李鵬博

在證明不等式問(wèn)題時(shí)，除構(gòu)造特殊函數(shù)來(lái)證明外，還可以通過(guò)運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)證明。這種思路主要是通過(guò)把看似離散的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為連續(xù)問(wèn)題，利用函數(shù)在對(duì)應(yīng)定義域內(nèi)的單調(diào)性來(lái)證明不等式成立。下面舉例說(shuō)明。

點(diǎn)評(píng)：以上兩種解法均是通過(guò)將多元函數(shù)轉(zhuǎn)換為一元函數(shù)來(lái)證明不等式。解法一中通過(guò)構(gòu)造新的函數(shù)實(shí)現(xiàn)了多變量函數(shù)向單變量函數(shù)的轉(zhuǎn)化。解法二是通過(guò)構(gòu)造新的變量來(lái)實(shí)現(xiàn)兩個(gè)變量轉(zhuǎn)化為單變量的，從而實(shí)現(xiàn)消元目的。

一般地，在不等式證明的過(guò)程中，主要的解題思路包括：（1）構(gòu)造新的函數(shù)或者變量，首先要觀察所給不等式的特點(diǎn)，通過(guò)基本的運(yùn)算來(lái)變換不等式的形式，采用變量替換等方式將多元函數(shù)進(jìn)行降維處理，即轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)這種簡(jiǎn)單形式，這個(gè)過(guò)程本身就體現(xiàn)了“降維”的思想;（2）巧妙利用構(gòu)造函數(shù)的基本性質(zhì)，在基本變形處理后利用新構(gòu)造的函數(shù)的性質(zhì)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析，通常利用對(duì)函數(shù)求導(dǎo)的方法，判斷函數(shù)在相應(yīng)的定義域內(nèi)的單調(diào)性，基于數(shù)形結(jié)合思想，對(duì)變量的基本屬性和特點(diǎn)進(jìn)行初步判定;（3）善于運(yùn)用等價(jià)處理化繁為簡(jiǎn)，在不等式的證明過(guò)程中，由繁至簡(jiǎn)的解題思想本質(zhì)上就是將等價(jià)的公式寫(xiě)出來(lái)，到等價(jià)為我們?nèi)菀桌斫夂徒邮艿暮?jiǎn)單形式為止，便于后續(xù)證明的開(kāi)展，也有利于把握問(wèn)題的本質(zhì)，從而更好地解決問(wèn)題。

（責(zé)任編輯 徐利杰）