鄢曉宇, 劉小君, 魏道高, 劉 焜, 王 偉

(合肥工業(yè)大學 摩擦學研究所, 安徽 合肥 230009)

隨著汽車設計對制動系統(tǒng)工作性能及摩擦力預測的要求日益增強[1]，制動系統(tǒng)的動力學建模也成為實現(xiàn)駕駛穩(wěn)定性的重要一環(huán).學者指出，在制動系統(tǒng)建模中，制動片的振動形式主要為切向振動[2].魏道高等[3]建立了制動片切向振動模型，發(fā)現(xiàn)制動系統(tǒng)在低速的情況下存在混沌和分岔等豐富的動力學現(xiàn)象，當制動片的結構為雙層時，制動片的振動形式更加復雜.近期學者還發(fā)現(xiàn)，制動片的形狀對制動系統(tǒng)的性能也有著重要的影響[4].由這些學者的研究可以總結，對制動系統(tǒng)的動力學建模必須考慮制動片、制動盤以及摩擦界面的動態(tài)變化.

摩擦副中的受限顆粒體主要是指粒徑范圍在1～104 μm之間，和摩擦界面產(chǎn)生接觸的污染顆?；蚰p顆粒[5].和表面織構[6]以及安裝誤差[7]這類結構上的因素不同，受限顆粒體對運動副的影響具有較強的隨機性.王超等[8]發(fā)現(xiàn)，摩擦副中的顆粒潤滑劑在長時間工作后被過度消耗，會形成局部顆粒潤滑狀態(tài)，此時顆粒的存在形式主要為受限顆粒體，并且顆粒層的破壞形式豐富多樣.Terrell等[9]建立了顆粒拋光的3D模型，發(fā)現(xiàn)當受限顆粒體介入較小的間隙中時，會產(chǎn)生較大的接觸應力，產(chǎn)生較強的材料去除效果.Kchaou等[10]研究了沙粒環(huán)境下制動系統(tǒng)的噪聲特性，發(fā)現(xiàn)在平均顆粒粒徑較小時，低速容易導致噪聲次數(shù)增加，增大顆粒粒徑會使聲壓強度減小.Bergman等[11]發(fā)現(xiàn)，即使是極少的顆粒進入小間隙也會導致摩擦力的急劇上升.可見，受限顆粒體不僅會產(chǎn)生一定的材料去除效果，也會引發(fā)摩擦界面的非線性振動和噪音.

雖然已有許多學者對制動系統(tǒng)進行了動力學建模[12]以及FEM模態(tài)分析[13]，但是考慮受限顆粒體制動系統(tǒng)動力學的建模卻較少.這是因為含受限顆粒體的摩擦行為是多體動力學問題，對所有顆粒進行細致建模將消耗大量算力，且無法很好地應用到制動機構的控制中.本文中基于制動片切向振動模型，提出了1個新的受限顆粒體隨機摩擦模型，研究了制動系統(tǒng)在受限顆粒體影響下的非線性振動問題.

1 建模原理

1.1 動力學模型

制動系統(tǒng)的動力學建模中，制動片的振動可以簡化為切向振動，其原理參見文獻[3].考慮制動片的切向振動和制動盤的扭轉，得到動力學方程：

θ和x分別為制動盤的扭轉角度和制動片的切向位移；Jr、cr和Kr分別為制動盤的轉動慣量，轉動阻尼以和扭轉剛度.mb、cb以及kt分別為制動片的質量、阻尼以及切向振動剛度.T和F為制動盤受到的力矩以及制動片受到的摩擦力.圖1為彈簧-滑塊-傳送帶形式的制動系統(tǒng)的動力學模型，其中轉盤受到恒定的驅動速度w.

Fig.1 Spring-block-belt dynamic model of brake system圖1 制動系統(tǒng)的彈簧-滑塊-傳送帶動力學模型

1.2 摩擦模型

本文中使用經(jīng)典的stribeck-type模型計算時變摩擦力.

其中：vr為制動盤和制動片的切向速度之差w-x˙，uk和us分別為動摩擦系數(shù)和靜摩擦系數(shù)，α和σ為常數(shù).此摩擦模型的優(yōu)點是在速度接近于0時，摩擦系數(shù)曲線不存在斷點，因此在制動系統(tǒng)動力學建模中得到了廣泛的應用.

1.3 受限顆粒體摩擦模型

本文中提出了1個隨機受限顆粒體的人摩擦模型，用以預測受限顆粒體高度分布變化引發(fā)的變摩擦系數(shù)效應.如果將所有顆粒的隨機行為進行單獨考慮，會耗費大量的算力，為此，將密度為ηa的受限顆粒體分為N份，可以得到N份顆粒的密度矩陣Aη.

ηi均值為摩擦界面中的顆粒密度η除以N，為了簡化計算，本文中假設其服從平均分布.可以假設，每份顆粒的數(shù)量和單個顆粒的參數(shù)不變，但是由于表面的隨機性，其在粗糙表面間的高度分布發(fā)生了變化.在H模型中，受限顆粒體的高度分布和微凸體高度分布相同，高度分布范圍為Xmax～Xmin= -σ～σ.假設第i組顆粒的高度分布服從于分布Ci(0,σi), 且σi的初始值為定值σ.給第i組顆粒所處形貌高度的標準差σi在當前時步施加1個隨機產(chǎn)生的形貌波動Δσi，Δσi服從于正態(tài)分布N(0,σ*σi)，得到：

其中σ*為顆粒高度分布波動系數(shù)，代表了顆粒的高度分布的變化趨勢的強度.可設當前時步的顆粒體最大和最小高度矩陣：

可以得到，每份顆粒產(chǎn)生的摩擦力矩陣Fη為

其中，F(xiàn)i可由H模型[14]計算：

其中Hs1、Hs2、Eas1以及Es1s2分別為上表面硬度、下表面硬度、顆粒和上表面的綜合彈性模量以及上下表面的綜合彈性模量；φa、Xmax和Xmin分別為顆粒高度分布函數(shù)、顆粒最大直徑和最小直徑.he為H模型中定義的特征間距，其計算流程見文獻[14].可定義函數(shù)：

HP為根據(jù)H模型建立的摩擦力計算函數(shù)，ηi為每份顆粒的密度，這里PAR為其他顆粒有關參數(shù)，假設所有顆粒除了半徑以外其他參數(shù)相等，可以認為PAR為定值集.兩表面接觸產(chǎn)生的摩擦力Fsur可以定義為

其中S(ηi,Xmax(i),Xmin(i))為

可以估算，靜摩擦系數(shù)為

圖2為此模型顆粒引發(fā)摩擦系數(shù)波動的機理圖，表1所列為此模型的省缺參數(shù)表.

表1 省缺參數(shù)表Table 1 Default parameters table

2 結果與討論

2.1 受限顆粒體對制動系統(tǒng)振動時變信號的影響

取時步104以后的信號進行分析，圖3為在不同σ*下(w=1.5)制動片切向運動的相圖(第1列)和頻譜圖(第2列)，以及制動片切向振動(第3列中黑線)和制動盤扭動角可能出現(xiàn)的時變信號.當σ*=0時，模型為不考慮受限顆粒體隨機行為的準靜態(tài)顆粒模型，可以發(fā)現(xiàn)此模型下制動片的切向運動及制動盤的扭轉運動呈穩(wěn)定的周期運動；當σ*=0.001時，相圖出現(xiàn)多個穩(wěn)定軌道，制動片振動呈擬周期運動；當σ*=0.01時，由圖3(c)可知，受到受限顆粒體隨機行為的影響，從時變信號可以看出制動片呈現(xiàn)混沌運動，且時變信號圖3(c3)表明制動盤在8×103～1×104時步范圍內(nèi)呈發(fā)散狀態(tài)；當σ*=0.03時，圖3(d1)中制動片做混沌運動，由制動片和制動盤的時變信號圖3(d3)可知，制動盤轉動先為擬周期運動最后呈發(fā)散狀態(tài).圖4為σ*=0.03時，第二組制動盤扭轉角的時變信號圖，從中可以發(fā)現(xiàn)，在同一樣本中，制動盤的扭轉運動依次呈發(fā)散、收斂及擬周期波動等狀態(tài)，并且此樣本與圖3(d3)中有較大的差異.可見顆粒的隨機運動不僅僅影響了制動系統(tǒng)在相同參數(shù)下不同時間序列的差異，還影響了每組時間序列中不同部分之間的差異.

Fig.2 Calculation of total friction force and time varying characteristics of particles from group i圖2 第i組顆?？偰Σ亮τ嬎慵皶r變特性

圖5(a～d)分別為和圖3(a～d)對應的摩擦模型參數(shù)us波動圖以及顆粒摩擦力和表面摩擦力之比fp/fs的時變信號圖.可以發(fā)現(xiàn)，在受限顆粒體高度分布不發(fā)生波動的假設下，摩擦模型參數(shù)us的波動為0；當σ*=0.001，us和fp/fs會發(fā)生明顯的波動，但是顆粒產(chǎn)生的摩擦力和兩表面產(chǎn)生的摩擦力相對比較小，fp/fs基本保持在0.1～0.2之間；當σ*=0.01時，從圖5(c)可以發(fā)現(xiàn)，us波動較大，fp/fs也顯著增大且增至3以上；當σ*=0.03時，從圖5(d)可以發(fā)現(xiàn)，fp/fs上升到了12，us也上升到0.55左右.可見，微小顆粒高度分布的波動可能會導致摩擦系數(shù)的巨大差異.

2.2 系統(tǒng)分岔特性的研究

取每個驅動速度下制動片切向振動速度的極大值作分岔圖，可以直觀地分析制動片振動周期性隨驅動速度的變化.圖6為在文獻[3]條件下，以w為分岔參數(shù)的制動片切向運動分岔特性圖，可以發(fā)現(xiàn)，圖6(b)中分岔區(qū)的分岔點只對應10個轉速，但是呈現(xiàn)邊界分明的單周期區(qū)、Hopf分岔過渡區(qū)和四周期區(qū)，可以通過研究波動系數(shù)對3個區(qū)域內(nèi)分叉曲線形態(tài)的影響，來分析受限顆粒體高度分布對制動片振動穩(wěn)定性的影響.

圖7為不同顆粒波動系數(shù)σ*下以w為分岔參數(shù)的滑塊切向運動分岔特性圖，與圖6相比可以發(fā)現(xiàn)，當顆粒高度分布存在波動時，滑塊切向運動的分岔特性發(fā)生了明顯的變化.當σ*=0.000 5時，圖7(a)中原本純粹周期運動的考察區(qū)域出現(xiàn)了明顯的混沌區(qū)域；在圖7(b)和(c)中，此時分岔曲線仍保持較好的周期性，但是其運動性質為擬周期運動；圖7(d)中，雖然考察區(qū)域大部分區(qū)域仍為擬周期運動，但是分岔曲線的結構發(fā)生了明顯的變化，單周期區(qū)域變大，多周期區(qū)域變?yōu)槿芷谶\動；圖7(e)中雖然最后出現(xiàn)了明顯的多周期運動，但是卻出現(xiàn)了大面積的混沌區(qū)域.當σ*=0.001時，圖7(f)中的分岔曲線呈現(xiàn)出從單周期過渡到雙周期運動，再到混沌運動的形式；圖7(g)和(h)中含有明顯的周期運動區(qū)間，但是大部分為混沌運動；當σ*=0.003時，由圖7(i)中已難以觀測到運動的周期性.可見受限顆粒體能夠明顯地影響制動片振動的分岔特性，并且其影響具有隨機性，相同σ*下制動副的切向振動會呈現(xiàn)不同的分岔特性.

Fig.3 Possible forms of vibrations under the influence of random behavior of particles圖3 受顆粒隨機行為影響可能出現(xiàn)的制動系統(tǒng)振動形式

Fig.4 Second time varying signal of torsion angle under the condition of σ*=0.03圖4 在σ*=0.03條件下，第二組扭轉角的時變信號

Fig.5 The time varing signal of us and fp/fs corresponding to Fig.3(a～d)圖5 圖3(a～d)對應us和fp/fs時變信號圖

3 結論

提出受限顆粒體高度分布波動系數(shù)，將受限顆粒體的隨機行為和摩擦力的時變特性相聯(lián)系，分析不同波動系數(shù)下制動系統(tǒng)的非線性振動特性，為受磨損顆?；蛭廴绢w粒影響的制動系統(tǒng)穩(wěn)定性研究提供參考.主要結論如下：

Fig.6 (a)Bifurcation diagram of the tangential motion of pad using w as bifurcation parameter and (b) Local enlarged graph of the graph in blue rectangluar圖6 (a)以w為分岔參數(shù)的滑塊切向運動分岔特性圖及(b)藍色方框內(nèi)局部放大圖

Fig.7 The bifurcation diagram of tangential motion of pad under different σ*圖7 不同σ*下以w為分岔參數(shù)的滑塊切向運動分岔特性圖

a.受限顆粒體的高度分布波動能夠影響制動系統(tǒng)的時變信號穩(wěn)定性，使得制動片的振動由周期運動轉變?yōu)閿M周期運動甚至混沌運動.

b.受限顆粒體高度分布的隨機波動能明顯影響制動系統(tǒng)的分岔特性，其影響具有隨機性，在特定的參數(shù)下使原本的周期運動區(qū)域變成擬周期甚至混沌區(qū)域.