尹偉石, 尹運文, 孟品超

(長春理工大學(xué) 理學(xué)院, 長春 130022)

非均勻介質(zhì)中不可穿透障礙物反散射問題在醫(yī)學(xué)探測、 地球物理勘探和非破壞性實驗等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛. 目前, 在反散射問題的研究中已有許多方法可重構(gòu)障礙物或非均勻介質(zhì)[1-4], 但同時重構(gòu)非均勻介質(zhì)和嵌入障礙物的研究文獻報道較少. 對于該類問題, 文獻[5]用牛頓迭代法同時重構(gòu)非均勻介質(zhì)、 嵌入障礙物的邊界以及邊界條件； 文獻[6]用傳統(tǒng)線性采樣方法重構(gòu)出外部的非均勻介質(zhì), 由于傳統(tǒng)線性采樣法無法重構(gòu)出內(nèi)部嵌入障礙物的信息, 因此需通過改進的線性采樣法重構(gòu)嵌入障礙物.

近年來, 隨著計算機技術(shù)的進步與發(fā)展, 以Bayes理論為基礎(chǔ)的反問題求解方法已引起人們廣泛關(guān)注. Bayes方法可從統(tǒng)計角度思考反問題. Stuart[7]首次提出了反問題下的Bayes理論框架, 并給出了反問題Bayes方法的適定性定理； Bui-Thanh等[8]證明了聲波障礙反散射中形狀重構(gòu)問題的Bayes方法適定性； 基于文獻[8], Wang等[9]用Bayes方法求解了一類腔體反散射問題; Li等[10]將擴采樣方法與Bayes方法相結(jié)合求解有限孔徑反散射問題, 先用擴采樣方法重構(gòu)障礙物的位置, 再用Bayes方法重構(gòu)障礙物的形狀. 上述研究均考慮有相位的情形, Yang等[11]進一步將Bayes方法應(yīng)用到無相位反散射問題求解中. 本文針對非均勻介質(zhì)內(nèi)障礙反散射問題, 用Bayes方法同時重構(gòu)非均勻介質(zhì)的交界面和嵌入障礙物.

1 正問題

正問題的幾何模型如圖1所示. 設(shè)Ω?2表示非均勻介質(zhì)的支集且具有Lipschitz邊界Γ0,Ω內(nèi)的折射率為n(x)∈L∞(Ω), 且Ren(x)>0和Imn(x)≥0.表示非均勻介質(zhì)外部的均勻介質(zhì), 且Ω0內(nèi)折射率n0=1.設(shè)D??Ω表示嵌入在非均勻介質(zhì)內(nèi)部的聲軟障礙物, 具有C2,α邊界Γ1, 且

圖1 正問題的幾何模型Fig.1 Geometric model of positive problem

和

分別表示Γ0的外部散射總場和內(nèi)部散射總場.給定入射平面波, 考慮如下Helmholtz系統(tǒng)：

其中k>0為波數(shù),v0為Γ0的單位外法向量,λ為取決于介質(zhì)Ω和Ω0的傳輸系數(shù).

(6)

2 Bayes方法

用全孔徑遠場數(shù)據(jù)和有限孔徑遠場數(shù)據(jù)同時重構(gòu)交界面Γ0和障礙物邊界Γ1的Bayes方法.

2.1 先驗分布

非均勻介質(zhì)和內(nèi)部嵌入障礙物由交界面Γ0和邊界Γ1決定,Γ0和Γ1可通過有限集合P和Q形式分別進行參數(shù)化

P∶=(p1,p2,…,pN1)T∈N1,Q∶=(q1,q2,…,qN2)T∈N2,

(7)

記Z∶=(P,Q)∈N,N=N1+N2.設(shè){zn}(n=1,2,…,N)是相互獨立的Gauss變量,zn滿足

zn～N(mn,sn),n=1,2,…,N,

(8)

(9)

為便于計算, 假設(shè)m1=…=mn=mpr,s1=…=sn=spr,n=1,2,…,N, 即{zn}(n=1,2,…,N)是獨立同分布的Gauss變量.

2.2 后驗分布

考慮入射場形式為

(10)

其中入射方向dl∶=(cosαl,sinαl), 入射角度α均勻分布在[0,2π)內(nèi),

(11)

(12)

(13)

式(13)表明非線性觀測算子Fl可視為交界面和嵌入障礙物的參數(shù)空間到散射遠場空間的一個抽象映射, 且Fl:N→C(S1).進一步, 可將統(tǒng)計模型寫為

Yl=Fl(Z)+ηl,

(14)

(15)

(16)

根據(jù)Bayes公式可求得后驗概率密度為

(17)

求解反問題MCMC(Markov chain Monte Carlo)算法的流程如下：

1) 初始化Z(0),β∈(0,1)為一個常數(shù),K為最大迭代次數(shù)；

5) 重復(fù)步驟2～4)至K次.

3 數(shù)值算例

下面通過數(shù)值算例驗證Bayes方法的有效性.在所有數(shù)值實驗中均假設(shè)：

2)Γ0和Γ1的未知參數(shù)服從分布的均值mpr=0和標(biāo)準(zhǔn)差spr=1, 對于觀測誤差ηλ滿足s1=…=sl=serror,l=1,2,…,L;

3) MCMC算法最大迭代次數(shù)K=10 000, 取最后1 000個樣本的均值作為參數(shù)反演結(jié)果;

4) 用實線表示Γ0和Γ1的真實曲線信息, 用虛線表示Γ0和Γ1的重構(gòu)曲線信息.

實驗1考慮交界面Γ0為橢圓x(t)=(0.1,0.1)+(4cost,3sint), 嵌入障礙物邊界Γ1為風(fēng)箏x(t)=(-0.5+cost+0.65cos 2t,-0.5+1.5sint)，n(x)=4, 波數(shù)k和k1分別為0.5和1,serror=0.01, 觀測孔徑為[0,2π].Γ0和Γ1的參數(shù)形式Z可表示為

Z∶=(z1,z2,…,z9)T,

圖2 z1的后驗分布直方圖Fig.2 A posteriori distribution histograms of z1

圖3 入射波個數(shù)L=1時Γ0和Γ1的重構(gòu)圖Fig.3 Reconstruction diagrams of Γ0 and Γ1 when number of incident wave L=1

實驗2考慮交界面Γ0為圓形三角形x(t)=(-0.1,-0.3)+(3+0.3cos 3t)(cost,sint), 嵌入障礙物邊界Γ1為風(fēng)箏x(t)=(-0.5+cost+0.65cos 2t,-0.5+1.5sint),n(x)=2.25, 波數(shù)k和k1分別為1和1.5, 入射波個數(shù)L=4, 觀測孔徑為[0,2π].參數(shù)Z可表示為

Z∶=(z1,z2,…,z14),

圖4 入射波個數(shù)L=4時Γ0和Γ1的重構(gòu)圖Fig.4 Reconstruction diagrams of Γ0 and Γ1 when number of incident waves L=4

圖5 入射波個數(shù)L=2時Γ0和Γ1的重構(gòu)圖Fig.5 Reconstruction diagrams of Γ0 and Γ1 when number of incident waves L=2

綜上, 本文提出了同時重構(gòu)非均勻介質(zhì)以及嵌入聲軟障礙物的Bayes方法. 通過少量的入射波進行入射即可較好地重構(gòu)出非均勻介質(zhì)和嵌入聲軟障礙物. 數(shù)值實驗結(jié)果表明, 所提Bayes方法可行且有效.