梁新成，宋 勝，張勉，黃國鈞

(1.西南大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院，重慶 400715；2.西南大學(xué)人工智能學(xué)院，重慶 400715)

鋰離子電池內(nèi)部包含的正負(fù)極活性物質(zhì)、粘結(jié)劑、導(dǎo)電劑等會因為持續(xù)的化學(xué)反應(yīng)而老化，故鋰離子電池存在壽命老化問題[1-2]。鋰電池作為系統(tǒng)供能的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，其壽命衰退會導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生故障、崩潰甚至人員傷亡，因而對鋰電池的剩余壽命預(yù)測具有現(xiàn)實意義。

鋰離子電池的剩余壽命(RUL)預(yù)測主要分為基于模型、數(shù)據(jù)驅(qū)動和融合的預(yù)測[3]。基于模型的預(yù)測主要應(yīng)用電池的電化學(xué)機理分析其老化過程，由于需要大量的參數(shù)且運算復(fù)雜，故鮮于工程應(yīng)用；數(shù)據(jù)驅(qū)動的預(yù)測普遍概念不明確或過于復(fù)雜，或因缺乏完整的建模理論和方法限制了其在工程領(lǐng)域的應(yīng)用[4]。融合型預(yù)測兼具上述兩種算法的優(yōu)勢，通過尋找數(shù)據(jù)隨時間變化的規(guī)律或系統(tǒng)內(nèi)部的遞推關(guān)系進(jìn)行預(yù)測，常用的算法有擴展卡爾曼濾波算法[5]、改進(jìn)的粒子濾波算法[6-7]和基于機器學(xué)習(xí)的算法[8-9]?？紤]鋰離子電池的高度非線性，本文將采用幾種方法對鋰離子電池RUL預(yù)測的結(jié)果進(jìn)行比較，以期遴選出更適合的方法，實現(xiàn)鋰電池的充分使用。

1 鋰離子電池RUL 預(yù)測的描述

1.1 鋰離子電池的RUL 描述

鋰電池RUL可以通過剩余容量描述，而描述剩余容量的方法主要有機理法和經(jīng)驗法。機理法具有高可靠性和高外推性的優(yōu)點，但參數(shù)眾多且計算過程非常繁瑣，難以在線應(yīng)用；經(jīng)驗法雖然簡單但是缺乏理論依據(jù)，且多以容量衰減20%的情況為研究對象。鑒于鋰電池老化時，其功率和能量也會發(fā)生變化，故使用以下公式進(jìn)行描述：

式中：Powerc是當(dāng)前最大功率；Poweri是初始最大功率；Ubat,min是電池截止電壓；OCV是電池開路電壓；Ro,c是電池當(dāng)前的歐姆電阻；Ro,i是電池初始的歐姆電阻；SOHp是當(dāng)前的最大功率和初始最大功率之比。式(1)化簡則有：

相似地，可以推出電池的最大能量之比：

式中：Energyc是當(dāng)前最大可用能量；Energyi是初始最大能量；Ubat,tc是當(dāng)前電壓值；Ibat,tc是當(dāng)前電流值；Ubat,ti是初始電壓值；Ibat,ti是初始電流值；tc是當(dāng)前放電時間；ti是初始放電時間。

對式(3)進(jìn)行近似處理，用平均電壓Ubat,m代替各個時刻的電壓，用平均電流Ibat,m代替各個時刻的電流，化簡后則有：

式中：Cc是當(dāng)前電池容量；Ci是初始電池容量。

式(2)和式(4)表明，電池的壽命狀態(tài)可以用歐姆電阻和容量進(jìn)行描述。由于歐姆電阻的辨識需要通過混合脈沖功率測試實驗獲取，故主要應(yīng)用于離線場合；而容量可以實現(xiàn)在線估計?？紤]到車載鋰電池容量衰退至80%則需要退役，故本文關(guān)于鋰電池RUL的預(yù)測都是基于式(4)的。

1.2 鋰離子電池RUL 預(yù)測的可行性

鋰離子電池老化時出現(xiàn)的電解液分解、隔膜微孔關(guān)閉、集電極腐蝕、過渡金屬溶解、石墨材料脫落和固體電解質(zhì)界面膜(SEI)生成都是一個緩慢的過程，個別的逆反應(yīng)如SEI 的溶解等并不能改變電池總的變化趨勢。因此，根據(jù)部分?jǐn)?shù)據(jù)預(yù)測電池的總趨勢是可行的。此外，相關(guān)鋰電池的充放電實驗也證實了用機理法預(yù)測壽命的合理性[10]，這都為RUL的預(yù)測提供了依據(jù)。

2 幾種預(yù)測算法的推導(dǎo)

鋰電池具有高度非線性的特點，精準(zhǔn)地描述鋰電池的RUL具有很大的難度。本文將采用二次函數(shù)(QF)、灰色模型(GM)和擴展卡爾曼濾波法(EKF)三種方法進(jìn)行對比研究，以探索鋰電池RUL的可靠預(yù)測方法。

2.1 QF 的推導(dǎo)

參閱相關(guān)文獻(xiàn)，二次函數(shù)也可以用來描述電池的RUL。建立電池的模型表達(dá)式：

式中：Cn是電池n次循環(huán)后的最大容量；a、b、c分別是二次函數(shù)的系數(shù)；en是模型的觀測噪聲。

根據(jù)實驗所得的電池容量數(shù)據(jù)，電池的容量用矩陣表示：

再結(jié)合實驗所得的數(shù)據(jù)，以最小二乘法擬合曲線，得到a、b、c的擬合值：

至此，二次函數(shù)的容量退化模型可以表示為：

則電池的RUL估計和預(yù)測精度可以表示為：

2.2 GM 的推導(dǎo)

灰色模型屬于顏色預(yù)測模型的一種，顏色預(yù)測模型大致分為黑、白和灰三種。白色預(yù)測模型是指系統(tǒng)內(nèi)部的特征完全已知，黑色表示系統(tǒng)的內(nèi)部特征為零，而灰色則介于二者之間，表示內(nèi)部特征部分已知?；疑Ｐ统Ｒ姷谋磉_(dá)式為GM(n,x)，即用n階微分方程對x個變量建立模型?；疑Ｐ偷膽?yīng)用步驟如下：

(3)對C(1)建立關(guān)于時間t的一元微分方程：

式中：a、u為未知參數(shù)，也稱為矩陣的灰參數(shù)。

(4)對生成的累加數(shù)據(jù)做均值處理，得到：

(5)利用最小二乘法對灰參數(shù)進(jìn)行擬合并代入可得：

2.3 EKF 的推導(dǎo)

根據(jù)控制理論，任何非線性系統(tǒng)可表示為：

式中：t是離散的時間變量；X(t)是非線性系統(tǒng)的狀態(tài)；G(t)是噪聲；Z(t)是觀測值；W(t)和V(t)表示高斯噪聲；f和h是非線性函數(shù)，二者的協(xié)方差為Q和R。

為了簡化計算過程，需要將非線性模型的估計值用一階泰勒級數(shù)展開：

則有：

同理，觀測函數(shù)也用一階泰勒公式展開：

再按照EKF 算法的計算步驟分別進(jìn)行更新變量、協(xié)方差等相關(guān)運算。

3 數(shù)據(jù)的處理和驗證

鋰電池的壽命實驗需反復(fù)對其做充放電實驗直至其達(dá)到失效閾值。該實驗過程既要花費較長的時間，同時也會造成電池不可逆的損壞。鑒于此，本文使用NASA PCoE 完成的實驗數(shù)據(jù)。該電池的額定容量為2 Ah，工作溫度是24 ℃，充放電電流分別為1.5 和2 A，充電的截止電壓是4.2 V；4 塊電池放電的截止電壓略有不同，分別是2.7、2.5、2.2 和2.5 V。4 塊電池的壽命曲線如圖1 所示，考慮到B5 和B7 電池的波動較小，而B18 的數(shù)據(jù)過少，為了更好地驗證算法的魯棒性，選取波動較大的B6 電池進(jìn)行研究。

圖1 鋰電池的壽命曲線

3.1 鋰電池的數(shù)據(jù)處理

根據(jù)上文推導(dǎo)出的公式，分別選擇60 次、70 次和80 次循環(huán)數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，應(yīng)用二次函數(shù)、灰色理論和擴展卡爾曼濾波算法進(jìn)行剩余壽命預(yù)測，所得結(jié)果如圖2～4 所示。

圖2 應(yīng)用二次函數(shù)的鋰電池RUL預(yù)測

3.2 鋰電池的數(shù)據(jù)分析

將圖2～4 中三種算法的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行整理，所得鋰電池剩余壽命預(yù)測結(jié)果如表1 所示。由表1 可知，二次函數(shù)法的預(yù)測誤差最大，在三種算法中結(jié)果最差，效果最不理想；灰色理論預(yù)測法與二次函數(shù)預(yù)測法相比，誤差相對改善，效果較為理想；而擴展卡爾曼濾波算法的預(yù)測誤差最小，結(jié)果最好，效果最為理想。

圖3 應(yīng)用灰色理論的鋰電池RUL預(yù)測

圖4 應(yīng)用EKF的鋰電池RUL預(yù)測

表1 幾種方法的鋰電池RUL 預(yù)測

為了驗證擴展卡爾曼濾波算法的魯棒性，將其應(yīng)用于其他的B5、B7、B18 三塊電池，具體結(jié)果如表2 所示。

表2 EKF 對其它電池的RUL 預(yù)測

4 鋰電池RUL 預(yù)測的改進(jìn)

4.1 EKF 算法的不足

相比二次函數(shù)法和灰色理論，EKF 算法的精度已經(jīng)相對較高了。但是與參考文獻(xiàn)[7,11]的聯(lián)合預(yù)測算法相比，該算法還有提高的余地。分析可知，造成較大誤差的原因是當(dāng)非線性函數(shù)展開時，丟棄了二階項及高階項。無跡卡爾曼濾波(UKF)算法用無跡變換來處理均值和協(xié)方差的非線性傳遞問題，用一系列確定樣本逼近狀態(tài)的后驗概率密度，是對非線性函數(shù)概率密度分布進(jìn)行的近似，因此可以克服EKF 精度低和穩(wěn)定性差的缺點[12]。

4.2 UKF 算法的使用

無跡變換(UT)是UKF 算法最為核心的部分，它的核心思想是用一些數(shù)量固定的參數(shù)去近似一個高斯分布，本文選擇對稱采樣法獲取Sigma 點，其計算流程如圖5 所示。

圖5 UKF的計算流程

根據(jù)圖5 所示的UKF 計算流程，完成新的程序設(shè)計并對相關(guān)的鋰電池壽命數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，計算結(jié)果整理后如表3 所示。UKF 計算結(jié)果的精度要高于EKF，其最大誤差值減小，數(shù)據(jù)的分布也更加均勻。

表3 UKF 的仿真結(jié)果

5 結(jié)論

用鋰電池剩余容量來描述其RUL，計算過程簡單且適合在線監(jiān)測。相比QF 和GM 算法，EKF 算法的精度要高得多，魯棒性較好；而UKF 算法克服了EKF 算法的不足，精度有改進(jìn)。考慮到鋰電池RUL預(yù)測的艱巨性，建議UKF 算法與其他算法進(jìn)行聯(lián)合，進(jìn)一步提升預(yù)測的準(zhǔn)確性。