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        考慮潛伏感染和疫苗接種的傳染病模型的穩(wěn)定性①

        2022-07-09 07:35:36艾明霞王穩(wěn)地
        關(guān)鍵詞:特征模型

        艾明霞, 王穩(wěn)地

        西南大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 重慶 400715

        潛伏感染常見于新型冠狀病毒肺炎和甲型H1N1等多種傳染性疾病[1-3], 但是目前研究疾病流行的模型中, 大部分未考慮潛伏的感染性[4-8], 或假設(shè)潛伏期和感染期的感染性相同[9]. 部分常微分模型考慮了潛伏期的相對感染性[10]. 因為疫苗接種是控制疾病流行的關(guān)鍵措施, 而考慮到不同年齡個體對疾病的感染程度是不一樣的, 所以研究具有年齡結(jié)構(gòu)的疫苗接種模型更有實際意義. 本文建立了一個考慮潛伏感染和疫苗接種的SEIR年齡結(jié)構(gòu)模型, 并對模型的相關(guān)性態(tài)進行分析.

        1 模型的建立

        設(shè)S(a,t),E(a,t),I(a,t)和R(a,t)分別表示t時刻a年齡人類中易感者、 潛伏者、 感染者和免疫者的數(shù)量, 建立如下年齡結(jié)構(gòu)模型:

        (1)

        表示t時刻a歲易感者承受的感染力,β1(a1)β2(a2)表示有效接觸率, 即一個a1歲易感者遇到a2歲感染者被感染的概率. 我們合理假設(shè)模型中各參數(shù)為正, 且初值條件非負.

        (2)

        2 平衡點的存在性和有效再生數(shù)RV

        系統(tǒng)(2)的穩(wěn)態(tài)解滿足如下方程組:

        (3)

        顯然y(a)=z(a)=0總是系統(tǒng)(3)第二和第三個方程的解, 對應的有λ(a)=0, 可以求得無病平衡點

        E0=(x0(a),y0(a),z0(a))=(e-(hp+μ)a, 0, 0)

        下面探究地方病平衡點E*=(x*(a),y*(a),z*(a))的存在性, 其中y*(a),z*(a)≠0. 求解系統(tǒng)(3)得到

        (4)

        (5)

        (6)

        其中,

        (7)

        因為y*(a),z*(a)>0, 所以D>0, 且x*(a),y*(a)和z*(a)由D唯一確定. 結(jié)合表達式(4)-(7), 可得等式:

        (8)

        等式(8)兩邊消去D, 得到

        (9)

        觀察表達式(4), 可知x*(a)依賴于參數(shù)D, 記等式(9)右邊為P(D). 顯然P(D)的單調(diào)性取決于x*(a)于D的單調(diào)性, 根據(jù)參數(shù)的正性及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性, 可知P(D)嚴格單調(diào)遞減, 且P(-∞)=+∞,P(+∞)=0.

        因為方程(9)的正解個數(shù)對應系統(tǒng)(2)正平衡點的個數(shù), 所以在P(0)≤1時, 系統(tǒng)(2)不存在正平衡點;P(0)>1時系統(tǒng)(2)存在唯一的正平衡點. 因此P(0)為平衡點存在性的閾值, 記RV=P(0),

        (10)

        表示有效再生數(shù), 即接種疫苗的種群中一個典型感染者在其感染期內(nèi)能夠感染的平均人數(shù)[12]. 于是, 由上述分析得到下面的定理1.

        定理1(i)RV≤1時, 系統(tǒng)(2)只存在一個無病平衡點E0;

        (ii)RV>1時, 系統(tǒng)(2)存在一個無病平衡點E0和一個地方病平衡點E*.

        3 無病平衡點的穩(wěn)定性

        3.1 無病平衡點的局部漸近穩(wěn)定性

        (11)

        (12)

        其中

        (13)

        結(jié)合方程(11),(12)和(13), 整理得到

        (14)

        (15)

        將等式(15)右邊記為L(m). 顯然L(m)嚴格單調(diào)遞減, 且L(-∞)=+∞,L(+∞)=0,L(0)=RV. 所以當RV>1 時, 特征方程(15)有唯一的正實特征根; 當RV<1時, 有唯一的負實特征根. 由指數(shù)函數(shù)非負性及三角函數(shù)的有界性, 可以驗證此實根是實部占優(yōu)的. 所以RV也是無病平衡點局部漸近穩(wěn)定性的閾值, 綜上所述, 可得如下定理2:

        定理2(i)RV<1時, 方程(15)的特征根都是負實部, 無病平衡點E0局部漸近穩(wěn)定;

        (ii)RV>1時, 方程(15)存在正實部的特征根, 無病平衡點E0不穩(wěn)定.

        3.2 無病平衡點的全局漸近穩(wěn)定性

        定理3在RV<1時, 無病平衡點E0全局漸近穩(wěn)定.

        證沿特征線對系統(tǒng)(2)積分[13], 當t>a時,

        (16)

        (17)

        (18)

        其中

        顯然t>a時, 0a). 所以

        0≤f(a,t)≤e-(hp+μ)aβ1(a)Q(t)

        (19)

        0≤Y(a)≤e-(hp+μ)aβ1(a)C

        (20)

        其中

        結(jié)合C的表達式及不等式(20), 得到不等式:

        4 地方病平衡點的局部漸近穩(wěn)定性

        (21)

        求解微分方程組(21), 并交換積分順序, 可得

        (22)

        (23)

        其中

        (24)

        將等式(22)和(23)代入系統(tǒng)(21)的第4個方程, 并將右端的函數(shù)定義為Ω(w), 所以得到w滿足的特征方程:Ω(w)=1, 其中,

        定理4在RV>1時, 若滿足δ>hp,y*(a+)≤e-(δ+ μ)a+或者δ≤hp, 則有地方病平衡點E*是局部漸近穩(wěn)定的.

        證若δ>hp, 且y*(a+)≤e-(δ+ μ)a+, 整理可得不等式:

        結(jié)合X(a,k)表達式(24), 可得

        若δ≤hp, 同樣有X(a,k)≥0. 此時Ω(w)關(guān)于w嚴格單減,Ω(-∞)=+∞,Ω(+∞)=0.

        另外, 結(jié)合P(D)的表達式和等式(9), 可得:

        其中

        顯然Ω(0)<1, 所以Ω(w)=1有唯一負實部特征根. 而且此實根是實部占優(yōu)的, 即Ω(w)=1的特征根都是負實部, 可知E*是局部漸近穩(wěn)定的.

        5 結(jié)論

        本文提出了一個考慮潛伏感染和疫苗接種的SEIR年齡結(jié)構(gòu)模型, 分析得到有效再生數(shù)RV的表達式, 并驗證了無病平衡點E0和地方病平衡點E*的存在性; 借助特征方程得到RV>1時E0不穩(wěn)定, 然后利用特征線法證明了RV<1時E0全局漸近穩(wěn)定; 此外討論了RV>1時地方病平衡點E*局部漸近穩(wěn)定的條件. 觀察有效再生數(shù)RV的表達式可知, 提高疫苗接種率p、 增大疫苗免疫成功率h或者減小潛伏期相對于感染期傳播力的比值ε都會減小RV的值, 也即能更好地控制疾病的流行[15].

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