程曦 楊東花 馬金江

摘要：電磁仿真中，為了提高數(shù)值模擬方法的計算精度，必須完善計算過程。通過量化輸出結(jié)果的不確定度，得到可靠的數(shù)值模擬結(jié)果的過程，稱之為不確定性分析（Uncertainty Analysis）。該文對目前電磁仿真中已有的不確定分析方法的應(yīng)用場景、優(yōu)缺點進行討論、總結(jié)。

關(guān)鍵詞：不確定性分析方法;數(shù)值計算;人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

中圖分類號：TP311? ? ? 文獻標(biāo)識碼：A

文章編號：1009-3044（2022）15-0001-03

1 引言

獲得通信設(shè)備、探地雷達等物理系統(tǒng)電磁特性的主要途徑有實際測量和數(shù)值模擬。受限于相關(guān)測試測量設(shè)備及實驗條件，實際測量往往難以實現(xiàn)。例如，難以準(zhǔn)確地、無損地得到人體受到電磁場照射后，不同組織的電磁能量分布，并且相關(guān)測量設(shè)備價格昂貴。相較于實際測量，數(shù)值模擬具有計算快捷、易于實現(xiàn)、成本較低的特點，是獲得物理系統(tǒng)電磁特性的重要途徑。為了提高數(shù)值模擬方法的計算精度，必須完善計算過程，量化輸出結(jié)果的不確定度，得到可靠的數(shù)值模擬結(jié)果。不確定性分析（Uncertainty Analysis）是數(shù)值模擬計算中一件具有挑戰(zhàn)性、不容忽視的任務(wù)。

事實上，不確定性分析存在于機械工程[1]、氣候建模[2]、計算流體動力學(xué)[3]等諸多領(lǐng)域。在計算電磁學(xué)領(lǐng)域，相關(guān)的國際標(biāo)準(zhǔn)IEEE p1597.1[4]闡述了驗證計算模型和仿真的必要步驟，并且提出數(shù)值模擬計算有進行不確定性分析的必要性。該標(biāo)準(zhǔn)一經(jīng)提出，其關(guān)于不確定性分析的內(nèi)容立即受到國內(nèi)外研究者的重視，不確定性分析方法引起更多的關(guān)注和研究。

蒙特卡洛方法（Monte Carlo Method， MCM）是傳統(tǒng)的不確定性分析方法，其計算結(jié)果被廣泛認(rèn)可，它的主要缺點是收斂速度慢，需要設(shè)置多個配置點，可能需要幾千次的計算才能收斂。由于這一缺點，蒙特卡洛方法在某些電磁數(shù)值計算中是不適用的，例如，對于一個復(fù)雜的計算模型，一臺普通的工作站（Work station）運行一次計算可能需要半小時甚至幾個小時，執(zhí)行幾千次的數(shù)值計算，并等待其收斂是不切實際的，因此需要效率高的替代方法。接下來作者歸納總結(jié)目前已有的替代方法及其應(yīng)用場景，并且比較其優(yōu)缺點。

2 非嵌入式多項式混沌方法

1938年Wiener[6]提出均勻混沌（Homogeneous Chaos）的概念。Ghanom 和Spanos [7， 8]根據(jù)此概念提出多項式混沌方法（Polynomial Chaos）并且將其應(yīng)用到力學(xué)問題。Xiu和Karniadakis[9]擴展了該方法，提出廣義多項式混沌方法（Generalised Polynomial Chaos），針對不同的概率密度函數(shù)，證明了存在不同的最優(yōu)多項式混沌與之對應(yīng)，并指出廣義多項式混沌方法比蒙特卡洛方法的計算代價小且速度比蒙特卡洛方法快很多倍。根據(jù)求解器的不同，多項式混沌方法分為非嵌入式多項式混沌方法（Non-intrusive Polynomial Chaos）和嵌入式多項式混沌方法（Intrusive Polynomial Chaos）[10]。非嵌入式多項式混沌方法采用已有的求解器，不改變計算過程的內(nèi)部算法，計算過程可被看作“黑匣子”。

在文獻[11]中作者將非嵌入式方法應(yīng)用于計算移動電話比吸收率（Specific Absorption Rate，SAR）的不確定度。其相關(guān)研究背景如下：隨著電子技術(shù)的發(fā)展，人們?nèi)粘Ｉ钪薪佑|的無線電子設(shè)備越來越多，這些設(shè)備的電磁輻射安全性備受關(guān)注。如何從電磁學(xué)角度準(zhǔn)確評估移動電話等無線設(shè)備的安全性是業(yè)界研究的熱點。在電磁輻射環(huán)境下，人體吸收射頻電磁場能量會導(dǎo)致局部溫度升高，超過機體調(diào)控范圍的溫升會給人體帶來不可逆的損傷，熱效應(yīng)是被研究者所公認(rèn)的射頻電磁場的生物效應(yīng)。比吸收率SAR是射頻電磁場對人體產(chǎn)生熱效應(yīng)大小的衡量數(shù)據(jù)同時也是射頻電磁場安全性評估的重要參數(shù)之一。移動電話等無線通信設(shè)備的SAR可通過實際測量或數(shù)值模擬方法兩種途徑得到。但是實際測量難以準(zhǔn)確地、無損地得到人體受到電磁場照射后，不同組織的電磁能量分布，并且相關(guān)測量設(shè)備價格昂貴，因此通過數(shù)值模擬方法計算SAR是發(fā)展的必然趨勢。

為了比較各種電磁仿真工具，來自世界不同國家的九個實驗室進行國際合作，用同一個CAD （Computer-Aided Design， CAD）移動電話模型進行仿真計算SAR [12]。盡管這九個實驗室使用了相同的移動電話模型，有些實驗室甚至用了相同的電磁仿真軟件，他們的計算結(jié)果在某些區(qū)域卻存在明顯差異，最大差異約為20%，并不是如設(shè)想的那樣計算結(jié)果能夠完全一致。對于SAR這種電磁輻射安全評估參數(shù)，20%的差異是不容忽視的。計算過程中，考慮到各實驗室設(shè)置了不同的網(wǎng)格密度或者CAD移動電話模型放置在頭部模型的位置不完全相同等因素，都可能造成計算結(jié)果出現(xiàn)差異[13-14]。通過以上實驗，研究者證實SAR的數(shù)值仿真中不確定性存在的事實，并且有必要量化該不確定性以完善仿真結(jié)果。因此，國際標(biāo)準(zhǔn)化委員會ICES/IEEE/TC34將SAR數(shù)值模擬計算中的不確定性分析定為相關(guān)研究課題之一。

在文獻[11]中作者將非嵌入式多項式混沌方法等多種非嵌入式方法應(yīng)用于計算移動電話SAR的不確定度。文中采用的CAD移動電話模型以及數(shù)字頭部模型如圖1所示，該模型為雙頻帶諾基亞移動電話模型，型號Neo Free Runner，工作頻率為890MHz和1750MHz。文中作者指出雖然非嵌入式方法相較于MCM效率提高，但是其仍然需要設(shè)置多個配置點，該類方法需要的配置點隨不確定輸入?yún)?shù)的數(shù)量增加而迅速增加，因此當(dāng)計算模型復(fù)雜，不確定輸入?yún)?shù)數(shù)量多的情況下此類方法的計算量隨著增加。此外，各個非嵌入式方法計算配置點的復(fù)雜度也隨著不確定輸入?yún)?shù)的數(shù)量而增加。其次，由于多項式混沌方法中的多項式類型取決于輸入?yún)?shù)的概率密度函數(shù)，該方法需要對大量輸入?yún)?shù)建模，得到先驗知識，從而準(zhǔn)確地選擇多項式混沌方法中的多項式類型，然而，在實際工作中，較難獲得輸入?yún)?shù)的概率密度函數(shù)，因此該類方法的實際應(yīng)用范圍較小[11]。B01A86D0-EB3A-46CC-A46F-BC0598190637

3 嵌入式多項式混沌方法

嵌入式多項式混沌方法不需要設(shè)置配置點，通過一次計算得到輸出結(jié)果的不確定度，可提高計算效率。但是，多項式混沌方法與內(nèi)部算法結(jié)合的過程非常復(fù)雜，根據(jù)內(nèi)部算法特點，結(jié)合形式不同。Edwards[15]將多項式混沌方法代入到時域有限差分法（Finite-Difference Time-Domain， FDTD）的迭代過程以計算輸出結(jié)果的不確定度、均值等統(tǒng)計特性，該方法為量化FDTD計算結(jié)果的不確定性打開了一扇門。Edwards將該方法應(yīng)用到計算模型簡單的電磁問題，考慮了有3個不確定輸入?yún)?shù)存在的情況，并且通過假設(shè)不確定輸入?yún)?shù)服從正態(tài)分布以得到先驗知識從而選擇對應(yīng)的多項式類型。對于復(fù)雜計算模型涉及輸入?yún)?shù)數(shù)量多，F(xiàn)DTD的吸收邊界條件復(fù)雜以及不同吸收邊界對應(yīng)的多項式展開形式等問題沒有深入研究討論。

基于Edwards的研究，在文獻[16]中，作者提出一種改進的嵌入式多項式混沌方法，并將其應(yīng)用于探地雷達（Ground Penetrating Radar，GPR）的數(shù)值仿真計算中。文章指出利用探地雷達對土壤質(zhì)量檢測可以實現(xiàn)原地的無損檢測，其掃描面積大、檢測速度快、檢測表面無須做特殊的處理，相比于傳統(tǒng)的方式更加經(jīng)濟、快捷[17-22]。然而，在GPR正演模擬中，輸入?yún)?shù)可能是不確定的，例如，干土壤的相對介電常數(shù)在 2-6范圍內(nèi)變化，導(dǎo)致模擬計算結(jié)果中存在不確定性。為使GPR正演模擬結(jié)果更加可靠，有必要針對探地雷達建模仿真進行不確定性分析。在文獻[16]中，作者將輔助微分方程時域有限差分法與廣義多項式混沌展開方法結(jié)合即改進的嵌入式多項式混沌方法，并應(yīng)用該方法對色散土壤模型中的不確定參數(shù)引起不確定度進行量化、分析，得到數(shù)值仿真結(jié)果的不確定度。

與非嵌入式多項式混沌方法相比，結(jié)合多項式混沌方法和輔助微分方程時域有限差分法的嵌入式多項式混沌算法可一次性得到數(shù)值仿真的輸出結(jié)果，以及輸出結(jié)果的不確定度、均值等統(tǒng)計特性，不需要設(shè)置配置點，需要的計算量將顯著減少。該方法主要缺陷表現(xiàn)在：計算復(fù)雜度會隨著輸入不確定參數(shù)集維數(shù)增加而迅速增加，顯然這對于輸入不確定參數(shù)集維數(shù)較大的情況是不適用的;廣義多項式混沌展開通常在仿真模型輸入?yún)?shù)變化不大的情況下，可得到的較理想的不確定分析結(jié)果。但是在輸入?yún)?shù)變化較劇烈，引起數(shù)值仿真輸出結(jié)果較大波動的情況下，該方法很可能達不到預(yù)期的結(jié)果。多項式混沌方法中的多項式類型取決于輸入?yún)?shù)的概率密度函數(shù)，該方法需要得到輸入?yún)?shù)的先驗知識。

4 基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的不確定性分析方法

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Artificial Neural Network， ANN）被廣泛地應(yīng)用于電磁計算領(lǐng)域。在文獻[23]中，作者提出構(gòu)造一種基于ANN的代理模型，對探地雷達數(shù)值仿真中的不確定性進行分析、量化。論文中作者對二維探地雷達系統(tǒng)建模仿真中因色散有損土壤介質(zhì)的不確定性參數(shù)所引起的仿真輸出結(jié)果的不確定性量化分析方法進行研究。通過ANN對訓(xùn)練樣本的學(xué)習(xí)，可以獲得GPR正演模擬模型輸入與輸出間的內(nèi)在規(guī)律，全角從而取代全波仿真快速預(yù)測正演模擬的輸出，故稱為代理模型。根據(jù)這些預(yù)測值可以量化GPR正演模擬輸出信號的不確定性、均值等統(tǒng)計量。

該代理模型融合了一個多層感知器（Multilayer Perceptron，MLP）和一個稀疏自動編碼器ANN。由于GPR正演模擬輸出結(jié)果是高維數(shù)據(jù)（輸入為低維數(shù)據(jù)），一個具有簡單輸入輸出關(guān)系的MLP在處理相對較少數(shù)量的高維訓(xùn)練樣本時，會因為訓(xùn)練樣本不足，訓(xùn)練數(shù)據(jù)特征缺失，進而產(chǎn)生不準(zhǔn)確的預(yù)測結(jié)果，行之有效的特征學(xué)習(xí)方法至關(guān)重要。因此，在模型的設(shè)計過程中引入了一個經(jīng)過預(yù)先訓(xùn)練好的稀疏自動編碼器ANN，它包含兩個獨立的網(wǎng)絡(luò)，即編碼器（編碼神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)）和解碼器（解碼神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)）。這兩個獨立的網(wǎng)絡(luò)分別用于高維數(shù)據(jù)的降維與重構(gòu)，即在訓(xùn)練過程中將高維數(shù)據(jù)映射到低維數(shù)據(jù)空間中;在輸出預(yù)測結(jié)果過程中根據(jù)低維特征重構(gòu)出與之對應(yīng)的原始高維數(shù)據(jù)結(jié)果。文中對構(gòu)建ANN代理模型的關(guān)鍵問題，如隱藏層激活函數(shù)的選擇、如何抑制過擬合現(xiàn)象等，進行了詳細(xì)的比較分析。結(jié)果顯示：相較于ReLU函數(shù)、LReLU函數(shù)與PReLU函數(shù)，選擇ELU函數(shù)作為替代模型隱藏層激活函數(shù)可獲得較為理想的網(wǎng)絡(luò)性能。最后，經(jīng)具體應(yīng)用案例模擬仿真驗證分析，在相同的數(shù)值模型、不確定性輸入?yún)?shù)個數(shù)，以及參數(shù)變化范圍為10%的前提條件下，通過ANN替代模型所得不確定性分析結(jié)果與傳統(tǒng)基于MCM法所得結(jié)果具有較好的一致性，且相較于后者，前者計算時間效率顯著提升。

該方法的不足之處是土壤模型較為簡單，其被假設(shè)為均勻介質(zhì)，沒有考慮土壤的孔隙率等因素，計算模型與實際探地雷達系統(tǒng)相差較大，有待完善電磁仿真模型，考慮現(xiàn)實應(yīng)用中的真實情況進行非均勻介質(zhì)建模仿真。盡管該方法中的ANN訓(xùn)練時間以及預(yù)測時間相對MCM較短，但是為了得到ANN的訓(xùn)練樣本，仍然耗時進行多次全波仿真，訓(xùn)練成本較高，有待進一步減少ANN所需訓(xùn)練樣本數(shù)，減少時間消耗，提高效率。

5 結(jié)論

從國內(nèi)外的研究現(xiàn)狀來看，目前在計算電磁學(xué)領(lǐng)域，已經(jīng)有研究者針對數(shù)值計算中的不確定度進行研究，但是針對某一具體模型的不確定性分析的研究較少，且不夠深入，例如，針對探地雷達正演模擬中的不確定分析，已有的研究中探地雷達模型較為理想化、簡單化，模型有待完善，不確定輸入?yún)?shù)數(shù)量較少，與實際情況有較大差距，需結(jié)合實際應(yīng)用進一步完善計算模型，并進行不確定性分析。

此外，基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的不確定性分析方法還處于初步探索階段，是具有較大潛力的不確定度計算方法。應(yīng)用該方法計算數(shù)值模擬計算中的不確定度時，待解決的關(guān)鍵問題有以下幾點：

（1） 如何減少ANN訓(xùn)練樣本的個數(shù)，減少訓(xùn)練成本和時間，防止過擬合，提高效率;

（2） 如何提升ANN模型的魯棒性，輸出穩(wěn)定的預(yù)測結(jié)果。B01A86D0-EB3A-46CC-A46F-BC0598190637

參考文獻：

[1] B. Sudret， Uncertainty propagation and sensitivity analysis in mechanical models Contributions to structural reliability and stochastic spectral methods. HDR， Université Blaise Pascal， France， 2007.

[2] Allen M R，Stainforth D A.Towards objective probabalistic climate forecasting[J].Nature，2002，419（6903）：228.

[3] AIAA U.Guide for the verification and validation of computational fluid dynamics simulations[J].American Institute of Aeronautics and Astronautics，1998：1-29.

[4] IEEE P1597.1， Standard for validation of computational electromagnetics computer modelling and simulation. IEEE Standards， 2008.

[5] McKay M D，Beckman R J，Conover W J.Comparison of three methods for selecting values of input variables in the analysis of output from a computer code[J].Technometrics，1979，21（2）：239-245.

[6] Wiener N.The homogeneous chaos[J].American Journal of Mathematics，1938，60（4）：897.

[7] Ghanem R.Stochastic finite elements with multiple random non-Gaussian properties[J].Journal of Engineering Mechanics，1999，125（1）：26-40.

[8] Ghanem R.Ingredients for a general purpose stochastic finite elements implementation[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，1999，168（1/2/3/4）：19-34.

[9] Xiu D B，Karniadakis G E.Modeling uncertainty in flow simulations via generalized polynomial chaos[J].Journal of Computational Physics，2003，187（1）：137-167.

[10] M. Berveiller， Stochastic finite elements ： intrusive and non intrusive methods for reliability analysis.Thèse de doctorat， Université Blaise Pascal， Clermont-Ferrand， 2005.

[11] Cheng X，Monebhurrun V.Application of different methods to quantify uncertainty in specific absorption rate calculation using a CAD-based mobile phone model[J].IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility，2017，59（1）：14-23.

[12] Yee K N.Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media[J].IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1966，14（3）：302-307.

[13] IEEE/IEC62704-1， Determining the peak spatial-average specific absorption rate （SAR） in the human body from wireless communications devices， 30 MHz–6 GHz. Part 1： General requirements for using the finite-difference time-domain （FDTD）method for SAR calculations. Draft， May 2013.

[14] IEEE/IEC62704-3， Determining the peak spatial-average specific absorption rate（SAR） in the human body from wireless communications devices， 30 MHz–6 GHz.Part 3： Specific requirements for using the finite-difference time-domain （FDTD） method for SAR calculations of mobile phones. Draft， May 2013.B01A86D0-EB3A-46CC-A46F-BC0598190637

[15] R. S. Edwards， Uncertainty Analyses in Computational Electromagnetism. PhD thesis， the University of York， UK， 2009.

[16] Cheng X，Shao W，Wang K，et al.Uncertainty analysis in dispersive and lossy media for ground-penetrating radar modeling[J].IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters，2019，18（9）：1931-1935.

[17] Wei X K，Zhang X Q，Diamanti N，et al.Subgridded FDTD modeling of ground penetrating radar scenarios beyond the courant stability limit[J].IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing，2017，55（12）：7189-7198.

[18] Hahm J，Kim S D，Kim D，et al.Frequency-shifting-based B2D-DCT-PCA for handheld landmine detection using GPR data[J].IEEE Geoscience and Remote Sensing Letters，2021，18（9）：1560-1564.

[19] Taflove A，Hagness S C.Computational electrodynamics：the finite-difference time-domain method.2nd ed[M].Boston， MA， USA：：Artech House，Inc.，2000.

[20] Zeng Z F，Chen X，Li J，et al.Recursive impedance inversion of ground-penetrating radar data in stochastic media[J].Applied Geophysics，2015，12（4）：615-625.

[21] Jiang Z M，Zeng Z F，Li J，et al.Simulation and analysis of GPR signal based on stochastic media model with an ellipsoidal autocorrelation function[J].Journal of Applied Geophysics，2013，99：91-97.

[22] Liu L B，Li Z H，Arcone S，et al.Radar wave scattering loss in a densely packed discrete random medium：numerical modeling of a box-of-boulders experiment in the Mie regime[J].Journal of Applied Geophysics，2013，99：68-75.

[23] Cheng X，Shao W，Wang K，et al.An ANN-based surrogate model for wave propagation in uncertain media[J].Waves in Random and Complex Media，2021：1-14.

【通聯(lián)編輯：梁書】B01A86D0-EB3A-46CC-A46F-BC0598190637