劉單， 劉賢寧

西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 重慶 400715

傳染病是由各類病原體引起的能在人與人、 動(dòng)物與動(dòng)物或者人與動(dòng)物之間傳播的一類疾病． 傳染病的爆發(fā)可能會(huì)對(duì)人類的公共衛(wèi)生安全和生命健康造成重大傷害， 故傳染病的監(jiān)督防治一直是人類重視的工作內(nèi)容． 數(shù)學(xué)動(dòng)力學(xué)模型是用來分析傳染病傳播和控制問題的重要工具之一． 文獻(xiàn)[1]將人群分為易感者(S)、 感染者(I)、 康復(fù)者(R)， 建立了著名的SIR倉(cāng)室模型來研究傳染?。?此后， 倉(cāng)室模型得到了廣泛地研究[2-16]． 特別地， 文獻(xiàn)[2-4]考慮了醫(yī)院治療有限的因素， 采用了以下不同的治療函數(shù)：

或者

考慮到人口規(guī)模非恒定， 且生存資源有限， 用指數(shù)增長(zhǎng)來描述人口增長(zhǎng)不太符合實(shí)際情況． 基于此， 文獻(xiàn)[5，11，12]中的傳染病模型里采用了非線性出生率函數(shù)． 文獻(xiàn)[11]在沒有疾病的情況下， 假設(shè)人口增長(zhǎng)的方程：

(1)

其中：S(t)，I(t)，H(t)，R(t)分別表示t時(shí)刻易感者、 感染者、 住院者以及康復(fù)者的數(shù)量，N表示總的人口數(shù)量，N=S+I+H+R，A表示人口輸入數(shù)量，B和μ分別是出生率和自然死亡率，ε1和ε2分別是感染者與住院者的因病死亡率，β是感染率，γ1是感染者的自愈率，γ2是住院者的治愈率，r是已感染的人去醫(yī)院就醫(yī)的轉(zhuǎn)移率，K表示醫(yī)院所能收治的病人最大數(shù)目．

1 解的非負(fù)性和有界性

定理1當(dāng)初始值滿足S(0)>0，I(0)>0，H(0)>0，R(0)>0時(shí)， 模型(1)的解(S(t)，I(t)，H(t)，R(t))對(duì)于任意t>0是正的且一致有界的．

證首先證明對(duì)于任意的t>0， 有I(t)>0． 由模型(1)的第二個(gè)方程可得

因此對(duì)于任意t>0， 有I(t)>0．

再證明對(duì)于任意的t>0，H(t)>0成立． 否則， 存在t1>0是使得H(t)=0成立的最小時(shí)刻． 因?yàn)镠(0)>0， 故當(dāng)t∈[0，t1)時(shí)， 有H(t)>0． 根據(jù)模型(1)的第三個(gè)方程， 得

從而存在δ1>0， 使得t∈(t1-δ1，t1)， 有H(t)<0． 這與當(dāng)t∈[0，t1)時(shí)，H(t)>0矛盾． 故對(duì)于任意的t>0，H(t)>0．

由模型(1)的第4個(gè)方程可得

由t>0，H(t)>0，I(t)>0可知， 對(duì)于任意t>0，R(t)>0．

最后， 證明對(duì)于任意t>0，S(t)>0成立． 否則， 存在t2>0是使得S(t)=0成立的最小時(shí)刻． 因?yàn)镾(0)>0， 故當(dāng)t∈[0，t2)時(shí)， 有S(t)>0． 根據(jù)模型(1)的第一個(gè)方程有

故存在δ2>0， 使得當(dāng)t∈(t2-δ2，t2)時(shí)S(t)<0． 這與當(dāng)t∈[0，t2)時(shí)S(t)>0矛盾． 所以， 對(duì)任意t>0，S(t)>0．

接下來證明解的一致有界性． 令N(t)=S(t)+I(t)+H(t)+R(t)， 由模型(1)可得

則有

即模型(1)的解是一致有界的．

內(nèi)對(duì)模型(1)進(jìn)行研究．

2 基本再生數(shù)和無病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

利用文獻(xiàn)[6]中的下一代矩陣方法， 計(jì)算出模型的基本再生數(shù)：

定理 2若R0<1， 則模型(1)無病平衡點(diǎn)E0局部漸近穩(wěn)定； 若R0>1， 則E0不穩(wěn)定．

證模型(1)在平衡點(diǎn)E0處的雅可比矩陣：

其特征方程：

特征根為

顯然λ1，λ3，λ4都小于0， 當(dāng)R0<1時(shí)，λ2<0． 所以， 若R0<1， 無病平衡點(diǎn)E0局部漸近穩(wěn)定．

當(dāng)R0>1時(shí)，λ2>0， 此時(shí)，E0不穩(wěn)定．

證對(duì)V函數(shù)

V(t)=I(t)+H(t)

沿著模型(1)的解軌線求導(dǎo)， 得

3 地方病平衡點(diǎn)存在性和后向分支

3.1 地方病平衡點(diǎn)的存在性

令模型(1)右邊的4個(gè)方程等于0， 得

(2)

在方程組(2)中， 通過計(jì)算可得

由方程組(2)中的第二個(gè)方程， 可得

將上述S*，H*的表達(dá)式代入， 得

合并計(jì)算， 得到一個(gè)關(guān)于I*的一元二次方程

p(I*)2+qI*+M=0

(3)

其中：

因?yàn)锽<μ， 所以

R0與M有如下等價(jià)關(guān)系

R0>1?M>0，R0=1?M=0，R0<1?M<0

若R0>1， 則有M>0， 又由于p<0， 此時(shí)方程(3)必存在一個(gè)正根． 當(dāng)R0=1時(shí)，M=0成立， 由于p<0， 若q>0， 此時(shí)方程(3)必存在一個(gè)正根； 若q<0， 方程(3)不存在正根． 當(dāng)R0<1時(shí)，

定義

則有等價(jià)關(guān)系

當(dāng)滿足R0<1且q>0時(shí)， 有

此外當(dāng)R0<1且q<0， 方程(3)不存在正根．

綜上所述， 有如下定理：

定理4對(duì)于模型(1) ， 有

1) 若R0>1， 存在唯一的地方病平衡點(diǎn)；

2) 若R0≤1且q<0， 不存在地方病平衡點(diǎn)；

3) 若R0=1且q>0， 存在唯一的地方病平衡點(diǎn)；

3.2 后向分支

本節(jié)將利用如下引理來計(jì)算分析后向分支存在的參數(shù)條件．

引理1[10]考慮如下具有一般參數(shù)φ的常微分系統(tǒng)：

(4)

其中0是系統(tǒng)(4)的一個(gè)平衡點(diǎn)， 滿足f(0，φ)=0． 假設(shè)：

(A2) A的0特征根有非負(fù)的右特征向量w和左特征向量v．

設(shè)fk是f的第k個(gè)分量， 定義：

則系統(tǒng)(4)在x=0處的局部動(dòng)力學(xué)性質(zhì)完全由a，b決定：

1) 若a>0，b>0． 當(dāng)φ<0， |φ|?1時(shí)，x=0局部漸近穩(wěn)定， 且存在一個(gè)正的不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)； 當(dāng)0<φ?1時(shí)，x=0是不穩(wěn)定的， 且存在一個(gè)負(fù)的局部漸近穩(wěn)定的平衡點(diǎn)；

2) 若a<0，b<0． 當(dāng)φ<0， |φ|?1時(shí)，x=0是不穩(wěn)定的； 當(dāng)0<φ?1時(shí)，x=0局部漸近穩(wěn)定， 且存在一個(gè)正的不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)；

3) 若a>0，b<0． 當(dāng)φ<0， |φ|?1時(shí)，x=0是不穩(wěn)定的， 且存在一個(gè)局部漸近穩(wěn)定的負(fù)平衡點(diǎn)； 當(dāng)0<φ?1時(shí)，x=0是穩(wěn)定的， 且存在一個(gè)正的不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)；

4) 若a<0，b>0． 當(dāng)φ從負(fù)變?yōu)檎龝r(shí)，x=0的穩(wěn)定性從穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定， 相應(yīng)的一個(gè)負(fù)的不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)變?yōu)檎木植繚u近穩(wěn)定的平衡點(diǎn)．

由上述引理可以知道： 當(dāng)a>0，b>0時(shí)， 系統(tǒng)會(huì)在φ=0處出現(xiàn)后向分支． 若a<0，b>0， 系統(tǒng)在φ=0有前向分支． 下面將運(yùn)用引理1來找出模型(1)中前向分支、 后向分支的存在條件， 定義

定理5若R*>1， 模型(1)在R0=1處發(fā)生后向分支； 若R*<1， 則模型(1)在R0=1處有前向分支．

證選擇β作為分支參數(shù)， 當(dāng)R0=1時(shí)， 有

f在(E0，β*)處的線性化矩陣為

A的特征方程：

顯然0是A的特征單根， 且其他特征根都具有負(fù)實(shí)部． 引理1中的A1成立．

計(jì)算A的0特征根的右特征向量w， 有

結(jié)果為

同理計(jì)算左特征向量v：

可得

v=(0， 1， 0， 0)

引理中的A2滿足．

下面計(jì)算參數(shù)a，b． 根據(jù)a，b的表達(dá)式和v可知， 只需計(jì)算f2在(E0，β*)處的各項(xiàng)偏導(dǎo)數(shù)． 結(jié)果為

其余偏導(dǎo)數(shù)都為零． 由此可得：

顯然，b>0是成立的． 接下來討論a的情況， 將β*的表達(dá)式代入a， 可得

根據(jù)R*的定義， 則有

a>0?R*>1，a<0?R*<1

由引理1可知， 當(dāng)R*>1時(shí)， 模型(1)在R0=1處發(fā)生后向分支． 若R*<1時(shí)， 模型(1)在R0=1處出現(xiàn)前向分支．

4 數(shù)值模擬

下面對(duì)理論結(jié)果進(jìn)行簡(jiǎn)單的數(shù)值模擬．

令A(yù)=10，B=0.001，β=0.003，μ=0.1，r=0.5，K=200，γ1=0.2，γ2=0.8，ε1=0.2，ε2=0.1． 此時(shí)，R0=0.303 03<1， 其感染者(I)的數(shù)量隨時(shí)間變化見圖1(a)， 可以看到無病平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定．

令A(yù)=20，B=0.001，β=0.03，μ=0.1，r=0.5，K=200，γ1=0.2，ε1=0.2，γ2=0.8，ε2=0.1． 這時(shí)，R0=6.060 6>1． 在這種情況下， 無病平衡點(diǎn)不穩(wěn)定， 存在一個(gè)地方病平衡點(diǎn)， 疾病不能被消滅(圖1(b))．

圖1 I的時(shí)間序列圖

由R*的表達(dá)式可知，K越大，R*越小， 模型(1)出現(xiàn)后向分支的可能性越低． 選取參數(shù)值：A=20，μ=0.008，r=0.5，B=0.001，γ1=0.1，γ2=0.3，ε1=0.1，ε2=0.05．K分別取5，10，20，50， 對(duì)應(yīng)的R*分別為： 5.667 520 352，2.881 267 908，1.488 141 687，0.652 265 954 5， 數(shù)值模擬得到圖2． 可以看到隨著K的增大，R*在減小， 模型(1)出現(xiàn)后向分支的區(qū)域越小． 當(dāng)K增大到一定程度時(shí)，R*<1， 后向分支消失， 出現(xiàn)前向分支， 這與定理5的結(jié)論一致．

圖2 模型(1)的分支

5 結(jié)語(yǔ)

本文將人群分為易感者(S)、 感染者(I)、 住院者(H)、 康復(fù)者(R)． 考慮到非線性出生率和醫(yī)院收治能力有限， 本文建立了一類SIHR模型． 我們對(duì)模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)進(jìn)行了分析和討論， 得到了：R0<1時(shí)， 無病平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定． 同時(shí)定理4指出地方病平衡點(diǎn)的存在情況． 基于此， 運(yùn)用文獻(xiàn)[10]中的定理， 得到了后向分支的存在條件， 即： 當(dāng)R*>1， 模型會(huì)在R0=1處發(fā)生后向分支． 分析定理5中的R*， 可知K與R*成反比， 增大K會(huì)使得后向分支出現(xiàn)的可能性降低． 那么， 增大醫(yī)院容納量， 提高醫(yī)療條件， 盡可能收治病人， 有助于控制病情的傳播． 另外， 本文未對(duì)地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性進(jìn)行探討， 之后可以進(jìn)一步討論．