孫宗丹，黃 強(qiáng)，劉干斌

（1.廣西職業(yè)技術(shù)學(xué)院 路橋工程學(xué)院，南寧 530023；2.寧波大學(xué) 土木與環(huán)境工程學(xué)院，浙江 寧波 315211；3.寧波大學(xué) 濱海城市軌道交通協(xié)同創(chuàng)新中心，浙江 寧波 315211）

城市軌道交通線路由于地質(zhì)條件、地下管網(wǎng)建設(shè)、線路規(guī)劃等原因，往往需要設(shè)計(jì)大量的曲線線路，小曲線半徑的線路也日益增多[1-2]。據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，北京地鐵曲線線路的長(zhǎng)度約占線路總長(zhǎng)的30%～50 %[3]。與直線軌道相比，曲線軌道上列車運(yùn)行帶來(lái)的環(huán)境振動(dòng)問(wèn)題更為嚴(yán)重，例如曲線軌道常見(jiàn)的波磨問(wèn)題，不僅影響軌道的動(dòng)力性能，也對(duì)列車的乘車舒適性帶來(lái)不利影響。現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)也證實(shí)曲線段列車運(yùn)行會(huì)導(dǎo)致地層水平振動(dòng)大于豎向振動(dòng)的現(xiàn)象[4-5]。因此，研究曲線軌道的振動(dòng)特性具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)于曲線軌道的振動(dòng)特性開(kāi)展了相關(guān)研究，通過(guò)建立解析模型進(jìn)行理論或數(shù)值求解。宋郁民[6]推導(dǎo)了圓弧曲線Timoshenko梁的振動(dòng)微分方程，分析曲線梁的自振特性，證實(shí)曲線梁平面內(nèi)振動(dòng)與平面外振動(dòng)不耦合；Dai等[7]采用三角級(jí)數(shù)法對(duì)移動(dòng)點(diǎn)荷載作用下曲線梁穩(wěn)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行了理論解答，分析了曲線半徑、列車速度、振動(dòng)頻率、扣件阻尼等因素對(duì)曲線梁撓度的影響，不過(guò)其解答只適用穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和連續(xù)支承的情況；Yang 等[8]提出了計(jì)算曲線梁平面內(nèi)振動(dòng)響應(yīng)的有限元方法，分析了不同幾何條件、邊界條件下曲線梁的自振頻率、振型模態(tài)及變形規(guī)律；Martínnez等[9]提出了一個(gè)輪對(duì)-曲線軌道耦合模型，該模型可以反映輪對(duì)在曲線軌道上移動(dòng)時(shí)接觸力及輪對(duì)橫向變形的時(shí)程響應(yīng)，該輪軌耦合模型還會(huì)考慮軌道的不平順特征；杜林林、劉衛(wèi)豐等[10-11]研究了曲線軌道空間振動(dòng)特性，利用曲線軌道的周期性特性，基于模態(tài)疊加法得到了曲線梁頻域內(nèi)的響應(yīng)解答。不過(guò)，以往在分析曲線軌道振動(dòng)特性時(shí)常將橫向和豎向列車振動(dòng)荷載視為固定值，較少考慮振動(dòng)荷載隨曲線半徑、車速和超高角變化，在對(duì)比平面內(nèi)和平面外的曲線梁振動(dòng)響應(yīng)差異時(shí)存在一定的不足。盡管對(duì)于曲線軌道振動(dòng)特性的參數(shù)敏感性分析較多，但分析時(shí)較少考慮各因素間的相互影響。與此同時(shí)，曲線軌道半徑與列車速度的取值應(yīng)滿足曲線軌道技術(shù)規(guī)范的要求，這一點(diǎn)在以往的參數(shù)分析中也反映不夠。

為全面分析曲線軌道的振動(dòng)特性，本文基于振型疊加法和龍格-庫(kù)塔數(shù)值方法求解曲線軌道的時(shí)程響應(yīng)特征。首先通過(guò)振型疊加法將振動(dòng)方程化簡(jiǎn)為常微分方程，再利用龍格-庫(kù)塔數(shù)值方法對(duì)常微分方程進(jìn)行時(shí)域求解。本文提出的半解析半數(shù)值方法計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單，對(duì)連續(xù)支承和離散支承的情況都可適用，同時(shí)也可以適用各種振動(dòng)荷載的情況。通過(guò)對(duì)比曲線軌道平面內(nèi)和平面外的振動(dòng)響應(yīng)特征，提出減少曲線軌道振動(dòng)的相應(yīng)建議。

1 曲線梁振動(dòng)方程

以整體式軌道為例，假設(shè)軌道以下為固定端，整體式曲線軌道可簡(jiǎn)化為曲梁-彈簧模型。如圖1 所示，曲梁弧長(zhǎng)為L(zhǎng)，半徑為R。曲線鋼軌位移分別為u、v、w、β，對(duì)應(yīng)徑向、豎向、軸向撓度和扭轉(zhuǎn)角變形，其中平面內(nèi)u、w相互耦合，平面外v、β相互耦合。鋼軌橫截面內(nèi)的受力如圖2所示，鋼軌存在一定超高，超高角為θ；列車作用在鋼軌頂端的水平和垂直荷載分別為mc V2R和mcg；沿鋼軌x軸和y軸正向所受荷載分量分別為fh、fv。

圖1 曲線梁位移示意圖

圖2 曲梁橫斷面受力示意圖

以連續(xù)支承軌道為例，根據(jù)曲線梁平衡方程和幾何方程，得到Euler曲梁的振動(dòng)方程如下[7]：

其中：

式中：Ix、Iy分別為鋼軌繞x、y軸的慣性矩；Ip為繞z軸的極慣性矩，等于Ix+Iy；A為鋼軌橫截面積；h為鋼軌高度；E、G為鋼軌彈性模量和剪切模量；ρ為鋼軌密度；J為截面扭轉(zhuǎn)常數(shù)；kx、cx，ky、cy，kt、ct分別為扣件的徑向、豎向和扭轉(zhuǎn)彈簧剛度與阻尼；V為列車移動(dòng)速度，m/s。

2 方程求解與驗(yàn)證

采用模態(tài)疊加法對(duì)式（1）進(jìn)行求解，對(duì)于曲線Euler梁，曲梁的撓度和扭轉(zhuǎn)角表達(dá)式如下：

其中：Yi(z)是正則振型函數(shù)，qui(t)～qβi(t)為對(duì)應(yīng)的時(shí)間坐標(biāo)函數(shù)；nm為振型模態(tài)數(shù)，一般要求不小于曲梁長(zhǎng)度除以扣件間距的一半；對(duì)于長(zhǎng)曲梁，其振型函數(shù)表達(dá)式為：

將式（3）代入式（1），經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)，得到2階常微分形式的鋼軌振動(dòng)方程，如下：

其中：

將曲梁的2階常微分振動(dòng)方程組寫(xiě)成統(tǒng)一的矩陣方程形式，方程由4nm個(gè)方程組成，形式如下：

其中：待求解變量X={qu1，qu2，…，qunm，qv1，qv2，…，qvnm，qw1，qw2，…，qwnm，qβ1，qβ2，…，qβnm}T，質(zhì)量矩陣M，阻尼矩陣C和剛度矩陣K為4nm×4nm矩陣，荷載向量P為4nm×1矩陣。假設(shè)軌道初始加速度、速度和位移都為零，采用4 階龍格-庫(kù)塔數(shù)值方法對(duì)矩陣方程（7）進(jìn)行求解，得到曲線軌道各向振動(dòng)位移的時(shí)程響應(yīng)。

3 計(jì)算結(jié)果

3.1 數(shù)值計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文所采用的龍格-庫(kù)塔法計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，參照文獻(xiàn)[7]模型參數(shù)和解析計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比計(jì)算結(jié)果如圖3 至圖5 所示?？梢钥闯?，本文計(jì)算結(jié)果與理論解析結(jié)果幾乎一致，可見(jiàn)，龍格-庫(kù)塔法計(jì)算的曲梁振動(dòng)響應(yīng)結(jié)果是準(zhǔn)確的。從圖中也可以看出，列車移動(dòng)會(huì)產(chǎn)生比較明顯的徑向撓度和扭轉(zhuǎn)位移，應(yīng)引起足夠的重視。

圖3 豎向位移對(duì)比圖

圖4 徑向位移對(duì)比圖

圖5 扭轉(zhuǎn)位移對(duì)比圖

3.2 主要影響因素分析

根據(jù)《地鐵設(shè)計(jì)規(guī)范GB50157-2003》[12]，曲線軌道的最小半徑計(jì)算公式如下：

式中：V為列車運(yùn)行速度，km/h，hmax為最大超高，120 mm；hqy為允許的最大欠超高，為61.2 mm，對(duì)應(yīng)的軌道最大超高角為7.2°。在最大超高情況下，計(jì)算出當(dāng)前列車速度下的軌道最小曲線半徑，如表1所示。

表1 不同車速下曲線軌道最小半徑

為進(jìn)一步分析曲線軌道的振動(dòng)特性，以T60 鋼軌和DTVI2扣件為例，分析不同參數(shù)影響下曲線軌道的空間振動(dòng)特征，曲線軌道的參數(shù)如表2 所示?？紤]到曲線軌道的振動(dòng)響應(yīng)影響因素較多，常見(jiàn)的軌道剛度參數(shù)影響特性和直線軌道類似，故本文只選擇影響列車振動(dòng)荷載的列車速度、曲線半徑和超高角進(jìn)行分析。

表2 T60鋼軌及DTVI2扣件參數(shù)[10]

（1）列車速度的影響

不同列車速度下曲梁豎向撓度、扭轉(zhuǎn)位移和徑向撓度如圖6至圖8所示。

圖6 不同列車速度下豎向撓度對(duì)比（θ=7.2°）

從圖中看出，三個(gè)方向的位移隨列車速度的變化規(guī)律各異。在目前的車速范圍下，當(dāng)軌道半徑滿足最小半徑要求時(shí)，曲線軌道的豎向撓度隨速度增加變化量很小，當(dāng)半徑不滿足最小半徑要求時(shí)，豎向撓度隨列車速度的增加而快速增加，半徑越小，豎向撓度增加得越明顯，曲梁豎向撓度始終大于直梁的撓度。

對(duì)于扭轉(zhuǎn)位移，曲梁的扭轉(zhuǎn)位移都是隨著車速的增加逐漸減少直至下降為零，此后車速繼續(xù)增加而曲梁的扭轉(zhuǎn)位移基本不變。通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，扭轉(zhuǎn)位移為零的車速V=gRtanθ，可算出各半徑所對(duì)應(yīng)扭轉(zhuǎn)位移為零的車速剛好是最小半徑對(duì)應(yīng)的車速，這一車速也稱為“理想車速”?？梢?jiàn)，理想車速與曲線半徑和超高角密切相關(guān)，三者互相關(guān)聯(lián)影響曲線軌道位移響應(yīng)。如圖7 所示，直梁的扭轉(zhuǎn)位移大于曲梁，這是因?yàn)楸疚募僭O(shè)直梁也存在超高角，當(dāng)列車在傾斜直軌上行駛時(shí)會(huì)在橫向上產(chǎn)生撓度變形。

圖7 不同列車速度下扭轉(zhuǎn)位移對(duì)比（θ=7.2°）

曲梁徑向撓度變化規(guī)律則是隨速度的增加先減小后增大，和扭轉(zhuǎn)位移一樣，在理想車速處徑向撓度為零。圖8 的徑向撓度為絕對(duì)值，理論上當(dāng)列車速度超過(guò)理想車速后，徑向撓度指向圓心之外，撓度應(yīng)為負(fù)值。從圖中可知，曲線軌道上列車運(yùn)行應(yīng)盡量接近理想車速，而不是單純的增加曲線半徑，否則大曲線半徑下的徑向撓度反而有可能大于小半徑下的徑向撓度值。

圖8 不同列車速度下徑向撓度對(duì)比（θ=7.2°）

（2）曲線半徑的影響

不同曲線半徑下的曲梁豎向撓度、扭轉(zhuǎn)位移和徑向撓度的結(jié)果如圖9 至圖11 所示。如圖9 所示，當(dāng)曲線半徑小于最小半徑要求時(shí)，增加曲線半徑可以有效減小豎向撓度的大小，當(dāng)曲線半徑增加到滿足最小曲線半徑要求時(shí)，繼續(xù)增加曲線半徑對(duì)減小豎向撓度的意義不大。

圖9 不同曲線半徑下豎向撓度對(duì)比（θ=7.2°）

曲線半徑對(duì)扭轉(zhuǎn)位移的影響如圖10所示，可以看出，在一定的列車速度下，最小曲線半徑對(duì)應(yīng)的扭轉(zhuǎn)位移為零。當(dāng)曲線半徑大于最小半徑后，扭轉(zhuǎn)位移反而隨著曲線半徑的增加不斷增加直至趨于穩(wěn)定，扭轉(zhuǎn)位移最終值與列車速度有關(guān)，車速越大，最終扭轉(zhuǎn)位移越小。

圖10 不同曲線半徑下扭轉(zhuǎn)位移對(duì)比（θ=7.2°）

徑向撓度隨曲線半徑的變化規(guī)律如圖11所示，同樣，徑向撓度受曲線半徑的影響也與列車速度有關(guān)。當(dāng)列車速度較小，曲線半徑大于等于最小半徑時(shí)，徑向撓度隨著曲線半徑的增加而逐漸增加最后趨于穩(wěn)定。當(dāng)曲線半徑不滿足列車速度所對(duì)應(yīng)的最小半徑時(shí)，徑向撓度先隨曲線軌道半徑的增加降為零，然后隨列車速度逐漸增加至撓度趨于穩(wěn)定。可見(jiàn)，當(dāng)曲線半徑無(wú)窮大時(shí)，列車速度引起的離心力可以忽略不計(jì)，最終曲梁撓度也接近直梁下的徑向撓度結(jié)果。

圖11 不同曲線半徑下徑向撓度對(duì)比（θ=7.2°）

（3）超高角的影響

曲線軌道需要設(shè)置一定的超高角以抵抗列車離心力的作用。根據(jù)超高角允許值，超高角變化范圍為0～7.2°。以列車速度20 m/s為例，不同曲線半徑下豎向撓度隨超高角的變化規(guī)律如圖12 所示。當(dāng)曲線半徑小于等于最小曲線半徑時(shí)，豎向撓度隨著超高角增加而增加，最大超高角對(duì)應(yīng)的豎向撓度最大。當(dāng)曲線半徑大于最小曲線半徑時(shí)，豎向撓度隨著超高角的增加先增大后減小，存在一個(gè)超高角使得豎向撓度最大。不過(guò)，從豎向撓度的變化程度來(lái)看，超高角對(duì)豎向撓度的影響較小，變化率不超過(guò)1%，故改變超高角對(duì)豎向撓度影響不大。

圖12 不同超高角下豎向撓度對(duì)比

不同超高角對(duì)徑向撓度的影響如圖13所示，當(dāng)曲線半徑小于等于最小半徑時(shí)，增加超高角可以使得徑向撓度逐漸減小，最大超高角對(duì)應(yīng)的徑向撓度最小，而當(dāng)曲線半徑大于最小曲線半徑時(shí)，徑向撓度隨著超高角的增加先減小為零后快速增加，存在一個(gè)理想超高角，使得徑向撓度為零。當(dāng)超高角大于理想超高角后，曲線半徑越大，列車運(yùn)行產(chǎn)生的徑向撓度也越大?？梢?jiàn)，徑向撓度的變化規(guī)律和豎向撓度基本相反，列車振動(dòng)荷載產(chǎn)生的振動(dòng)效果由橫向和豎向兩方面的位移承擔(dān)，豎向振動(dòng)增強(qiáng)，相應(yīng)地橫向振動(dòng)就會(huì)減弱。不過(guò)對(duì)于曲線軌道來(lái)說(shuō)，應(yīng)盡量減小橫向的振動(dòng)位移以減小列車運(yùn)行對(duì)軌道的磨損。因此，在列車運(yùn)行速度一定的情況下，適當(dāng)增加曲線半徑同時(shí)減少超高角大小，可以使豎向撓度和徑向撓度結(jié)果都有所減小。

圖13 不同超高角下徑向撓度對(duì)比

4 結(jié)語(yǔ)

本文基于振型疊加法和龍格-庫(kù)塔法計(jì)算研究了移動(dòng)荷載下曲線軌道梁的振動(dòng)特性，并與直線軌道梁進(jìn)行比較，分析了列車速度、曲線半徑和超高角對(duì)曲梁豎向、徑向撓度和扭轉(zhuǎn)位移的影響。綜上研究，主要得到以下結(jié)論：

（1）當(dāng)曲線半徑滿足最小半徑要求時(shí)，列車速度增加對(duì)曲梁的豎向撓度影響很小，扭轉(zhuǎn)位移和徑向撓度受列車速度的影響較大，扭轉(zhuǎn)位移隨車速增加降為零后基本不變，徑向撓度隨車速的增加先減小為零隨后快速增大，徑向撓度變形存在一個(gè)理想車速；

（2）當(dāng)曲線半徑小于最小半徑時(shí)，增加曲線半徑可以有效減小曲梁的豎向撓度，達(dá)到最小半徑要求后，繼續(xù)增加曲線半徑對(duì)曲梁豎向撓度影響很小，當(dāng)曲線半徑大于最小半徑時(shí)，扭轉(zhuǎn)位移隨曲線半徑增加逐漸增大最終趨于穩(wěn)定，徑向撓度則先減小為零再隨曲線半徑的增加最終趨于穩(wěn)定；

（3）改變超高角對(duì)曲梁豎向撓度的影響不大，當(dāng)曲線半徑小于等于最小半徑時(shí)，增加超高角可以減小徑向撓度，增加曲線半徑有利于減小超高角的大小以達(dá)到降低徑向撓度的目的。