陳和娟 房義軍

(1.無錫商業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院汽車技術(shù)學(xué)院，江蘇 無錫 214153；2.江蘇大學(xué)農(nóng)業(yè)工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

符號分析和符號建模的目標(biāo)是得到模擬電路行為的可解釋表達(dá)式[1－2]。符號分析通過電路的拓?fù)浞治鰜硖崛”磉_(dá)式，而符號建模則通過采用SPICE仿真數(shù)據(jù)來提取表達(dá)式。這些表達(dá)式可應(yīng)用于自動電路尺寸的分析模型生成、設(shè)計空間探索、包括統(tǒng)計分析、模擬故障診斷和可測試性分析在內(nèi)的重復(fù)公式評估，以及仿真行為模型生成等[3]。更重要的是可以為設(shè)計人員提供對電路理解的工具，因為它有助于在電路尺寸、布局、驗證和拓?fù)湓O(shè)計方面做出更好的決策。因此，生成符號表達(dá)式的方法備受關(guān)注。

盡管符號分析最先出現(xiàn)，但其主要缺點是局限于線性化和弱非線性電路。這只能通過分段線性/多項式建模方法來克服[4－5]，代價是失去透明性(可解釋性)。

在建模中利用SPICE 仿真是可行的，因為仿真器可以很容易處理非線性電路、環(huán)境影響(如溫度、電源電壓、負(fù)載)、制造影響、不同工藝(如接近角)等。根據(jù)仿真數(shù)據(jù)，構(gòu)建一個模型y＝f(x)，其中y通常是一個性能指標(biāo)，x包括設(shè)計、工藝或環(huán)境變量，而f為SPICE 映射的近似值。通常采用的模型包括線性模型[6]、基于正項式的模型[7－8]和二次多項式模型[9－10]。在文獻(xiàn)[7－8]中，盡管構(gòu)建了基于正項式的符號模型，但存在的問題是模型被約束到一個預(yù)先定義的模板，從而限制了函數(shù)形式。此外，這些模型有許多項，限制了它們對設(shè)計者的可解釋性。正項式可以擬合數(shù)據(jù)，但在模擬電路中并不能保證這一點；文獻(xiàn)[9－10]研究了二次多項式模型構(gòu)建，但二次多項式也存在限制性結(jié)構(gòu)。

也有學(xué)者提出采用樣條函數(shù)[11]、多元自適應(yīng)回歸樣條函數(shù)(Multivariate Adaptive Regression Splines，MARS)[12]、前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Feedforward Neural Network，F(xiàn)NN)[13]、增強(qiáng)型前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Boosted-FNN，B-FNN)[14]、支持向量機(jī)(Support Vector Machines，SVM)[15]、最小二乘支持向量機(jī)(Least Squares-Support Vector Machines，LS-SVM)[16]

和克里格法(Kriging)[17]來構(gòu)建符號模型。然而，這些模型要么遵循一個過度限制的功能模板(限制了它們的適用性)，要么是不透明的，因此無法為設(shè)計者提供觀察和可解釋性。

對此，本文提出了一種新的符號建模方法，本文將這種建模方法稱為基于進(jìn)化的規(guī)范函數(shù)形式表達(dá)式(Evolution Based Canonical Functional Form Expressions，EB-CFFE)。它采用SPICE 仿真數(shù)據(jù)為電路應(yīng)用生成可解釋的數(shù)學(xué)表達(dá)式，將電路性能與設(shè)計變量聯(lián)系起來，能夠為任意非線性電路及其特性生成具有更開放的函數(shù)形式的符號模型，同時確保模型是可解釋的(透明的)。提出的符號建模最適合于有適當(dāng)偏差的設(shè)計區(qū)域(即設(shè)計變量有較小的更改)，因為覆蓋不正確偏差區(qū)域的模型對于手工檢查來說太復(fù)雜了。

1 問題及背景知識

1.1 問題構(gòu)建

本文研究的建模問題的輸入與輸出如下。

輸入:(1)X和y:集合{xj，yj}(j＝1，…，N)為數(shù)據(jù)樣本，其中xj為Nd維的設(shè)計點j，yj為從該設(shè)計的SPICE 仿真測得的對應(yīng)的電路性能值?？刹捎脤嶒炘O(shè)計或電路優(yōu)化生成數(shù)據(jù)樣本；(2)無模型模板。

輸出:一組符號模型M，它給出最小模型復(fù)雜性f1和最小模型預(yù)測誤差f2之間的帕累托最優(yōu)權(quán)衡，這個約束最優(yōu)化問題用公式表示為:

式中:Ψ為無模板符號模型空間。算法將遍歷Ψ返回一個帕累托最優(yōu)集合。每個模型m將一個Nd維的輸入x映射到一個標(biāo)量電路性能近似，即＝m(x)。復(fù)雜性定義為區(qū)分不同模型之間自由度的某種度量(見式(5))。Ex，y L是給定m對未來預(yù)測的預(yù)期損失，其中L為平方誤差損失函數(shù):

根據(jù)定義，帕累托最優(yōu)集合M中沒有哪個模型優(yōu)于其他任何模型。在本文情形中，如果{fj(ma)≤fj(mb)}?j且{fj(ma)(fj(mb)}?j，j＝{1，2}，則模型ma優(yōu)于另一個模型mb。也就是說，要達(dá)到帕累托最優(yōu)，一個模型必須在兩個目標(biāo)上至少與任何模型一樣好，在一個目標(biāo)上優(yōu)于任何模型。

1.2 背景知識—基因編程

基因編程(Genetic Programming，GP)[18]是一種進(jìn)化算法，GP 個體(設(shè)計空間中的點)具有樹的顯著特征。由于符號模型是一個函數(shù)，可以表示為一顆樹，所以對上述模型的搜索可以通過GP 搜索來完成。

標(biāo)準(zhǔn)GP 結(jié)果的函數(shù)形式是完全不受限制的，但不受限制的形式總是難以分析。GP－進(jìn)化函數(shù)非常復(fù)雜且具有不可解釋性。文獻(xiàn)[18－19]表明GP－進(jìn)化函數(shù)非常龐大且相當(dāng)復(fù)雜，如果不與諸如Mathematica 這樣的工具進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕换ィǔ：茈y理解它們。

2 提出的EB-CFFE 建模方法

2.1 EB-CFFE 規(guī)范形式函數(shù)

EB-CFFE 設(shè)計遵循2 條準(zhǔn)則:確保每個節(jié)點的最大可表達(dá)性，確保全部候選函數(shù)都是直接可解釋的。圖1 所示為EB-CFFE 函數(shù)的一般結(jié)構(gòu)，盡管它可以無限地深入(進(jìn)化)下去，但為了保持可解釋性，它通常只能達(dá)到所顯示的深度。它在乘積的和表達(dá)式與和的乘積表達(dá)式級別之間交替使用。每個乘積的和表達(dá)式是一個總的偏移項加上加權(quán)基函數(shù)的加權(quán)線性相加。一個基函數(shù)是乘積項的組合，其中每個乘積項是一個多項式/有理式、零或多個非線性運(yùn)算符，以及零或多個單位運(yùn)算符。每個乘積項充當(dāng)通往下一個乘積的和的層的“門”。

圖1 EB-CFFE 進(jìn)化出的規(guī)范形式函數(shù)

圖2 所示為一個示例函數(shù)及其對應(yīng)的樹。在函數(shù)的7.1/x3部分，7.1 是樹的左上方w0，1/x3是其相鄰的vars 的poly/rat'l。1.8 對應(yīng)頂部的w1，x1是其相鄰的vars 的poly/rat'l。函數(shù)的log 對應(yīng)于nonlinear func，它在樹中包含加權(quán)線性加(weighted linear add)項－。這一項本身已經(jīng)中斷:函數(shù)的－1.9 是樹的較低的woffset，8.0/x1對應(yīng)樹的左下方w0×poly/rat'l of vars，對應(yīng)于樹的右下方的w1×poly/rat'l of vars。注意，EB-CFFE 只在需要系數(shù)的地方放置系數(shù)，而不在其他地方放置系數(shù)。

圖2 采用文本形式的函數(shù)示例及相應(yīng)的EB-CFFE 樹形式

注意，不存在限制一個線性加層到下一層的非線性函數(shù)。EB-CFFE 的典型使用將限制乘積項層的數(shù)量僅為1 或2，因此確保不會出現(xiàn)非線性成分的過度混合，如lg(sin(exp(x)))。對基函數(shù)的最大數(shù)目也可能有一個限制。由于采用了規(guī)范形式，故所有進(jìn)化函數(shù)都是直接可解釋的，不需要符號處理。

2.2 EB-CFFE 搜索算法

本節(jié)描述EB-CFFE 函數(shù)中采用的搜索算法。EB-CFFE 搜索采用GP 作為起點，但為了正確處理無模板符號建模，本文對GP 進(jìn)行擴(kuò)展。主要通過2種方式解決復(fù)雜性和可解釋性問題:一是多目標(biāo)方法，它在誤差和復(fù)雜性之間提供權(quán)衡；二是專門設(shè)計的語法和操作符，用于將搜索限制到特定的函數(shù)形式，而不會排除期望的解。在EB-CFFE 中，總的表達(dá)式是NB個基函數(shù)Bi的線性函數(shù)，i＝1，2，…，NB:

一個EB-CFFE 個體m有一個GP 樹來確定每個基函數(shù)m＝{B1，B2，…，BNB}。線性系數(shù)a∈RNB＋1是在最小二乘成本函數(shù)式(2)上采用線性回歸實時確定的。

2.2.1 多目標(biāo)方法

EB-CFFE 采用最先進(jìn)的多目標(biāo)進(jìn)化算法，返回一組個體，它們共同權(quán)衡模型誤差和復(fù)雜性，即式(1)中的目標(biāo)f2和f1。誤差(預(yù)期損失Ex，y L)通過訓(xùn)練誤差εtr來近似，εtr為訓(xùn)練數(shù)據(jù)上的個體m的歸一化均方根誤差:

式中:Ntr為訓(xùn)練樣本數(shù)，ytr，i為訓(xùn)練輸出ytr的樣本i，＝F(xtr，i；m)，xtr，i為訓(xùn)練輸入Xtr的樣本i。注意，y值被y縮放，而不是ytr；測試誤差εtest有類似的公式，只是將Ntr個訓(xùn)練點{ytr，Xtr}用Ntest個測試點{ytest，Xtest}替換。

復(fù)雜性由基函數(shù)數(shù)目、每棵樹中的節(jié)點數(shù)以及變量組合(Variable Combos，VCs) 的指數(shù)來度量，即:

式中:wb為給定每個基函數(shù)最小成本的常數(shù)，nnode(j)為基函數(shù)j的樹節(jié)點數(shù)目，nvc(j)為基函數(shù)j的VCs的數(shù)目，具有成本:

方法在生成過程中通過保持向更低復(fù)雜性的進(jìn)化壓力來實現(xiàn)簡化，從而可以避免在誤差或復(fù)雜性上作出預(yù)先決定，因為算法生成一組模型來提供各種備選方案的權(quán)衡，而不是只生成一個模型。

2.2.2 規(guī)范形式函數(shù)的語法實現(xiàn)

在GP 中，一種限制搜索的方法是通過語法[20]?；跇涞倪M(jìn)化算子(如交叉和變異)必須遵循語法的派生規(guī)則。

盡管語法可以有效地約束搜索，但目前還沒有針對函數(shù)形式進(jìn)行設(shè)計的語法。在設(shè)計這樣的語法時，允許所有的函數(shù)組合(即使僅用一種規(guī)范形式)是很重要的。

表1 所示的EB-CFFE 語法是為創(chuàng)建線性和非線性函數(shù)的單獨層而設(shè)計的，并按照圖1 放置系數(shù)和變量。

表1 EB-CFFE 語法

首先解釋表1 中的記號。粗體表示非終結(jié)符號，非粗體表示終結(jié)符號。每一行(或兩行)顯示了左邊的非終結(jié)符號可以映射到(｜→)的可能表達(dá)式。可能表達(dá)式即派生規(guī)則用OR 操作符“｜”分隔。

其次來解釋語法是如何實現(xiàn)規(guī)范形式函數(shù)的。REP 是“重復(fù)(repeating)”的縮寫，如“重復(fù)操作符”REPOP(REP operators)和“重復(fù)變量組合”REPVC(REP variable combo)，在后面還有進(jìn)一步說明。開始符號為REPVC，它擴(kuò)展到一個基函數(shù)(一個個體有幾個根級基函數(shù))。注意操作符之間的明顯區(qū)別。根是變量(REPVC)和/或非線性函數(shù)(REPOP) 的乘積。在每個非線性函數(shù)內(nèi)是REPADD，即下一級基函數(shù)的加權(quán)和。

VC 為變量組合(Variable Combo，VC)，旨在保持多項式/有理式的緊湊表示。它的擴(kuò)展可以直接在語法中實現(xiàn)；盡管在本文的基本系統(tǒng)中存儲了一個向量，以保存每個設(shè)計變量的整數(shù)值作為變量的指數(shù)。如示例向量[1，0，－2，1]，它意味著(x1×x4)/(x3)2，并且根據(jù)式(6)，有成本｜1｜＋｜0｜＋｜－2｜＋｜1｜＝4。這種方法保證了緊湊性，并允許對向量使用特殊操作符。

在確定系數(shù)值時，要區(qū)分線性系數(shù)和非線性系數(shù)。如前所述，EB-CFFE 個體是一組線性相加的基函數(shù)。每個基函數(shù)是一棵語法派生的樹。線性系數(shù)是通過對所有輸入樣本的每棵樹進(jìn)行計算得到一個基函數(shù)輸出矩陣來找到的，然后對該矩陣和目標(biāo)輸出向量應(yīng)用最小二乘回歸來找到最佳線性權(quán)值。

對于樹中的每個非線性系數(shù)W(即不能通過線性回歸找到的系數(shù))，附帶一個實數(shù)值，其值在范圍[－2×B，＋2×B]。在樹的解釋過程中，值被轉(zhuǎn)換成[－1×10B，－1×10－B]∪[0.0]∪[1×10－B，1×10B]，B為用戶集。

POW(a，b)表示ab。當(dāng)符號2ARGS 擴(kuò)展到包含MAYBEW 時，底數(shù)或指數(shù)(但不能都是)可以是常數(shù)。

設(shè)計者可以關(guān)閉表1 語法中的任何規(guī)則，如果考慮不想要或不需要。例如，可以很容易將搜索限制在多項式或有理式，或者刪除可能難以解釋的函數(shù)，如sin 和cos。還可以改變或擴(kuò)展操作符或輸入，例如，包括Wi、Li和Wi/Li。

2.2.3 增強(qiáng)EB-CFFE 算法

算法1 所示為ExtractSymbolicCaffeineModels()算法實現(xiàn)的偽代碼。它接受訓(xùn)練輸入X和訓(xùn)練輸出y，將輸出一組帕累托最優(yōu)模型M。第1 行將M、當(dāng)前的父元素P集合和當(dāng)前的子元素Q集合初始化為空集合。第2～3 行循環(huán)遍歷種群大小Npop，從可能的規(guī)范形式函數(shù)ψ空間中隨機(jī)抽取每個個體Pi。第4 行開始第5 行和第6 行的進(jìn)化算法(Evolutionary Algorithm，EA)的代循環(huán)。當(dāng)達(dá)到目標(biāo)代數(shù)Ngen，max時，終止循環(huán)。第5 行執(zhí)行主要的EA 工作。第6 行更新帕累托最優(yōu)個體M的外部存檔，通過對現(xiàn)有的M進(jìn)行過濾，其中最近更新過M的父結(jié)點P和子結(jié)點Q。第7 行結(jié)束ExtractSymbolicCaffeine-Models()運(yùn)行，返回帕累托最優(yōu)符號模型M。

算法1 ExtractSymbolicCaffeineModels()步驟偽代碼

2.2.4 進(jìn)化搜索算子

現(xiàn)在描述樹是如何隨機(jī)生成的，并解釋樹上的搜索算子。搜索算子按其搜索表示分組為:語法、實值系數(shù)、變量組合(VCs)和基函數(shù)。

從給定符號隨機(jī)生成樹和子樹只需要隨機(jī)選擇其中一個符號的一個派生，并遞歸地生成(子)樹，直至遇到終結(jié)符號。

對樹的語法限制得到遵循自然語法的交叉算子和突變算子。算子工作如下:它隨機(jī)選擇第一個父節(jié)點上的一個節(jié)點，然后隨機(jī)選擇第二個父節(jié)點上的一個節(jié)點，約束條件是它必須與第一個節(jié)點具有相同的語法符號(如REPOP)，最后交換對應(yīng)于每個節(jié)點的子樹。突變包括隨機(jī)選擇一個節(jié)點，然后用隨機(jī)生成的一個子樹替換它的子樹。

VCs 的特定結(jié)構(gòu)得到合適的算子，包括一點交叉和對指數(shù)值的隨機(jī)加或減。

每個個體有一個基函數(shù)列表，這也得到特定的算子:通過從兩個父節(jié)點之一隨機(jī)選擇大于0 的基函數(shù)創(chuàng)建一個新的個體，刪除一個隨機(jī)基函數(shù)，添加隨機(jī)生成的樹作為基函數(shù)，從一個個體復(fù)制子樹，為另一個個體創(chuàng)建一個新的基函數(shù)。

3 實驗及分析

本節(jié)給出EB-CFFE 應(yīng)用于模擬電路建立符號模型，將設(shè)計變量映射到性能，解決有13 個輸入變量的問題，從而表明所生成的實際符號模型、測試誤差與復(fù)雜性之間的權(quán)衡、預(yù)測誤差和復(fù)雜性與其他主流建模方法的比較。

3.1 實驗設(shè)置

x1＋x2、x1×x2、max(x1，x2)、min(x1，x2)、power(x1，x2)和x1/x2；條件運(yùn)算符包括≤(testExpr、condExpr、exprIfLessT hanCond、elseExpr) 和≤(testExpr、0、exprIfLessT hanCond、elseExpr)；任意輸入變量都可以在{…，－1，1，2，…}內(nèi)有一個指數(shù)。

實例中所建模的電路為一個高速CMOS 跨導(dǎo)運(yùn)算放大器(Operational Transconductance Amplifier，OTA)，如圖3 所示。目標(biāo)是找到低頻增益(ALF)、單位增益頻率(FU)、相位裕量(PM)、輸入?yún)⒖计秒妷?VOFF)和正、負(fù)轉(zhuǎn)換速率(SRp，SRn)這6 個性能指標(biāo)的表達(dá)式。為了直接與正項式方法進(jìn)行比較，輸入和輸出都不縮放，只是FU為對數(shù)縮放，因此均方誤差計算和線性學(xué)習(xí)會偏向于FU的高幅值樣本。

圖3 CMOS 高速OTA

采用工作點驅(qū)動[21]，其中電流和晶體管柵驅(qū)動電壓構(gòu)成了設(shè)計變量(在本實例中有13 個變量)。設(shè)計點按比例dx＝0.1(其中dx為變量值與中心值的%變化)得到243 個樣本。未經(jīng)過濾的樣本用作訓(xùn)練數(shù)據(jù)輸入。測試數(shù)據(jù)輸入也采用243 個樣本，但dx＝0.03。

運(yùn)行設(shè)置:基函數(shù)的最大數(shù)目NB＝15，種群大小Npop＝200，代數(shù)目Ngen，max＝5000(有足夠的時間來收斂)，最大樹深度＝8(使得每個基函數(shù)恰好有一個層的非線性運(yùn)算符)，W系數(shù)范圍為[－1×1010，－1×10－10]∪[0.0]∪[1×10－10，1×1010](即B＝10，因此，系數(shù)可以涵蓋20 個數(shù)量級，包括正、負(fù))。所有運(yùn)算符都有相同的概率，除了參數(shù)突變的可能性是5 倍(為調(diào)整緊湊函數(shù))。復(fù)雜性度量設(shè)置為wb＝10，wvc＝0.25。

對訓(xùn)練數(shù)據(jù)和單獨測試數(shù)據(jù)計算其歸一化均方誤差εtr和εtest，這是模型質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)度量。測試誤差εtest最終是更重要的指標(biāo)，因為它度量模型對不可見數(shù)據(jù)進(jìn)行概括的能力。

3.2 實驗結(jié)果

3.2.1 EB-CFFE 符號建模性能測試

首先測試由EB-CFFE 生成的一些符號模型，觀察哪些符號模型具有<10%的訓(xùn)練和測試誤差，且有最低的復(fù)雜度。表2 所示為得到的圖3 的OTA的6 個性能指標(biāo)的規(guī)范形式函數(shù)。可以看到，每個函數(shù)最多有4 個基函數(shù)，不包括常數(shù)。對于VOFF，常數(shù)就足以使誤差保持在10%以內(nèi)。還可看到，有理函數(shù)形式最多。在這些目標(biāo)誤差下，只在ALF中出現(xiàn)一個非線性函數(shù)ln()。

表2 圖3 的OTA 的EB-CFFE 生成的符號模型

可以通過對這些方程的分析，來了解拓?fù)渲械脑O(shè)計變量是如何影響性能的，以提供可解釋性。例如，ALF與OTA 的差動對上的電流idl成反比，或者SRp僅依賴于id1和id2以及id1/id2的值，或者在采樣的設(shè)計區(qū)域內(nèi)，設(shè)計變量之間的非線性耦合非常弱，通常僅為同一晶體管變量的比值，或者每個表達(dá)式僅包含設(shè)計變量的一個子集，或者晶體管對M1和M2是唯一影響6 個性能指標(biāo)中的5 個的器件。

圖4 所示為OTA 的6 個性能指標(biāo)對于訓(xùn)練誤差εtr、測試誤差εtest和基函數(shù)數(shù)目與復(fù)雜性之間EB-CFFE 生成的權(quán)衡。

可以看到，對于訓(xùn)練誤差與復(fù)雜性的權(quán)衡中的全部模型隨著復(fù)雜性的增加，訓(xùn)練誤差減小。在每個性能指標(biāo)中，EB-CFFE 會生成大約50 個不同模型的權(quán)衡。正如預(yù)期的那樣，零復(fù)雜性模型(即常數(shù))有最高的訓(xùn)練誤差約為10%～25%，最高復(fù)雜性模型有最低的訓(xùn)練誤差約為1%～3%；

對于復(fù)雜性與基函數(shù)數(shù)目之間的關(guān)系，由于復(fù)雜性是由基函數(shù)的數(shù)目和每個基函數(shù)內(nèi)每棵樹的復(fù)雜性構(gòu)成的函數(shù)，所以在這些曲線中可以看到，基函數(shù)數(shù)目隨著復(fù)雜性的增加而增加。但有時在現(xiàn)有的基函數(shù)中增加更多的樹而不增加更多的基函數(shù)會增加復(fù)雜性。這可以從曲線中看出，隨著復(fù)雜性的增加，基函數(shù)的數(shù)目可能趨于平穩(wěn)。

從圖4 還可看到，與訓(xùn)練誤差不同，測試誤差不是隨著復(fù)雜性的增加而單調(diào)減小。這意味著一些不太復(fù)雜的模型比更復(fù)雜的模型更具預(yù)測性。

圖4 OTA 的每個性能指標(biāo)的符號模型的訓(xùn)練誤差、測試誤差和基函數(shù)數(shù)目與復(fù)雜性之間的關(guān)系

值得注意的是，在幾乎所有情況下，測試誤差都小于訓(xùn)練誤差，表明了EB-CFFE 方法能為具有更多變量的電路提供表達(dá)式的潛力。

3.2.2 與正項式符號模型的比較

本節(jié)將本文的EB-CFFE 符號建模與正項式建模方法進(jìn)行比較。首先比較模型的復(fù)雜性，比較的是正項式系數(shù)的數(shù)目與出現(xiàn)在EB-CFFE 表達(dá)式中的系數(shù)數(shù)目，結(jié)果如圖5 所示。可以看到，EB-CFFE模型比正項式模型緊湊1.3 倍～6.4 倍；其次比較EB-CFFE 和正項式建模方法的預(yù)測能力，將訓(xùn)練誤差固定來比較測試誤差，結(jié)果如圖6 所示?？梢钥吹?，在全部6 個性能指標(biāo)中，EB-CFFE 模型有5 個優(yōu)于正項式模型，僅在VOFF中，正項式模型比EB-CFFE略好，但EB-CFFE 模型比正項式模型要緊湊6.2 倍。

圖5 EB-CFFE 模型與正項式模型的復(fù)雜性比較

圖6 EB-CFFE 測試誤差與正項式預(yù)測能力的比較

3.2.3 與先進(jìn)的不透明回歸建模方法的比較

回歸建模技術(shù)獲得的不透明模型不具有可解釋性，為此，比較它們的平均預(yù)測能力即平均預(yù)測誤差(測試誤差)。作為比較，選取了以下回歸建模技術(shù):常數(shù)、采用最小二乘擬合的線性模型(Linear Models with Least-Squares Fit，LM-LSF)、基于投影的二次方程式(Projection Based Quadratic，PBQ)、前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Feedforward Neural Network，F(xiàn)NN)、增強(qiáng)型FNN(Boosted-FNN，B-FNN)、多元自適應(yīng)回歸樣條函數(shù)(Multivariate Adaptive Regression Splines，MARS)、最小二乘支持向量機(jī)(Least Squares-Support Vector Machines，LS-SVM)和克里格(Kriging)法。

模型生成器的編碼和配置如下:構(gòu)建常數(shù)、線性和完全二次型模型用MATLAB 代碼實現(xiàn)，構(gòu)建PBQ用Python 代碼實現(xiàn)，采用數(shù)值/線性代數(shù)程序包進(jìn)行最小二乘回歸；對于增強(qiáng)型FNN，設(shè)置NumModels ＝20；MARS 模型構(gòu)建器用MATLAB 代碼實現(xiàn)；LS-SVM采用MATLAB 代碼，所有設(shè)置為“全自動”；克里格模型構(gòu)建器采用MATLAB 代碼實現(xiàn)，設(shè)置Θmin＝0.0，Θmax＝10.0，pmin＝0.0，pmax＝1.99。

圖7 所示為對于OTA 的6 個性能指標(biāo)得到的平均預(yù)測誤差(測試誤差)。

圖7 EB-CFFE 與先進(jìn)的回歸建模技術(shù)的預(yù)測能力比較

可見，EB-CFFE 有最低的平均預(yù)測誤差，MARS與之非常接近，克里格法次之。FNN、B-FNN 和LS-SVM 它們非常接近，與線性模型的性能基本相同，二次方程式方法最差；這是由于EB-CFFE 只選擇真正重要的輸入變量，它偏向于輸入變量軸線，而不是仿射不變的。也就是說，EB-CFFE 表達(dá)式和搜索算子每次只處理一個或幾個輸入變量，而不是在加權(quán)和中使用所有變量。MARS 也類似，由于它逐步向前的特性使得它也偏向于軸線，并且對輸入變量有選擇性。在6 個性能目標(biāo)中，EB-CFFE 有5 個預(yù)測誤差最好或接近最好，MARS 有3 個預(yù)測誤差最好或接近最好，克里格法有不錯的預(yù)測性能，是因為當(dāng)輸入樣本有相對均勻的間隔時，它趨向于執(zhí)行較好，因為它采用DoE 采樣；但克里格法、FNN 和B-FNN 比EB-CFFE和MARS 差，這很可能是因為它們對輸入軸線沒有有用的偏差(對于該應(yīng)用)。B-FNN 的性能并不明顯優(yōu)于FNN，這意味著過擬合可能不是FNN 的問題；LS-SVM 的性能很差，可能是因為它對所選變量的處理過于一致；還可看到，只有EB-CFFE、MARS 和克里格法優(yōu)于常數(shù)，而其他模型試圖預(yù)測不可見的(測試)輸入的輸出效果很差，因為模型的泛化方向不好，導(dǎo)致更大的誤差值，而常數(shù)沒有過大的誤差值。

4 結(jié)束語

本文提出了一種可以將非線性電路性能的可解釋符號模型生成為電路的設(shè)計變量的函數(shù)的工具即EB-CFFE，無需預(yù)先要求模型模板；EB-CFFE 的主要思想是采用SPICE 仿真數(shù)據(jù)的流程，從仿真數(shù)據(jù)中提取無模板函數(shù)的多目標(biāo)GP 搜索，以及用于可解釋性的函數(shù)的規(guī)范形式約束；對模型的可視化測試表明模型是可解釋的，對模型的性能實驗表明比正項式更緊湊，比其他回歸模型的平均預(yù)測誤差也要低；所以，EB-CFFE 在健壯性建模、行為建模和權(quán)衡建模等應(yīng)用中具有較好的前景。