金薇 廖新元 佘智鳳

(南華大學數(shù)理學院,衡陽,421001)

1 引言

自伊藤給出隨機微分方程的概念后,人們發(fā)現(xiàn)隨機模型相比于確定性模型更具有現(xiàn)實意義,越來越多的學者通過隨機微分方程建立傳染病模型研究其傳播機制[1–4]. Liu Qun 等人考慮到臨時免疫和潛伏期,在經(jīng)典的傳染病模型中加入時滯項[5,6]. Wei Ming 等人[7]提出了一類具有潛伏期的兩種疾病并行傳播的的SIR 模型.

自2020 年以來,2019 新型冠狀病毒(2019 nCoV,簡稱新冠病毒)及它的變異型德爾塔新冠病毒迅速肆虐全球,給人們的生命造成了極大的威脅[8].疫苗接種是預防新冠肺炎最便捷、最有效的手段.考慮到疫苗的時效性和新冠病毒的變異型,本文在[6,7]的基礎(chǔ)上建立一個新的新冠病毒SIR 模型.

本文將首先在第二節(jié)建立新冠病毒和它的變異型兩者并行傳播的SIR 模型,然后在第三節(jié)通過構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)證明此模型全局正解的存在唯一性,并在第四節(jié)給出疾病滅絕性和持久性的充分條件,最后在第五節(jié)通過數(shù)值模擬驗證本文的主要結(jié)論.

2 模型的建立

自新型冠狀病毒肺炎出現(xiàn)到現(xiàn)在為止,雖然很多人都接種了疫苗,但是病毒在傳播過程中發(fā)生了變異,這無疑給目前的研究帶來了很大的困擾.考慮到疫苗的時效性和病毒的變異型,本文建立如下的SIR 模型:

其中S(t),I1(t),I2(t),R(t)分別表示在t時刻的易感者數(shù)量、未變異的新冠病毒感染者數(shù)量、變異型新冠病毒感染者數(shù)量和免疫者數(shù)量?參數(shù)Λ,μ分別表示人群總體的出生率和死亡率,p表示疫苗接種率,β1,β2分別表示新冠肺炎與其變異型的傳播系數(shù),r1,r2分別表示患該兩種肺炎人群的恢復率?τ表示疫苗的有效期,在t ?τ時刻接種過疫苗的易感者在t時刻喪失免疫力再次成為易感者,由于這部分人群仍存在死亡率,故其在t時刻還活著的概率是e?μτ.

由模型(2.1)可得

故

即

注意到前三個方程不依賴第四個方程,不失一般性,我們僅討論由前三個方程構(gòu)成的簡化模型.

令(Ω,F,{F}t≥0,p)表示帶有濾子{F}t≥0,p且滿足通常條件(單調(diào)遞增、右連續(xù)且包含所有的P 零集)的全概率空間.對區(qū)間[0,∞)上的可積函數(shù)f(t),定義〈f(t)〉=f(s)ds,t>0.

3 全局正解的存在唯一性

定理3.1對于任意的初值(S(0),I1(0),I2(0)),模型(2.2)依概率1 存在全局唯一正解.

證明由于模型(2.2)的系數(shù)滿足局部Lipschitz 條件,因此對于任意初值(S(0),I1(0),I2(0)),模型(2.2)存在一個局部解(S(t),I1(t),I2(t)),t ∈[?τ1,τe),其中τe是爆破時刻.要證明此解是全局的, 只需證明τe=∞. 為此, 取n0充分大, 使得(S(0),I1(0),I2(0))∈[,n0]. 對任意正整數(shù)n>n0,定義停時

當n增大時,τn是遞增的.令τ∞=τn. 接下來證明τ∞=∞.利用反證法,假設τ∞<∞,則存在正整數(shù)T>0 和ε ∈(0,1),使得

從而,存在正整數(shù)n1>n0,使得

定義如下的C3函數(shù)V:→R+:

由It^o 公式可得

取a=min{},則αβi ≤μ+ri(i=1,2). 因此

其中k>0 是一個常數(shù).從而

對(3.2)式兩邊同時從0 到τn ∧T積分,并取期望得

令Ωn={τn ≤T},n ≥n1.由(3.1)式可知,P(Ωn)≥ε.注意到對每個ω ∈Ωn,有S(τn,ω)或I1(τn,ω)或I2(τn,ω)等于或n,且pe?μτS(s)ds恒為正,因此

其中1Ωn是Ωn的示性函數(shù).

令k →∞得

這不可能成立,因此假設不成立,故τ∞=∞.定理3.1 證畢.

4 疾病的滅絕性和持久性

4.1 疾病的滅絕性

引理4.1([9]) 設M={Mt}t≥0是M(t)=0 的實值連續(xù)局部鞅.則有

定理4.1設(S(t),I1(t),I2(t)) 是初始值為(S(0),I1(0),I2(0)) 的模型(2.2) 的解. 若R1<1,R2< 1,≤min{}(i= 1,2),a.s.成立, 則I1(t) =I2(t)=0.其中

證明由模型(2.2)可得

將(4.1)式兩邊從0 到t積分,再除以t得

對上式兩邊從0 到t積分,再除以t得

故

其中

其中

由(4.3)式可得

若

則

4.2 疾病的持久性

定理4.2設(S(t),I1(t),I2(t))是初始值為(S(0),I1(0),I2(0))的模型(2.2)的解. 若

則新冠肺炎及其變異型都持久,且I1(t)和I2(t)滿足

其中

證明 定義V1=lnI1(t)+lnI2(t).由It^o 公式可得

將上式兩邊從0 到t積分,再除以t得

其中

故

又

對(4.4)式取極限便得

定理4.2 證畢.

5 數(shù)值模擬

利用Euler Maruyama 方法[11]對本文的SIR 模型進行數(shù)值模擬,從而驗證主要結(jié)論.參考文獻[12,13],對本文參數(shù)進行取值.

1.取Λ = 0.25,μ= 0.18,p= 0.25,β1= 0.45,β2= 0.55,r1= 0.15,r2= 0.5,σ1= 0.25,σ2=0.2.計算可得R1=1.42,R2=0.877,=1.359,=0.858,≤0.398,≤0.487.此時新冠肺炎持久,而其變異型滅絕,如圖1 所示.

圖1 新冠肺炎持久而其變異型滅絕

2.取Λ = 0.25,μ= 0.18,p= 0.25,β1= 0.45,β2= 0.55,r1= 0.35,r2= 0.15,σ1= 0.25,σ2=0.2.計算可得R1= 0.884,R2= 1.806,= 0.846,= 1.767,≤0.398,≤0.487.此時新冠肺炎滅絕,而其變異型持久,如圖2 所示.

圖2 新冠肺炎滅絕而其變異型持久

上述結(jié)果表明:當R1<1 且R2<1 時,新冠肺炎及其變異型滅絕.當>1 且>1 時,新冠肺炎及其變異型持久.這與定理4.1 和定理4.2 的結(jié)論相符.

3.保持情形1 的其他參數(shù)不變,讓σ1從0.25 增大至0.68,則R1=0.646,=0.19,此時新冠肺炎由持久變?yōu)闇缃^,而其變異型的滅絕性不變.如圖3 所示.

圖3 σ1 =0.68 時,新冠肺炎及其變異型均滅絕

4.保持情形2 的其他參數(shù)不變,讓σ2從0.2 增大至0.7,則R2= 0.935,= 0.452,此時新冠肺炎的滅絕性不變,而其變異型由持久變?yōu)闇缃^.如圖4 所示.

圖4 σ2 =0.7 時,新冠肺炎及其變異型均滅絕

綜上可知:噪聲強度越大,新冠肺炎及其變異型滅絕的時間越短.這說明環(huán)境干擾有利于控制疾病傳播.