張肖肖，張賜寶，秦強(qiáng)，叢琳華

中國飛機(jī)強(qiáng)度研究所，陜西 西安 710065

隨著復(fù)合材料（復(fù)材）在飛機(jī)制造領(lǐng)域的使用日益廣泛[1-2]，在考慮復(fù)材傳熱性能進(jìn)行熱應(yīng)力分析或者環(huán)控系統(tǒng)等相關(guān)設(shè)計(jì)時(shí)需要復(fù)材不同溫度下的熱導(dǎo)率數(shù)據(jù)。由于復(fù)合材料的各向異性和可設(shè)計(jì)性，即使對(duì)于相同基體、相同纖維、相同纖維體積分?jǐn)?shù)組成的復(fù)合材料，由于其鋪層順序不同，導(dǎo)致其熱導(dǎo)率數(shù)據(jù)存在差異，并且在X向、Y向和Z向呈現(xiàn)出顯著差別。通過試驗(yàn)測(cè)試可以獲取復(fù)材試樣不同方向的熱導(dǎo)率，但必須制造測(cè)試試樣，此外存在測(cè)試周期較長、測(cè)試對(duì)硬件條件依賴度高等問題，對(duì)于采用新的鋪層順序設(shè)計(jì)的層合板，又需要重新制造試樣進(jìn)行測(cè)試，不能滿足結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的縮短周期需求，無法支撐復(fù)材結(jié)構(gòu)優(yōu)化、環(huán)控系統(tǒng)設(shè)計(jì)等的快速評(píng)估迭代，因此需要研究復(fù)合材料層合板不同方向熱導(dǎo)率的預(yù)測(cè)方法。

目前，有多種碳纖維復(fù)合材料面內(nèi)和厚度方向熱導(dǎo)率計(jì)算模型[3-5]。李仕通[3]梳理了在不同鋪層角度情況下碳纖維復(fù)合材料（CFRP）單向鋪層面內(nèi)和厚度方向熱導(dǎo)率計(jì)算模型及測(cè)試方法，分析了不同樹脂體系和增強(qiáng)體，以及工藝方法等因素對(duì)CFRP熱導(dǎo)率的影響。鐘軼峰[4]采用單胞變分漸近均勻化方法構(gòu)建了一種新的細(xì)觀力學(xué)模型來預(yù)測(cè)非均質(zhì)復(fù)合材料的有效熱導(dǎo)率，該模型并不適用于由單向鋪層組成的復(fù)材層合板。李仕通[5]還研究了鋪層角度對(duì)三種復(fù)材層合板導(dǎo)熱性能的影響規(guī)律，采用解析方法、有限元方法，以及數(shù)值擬合方法建立了碳纖維復(fù)合材料導(dǎo)熱性能預(yù)測(cè)模型，并與試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗(yàn)證分析，其研究的是單向鋪層并非混雜鋪層。以上研究多針對(duì)單向鋪層預(yù)測(cè)，并且普遍依賴基體和纖維的熱導(dǎo)率數(shù)據(jù)，因此在使用前需要先獲取基體、纖維的相關(guān)數(shù)據(jù)，不能直接以一般混雜鋪層試樣的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分析出單向鋪層熱導(dǎo)率，更難以應(yīng)用于混雜鋪層熱導(dǎo)率的預(yù)測(cè)。參考文獻(xiàn)[6]在對(duì)復(fù)材蒙皮與內(nèi)飾組合結(jié)構(gòu)熱阻預(yù)測(cè)過程中，將特定混雜鋪層的復(fù)材Z向熱導(dǎo)率實(shí)測(cè)值進(jìn)行擬合來預(yù)測(cè)不同溫度下的熱導(dǎo)率，并未對(duì)Z向熱導(dǎo)率與各角度鋪層之間的關(guān)系進(jìn)行探討。目前也有采用有限元法來預(yù)測(cè)復(fù)合材料有效熱導(dǎo)率的相關(guān)研究[7-11]。例如，程磊[7]建立以不同體積球形顆粒填充型復(fù)合材料模型，預(yù)測(cè)了相應(yīng)顆粒體積填充量下的有效熱導(dǎo)率，該模型不能用于預(yù)測(cè)纖維增強(qiáng)層合板的熱導(dǎo)率預(yù)測(cè)。左可軍[9]研究了平紋編織結(jié)構(gòu)的三維纖維隨機(jī)模型，該模型可給出三維編織復(fù)合材料的等效熱導(dǎo)率，并不對(duì)X、Y、Z向進(jìn)行區(qū)分。有限元法預(yù)測(cè)則對(duì)分析模型的準(zhǔn)確性要求更高，十分依賴使用者的經(jīng)驗(yàn)，不易操作，適用于計(jì)算顆粒增強(qiáng)型、編織體型等微觀結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜的復(fù)合材料熱導(dǎo)率。目前缺少能夠直接根據(jù)一般混雜鋪層層合板熱導(dǎo)率實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)未測(cè)試的混雜鋪層試樣在X、Y和Z向熱導(dǎo)率進(jìn)行預(yù)測(cè)的方法。

本文基于穩(wěn)態(tài)傳熱理論，建立復(fù)材層合板Z向、X/Y向熱導(dǎo)率與單一角度鋪層熱導(dǎo)率的關(guān)系式，按照線性方程組求解和統(tǒng)計(jì)思想，從少量實(shí)測(cè)熱導(dǎo)率數(shù)據(jù)中計(jì)算得到單一角度鋪層的熱導(dǎo)率平均值，再根據(jù)該關(guān)系式來計(jì)算待測(cè)試樣的熱導(dǎo)率預(yù)測(cè)值，最后通過對(duì)比實(shí)測(cè)值與預(yù)測(cè)值的相對(duì)誤差，分析本文預(yù)測(cè)方法的正確性。

1 Z向熱導(dǎo)率預(yù)測(cè)方法

Z向傳熱串聯(lián)模型如圖1所示，Z向熱導(dǎo)率預(yù)測(cè)方法的計(jì)算思路如圖2 所示。對(duì)于每一個(gè)熱導(dǎo)率實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)Ke，其對(duì)應(yīng)試樣的等效熱阻

圖1 Z向傳熱串聯(lián)模型Fig.1 Series‐wound thermal conduction model in Z‐orientation

圖2 Z向熱導(dǎo)率預(yù)測(cè)方法示意圖Fig.2 Scheme of the prediction method for thermal conductivity in Z‐orientation

式中:d為復(fù)材試樣厚度。由于在激光導(dǎo)熱儀（LFA）的激光脈沖作用下試樣的溫升幅度很小，可以認(rèn)為各鋪層的溫度相同，因此相同角度鋪層的熱導(dǎo)率相同，同時(shí)由于各鋪層厚度相同可以得到相同角度鋪層的熱阻相同。根據(jù)串聯(lián)熱阻理論，可以得到試驗(yàn)件等效熱阻等于各向鋪層的熱阻之和

式中:下標(biāo)代表單一鋪層角度；Rt為復(fù)材試樣的等效熱阻；N為試樣中當(dāng)前角度鋪層的總層數(shù)；R為相應(yīng)角度鋪層的熱阻，式(2)消去單層厚度后認(rèn)為R=K-1，K為該角度鋪層的熱導(dǎo)率，此時(shí)Rt=Nt/Ke，Nt為試樣鋪層層數(shù)。

對(duì)于每一個(gè)混雜鋪層試樣的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，都可以根據(jù)式(2)得到一個(gè)以R0、R45、R-45、R90為未知數(shù)的四元一次方程。求解4個(gè)未知數(shù)至少需要4個(gè)方程聯(lián)立，從同一溫度下各個(gè)試樣實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的四元一次方程中進(jìn)行任意組合，這樣的方程組一共有C4n個(gè)（n為當(dāng)前溫度下實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)），每一組方程組均為以下形式

式中:上標(biāo)代表不同樣本的編號(hào)。

根據(jù)線性代數(shù)理論，線性方程組AX=B的解為X=A-1B，前提是矩陣A滿秩，每求解一組式(3)表示的方程組便得到一組R0、R45、R-45、R90的值。求解所有存在數(shù)學(xué)解的方程組，考慮到熱阻均大于0，再篩選出滿足物理意義的數(shù)學(xué)解，形成大樣本的各向鋪層熱阻數(shù)據(jù)，便得到分別關(guān)于R0、R45、R-45、R90數(shù)值的4 個(gè)樣本。再計(jì)算得到此樣本的平均值，便得到了不同溫度下-45°、45°、0°和90°鋪層熱阻平均值、。然后，根據(jù)待預(yù)測(cè)試樣的鋪層順序，再次采用串聯(lián)熱阻理論，計(jì)算得到當(dāng)前鋪層復(fù)材的熱阻預(yù)測(cè)值

再結(jié)合該試樣鋪層層數(shù)N便可得Z向熱導(dǎo)率預(yù)測(cè)值

2 X/Y向熱導(dǎo)率預(yù)測(cè)方法

X/Y向傳熱并聯(lián)模型如圖3所示，根據(jù)傳遞的總熱量一致，可以建立以下方程

圖3 X/Y向傳熱并聯(lián)模型Fig.3 Shunt‐wound thermal conduction model in X/Y‐orientation

式中:下標(biāo)代表單一鋪層角度；N為相應(yīng)角度鋪層的層數(shù)；A為相應(yīng)角度鋪層的橫截面積；x為試樣厚度；Atotal為試樣總截面積；Ke為復(fù)材試樣的等效熱導(dǎo)率；ΔT為熱端與冷端的溫差。式(6)可進(jìn)一步簡化為

式中:r代表各角度鋪層占總層數(shù)的比例。

當(dāng)?shù)玫揭慌嚇拥膶?shí)測(cè)數(shù)據(jù)之后，可以利用式(7)參照Z向熱導(dǎo)率的預(yù)測(cè)方法求出同一溫度下-45°、45°、0°和90°鋪層熱導(dǎo)率平均值，然后再利用式(7)求出待預(yù)測(cè)鋪層的X/Y向熱導(dǎo)率。但是，從式(7)中可以看到，X向或Y向熱導(dǎo)率與不同角度鋪層的占比有關(guān)，由于LFA 檢測(cè)區(qū)域內(nèi)包含的只是一部分鋪層（見圖4），測(cè)試獲取的并不是試樣整體沿X向或Y向的等效熱導(dǎo)率，并且受檢測(cè)區(qū)域形狀影響，不同角度鋪層在其中的位置不同則橫截面積不同，式(7)并不適用，單層鋪層對(duì)測(cè)得的熱導(dǎo)率數(shù)據(jù)的貢獻(xiàn)跟其處在檢測(cè)區(qū)域中的位置有關(guān)。

圖4 LFA檢測(cè)區(qū)域示意圖Fig.4 Sketch map of detection area of LFA

當(dāng)試樣為單一角度θ鋪層時(shí)，如純0°鋪層、純45°鋪層，由于該角度所有鋪層的總面積等于試樣總面積，式(7)可以簡化為

式中:Kθ為該角度鋪層的熱導(dǎo)率。從式(8)可以看到，對(duì)于單一角度鋪層的試樣，測(cè)得的熱導(dǎo)率可以認(rèn)為是該角度鋪層的熱導(dǎo)率。通過測(cè)試由單一角度鋪層組成的層合板X向和Y向熱導(dǎo)率，就可以采用式(7)對(duì)常規(guī)非單一角度鋪層的熱導(dǎo)率進(jìn)行計(jì)算。由對(duì)稱性可知，0°鋪層的X向和Y向熱導(dǎo)率應(yīng)分別與90°鋪層的Y向和X向熱導(dǎo)率相同，而45°鋪層的X向和Y向熱導(dǎo)率與-45°鋪層相同，因此在實(shí)際測(cè)試中只需要測(cè)試純0°鋪層和純45°鋪層的試樣在X向和Y向的熱導(dǎo)率，就可以采用式(7)預(yù)測(cè)采用常規(guī)鋪層方式的試樣的熱導(dǎo)率。

3 熱導(dǎo)率測(cè)試

試樣為88種采用不同鋪層方式的復(fù)合材料層合板，平面尺寸分為8mm×8mm和10mm×10mm兩種，厚度2～6mm，每種試驗(yàn)件有兩件，共計(jì)176件，用于測(cè)試Z向熱導(dǎo)率的試驗(yàn)件有28種共56件，用于測(cè)試X/Y向熱導(dǎo)率的試驗(yàn)件均為30 種共60 件。試驗(yàn)件外形如圖5 所示，取樣方向如圖6 所示，部分鋪層信息見表1，X向和Y向試樣中包含純0°和純45°鋪層試樣，其余均為一般混雜鋪層，并且除單一角度鋪層試樣外，X向和Y向試樣的鋪層順序是Z向試驗(yàn)鋪層的若干次循環(huán)疊加，以滿足測(cè)試對(duì)試樣平面尺寸的要求。每件試驗(yàn)件依次進(jìn)行-70℃、-50℃、-30℃、-10℃、10℃、30℃、50℃、70℃、90℃共9種溫度環(huán)境下的熱導(dǎo)率測(cè)試。測(cè)試裝置為耐馳LFA467激光導(dǎo)熱儀（見圖7）。

表1 試樣鋪層順序Table 1 Stacking sequence of test samples

圖5 試樣Fig.5 Test samples

圖6 取樣方向Fig.6 Sampling orientation

圖7 LFA467激光導(dǎo)熱儀Fig.7 LFA467 laser flash apparatus

4 預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值對(duì)比

首先利用表1 中Z向試樣實(shí)測(cè)得到的28 種鋪層在9 種溫度環(huán)境下的Z向熱導(dǎo)率實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)（共計(jì)252個(gè)），以及X/Y向試樣實(shí)測(cè)得到的30種鋪層在9種溫度環(huán)境下的X/Y向熱導(dǎo)率實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)（X、Y向各270個(gè)），按照前述熱導(dǎo)率預(yù)測(cè)方法計(jì)算得到各試樣在相應(yīng)溫度下的熱導(dǎo)率預(yù)測(cè)值。為分析熱導(dǎo)率預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)精度，對(duì)比實(shí)測(cè)值與相應(yīng)鋪層順序下的預(yù)測(cè)值之間的相對(duì)誤差，相對(duì)誤差按式（9）計(jì)算

將預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值的相對(duì)誤差分別在1%、3%、5%、10%、15%和20%以內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，計(jì)算不同相對(duì)誤差范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)占比，三個(gè)方向預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值相對(duì)誤差分布情況如圖8～圖10所示。由此可以看到，在當(dāng)前測(cè)試數(shù)據(jù)下96%的Z向熱導(dǎo)率和97%的X向熱導(dǎo)率預(yù)測(cè)值和實(shí)測(cè)值相對(duì)誤差在20%以內(nèi)，85%的Y向預(yù)測(cè)值和實(shí)測(cè)值相對(duì)誤差在20%以內(nèi)。相較于參考文獻(xiàn)[5]中基于纖維和基體熱導(dǎo)率，采用三種預(yù)測(cè)模型得到的單向鋪層熱導(dǎo)率預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果之間僅有40%（parallel model）、67%（network model G）、7%（network model H）的數(shù)據(jù)相對(duì)誤差在20%以內(nèi)，本方法預(yù)測(cè)精度較高。此處X向和Y向熱導(dǎo)率預(yù)測(cè)值是采用純0°鋪層和純45°鋪層的熱導(dǎo)率數(shù)據(jù)按照式(7)進(jìn)行預(yù)測(cè)的，在前述內(nèi)容中提到對(duì)于一般混雜鋪層，LFA測(cè)試到的不是試樣整體沿X向或Y向的等效熱導(dǎo)率，之所以預(yù)測(cè)值仍然與LFA 實(shí)測(cè)值整體比較接近，是由于用于測(cè)試X向和Y向熱導(dǎo)率的試樣鋪層方式為一定鋪層順序的循環(huán)排列，因此檢測(cè)區(qū)域的傳熱特性與整體的傳熱特性比較接近。

圖8 Z向預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值相對(duì)誤差分布情況Fig.8 Distribution of relative error between the predicted and test value in Z‐orientation

圖9 X向預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值相對(duì)誤差分布情況Fig.9 Distribution of relative error between the predicted and test value in X‐orientation

圖10 Y向預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值相對(duì)誤差分布情況Fig.10 Distribution of relative error between the predicted and test value in Y‐orientation

5 結(jié)論

針對(duì)一般混雜鋪層的復(fù)合材料層合板，提出了預(yù)測(cè)其X向、Y向和Z向等效熱導(dǎo)率的預(yù)測(cè)方法，指出了LFA 在測(cè)試層合板X/Y向等效熱導(dǎo)率方面的局限性，得到了以下結(jié)論:

（1）混雜鋪層層合板等效熱導(dǎo)率與單向鋪層熱導(dǎo)率的關(guān)系可以用X/Y向熱導(dǎo)率并聯(lián)傳熱模型、Z向熱導(dǎo)率串聯(lián)傳熱模型描述。

（2）LFA 在測(cè)試單一角度鋪層試樣X/Y向熱導(dǎo)率時(shí)可以認(rèn)為測(cè)得的是等效熱導(dǎo)率，而測(cè)試一般混雜鋪層X/Y向熱導(dǎo)率時(shí)測(cè)得結(jié)果并不代表等效熱導(dǎo)率。

（3）提出的復(fù)材層合板三向熱導(dǎo)率預(yù)測(cè)方法不依賴?yán)w維和基體數(shù)據(jù)、不包含復(fù)雜參數(shù)、適用于混雜鋪層試樣，預(yù)測(cè)精度較高。