穆 迪,王海江

(中國船舶重工集團公司第七二三研究所,江蘇 揚州 225101)

0 引言

超材料作為一種新型材料,通常是由整個空間區(qū)域內按一定規(guī)則排布的散射體或小孔陣列構成,能夠設計出多種天然電磁材料無法實現(xiàn)的電磁特性,包括負折射率、零折射率等。超表面是超材料的表面部分,是一種厚度遠小于波長的超薄層結構,在研究中常將其近似為二維材料進行處理。與具有一定厚度的超材料相比,超表面占據更少的物理空間,同時對電磁波造成更小的損耗。

由于超材料的體積、重量、損耗等因素的影響,以及其本身在制造工藝上的難度,在頻率范圍和功能擴展性上的制約,使得超表面逐步取代了傳統(tǒng)超材料的地位。近年來,超表面在各個鄰域都有著廣泛的應用,比如可控智能超表面、空腔諧振器、新型波導結構、吸波器、生物醫(yī)學設備等。

為了模擬電磁波在超材料中的傳播過程,進而設計超材料的結構參數實現(xiàn)預期的調制功能,目前針對超材料的主要分析方法有等效電路法、廣義斯涅爾定律法、等效阻抗法等。針對超表面的結構特征,研究人員利用邊界條件對超表面處的電磁特性進行數值分析。其中廣義薄層轉換條件GSTCs是近年興起的一種高效的超表面分析數值方法,用極化率張量表示超表面的結構特征,從數值角度分析超表面對入射電磁波的作用,進一步設計超表面的參數實現(xiàn)特定的調制功能。

1 GSTCs基本原理

GSTCs是一種應用于超薄層結構處(電磁場的邊界條件)分析的方法。基于狄拉克分布的導數展開形式來表征超薄層結構兩側的不連續(xù)性,利用極化率來表示超薄層的結構、電磁參數,從而將“微觀”的結構與宏觀的極化率聯(lián)系起來,用等效的方法來描述超薄層的整體電磁特性,其分析模型如圖1所示。

圖1 GTSCs分析模型

為了將微觀結構與宏觀量聯(lián)系起來,可以將電場和磁場用電極化密度和磁極化密度表示,根據參考文獻[8]中的公式推導,假設超表面置于=0處,可以得到:

式中:下標||表示平行于超表面方向的分量。

可以看出,常規(guī)求解包含了矢量散度的計算,會導致方程的求解量異常龐大,因此在實際應用時,通常假設法相極化密度為零,即P=M=0,再代入極化密度與場值的關系,可得:

將電場和磁場分別用分量的形式表示,有:

超表面的主要功能是對入射電磁波進行調制,實現(xiàn)對反射、透射波的幅度、相位、傳播方向的控制,圖2給出了GSTCs方法在超表面整體設計中的4個步驟。

圖2 超表面整體設計

其中過程①是根據超表面等效的極化率張量求解邊界條件;過程②是根據確定的超表面結構,推導其等效的極化率張量;過程③依照確定的極化率取值,反推相應的超表面結構參數和電磁參數;過程④是從具體的調制功能出發(fā),求解欲實現(xiàn)該功能所需的極化率取值。文章針對步驟①和④進行分析,推導時域有限差分(FDTD)下的GSTCs方法的方程,并給出仿真實例驗證分析和公式推導的正確性。

2 基于GSTCs方法的FDTD 方程

為了模擬電磁波入射超表面的傳播過程,將GSTCs方法與數值算法結合。文章中將GSTCs方法引入FDTD 算法中,具有以下的優(yōu)勢:(1)僅需變換超表面相鄰網格處電磁場方程,計算效率高;(2)與一般FDTD 算法相比,超表面處的方程僅與極化率相關,算法易實現(xiàn);(3)不同極化率取值可以模擬不同超表面,通用性高。為了驗證FDTD 算法實現(xiàn)GSTCs方法的正確性,分別對一維和二維超表面進行方程推導和仿真驗證。

2.1 一維超表面

假設超表面置于平面處,如圖3所示。在不考慮法相分量的情況下,電場和磁場同時有和兩方向的分量,為簡化運算,同時保證方程有唯一確定的解,極化率僅需保留4個量描述邊界處電場和磁場的數值關系,此時式(5)可以表示成4階對角矩陣:

圖3 二維GSTC-FDTD 節(jié)點分布

將式(6)代入到式(5)中,有:

以電場分量為例,迭代方程的一般形式為:

超表面處以0+處的磁場代替處的磁場,這樣方程中的各分量均處于超表面同側,可以采用一般形式的FDTD 方程,有:

由式(7)可得,超表面處的邊界條件為:

將式(9)代入到式(8)中可以得到超表面處電場分量的迭代方程:

同理可得電場分量以及磁場的方程。

2.2 二維超表面

圖4給出了二維超表面處的節(jié)點分布,其中超表面置于平面上。以TM 波為例,由于不考慮法相分量的作用,磁場分量不需特殊化處理,因此,單模式調制的方程為:

圖4 二維GSTC-FDTD 節(jié)點分布

對照一維的思路可以推導出超表面處迭代方程。二維超表面的雙模式調制,就是假定副對角線上的極化率不為0時的超表面功能。此時的方程形式可以表示成:

可以看出,此時的超表面可以對入射電磁波實現(xiàn)2種不同的調制功能。

3 仿真結果

3.1 一維幅度、偏轉角調制

一維超表面能夠對入射電磁波的反射波和透射波的幅度、偏轉角進行調制,僅需找到幅度、偏轉角與超表面極化率的對應關系即可模擬電磁波入射超表面時相應的調制功能。

進行方程推導時分別研究了對入射電磁波的幅度、偏轉角的調制功能,進而推導出幅度、偏轉角同時調制的電磁方程。圖5給出了一維超表面幅度和偏轉角同時調制時電場和磁場的空間分布,其中薄板表示超表面的空間位置。入射電磁波是幅度為1、偏轉角為45°的正弦波,預設的調制功能為:反射系數=0.25,透射系數=0.5,投射偏轉角為75°。

圖5 一維幅度、偏轉角同時調制

為了從數值角度研究調制效果,給出幅度與偏轉角的分布曲線,如圖6、圖7所示。

圖6 一維調制幅度分布

圖7 一維調制偏轉角分布

可以看出,由于仿真時計算網格粗細等因素的影響,局部數值存在差異,但幅度和偏轉角曲線的整體趨勢與預設的調制功能相符。

3.2 二維幅度調制

由于二維算法只與電場、磁場單個方向分量相關,因此算法僅能夠對入射電磁場的幅度進行調制。

首先研究部分透射。此時預設超表面對入射電磁波無反射,且透射系數為0.5,仿真結果如圖8、圖9所示。

圖8 R=0,T=0.5場分布

圖9 R=0,T=0.5幅度分布

圖8、圖9中分別給出了正弦波垂直入射時場分布圖和=100平面處的幅度分布曲線,可以看出垂直入射時幅度調制效果與預設的功能吻合得很好。

為了驗證二維算法的通用性,研究反射系數、透射系數都不為零時,45°斜入射電磁波在超表面處的電場變化。此時預設的反射系數為=0.25,透射系數=0.25,實現(xiàn)對反射波和透射波幅度調控的功能。

圖10和圖11 分別給出了場值分布圖和=100時的幅度分布曲線,從圖10、圖11中可以看出,超表面兩側幅度變化和場值分布符合預設的調制功能。

圖10 R=0.25,T=0.25場分布

圖11 R=0.25,T=0.25幅度分布

綜合一維和二維的仿真結果可以看出,通過預設的調制功能求得的極化率,在仿真電磁波入射超表面時,能夠準確地實現(xiàn)預設的調制功能,因此GSTCs方法可以有效地應用到超表面功能設計中。

4 結束語

GSTCs方法的核心思想是用極化率來代替超表面的電磁、結構參數,進而有效、便捷地對超表面進行功能設計。

目前已有研究人員在對從超表面結構計算極化率的過程進行研究。未來GSTCs方法的研究,需在此基礎上總結超表面電磁參數、結構參數與極化率的數值關系,建立模型庫,將典型的超材料表面結構模型與極化率一一對應,從而對預設調制功能求解極化率數值,進一步從模型庫和結構與極化率的對應關系中找出相應的結構模型,實現(xiàn)從預設功能到超表面的設計。