王文歡，譚英華，張振宇，周 詳

武漢大學物理科學與技術(shù)學院，湖北武漢430072

0 引言

ηc（JPC=0-+）是粲偶素家族中最輕的粒子和最低階的S波自旋單態(tài)。ηc自旋為零，故而它不能通過正負電子對湮滅直接產(chǎn)生。ηc可通過ψ(3686)和hc的輻射衰變、B介子的衰變及兩光子碰撞過程等方式獲得［1～5］。ηc質(zhì)量和寬度的實驗測量值與ηc的產(chǎn)生機制、衰變產(chǎn)物等都有關(guān)系。截至目前，觀測到的ηc衰變分支比的總和約為63.5%［6］，尚有大量的ηc衰變過程未被實驗發(fā)現(xiàn)，ηc及其衰變研究充滿挑戰(zhàn)。

ηc位于量子色動力學（quantum chromodynamics，QCD）中能區(qū)，其輻射衰變過程以電磁過程為主導，也包含強相互作用的修正效應(yīng)。因此ηc的輻射衰變過程為人們理解QCD非微擾的本質(zhì)提供了一個理想的手段。ηc→γγ是目前唯一已觀測到的ηc輻射衰變過程。ηc到雙光子過程的理論研究手段包括微擾QCD框架下的理論計算與有效場論、非相對論QCD（nonrelativistic QCD，NRQCD）框架下的各種模型理論、格點QCD等［7～10］。但是ηc→γγ衰變寬度或分支比的理論預言與當前實驗測量值之間還存在差異，最新的格點QCD結(jié)果在2個標準差內(nèi)與當前實驗測量的世界平均值保持一致［6，11］。

單達利茲衰變ηc→γl+l-能為研究強子電磁結(jié)構(gòu)提供重要信息［12］。輻射衰變ηc→γl+l-可 由ηc→γγ*，γ*→l+l-得到。達利茲衰變中電磁形狀因子為虛光子四動量平方的函數(shù)，而雙光子衰變中電磁形狀因子退化為一個常數(shù)（即形狀因子在零點處的值）。作為中能區(qū)的輻射輕子對躍遷，ηc→γl+l-過程擁有很大的相空間，因而可作為探測ηc介子的電磁結(jié)構(gòu)、微擾及非微擾QCD效應(yīng)的敏感探針。此外，ηc介子的達利茲衰變末態(tài)中的光子若為軟光子，該過程將成為ηc介子雙輕子衰變的本底［13］。ηc→γl+l-的研究有利于ηc介子的雙輕子衰變及其中包含的新物理的探尋。

非相對論QCD（NRQCD）模型、微擾QCDI（QCD-inspired）、矢量介子主導（vector meson dominance，VMD）模型可以給出ηcγ*γ的電磁形狀因子，進而給出ηc→γl+l-過程的衰變分支比均在10-6數(shù)量級，其中VMD模型給出的分支比理論預言較大［12～16］?？紤]到中能區(qū)初末態(tài)介子空間波函數(shù)的尺寸效應(yīng)，在粲偶素衰變過程中一般會考慮QCD壓低因子（以下簡稱QCD因子）的貢獻［17～20］。贗標量粒子的雙光子衰變，例如π0→γγ，σ→γγ，考慮了規(guī)范不變性，并用含四動量平方的高斯函數(shù)表征介子波函數(shù)的尺寸效應(yīng)［21］。

本文在有效場理論框架下，在VMD模型基礎(chǔ)上，考慮介子波函數(shù)尺寸效應(yīng)，將規(guī)范不變的QCD因子引入衰變振幅，計算了ηc→γl+l-單達利茲衰變對于ηc→γγ的相對分支比，并給出末態(tài)中輕子對l+l-的不變質(zhì)量分布。文章的第1節(jié)介紹了ηc→γl+l-衰變振幅和相對衰變寬度的計算。第2節(jié)介紹了VMD模型的形狀因子及QCD因子。第3節(jié)給出了ηc→γl+l-衰變分支比的計算結(jié)果，并給出了相對微分衰變寬度隨雙輕子不變質(zhì)量變化的曲線。第4節(jié)為總結(jié)。

1 ηc→γl+l-衰變振幅和寬度

1.1 衰變振幅

稀有輻射衰變ηc→γl+l-又稱為ηc的單達利茲衰變，其末態(tài)包括一個光子和一對正負輕子，費曼圖及初末態(tài)粒子的四動量定義見圖1。根據(jù)洛倫茲不變性、宇稱守恒及規(guī)范不變性的要求，ηc→γl+l-的衰變振幅［30］可以表示為

圖1 ηc→γl+l-的費曼圖Fig.1 The Feynman diagram ofηc→γl+l-

其中，p+和p-分別是兩個輕子的四動量，p=p++p-是虛光子的四動量，k是光子的四動量，εμνρσ是全反對稱張量，?是末態(tài)光子的極化矢量，s+和s-分別是兩個輕子的自旋矢量，F(xiàn)(p2，k2=0)為形狀因子。jμ描述輕子的帶電流。

ηc的單達利茲衰變過程與其雙光子過程的形狀因子形式類似，僅動量依賴不同。ηc→γγ的費曼圖及初末態(tài)粒子的四動量定義見圖2，其衰變振幅［30］可以表示為

圖2 ηc→γγ的費曼圖Fig.2 The Feynman diagram ofηc→γγ

其中?1和?2分別是兩個光子的極化矢量，p0和k0分別是兩個光子的四動量。

其中，e為是荷，θp是l+l-靜止參照系下l+三維動量的極角（0≤θp≤π，ηc靜止時虛光子的飛行方向為z軸方向），mηc是ηc的質(zhì)量，ml是輕子的質(zhì)量，s=p2是虛光子四動量的平方，βp=

同理，對末態(tài)光子極化求和得到雙光子衰變振幅的平方為

1.2 衰變寬度

二體和三體衰變的微分寬度公式分別為［6］：

其中A是振幅，p1是末態(tài)粒子1的三維動量，dΩ是末態(tài)粒子1的立體角，m是母粒子的質(zhì)量分別是末態(tài)粒子1在末態(tài)粒子1和2靜止坐標系下的三維動量及立體角，p3是末態(tài)粒子3的三維動量，m12是末態(tài)粒子1和2的不變質(zhì)量，dΩ3是末態(tài)粒子3的立體角。

單達利茲衰變與雙光子衰變的相對微分衰變寬度可以通過對ηc→γl+l-與ηc→γγ的微分寬度的立體角積分并計算它們的比值得到

2 形狀因子

電磁形狀因子揭示了強子內(nèi)部荷與流的分布信息，對于研究強子結(jié)構(gòu)及其相互作用非常重要。不同的形狀因子模型將影響躍遷過程的分支比、末態(tài)粒子的不變質(zhì)量譜及角分布等。強子領(lǐng)域的高精度測量對形狀因子的理論研究也提出需求，并有可能甄別不同的理論模型的有效性。

中性輕贗標量介子的雙光子形狀因子在理論上已有廣泛的研究，在實驗上也進行了大量的測量［31～35］，而近期美國費米國家實驗室進行的繆子反常磁矩實驗結(jié)果進一步增強了人們對該問題的研究熱情［36］。唯象理論的VMD模型將局域規(guī)范不變性擴展到強子世界，利用矢量介子與光子混合作為媒介子傳遞強子間的電磁相互作用，實現(xiàn)了強子類點行為偏離的參數(shù)化，在描述贗標量介子形狀因子并預言手征微擾理論的低能常數(shù)上取得了巨大的成功。輕的中性贗標量介子的雙光子形狀因子可以被不同VMD模型，如隱規(guī)模型（hidden gauge model，HGM）以及修正VMD模型（modified VMD，MVMD）等來描述。雙光子衰變和達利茲衰變的VMD形狀因子滿足其中是VMD因子［30］。矢量介子主導的Pγγ*單極點VMD因子可以表述為［31］

式中，c3=1時為隱規(guī)模型，c3=0.93時為修正VMD模型［28］。ΓV(s)是矢量介子V的能量依賴寬度［31］

其中，gmV是質(zhì)量為mV的矢量介子的衰變寬度，Θ(s-）是階躍函數(shù)，mπ是π介子的質(zhì)量，在輕贗標量介子衰變中多采用ρ介子主導的形式。

VMD模型也被推廣到基態(tài)贗標量粲偶素ηc的雙光子形狀因子，如文獻［12］采用了介子和ρ介子主導的零寬度雙極點電磁躍遷形狀因子

介子波函數(shù)的尺寸效應(yīng)一般用與四動量平方相關(guān)聯(lián)的指數(shù)函數(shù)表示，其表達式如下［21］

其中ΛQ是尺寸參數(shù)，取值范圍是0.7～1.5 GeV［21］。

不同VMD模型下ηc單達利茲衰變過程相對于雙光子衰變過程的相對分支比可通過將相應(yīng)的形狀因子表達式代入上式并對虛光子四動量的平方進行積分得到。

3 結(jié)果分析

本節(jié)給出有寬度的單極與雙極、隱規(guī)與修正VMD以及考慮QCD因子的不同情況下，ηc→γl+l-過程相對于ηc→γγ過程的衰變分支比，比較不同VMD模型的結(jié)果，并與其他理論結(jié)果作對比，如表1所示。在數(shù)值計算中，所有的粒子的質(zhì)量和寬度都來自于粒子數(shù)據(jù)組（particle data group，PDG）［6］。在其他條件相同的情況下，隱規(guī)模型給出的理論計算結(jié)果略大于修正VMD模型的計算結(jié)果，對于單極點的情況，差別小于2%（表1第6行和第8行），而對于雙極點的情況差別小于12%（表1第7行和第9行）。單極點計算結(jié)果（表1中第6行和第8行）與NRQCD及QCDI理論的計算結(jié)果（表1第1行、第3到5行）比較接近，而有寬度的雙極點結(jié)果（表1第7行，第9行）與文獻［12］中的零寬度雙極點VMD模型結(jié)果（表1第2行）接近。整體上末態(tài)含電子對的達利茲過程，雙極點VMD模型計算的分支比結(jié)果為單極點VMD模型計算結(jié)果的2倍左右，而末態(tài)含繆子對的過程，雙極點VMD結(jié)果大概為單極點結(jié)果的3～5倍，這是形狀因子中ρ介子極點的貢獻帶來的顯著區(qū)別。另外，考慮QCD因子會降低相對分支比的結(jié)果，對于含電子對過程，QCD因子會將分支比結(jié)果降低10%到20%，而對于含繆子對的過程會降低30%到45%。這是因為QCD因子對高動量有壓低效應(yīng)。

表1 ηc的達利茲衰變過程相對于雙光子過程的相對分支比Table 1 Relative branch ratio of the Dalitz decay process ofηc to the two-photon pr ocess

根據(jù)表1的結(jié)果，本文預測了5倍標準偏差（5σ）內(nèi)區(qū)分不同的模型需要的ηc的事例數(shù)，以及需要的、ψ(3686)、hc和B介子事例數(shù)。ηc→γl+l-的遍舉信號事例數(shù)近似滿足高斯分布，故

本文以ηc→γe+e-為例給出了區(qū)分單極點和雙極點模型以及考慮和不考慮QCD因子所需要的ηc的事例數(shù)以及和B介子母粒子事例數(shù)，結(jié)果見表2和表3，其中QCD因子中的尺寸參數(shù)ΛQ取1.5 GeV。

表2 單極點和雙極點需要的ηc的事例數(shù)以及、ψ(3686)、hc和B介子母粒子事例數(shù)Table 2 The number of cases ofηc,,ψ(3686),hc and B meson needed of single pole and double pole

表2 單極點和雙極點需要的ηc的事例數(shù)以及、ψ(3686)、hc和B介子母粒子事例數(shù)Table 2 The number of cases ofηc,,ψ(3686),hc and B meson needed of single pole and double pole

表3 不考慮QCD因子和考慮QCD因子需要的ηc的事例數(shù)以及、ψ(3686)、hc和B介子母粒子事例數(shù)Table 3 The number of cases ofηc,,ψ(3686),hc and B meson needed with QCD and no QCD

表3 不考慮QCD因子和考慮QCD因子需要的ηc的事例數(shù)以及、ψ(3686)、hc和B介子母粒子事例數(shù)Table 3 The number of cases ofηc,,ψ(3686),hc and B meson needed with QCD and no QCD

ηc→γl+l-相對雙光子衰變的微分衰變寬度隨末態(tài)粒子中的正負輕子對不變質(zhì)量變化譜見圖3～6。單極點VMD條件下，隱規(guī)模型和VMD修正模型對ηc→γe+e-過程的微分衰變寬度關(guān)于正負電子對不變質(zhì)量譜的預言幾乎相同，且相對衰變寬度主要集中在正負電子對質(zhì)量譜的低質(zhì)量區(qū)，如圖3所示。雙極點VMD條件下，隱規(guī)模型和VMD修正模型在低能區(qū)性能相同，在ρ介子質(zhì)量附近修正VMD的結(jié)果略小于隱規(guī)模型的結(jié)果，如圖4所示。圖4和圖6顯示在雙極點VMD條件下，在770 MeV附近出現(xiàn)了明顯的峰值，這代表了VMD模型中矢量介子ρ的貢獻。如圖5和圖6所示，ηc→γμ+μ-過程繆子對不變質(zhì)量譜在單極點條件下隱規(guī)模型和修正模型也幾乎相同，雙極點條件下隱規(guī)模型的結(jié)果大于修正VMD模型的結(jié)果。雙極點VMD模型下繆子對不變質(zhì)量分布與單極點情況有非常明顯的區(qū)別，單極點情況下雙輕子不變質(zhì)量分布主要集中在低質(zhì)量區(qū)而雙極點結(jié)果則集中于ρ介子質(zhì)量附近。對于ηc→γe+e-過程，由于單極點VMD模型下的雙輕子不變質(zhì)量譜集中在20 MeV以內(nèi)，QCD因子對不變質(zhì)量譜分布幾乎沒有影響。但是對于ηc→γe+e-過程的雙極點VMD模型和ηc→γμ+μ-過程，考慮QCD因子后的雙輕子不變質(zhì)量譜被明顯壓低，并且ΛQ的值越小壓低效應(yīng)越明顯。

圖3 單極點VMD模型下ηc→γe+e-過程的相對微分寬度隨雙輕子不變質(zhì)量分布圖實線代表采用隱規(guī)模型的結(jié)果，虛線代表采用修正VMD模型的結(jié)果Fig.3 The distributions of relative differential widths vs dileptonic invariant mass forηc→γe+e-with single pole VMD model The solid lines indicate the results using the hidden gauge model and the dotted lines indicate the results using the modified VMD model;

圖4 雙極點VMD模型下ηc→γe+e-過程的相對微分寬度隨雙輕子不變質(zhì)量分布圖（a）及其對數(shù)形式（b）實線代表采用隱規(guī)模型的結(jié)果，虛線代表采用修正VMD模型的結(jié)果；RB1=Fig.4 The distributions of relative differential widths vs dileptonic invariant mass(a)and its logarithm form(b)forηc→γe+ewith double pole VMD model The solid lines indicate the results using the hidden gauge model and the dotted lines indicate the results using the modified VMD model;

圖5 單極點VMD模型下ηc→γμ+μ-過程的相對微分寬度隨雙輕子不變質(zhì)量分布圖實線代表采用隱規(guī)模型的結(jié)果，虛線代表采用修正VMD模型的結(jié)果；Fig.5 T he distributions of relative differential widths vs dileptonic invariant mass forηc→γμ+μ-with single pole VMD model The solid lines indicate the results using the hidden gauge model and the dotted lines indicate the results using the modified VMD model;

圖6 雙極點VMD模型下ηc→γμ+μ-過程的相對微分寬度隨雙輕子不變質(zhì)量分布圖實線代表采用隱規(guī)模型的結(jié)果，虛線代表采用修正VMD模型的結(jié)果；Fig.6 The distributions of relative differential widths vs dileptonic invariant mass forηc→γμ+μ-with double pole VMD model The solid lines indicate the results using the hidden gauge model and the dotted lines indicate the results using the modified VMD model;

4 結(jié)語

本文在有效場下，以VMD模型為基礎(chǔ)，考慮了介子波函數(shù)尺寸效應(yīng)并引入QCD因子，研究了ηc的單達利茲衰變ηc→γl+l-過程；計算出了不同形狀因子情況下ηc→γl+l-過程相對于ηc→γγ過程的衰變分支比，并給出了雙輕子不變質(zhì)量譜的分布；還以ηc→γe+e-為例，估算了區(qū)分單極點和雙極點以及區(qū)分不考慮QCD因子和考慮QCD因子在實驗上需要的ηc的事例數(shù)以及、ψ(3686)、hc和B介子等的事例數(shù)。由于矢量介子極點ρ的貢獻，整體上雙極點VMD模型的預言明顯大于單極點VMD模型的預言，單極點與雙極點模型下不變質(zhì)量分布也有著顯著的差別。在其他條件相同的情況下，隱規(guī)模型的結(jié)果略大于修正VMD模型的結(jié)果。由于QCD因子的高動量壓低效應(yīng)，考慮QCD因子的結(jié)果明顯小于不考慮QCD因子的結(jié)果，并且ΛQ的值越小壓低效應(yīng)越明顯。BESⅢ、BelleⅡ、LHCb等合作組采集了大量的、ψ(3686)、e+e-碰撞、B介子及雙光子碰撞數(shù)據(jù)有望從實驗上測量ηc的單達利茲衰變，我們希望本次研究可以為實驗測量ηc的單達利茲衰變提供指導。