF觀測(cè)與實(shí)際測(cè)量的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置之間誤差較小，且高速時(shí)的觀測(cè)精度優(yōu)于低速情況。

4.2 轉(zhuǎn)速發(fā)生突變時(shí)仿真分析

初始狀態(tài)下BLDCM給定轉(zhuǎn)速為1 500 r/min，0.1 s時(shí)轉(zhuǎn)速突增至2 000 r/min，UKF觀測(cè)與實(shí)際測(cè)量的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置如圖8所示。

圖8 轉(zhuǎn)速發(fā)生突變時(shí)的仿真結(jié)果

由圖8可見(jiàn)，轉(zhuǎn)速發(fā)生突變時(shí)UKF觀測(cè)器仍能夠準(zhǔn)確觀測(cè)轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置，觀測(cè)精度較高，與實(shí)際測(cè)量值之間誤差較小，動(dòng)態(tài)觀測(cè)效果良好。

4.3 負(fù)載發(fā)生擾動(dòng)時(shí)的仿真分析

初始狀態(tài)下負(fù)載轉(zhuǎn)矩為0.66 N·m，0.1 s時(shí)負(fù)載轉(zhuǎn)矩開(kāi)始增大，0.15 s時(shí)達(dá)到最大值0.96 N·m，之后逐漸恢復(fù)至0.66 N·m，UKF觀測(cè)與實(shí)際測(cè)量的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置如圖9所示。

圖9 負(fù)載發(fā)生擾動(dòng)時(shí)的仿真結(jié)果

由圖9可見(jiàn)，當(dāng)負(fù)載轉(zhuǎn)矩發(fā)生擾動(dòng)時(shí)，UKF算法仍然能夠準(zhǔn)確觀測(cè)轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置，具有較好的抗負(fù)載擾動(dòng)能力?？梢?jiàn)，UKF算法可以實(shí)現(xiàn)BLDCM高、低速無(wú)位置傳感器控制，且在轉(zhuǎn)速發(fā)生突變、負(fù)載發(fā)生擾動(dòng)等情況下，仍然能夠準(zhǔn)確觀測(cè)轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置，具有較好的動(dòng)、靜態(tài)性能及觀測(cè)精度。

5 實(shí)驗(yàn)研究

為進(jìn)一步驗(yàn)證理論分析的正確性，基于DSP28335+FPGA的控制器結(jié)構(gòu)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)接線如圖10所示。

圖10 實(shí)驗(yàn)接線圖

實(shí)驗(yàn)主程序、定時(shí)器中斷子程序及捕獲單元中斷子程序流程圖如圖11所示。

實(shí)驗(yàn)所用BLDCM參數(shù)與仿真參數(shù)一致，BLDCM空載起動(dòng)過(guò)程中電壓、電流波形如圖12所示。

由圖12可見(jiàn)，由于電機(jī)電感、換相及小功率BLDCM齒槽效應(yīng)等原因，空載狀態(tài)下電流波形并不是理想的方波。

圖11 程序流程圖

圖12 BLDCM電壓、電流波形

為了比較UKF估測(cè)的轉(zhuǎn)子位置與實(shí)際轉(zhuǎn)子位置間差異，本文同時(shí)采用霍爾傳感器進(jìn)行實(shí)測(cè)。然而霍爾傳感器輸出信號(hào)并不是連續(xù)的角度，而UKF輸出信號(hào)是連續(xù)的角度，難以直接對(duì)比。因此，本文按照?qǐng)D7的霍爾傳感器輸出脈沖信號(hào)與轉(zhuǎn)子位置之間關(guān)系對(duì)UKF輸出結(jié)果進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

當(dāng)BLDCM轉(zhuǎn)速分別為200 r/min、2 000 r/min時(shí)，霍爾傳感器實(shí)測(cè)轉(zhuǎn)子位置信號(hào)與UKF觀測(cè)轉(zhuǎn)子位置信號(hào)轉(zhuǎn)換后波形如圖13所示。

圖13 轉(zhuǎn)子位置測(cè)量結(jié)果

由圖13可見(jiàn)，無(wú)論BLDCM工作在高速或者低速狀態(tài)，UKF算法觀測(cè)的轉(zhuǎn)子位置與霍爾位置傳感器測(cè)量結(jié)果基本一致，二者之間誤差較小，可見(jiàn)UKF算法具有較高的轉(zhuǎn)子位置觀測(cè)精度。

在DSP28335中UKF觀測(cè)的轉(zhuǎn)速信號(hào)和實(shí)際轉(zhuǎn)速信號(hào)均為數(shù)字量，若采用示波器顯示，則需要將其轉(zhuǎn)化成模擬信號(hào)，而在數(shù)模轉(zhuǎn)換過(guò)程中會(huì)受到噪聲干擾等產(chǎn)生誤差，影響判斷結(jié)果。為了避免此問(wèn)題，本文將UKF觀測(cè)的轉(zhuǎn)速和實(shí)際轉(zhuǎn)速分別存放在兩個(gè)變量中，再通過(guò)MATLAB繪制出來(lái)進(jìn)行分析。

當(dāng)BLDCM給定轉(zhuǎn)速分別為2 000 r/min、200 r/min時(shí)，UKF觀測(cè)轉(zhuǎn)速與實(shí)際轉(zhuǎn)速如圖14所示，由于轉(zhuǎn)速是根據(jù)CCS中數(shù)組變量繪制而來(lái)，圖中橫坐標(biāo)是數(shù)組變量的下標(biāo)值。

圖14 實(shí)際轉(zhuǎn)速與UFK觀測(cè)轉(zhuǎn)速

由圖14可見(jiàn)，在高、低速情況下BLDCM起動(dòng)初期UKF算法觀測(cè)轉(zhuǎn)速與實(shí)際轉(zhuǎn)速之間存在一定誤差，經(jīng)過(guò)短暫收斂后，轉(zhuǎn)速趨于穩(wěn)定，UKF算法觀測(cè)轉(zhuǎn)速與實(shí)測(cè)轉(zhuǎn)速基本一致，誤差較小。

當(dāng)給定轉(zhuǎn)速由1 000 r/min增至2 000 r/min時(shí)，UKF觀測(cè)轉(zhuǎn)速與實(shí)際轉(zhuǎn)速如圖15所示。

圖15 轉(zhuǎn)速突變時(shí)實(shí)際轉(zhuǎn)速與測(cè)量轉(zhuǎn)速

由圖15可見(jiàn)，當(dāng)給定轉(zhuǎn)速參考值發(fā)生突變時(shí)，UKF算法仍可以準(zhǔn)確跟蹤并觀測(cè)轉(zhuǎn)速，且與實(shí)際測(cè)量值之間誤差較小。

由以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果可見(jiàn)，基于UKF算法的BLDCM無(wú)位置傳感器控制方法具有良好的動(dòng)、靜態(tài)性能，能夠有效提高BLDCM轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)子位置的觀測(cè)精度，具有一定的推廣應(yīng)用價(jià)值。

6 結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)擴(kuò)展卡爾曼濾波器算法觀測(cè)精度不夠高的問(wèn)題，本文提出了一種改進(jìn)的UKF算法。相較于EKF算法，UKF算法可有效提升估算精度，將其應(yīng)用于BLDCM無(wú)位置傳感器控制中，理論證明UKF算法至少可以達(dá)到非線性函數(shù)的二階精度。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，UKF算法在BLDCM高、低速運(yùn)行情況下，均可以準(zhǔn)確觀測(cè)轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置，并且在轉(zhuǎn)速、負(fù)載轉(zhuǎn)矩發(fā)生突變時(shí)，仍然能夠準(zhǔn)確跟蹤觀測(cè)，具有較好的動(dòng)、靜態(tài)性能和觀測(cè)精度。