桂夷斐， 辛紹杰， 馬建敏

(1.上海電機學院 機械學院，上海 201306； 2.復旦大學 航空航天系，上海 200433)

在許多工程領域，圓柱殼結構被廣泛使用，對用于結構防撞安全及各類變形吸能裝置的圓柱殼，其受沖擊作用下的動力屈曲一直是研究的熱點問題之一。對于經(jīng)典邊界圓柱殼的沖擊問題，許多學者在理論建模、計算方法和試驗研究等方面做了大量工作。Yamaki等[1-3]基于Donnell殼理論并忽略前屈曲，對于受軸向壓縮的圓柱殼得到了很多精確解。幾種不同支承條件下圓柱殼的屈曲特點也被許多學者討論[4-5]。Xu等[6-8]考慮到應力波的傳播作用，對圓柱殼的動態(tài)屈曲進行了研究。Karagiozova等[9-10]基于初始缺陷的假設對圓柱殼使用離散模型進行數(shù)值模擬分析，得到了一些結論。Han等[11]基于能量關系，應用功率原理對彈性圓柱殼在剛體塊軸向沖擊下的動力屈曲問題進行了討論，得到了一些關于臨界速度的結論。桂夷斐等[12-14]采用應力波傳播理論對不同邊界條件以及不同結構類型圓柱殼的動力屈曲進行了研究。

前人對圓柱殼結構的研究集中考慮了經(jīng)典邊界條件的組合，事實上，邊界條件作為影響結構動力特性的重要因素，研究中有必要探究彈性邊界約束對受軸向沖擊圓柱殼動力特性的影響。Mofakhami[15]等提出了一種在不同邊界條件下，適用于多種有限長度的圓柱結構如棒材、空心圓柱和弧形板等的半解析方法，該方法中一些邊界條件使用正交化方法近似滿足。一些學者采用波傳播方法[16-19]來預測具有不同邊界條件的有限長度圓柱殼的特性。Li等[20-21]提出了一種修正的傅里葉級數(shù)法，用于任意彈性支承梁板的動力分析。Fok等[22]用能量法分析了嵌在彈性介質中的長圓柱殼的屈曲問題。Gui等[23]基于能量守恒原理，采用波動分析法討論了軸向彈簧阻尼連接圓柱殼受沖擊的動力屈曲問題。

本文根據(jù)Love薄殼理論得到圓柱殼應力應變關系，并采用一種改進的Fourier級數(shù)方法表示圓柱殼沿坐標軸方向的位移。采用基于Hamilton方程的一階變分法對能量表達式進行推導和變換，得到受軸向沖擊圓柱殼的自然頻率以及屈曲臨界載荷的判別式。算例中設置不同的邊界剛度模擬一般邊界條件，計算分析了一般邊界條件對受軸向沖擊的圓柱殼自然頻率以及屈曲臨界載荷的影響，以及不同邊界條件圓柱殼屈曲模態(tài)的類型特點。

1 模型描述

如圖1所示為一般邊界條件下受軸向沖擊的圓柱殼，定義了柱坐標系(x,θ,z)，x,θ,z分別為軸向、周向和徑向坐標，u,v,w分別為圓柱殼中面的點沿x,θ,z軸方向的位移。圓柱殼長為L，壁厚為h，中面半徑為R，密度為ρ，彈性模量為E，泊松比為μ。kx,kθ,kz和Kz分別為施加于圓柱殼左端(x=L處)x,θ,z方向的線性彈簧和z方向的旋轉彈簧，且沿圓柱殼中面均勻分布。將彈簧剛度設置為不同的數(shù)值，則可模擬一般邊界條件。

圖1 圓柱殼模型及其邊界條件Fig.1 Modeling of the shell and its boundary conditions

圓柱殼的應力應變關系根據(jù)Hooke定律可表示為

(1)

(2)

圓柱殼變形過程中面上點的應變分量可表示為

(3)

圓柱殼變形過程曲面曲率分量可表示為

(4)

式中，θx,θθ分別為沿θ,x軸的轉角。

(5)

對一般邊界條件下受軸向沖擊圓柱殼進行能量分析時，考慮到圓柱殼變形過程中的應力和應變，需要構造可行的位移函數(shù)表示圓柱殼變形過程中的位移u,v,w。

2 位移函數(shù)表達式

考慮到3個方向的位移u,v,w在圓柱殼周向是以2π為周期的函數(shù)，因此可以用Fourier級數(shù)表示位移函數(shù)。一般邊界條件下受軸向沖擊圓柱殼的位移u,v,w采用如式(6)所示的改進Fourier級數(shù)的形式[24]，表示成圓柱殼軸向模態(tài)和周向模態(tài)相乘，且加上補充函數(shù)的形式。

(6)

式中：λm=mπ/L；m,n分別為圓柱殼模態(tài)的軸向和周向波數(shù)；n=0為圓柱殼軸對稱模態(tài)的波數(shù)；位移函數(shù)取不同的軸向波數(shù)m和周向波數(shù)n，可展開成不同階模態(tài)的圓柱殼位移；Amn,an,bn,Bmn,cn,dn,Cmn,en,fn,gn,hn分別為3個方向位移展開式的系數(shù)。

式(6)可寫成如下形式

u=[cosλ0xcos 0θ, cosλ1xcos 0θ,

…,cosλMxcos 0θ,ξ1cos 0θ,ξ2cos 0θ,

…,cosλ0xcosNθ,…,cosλMxcosNθ,

ξ1cosNθ,ξ2cosNθ]U=Ξ1U
v=[cosλ0xsin 0θ, cosλ1xsin 0θ,

…,cosλMxsin 0θ,ξ1sin 0θ,ξ2sin 0θ,

…,cosλ0xsinNθ,…,cosλMxsinNθ,

ξ1sinNθ,ξ2sinNθ]V=Ξ2V
w=[cosλ0xcos 0θ, cosλ1xcos 0θ,

…,cosλMxcos 0θ,η1cos 0θ,

η2cos 0θ,η3cos 0θ,η4cos 0θ,

…,cosλ0xcosNθ,…,cosλMxcosNθ,

η1cosNθ,η2cosNθ,η3cosNθ,

η4cosNθ]W=Ξ3W

(7)

其中

(8)

ξ1,ξ2,η1,η2,η3,η4為構造的輔助函數(shù)；ξ1,ξ2為軸向和周向位移的補充函數(shù)；η1,η2,η3,η4為徑向位移的補充函數(shù)，形式如下

(9)

(10)

構造如式(9)、式(10)所示的輔助函數(shù)并將其引入到Fourier級數(shù)的目的是，消除位移函數(shù)在圓柱殼邊界上空間導數(shù)的不連續(xù)性，即確保一般邊界條件下，邊界力和力矩的連續(xù)性。接下來將圓柱殼應力應變以及位移代入能量表達式，并采用基于Hamilton方程的一階變分法對能量表達式進行處理。

3 能量原理及推導變換過程

采用基于Hamilton方程的一階變分法對圓柱殼進行分析。4個方向邊界彈簧約束下受軸向沖擊圓柱殼的總能量可寫成如下形式

Π=T-(Um+Ub+Ua+Ω)

(11)

圓柱殼中面應變能表達式為

(12)

其中中面上點的應變分量εx,εθ,εxθ如式(3)所示。圓柱殼彎曲應變能表達式為

(13)

其中曲面曲率分量χx,χθ,χxθ如式(4)所示。圓柱殼軸向應變能表達式為

(14)

式中，Na為圓柱殼所受軸向沖擊載荷。動能表達式為

(15)

儲存于邊界彈簧中的彈性勢能表達式為

(16)

式中：C=Eh/(1-μ2);D=Eh3/12(1-μ2)。

將式(12)～式(16)代入式(11)可得

(17)

將式(7)代入式(17)進一步整理得到矩陣形式的表達式

(18)

且

X=[U,V,W]T

(19)

(20)

(21)

(22)

矩陣的詳細表達式見附錄A。

基于Hamilton變分原理的表達式如下

(23)

將式(18)代入式(23)，采用一階變分法，可以給出關于式(23)的矩陣形式如下

(24)

式(24)所對應的廣義特征值問題可以表示為

|K-ω2M|=0

(25)

由方程式(25)可解得一般邊界條件下受軸向沖擊圓柱殼的自然頻率以及發(fā)生屈曲的臨界載荷，利用計算軟件MATLAB對方程式(25)進行編程計算，對自然頻率ω以及臨界載荷Na進行討論。其中隱含在方程式(25)中的軸向波數(shù)m、周向波數(shù)n、軸向邊界剛度kx、周向邊界剛度kθ、徑向邊界剛度kz、徑向旋轉邊界剛度Kz、軸向沖擊載荷Na、自然頻率ω等變量的關系見附錄B。

4 數(shù)值計算結果及分析

分析圓柱殼受軸向沖擊時，設置不同的邊界剛度模擬一般邊界條件，進而分析一般邊界條件對圓柱殼動力屈曲的影響，并且對一般邊界條件下圓柱殼受軸向沖擊的自然頻率進行了討論，本文的結果通過計算軟件MATLAB編程獲得。相對于殼體剛度數(shù)值1×108，無限大的邊界剛度用一個極大的數(shù)值1×1012表示。取圓柱殼參數(shù)L=0.4 m,ρ=2 700 kg/m3,E=70 GPa,μ=0.33。

4.1 一般邊界條件對受軸向沖擊圓柱殼自然頻率的影響

圖2(a)所示為在非沖擊端設置其他3個方向邊界剛度無窮大，僅改變軸向邊界剛度kx時，受軸向沖擊圓柱殼的自然頻率ω隨軸向邊界剛度kx的變化。圖2(b)所示為在非沖擊端設置其他3個方向邊界剛度無窮大，僅改變周向邊界剛度kθ時，受軸向沖擊圓柱殼的自然頻率ω隨周向邊界剛度kθ的變化。圖2(c)所示為在非沖擊端設置其他3個方向邊界剛度無窮大，僅改變徑向邊界剛度kz時，受軸向沖擊圓柱殼的自然頻率ω隨徑向邊界剛度kz的變化。圖2(d)所示為在非沖擊端設置其他3個方向邊界剛度無窮大，僅改變徑向旋轉邊界剛度Kz時，受軸向沖擊圓柱殼的自然頻率ω隨徑向旋轉邊界剛度Kz的變化。從圖2(a)～圖2(d)都可以看出，在邊界剛度一定時，隨著軸向波數(shù)m增加，自然頻率ω增大。即4種不同邊界條件下，軸向波數(shù)越高，圓柱殼自然頻率越高。

圖2 圓柱殼自然頻率隨邊界剛度的變化Fig.2 Variation of natural frequency versus boundary stiffness

圖2(b)、圖2(d)中隨著軸向波數(shù)m增大，各階自然頻率曲線間隔越來越小，說明圓柱殼在周向邊界剛度kθ或徑向旋轉邊界剛度kz一定的情況下，隨著軸向波數(shù)m的增大，相鄰兩軸向波數(shù)對應的自然頻率變化量越來越小。

將圖2(a)～圖2(d)曲線都可分為敏感區(qū)域和非敏感區(qū)域，在敏感區(qū)域殼體自然頻率隨剛度系數(shù)增大快速增大，在非敏感區(qū)域自然頻率隨剛度系數(shù)增大緩慢增大，直至穩(wěn)定不變。軸向、周向、徑向和徑向旋轉各方向剛度系數(shù)較小時為敏感區(qū)域，較大時為非敏感區(qū)域。說明各方向的邊界剛度系數(shù)越小，圓柱殼的自然頻率越低。

圖2(c)中各階自然頻率敏感區(qū)域范圍隨著軸向波數(shù)m增大而減小，說明在敏感區(qū)域，軸向波數(shù)越大，圓柱殼的自然頻率隨徑向邊界剛度kz變化越迅速。且圓柱殼的自然頻率關于4個方向邊界剛度的敏感區(qū)域不同。

圖3根據(jù)式(25)，在4種不同的邊界條件下，通過改變軸向沖擊載荷Na、軸向波數(shù)m、周向波數(shù)n，分析圓柱殼的自然頻率ω的變化規(guī)律。計算中分別只保留軸向(kx=1×104N/m，kθ=kz=kz=∞)、周向(kθ=1×104N/m，kx=kz=Kz=∞)、徑向(k=1×104N/m，kx=kθ=Kz=∞)和徑向旋轉(Kz=1×104N/m，kx=kθ=kz=∞)的單一彈性約束，取h=0.002 m,r=0.04 m。

圖3所示為受軸向沖擊的情況下，在圓柱殼的非沖擊端依次設置為僅保留軸向彈性約束、周向彈性約束、徑向彈性約束、徑向旋轉彈性約束時，自然頻率ω隨軸向沖擊載荷Na的變化關系。在4種不同邊界條件下都可看出，軸向波數(shù)m和周向波數(shù)n一定時，自然頻率ω隨著軸向沖擊載荷Na增大而降低，當自然頻率ω接近零時，軸向沖擊載荷Na接近臨界載荷。且隨著周向波數(shù)n增大屈曲臨界載荷增大，自然頻率ω及屈曲臨界載荷都隨著軸向波數(shù)m的增大而增大。

對比圖3，4種不同邊界條件下自然頻率隨軸向沖擊載荷的變化量可知，圖3(a)和圖3(d)的自然頻率變化量差別不大，圖3(b)和圖3(c)的自然頻率變化量差別不大，且圖3(b)、圖3(c)的自然頻率變化量比圖3(a)、圖3(d)的大。

4.2 一般邊界條件對圓柱殼臨界載荷的影響

圖4根據(jù)式(25)，分析圓柱殼的屈曲臨界載荷Na隨邊界剛度、軸向波數(shù)m、圓柱殼厚徑比(h/R)的變化規(guī)律，此時圓柱殼自然頻率ω=0，周向波數(shù)n=1。接下來的計算中依次將圓柱殼設置為僅保留軸向彈性約束、周向彈性約束、徑向彈性約束、徑向旋轉彈性約束的情形，表示4種不同的邊界情況。僅保留軸向彈性約束時設置邊界條件為kθ=kz=Kz=∞(即x=L處，u≠0,v=w=?w/?x=0)；僅保留周向彈性約束時設置邊界條件為kx=kz=K=∞(即x=L處，ω≠0,u=v=?w/?x=0)；僅保留徑向彈性約束時設置邊界條件為kx=kθ=kz=∞(即x=L處，w≠0,u=v=?w/?x=0)；僅保留徑向旋轉彈性約束時設置邊界條件為kx=kθ=kz=∞(即x=L處，?w/?x=≠0,u=v=w=0)。

圖4(a)所示為在非沖擊端設置其他3個方向邊界剛度無窮大，僅改變軸向邊界剛度kx時，受軸向沖擊圓柱殼的屈曲臨界載荷Na隨軸向邊界剛度kx的變化曲線。圖4(b)所示為在非沖擊端設置其他3個方向邊界剛度無窮大，僅改變周向邊界剛度kθ時，受軸向沖擊圓柱殼的屈曲臨界載荷Na隨周向邊界剛度kθ的變化曲線。圖4(c)所示為在非沖擊端設置其他3個方向邊界剛度無窮大，僅改變徑向邊界剛度kz時，受軸向沖擊圓柱殼的屈曲臨界載荷Na隨徑向邊界剛度kz的變化曲線。圖4(d)所示為在非沖擊端設置其他3個方向邊界剛度無窮大，僅改變徑向旋轉邊界剛度Kz時，受軸向沖擊圓柱殼的屈曲臨界載荷Na隨徑向旋轉邊界剛度Kz的變化曲線。從圖4可以看出，邊界剛度與厚徑比一定時，圓柱殼的屈曲臨界載荷Na隨著軸向波數(shù)m增大而增大，說明軸向波數(shù)越高，圓柱殼越難屈曲。

分析各種邊界條件下，圓柱殼厚徑比(h/R)的改變對屈曲臨界載荷Na的影響，可以看出邊界剛度一定時，隨著厚徑比增大，屈曲臨界載荷值增大。說明一般邊界條件下，厚徑比越大，圓柱殼越難屈曲。

可以將圖4的曲線分成敏感區(qū)域和非敏感區(qū)域，在敏感區(qū)域圓柱殼屈曲臨界載荷隨剛度系數(shù)增大而急劇降低，在非敏感區(qū)域臨界載荷隨剛度系數(shù)增大而緩慢降低，直至不變?？梢钥闯鲚S向、周向、徑向和徑向旋轉各個方向剛度較小時為敏感區(qū)域，較大時為非敏感區(qū)域。說明各個方向的邊界剛度系數(shù)越小，圓柱殼越難屈曲。且圓柱殼的屈曲臨界載荷關于4個方向的邊界剛度的敏感區(qū)域不同。

圖3 圓柱殼自然頻率隨軸向沖擊載荷的變化 Fig.3 The natural frequency versus the axial impact load

圖4 屈曲臨界載荷隨邊界剛度的變化Fig. 4 The critical load versus the boundary stiffness

4.3 不同邊界條件下圓柱殼的周向屈曲模態(tài)

受軸向沖擊的圓柱殼在兩種不同邊界條件下的周向屈曲模態(tài)可根據(jù)式(25)由式(6)得到，分別取n=1,2,3,4,5的5階周向模態(tài),其中m=1,h=0.002 m,R=0.04 m，ω=0。

圖5所示為不同邊界條件下受軸向沖擊圓柱殼的周向屈曲模態(tài)?？梢钥闯鲞吔鐥l件不同，圓柱殼周向屈曲模態(tài)也不同，即圓柱殼受軸向沖擊時，邊界條件的改變會影響周向屈曲模態(tài)形狀。

圖5 受軸向沖擊的圓柱殼周向屈曲模態(tài)Fig.5 Circumferential buckling modes of the cylindrical shell

5 結 論

本文研究了4個方向彈簧約束下受軸向沖擊圓柱殼的動力屈曲，并且對其自然頻率進行了討論。經(jīng)計算分析得到如下結論：

(1)討論了一般邊界條件對受軸向沖擊圓柱殼自然頻率的影響，一般邊界條件下，隨著軸向波數(shù)的增加圓柱殼自然頻率增大。且在敏感區(qū)域，自然頻率隨各個方向邊界剛度增大快速增大，在非敏感區(qū)域，自然頻率隨邊界剛度增大緩慢增大，直至穩(wěn)定不變。圓柱殼的自然頻率關于4個方向邊界剛度的敏感區(qū)域不同。

(2)討論了一般邊界條件對圓柱殼屈曲臨界載荷的影響，一般邊界條件下，圓柱殼厚徑比越大越難屈曲。且隨著軸向波數(shù)的增加圓柱殼的屈曲臨界載荷增大。在敏感區(qū)域，屈曲臨界載荷隨各個方向邊界剛度增大而急劇降低，在非敏感區(qū)域，臨界載荷隨邊界剛度增大而緩慢降低，直至不變。圓柱殼的臨界載荷關于4個方向邊界剛度的敏感區(qū)域不同。

(3)討論了軸向沖擊載荷對一般邊界條件下圓柱殼自然頻率的影響，一般邊界條件下，圓柱殼的自然頻率隨著軸向沖擊載荷增大而降低，且周向邊界剛度和徑向邊界剛度的改變對自然頻率影響比較明顯。隨著周向波數(shù)增大，圓柱殼的屈曲臨界載荷也增大。

(4)討論了一般邊界條件下受軸向沖擊圓柱殼的周向屈曲模態(tài)，圓柱殼受軸向沖擊時，邊界條件的改變會影響周向屈曲模態(tài)形狀。

附錄A

附錄B