張曉鳳， 陳付彬， 羅歡

昆明理工大學(xué)津橋?qū)W院 理工學(xué)院， 昆明 650106

矩陣在眾多科學(xué)領(lǐng)域中有著極其廣泛的應(yīng)用， 是研究的重點[1-3]． 矩陣的Hadamard積與Fan積是兩種與矩陣的乘法不同的運算[4]． 非負(fù)矩陣和M-矩陣相關(guān)特征值的研究是一個熱點問題， 其中非負(fù)矩陣Hadamard積的譜半徑上界和非奇異M-矩陣Fan積的特征值下界引起了學(xué)者們的關(guān)注， 且相繼給出了許多結(jié)果[5-19]． 下面將繼續(xù)針對這兩個問題進(jìn)行研究， 得到只依賴相關(guān)矩陣元素且更具優(yōu)越性的結(jié)果．

1 預(yù)備知識

以Rn×n(Cn×n)表示實(復(fù))矩陣集，N表示集合{1， 2， …，n}．

如果矩陣A=(aij)的元素滿足aij>0(i，j∈N)， 則A是正矩陣， 記A>0； 如果滿足aij≥0(i，j∈N)， 則A是非負(fù)矩陣， 記A≥0．

設(shè)A=(aij)，B=(bij)∈Rn×n． 用A°B表示A和B的對應(yīng)元素相乘的矩陣， 稱為A和B的Hadamard積， 如果A≥0，B≥0， 則A°B≥0．

如果有置換矩陣P， 使得

則稱A可約， 否則A不可約．

記

Zn={A=(aij)：aij≤0(i≠j)；i，j=1，…，n}

設(shè)A=αI-P，P≥0，α∈R， 若α>ρ(P)， 則A為非奇異M-矩陣， 記為Mn； 否則A是奇異的．

設(shè)A=(aij)，B=(bij)∈Rn×n，A★B=(cij)定義為A與B的Fan積， 其中

如果A，B∈Mn， 則A★B∈Mn．

本文將用到以下記號： 令A(yù)=(aij)，i，j，k∈N，j≠i，

2 非負(fù)矩陣Hadamard積的譜半徑上界

引理1[18]設(shè)A=(aij)∈Cn×n， 則A的特征值位于如下域中：

引理2[18]設(shè)A=(aij)∈Cn×n， 則A的特征值位于如下域中：

定理1設(shè)A=(aij)，B=(bij)∈Rn×n， 且A，B≥0， 則

證當(dāng)n=1時， 結(jié)論明顯成立． 當(dāng)n≥2時， 分以下兩種情況討論：

情況1 若A°B不可約． 則A和B也不可約． 依據(jù)引理1， 當(dāng)i∈N時， 有

由于ρ(A°B)≥aiibii， 則

情況2 若A°B可約． 則有滿足ξ12=ξ23=…=ξn-1，n=ξn，1=1， 且其余元素ξij=0的置換陣D=(ξij)， 當(dāng)正數(shù)ε充分小時，A+εD和B+εD非負(fù)不可約． 將A，B替換為A+εD，B+εD， 同情況1的討論， 結(jié)論成立．

定理2設(shè)A=(aij)，B=(bij)∈Rn×n， 且A，B≥0， 則

證當(dāng)n=1時， 結(jié)論明顯成立． 當(dāng)n≥2時， 分以下兩種情況討論：

情況1 若A°B不可約． 則A和B也不可約． 令ρ(A°B)=λ， 依據(jù)引理2， 存在(i，j)， 1≤i，j≤n，i≠j， 有

由于ρ(A°B)≥aiibii， 則

情況2 若A°B可約． 則有滿足ξ12=ξ23=…=ξn-1，n=ξn，1=1， 且其余元素ξij=0的置換陣D=(ξij)， 當(dāng)正數(shù)ε充分小時，A+εD和B+εD非負(fù)不可約． 將A，B替換為A+εD，B+εD， 同情況1的討論， 結(jié)論成立．

下面比較定理1和定理2的優(yōu)越性． 不失一般性， 當(dāng)i≠j時， 假設(shè)有

即

則

因此

所以

例1令非負(fù)矩陣

應(yīng)用文獻(xiàn)[8-15]中ρ(A°B)的相關(guān)定理分別得

ρ(A°B)≤50.127 4ρ(A°B)≤25.536 4ρ(A°B)≤31.461 1ρ(A°B)≤23.200 0

ρ(A°B)≤28.446 0ρ(A°B)≤25.364 4ρ(A°B)≤22.163 3ρ(A°B)≤21.887 2

而應(yīng)用所給定理1， 得

應(yīng)用定理2， 得

3 非奇異M-矩陣Fan積的特征值下界

定理3設(shè)A=(aij)，B=(bij)∈Mn， 則

證當(dāng)n=1時， 結(jié)論明顯成立． 當(dāng)n≥2時， 分以下兩種情況討論：

情況1 若A★B不可約． 則A和B也不可約． 依據(jù)引理1， 當(dāng)i∈N時， 有

由于0≤τ(A★B)≤aiibii， 則

情況2 若A★B可約． 因為Zn中的矩陣滿足主子式皆為正時為M-矩陣[19]， 則有滿足ξ12=ξ23=…=ξn-1，n=ξn，1=1， 且其余元素ξij=0的置換陣D=(ξij)， 當(dāng)正數(shù)ε充分小時，A-εD和B-εD為M-矩陣且不可約． 將A，B替換為A-εD，B-εD， 同情況1的討論， 結(jié)論成立．

定理4設(shè)A=(aij)，B=(bij)∈Mn， 則

證當(dāng)n=1時， 結(jié)論明顯成立． 當(dāng)n≥2時， 分以下兩種情況討論：

情況1 若A★B不可約． 則A和B也不可約． 令τ(A★B)=λ， 依據(jù)引理2， 存在(i，j)， 1≤i，j≤n，i≠j， 有

由于0≤τ(A★B)≤aiibii， 則

情況2 若A★B可約． 因為Zn中的矩陣滿足主子式皆為正時為M-矩陣[19]， 則有滿足ξ12=ξ23=…=ξn-1，n=ξn，1=1， 且其余元素ξij=0的置換陣D=(ξij)， 當(dāng)正數(shù)ε充分小時，A-εD和B-εD為M-矩陣且不可約． 將A，B替換為A-εD，B-εD， 同情況1的討論， 結(jié)論成立．

下面比較定理3和定理4的優(yōu)越性． 不失一般性， 當(dāng)i≠j時， 假設(shè)有

即

則

因此

所以

例2令M-矩陣

應(yīng)用文獻(xiàn)[8-14， 16]中τ(A★B)的相關(guān)定理分別得

τ(A★B)≥0.191 0τ(A★B)≥1.573 0τ(A★B)≥1.523 8τ(A★B)≥2.433 3

τ(A★B)≥1.573 0τ(A★B)≥1.523 8τ(A★B)≥2.833 3τ(A★B)≥2.921 2

而應(yīng)用本文定理3得

應(yīng)用定理4得