曹姝萍

（延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院 陜西省延安市 716000）

1 引言

自然界存在很多的正負(fù)反饋機制，這些反饋機制相互耦合形成的很多非線性特性使得生活中存在大量的斑圖，如如空中云朵，動物體表花紋等。這些斑圖的形成不能用熱力學(xué)原理解釋，故人們選擇從動力學(xué)角度對其形成的原因及規(guī)律進行研究，形成了斑圖動力學(xué)。斑圖動力學(xué)的研究開始于Turing 對反應(yīng)擴散系統(tǒng)的認(rèn)識。他在論文《形態(tài)形成的化學(xué)基礎(chǔ)》中，從數(shù)學(xué)角度給出了反應(yīng)擴散系統(tǒng)的Turing失穩(wěn)導(dǎo)致Turing 斑圖的產(chǎn)生，即穩(wěn)定均勻態(tài)會在某些條件下失穩(wěn)，并自發(fā)產(chǎn)生空間定態(tài)圖紋。

近幾十年，反應(yīng)擴散系統(tǒng)中有關(guān)斑圖的分岔理論研究方法，已經(jīng)取得了很大的發(fā)展。通常，非線性的反應(yīng)擴散方程在某些控制參數(shù)的誘導(dǎo)下，會使得初始處于均勻穩(wěn)定狀態(tài)的系統(tǒng)發(fā)生一定的分岔，從而形成空間或者時空斑圖形態(tài)。生物種群模型的多樣性為斑圖研究提供了可能性。Segel 等[首次將斑圖動力學(xué)理論應(yīng)用到種群研究中，考慮了橈腳類食草動物-浮游植物相互耗散的不穩(wěn)定性。近些年來對捕食者-食餌模型中的斑圖研究越來越受到人們的關(guān)注。Wu 等考慮了一類具有 Michaelis-Menten 功能響應(yīng)的捕食者 - 獵物模型，通過規(guī)范型和中心流形定理確定了該模型在一定參數(shù)范圍內(nèi)，系統(tǒng)在平衡點處可以發(fā)生超臨界或亞臨界 Hopf 分岔。 Upadhyay等研究了具有 Holling 型函數(shù)響應(yīng)的捕食者-食餌系統(tǒng)的時空斑圖，考慮了其 Turing 分岔及其不穩(wěn)定性。Cao 等通過研究一類具有Crowley--Martin 功能響應(yīng)函數(shù)的捕食者模型的Turing 不穩(wěn)定性、Hopf 分岔及Hopf-Turing分岔，發(fā)現(xiàn)此類模型有瞬態(tài)，雙穩(wěn)態(tài)和三穩(wěn)態(tài)模式等豐富的時空模態(tài)。

Beddington 與DeAngelis等首次提出一類帶有Beddington-DeAngelis(B-D) 功能響應(yīng)函數(shù)的捕食者模型，充分考慮了捕食者之間的競爭關(guān)系。Ghorai 等給出了一類具有相互干擾的B-D 功能響應(yīng)函數(shù)的捕食者-食餌模型在共存平衡點附近的Turing 不穩(wěn)定存在的條件，并利用數(shù)值模擬得到了該模型的斑點、條紋及其混合斑圖形態(tài)。Zuo 等[利用中心流形和正則方程，理論推導(dǎo)了在時滯下 B-D 捕食者模型的 Hopf 分岔周期解的方向和穩(wěn)定性條件。Zhang通過弱非線性方法給出了一類具有B-D 功能響應(yīng)函數(shù)的捕食者模型的振幅方程，通過對Turing 不穩(wěn)定性及振幅方程穩(wěn)定性的分析，發(fā)現(xiàn)該模型具有H六邊形斑圖、條狀斑圖，及H六邊形與H六邊形混合狀態(tài)。Huang 等基于耦合映射格子模型對一類具有B-D 功能響應(yīng)函數(shù)的離散捕食者模型進行了理論分析和數(shù)值模擬，數(shù)值模擬得到了豐富的各種時空模式，包括規(guī)則和不規(guī)則的斑點、條紋、迷宮、間隙、馬賽克、螺旋、圓形以及介于兩者之間的中間模式。

時滯在大多數(shù)系統(tǒng)中廣泛存在，如在傳染病學(xué)模型中，一個感染了某些疾病的人并不會立即出現(xiàn)癥狀，得過一段潛伏期才會發(fā)作，如狂犬病、禽流感、埃博拉病毒等。時滯會破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性給系統(tǒng)帶來更多的波動，而擴散通常在時空系統(tǒng)中起著穩(wěn)定的作用，考慮其對系統(tǒng)的非均勻空間格局的影響至關(guān)重要。故本文主要考慮一類B-D 功能響應(yīng)函數(shù)的捕食者模型（B-D 模型）在時滯影響下 Turing 分岔附近的時空動力學(xué)行為。

2 時滯B-D模型及穩(wěn)定性分析

本文考慮一類帶有 B-D 功能響應(yīng)函數(shù)的捕食者模型。

2.1 模型（1-2）的穩(wěn)定性分析

2.2 Turing分岔條件

3 數(shù)值模擬

由1.2 節(jié)的穩(wěn)定性分析可得模型（1-2）的參數(shù)α、β 與時滯τ 的關(guān)系，如圖1 所示，Turing 分岔線（黑線）和受不同時滯影響下的Hopf 分岔線將整個參數(shù)區(qū)域分成了四個區(qū)域，其中:1 表示Turing 區(qū)域；2 表示均勻定態(tài)解穩(wěn)定；3 表示Hopf-Turing 區(qū)域，均勻定態(tài)解不穩(wěn)定，系統(tǒng)會受到Turing 分岔及Hopf 分岔的共同影響；4 表示Hopf 區(qū)域，系統(tǒng)受到Hopf分岔影響從空間均勻態(tài)發(fā)生時間周期震蕩相變。由圖1 可得時滯的引入加大了Turing 不穩(wěn)定區(qū)域，影響了模型（1-2）在Hopf-Turing 區(qū)域的斑圖形態(tài)，對Hopf 區(qū)域影響較小。

圖1： 不同時滯下模型（1-2）分岔

下面采用MATLAB 軟件模擬給出模型（1-2）中的Turing 斑圖。這里初值選取在E處作隨機小擾動的值，方程采用歐拉向前差分格式及周期邊界。時間步長 ，空間步長h=1.25，空間網(wǎng)格劃分為100×100。由于反應(yīng)物u與v 的空間斑圖類似，故僅給出變量u 的斑圖形成，并且一些參數(shù)取值固定：b=0.9，c=0.6，D=0.01，D=1。

圖2 給出了不同α 和 β 值下變量u 的斑圖形態(tài)，由圖1(a-d)中得到當(dāng)α=0.095 時，隨著β 值的增大，u 的Turing斑圖從熱點到六邊形斑圖到六邊形與條形斑圖混合斑圖，最后條形斑圖完全占據(jù)空間。圖2(e-f)給出了當(dāng)α=0.2 時，不同β 值下u 產(chǎn)生四邊形斑圖和冷點斑圖。圖2 展示了系統(tǒng)在Turing 區(qū)域豐富的斑圖形態(tài)。

圖2： 模型（1-2）在不同參數(shù)下u 的斑圖形態(tài)

圖3 給出了模型(1-2)在Turing 區(qū)域內(nèi)不同τ 值下u 隨時間變化的斑圖形態(tài)，通過圖3(a)與圖3(c)的對比，圖3(b)與圖3(d)的對比可以發(fā)現(xiàn)時滯不改變模型（1-2）斑圖的結(jié)構(gòu)，但會影響Turing 斑圖生成的進程。

圖3： 當(dāng)α=0.2,β=0.07 時不同τ 值下u 隨時間演化的Turing 斑圖

圖4 給出了參數(shù)α 與β 受時滯τ 的影響在不同區(qū)域下的斑圖。由圖4 得時滯會影響均勻定態(tài)解的穩(wěn)定性。給定α=0.1，β=0.018，當(dāng)τ=0 時，系統(tǒng)處于圖1 中的Hopf-Turing區(qū)域，當(dāng)τ=15 時，系統(tǒng)處于Turing 區(qū)域。圖4(a)與(b)中的斑圖形態(tài)相同，說明在Hopf-Turing 區(qū)域中Turing 不穩(wěn)定占主導(dǎo)地位。

圖4： 當(dāng)α=0.1,β=0.018 時不同τ 值下u 的Turing 斑圖形態(tài)

4 總結(jié)和展望

本章主要研究了時滯對具有 B-D 功能響應(yīng)函數(shù)的捕食者模型在 Turing 分岔區(qū)域附近的時空動力學(xué)行為的影響。通過穩(wěn)定性分析確定了Turing 斑圖生成的參數(shù)條件，給出了參數(shù)空間α 與β 參數(shù)空間下系統(tǒng)的分岔分布空間。通過數(shù)值模擬，首先給出了無時滯下模型在Turing 區(qū)域各種斑圖形態(tài)，其次通過給出不同 值下 隨時間變化的斑圖形態(tài)，說明了時滯不改變模型斑圖的結(jié)構(gòu)形態(tài)，僅影響斑圖生成的進程。進一步通過固定參數(shù)值，發(fā)現(xiàn)時滯會影響模型的穩(wěn)定性。最后發(fā)現(xiàn)模型在Hopf-Turing 區(qū)域中受Turing 不穩(wěn)定的影響也會產(chǎn)生Turing 斑圖，需要進一步對此區(qū)域進行分析討論。