陳巖豪， 石梓玉， 向 宇， 陸 靜， 王玉江

(1. 廣西科技大學(xué) 廣西汽車零部件與整車技術(shù)重點實驗室，廣西 柳州 545006；2. 廣西科技大學(xué) 機(jī)械與交通工程學(xué)院，廣西 柳州 545006)

波疊加法(或稱等效源法)自Koopmann等[1]提出以來，因其具有無網(wǎng)格、精度高、適用于任意形狀結(jié)構(gòu)等諸多優(yōu)點，已被廣泛應(yīng)用于各種聲學(xué)問題的計算中[2-6]。該方法是一種多點單極法[7-8]，其基本原理是在聲源面內(nèi)縮的一個封閉虛擬曲面上布置離散單極子源或偶極子源來表示聲源向外輻射的聲場。由于虛擬源與振動面不重合，避免了邊界元法所帶來的復(fù)雜插值運算和奇異積分處理。然而，波疊加法雖具有上述諸多優(yōu)點，但將其應(yīng)用于聲全息計算時，所形成的傳遞矩陣通常是一個大條件數(shù)的病態(tài)矩陣，極易導(dǎo)致求逆過程中重建結(jié)果對輸入誤差的高度敏感性。

為了改善波疊加法傳遞矩陣的病態(tài)性，以往的方法大多側(cè)重于優(yōu)化等效源的位置。Valdivia等[6-9]從數(shù)值積分的角度對比了波疊加法和邊界元法后提出等效源背離重建面越遠(yuǎn)，積分的奇異性就越弱，數(shù)值逼近的誤差也越低，但過大的背離距離會加劇傳遞矩陣病態(tài)，嚴(yán)重影響重建穩(wěn)定性。因此，為了同時保證計算精度和穩(wěn)定性，等效源位置的選取需同時兼顧奇異性與病態(tài)性[9-11]。Bai等[12]提出了一種基于黃金分割搜索和拋物線插值的等效源位置優(yōu)化算法。Gounot等[13-15]設(shè)計了一種遺傳算法以搜索少量單極子等效源的最佳位置，但這種搜索算法對于大量的等效源效果并不理想。Wu等[16]提出了一種通過最小歸一化速度重建誤差來確定最佳等效源位置的方法，并設(shè)計了一個頻率閾值準(zhǔn)則，獲得了較好的聲壓預(yù)測精度。Bai等在總結(jié)了等效源位置優(yōu)化的相關(guān)研究后指出，等效源最佳位置的選擇仍然是一個復(fù)雜的問題，因為它同時取決于頻率、聲源性質(zhì)、倏逝波的含量、傳感器和虛擬源的分布方式等。由此可見，等效源最優(yōu)位置的選取至今尚無一個成熟有效的方法[17]。作者對傳統(tǒng)波疊加法聲全息技術(shù)中傳遞矩陣的病態(tài)性進(jìn)行分析后發(fā)現(xiàn)，其導(dǎo)致病態(tài)的原因是使用了無指向性的球面形式波函數(shù)。進(jìn)而，從優(yōu)化波函數(shù)的角度出發(fā)，提出了一種利用指向性波函數(shù)替代傳統(tǒng)球面波函數(shù)以改善傳遞矩陣病態(tài)性的射線波函數(shù)法，在提高重建穩(wěn)定性方面取得了一定效果[18-19]。但是，由于該方法采用格林函數(shù)的方向?qū)?shù)作為射線波函數(shù)，其指向性隨求導(dǎo)階數(shù)離散變化，此類離散型射線波函數(shù)無法針對不同重建模型聲場的特性連續(xù)調(diào)節(jié)其指向性，很難獲得最佳的指向性強(qiáng)度，在某些情況下甚至?xí)?dǎo)致重建失敗。

為了進(jìn)一步提高射線波函數(shù)法的重建精度和穩(wěn)定性，本文通過聲場重建實例分析了格林函數(shù)導(dǎo)數(shù)型射線波函數(shù)法的缺陷。然后，通過射線波函數(shù)法與標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov正則化方法的類比，提出并構(gòu)造了一種可連續(xù)調(diào)節(jié)指向性強(qiáng)度的新型射線波函數(shù)，該函數(shù)由0階射線波函數(shù)和帶組合參數(shù)的m階射線波函數(shù)構(gòu)成，通過改變組合參數(shù)，可以連續(xù)調(diào)節(jié)波函數(shù)的指向性強(qiáng)度以適應(yīng)不同的重建模型聲場。最后，利用球面活塞聲源、隨機(jī)點聲源以及簡支板聲源驗證了本文提出的組合型射線波函數(shù)在聲場重建中的效果。計算結(jié)果表明，組合型射線波函數(shù)可有效改善離散型射線波函數(shù)的缺陷，在兩者具有同樣計算精度的前提下，其傳遞矩陣的條件數(shù)顯著降低，甚至在某些離散型射線波函數(shù)法失效的情況下，組合型射線波函數(shù)仍能保持較好的精度和穩(wěn)定。

1 射線波函數(shù)波疊加法的基本原理

眾所周知，基于波疊加法的近場聲全息是通過測量振動體近場區(qū)域的聲場信息，并求解出布置于聲源內(nèi)部一系列等效源的源強(qiáng)，進(jìn)而利用這些等效源重建出聲源的輻射聲場。假設(shè)在全息面測量M個測點的聲壓，并在聲源內(nèi)布置N個單極子等效源，則可得到如下矩陣方程[20]

PH=GHQG

(1)

式中：PH=[p(rH1),p(rH2),…,p(rHM)]T為全息面測量得到的聲壓向量；GH為全息面測量聲壓與等效源強(qiáng)間的傳遞矩陣，其元素為自由場格林函數(shù)[GH]ij=G(rHi,rEj)；QG=[qG(rE1),qG(rE2),…,qG(rEN)]T為單極子等效源強(qiáng)向量。利用式(1)即可得到源強(qiáng)QG的反演公式

(2)

(3)

研究表明，上述傳統(tǒng)波疊加法中的傳遞矩陣GH通常是一個具有大條件數(shù)的病態(tài)矩陣，因而式(2)對源強(qiáng)QG的求解是一個離散不適定問題。對于此類問題，如果直接求逆或使用傳統(tǒng)的線性代數(shù)方法均難以獲得穩(wěn)定的源強(qiáng)解。為了求得有意義且穩(wěn)定的源強(qiáng)解，必須將病態(tài)矩陣GH轉(zhuǎn)化為良態(tài)矩陣，以往的方法多通過優(yōu)化等效源的位置或采用正則化方法等。

向宇等的研究中對傳統(tǒng)波疊加法傳遞矩陣GH的病態(tài)性進(jìn)行分析后發(fā)現(xiàn)：由于構(gòu)成該矩陣的波函數(shù)G(rH,rE)是一個僅與兩點距離有關(guān)且在各個方向均以相同速率衰減的球面形式波函數(shù)，因此當(dāng)全息面與等效源面相距較遠(yuǎn)或測點分布密集時，由該波函數(shù)所構(gòu)成的傳遞矩陣GH的行向量和列向量之間將具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，并因此而導(dǎo)致病態(tài)。為了改善該問題，向宇等的研究中提出了一種利用指向性波函數(shù)替換球面形式波函數(shù)以提高聲場重建穩(wěn)定性的方法，并稱之為射線波函數(shù)法。

射線波函數(shù)法的基本原理是將傳統(tǒng)波疊加法中等效源輻射的球面波函數(shù)G(rH,rE)替換為滿足Helmholtz方程和Sommerfield輻射條件且主值指向等效源對應(yīng)測點的射線波函數(shù)K(rH,rE)，如圖1所示。

圖1 等效源輻射射線波示意圖Fig.1 Schematic diagram of equivalent source radiation ray wave

此時，等效源將僅在其對應(yīng)測點處具有較大的聲波激勵(對應(yīng)傳遞矩陣主對角元素)，而在其余測點處的聲波激勵則快速衰減(對應(yīng)傳遞矩陣非對角元素)，由此即可生成一個趨于主對角占優(yōu)的良態(tài)傳遞矩陣

KH，進(jìn)而提高聲場重建穩(wěn)定性。

當(dāng)采用射線波函數(shù)后，式(1)～式(3)重寫為

PH=KHQK

(4)

(5)

(6)

式中： [KH]ij=K(rHi,rEj)為由射線波函數(shù)構(gòu)成的傳遞矩陣；QK=[qK(rE1),qK(rE2),…,qK(rEN)]T為射線波函數(shù)所對應(yīng)的等效源強(qiáng)向量。

2 格林函數(shù)導(dǎo)數(shù)型射線波函數(shù)及其缺陷

2.1 格林函數(shù)導(dǎo)數(shù)型射線波函數(shù)

由于滿足Helmholtz方程和Sommerfield輻射條件的解析函數(shù)均可作為虛擬源的波函數(shù)，因而從理論上說，射線波函數(shù)的形式可有無窮多種。向宇等的研究中采用了格林函數(shù)G(r,rE)的方向?qū)?shù)作為射線波函數(shù)，記為

(7)

式中:l為求導(dǎo)方向；m為求導(dǎo)階數(shù)。其中，求導(dǎo)階數(shù)m=0即為格林函數(shù)G(r,rE)本身，稱為0階射線波函數(shù)。將求導(dǎo)方向l指向等效源對應(yīng)測點后，所生成的傳遞矩陣記為

(8)

圖2 0～3階射線波函數(shù)的指向形態(tài)圖(y軸方向歸一化)Fig.2 Directional pattern of 0 to 3 order ray wave function

2.2 格林函數(shù)導(dǎo)數(shù)型射線波函數(shù)的缺陷

對格林函數(shù)導(dǎo)數(shù)型射線波函數(shù)的進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，雖然求導(dǎo)階數(shù)越高，射線波函數(shù)的指向性越強(qiáng)，傳遞矩陣的條件數(shù)也越低，但高階射線波函數(shù)在重建低波數(shù)聲場時誤差較大。為剖析和解釋該現(xiàn)象的原因，本文設(shè)計了一個聲場重建的數(shù)值仿真。聲源設(shè)置為剛性球體上的活塞聲源，球體半徑為a，活塞極角為θ0，如圖3所示。該聲源在空間場點(r,θ)處的輻射聲壓可用無窮級數(shù)表示為[21]

(9)

圖3 剛性球面上的活塞聲源Fig.3 Sound source of spherical piston

仿真中取球體半徑a=1 m，活塞極角θ0=15°。全息面半徑設(shè)置為1.2 m，并按緯度方向間隔2π/13、經(jīng)度方向間隔π/7布置測點，測點總數(shù)為80。等效源面半徑設(shè)置為0.3 m，等效源分布方式與測點相同。

由于向宇等研究的重建結(jié)果表明高階射線波函數(shù)在k=0～2低波數(shù)內(nèi)重建效果較差，在波數(shù)k>2時重建效果較好。因此，取k=1和k=5，并對比在這兩個波數(shù)下，活塞聲源在yz平面上的無量綱解析聲壓場和采用0～4階射線波函數(shù)重建的聲壓場及對應(yīng)的傳遞矩陣條件數(shù)，如圖4和圖5所示。

由圖4可見，在k=1時，采用0～2階射線波函數(shù)的重建聲場與解析聲場吻合，但傳遞矩陣的條件數(shù)較大，此時重建結(jié)果對輸入誤差的敏感程度較高；采用3階和4階射線波函數(shù)后，雖然大幅降低了傳遞矩陣條件數(shù)，理論上可以提高重建穩(wěn)定性，但重建聲場卻與解析聲場有很大的誤差，并呈現(xiàn)出明顯的放射狀。而當(dāng)波數(shù)k=5時，采用3階和4階射線波函數(shù)重建聲場不僅傳遞矩陣的條件數(shù)遠(yuǎn)低于0～2階，其重建結(jié)果與解析聲場也吻合得較好，如圖5所示。

圖4 當(dāng)波數(shù)k=1時，球面活塞聲源的無量綱解析聲壓與0～4階射線波函數(shù)的重建聲壓Fig.4 When the wave number k=1, the dimensionless analytical sound field of the piston sound source and the reconstruction sound field of the 0-4 order ray wave function

以上兩波數(shù)下的重建結(jié)果表明，高階射線波函數(shù)重建低波數(shù)聲場時的誤差并非由傳遞矩陣的病態(tài)性引起，因為此時傳遞矩陣的條件數(shù)更小，自然良態(tài)性也更好。事實上，對于一個物理問題的定解，從數(shù)學(xué)上說，除需滿足控制方程外，還需滿足一定的邊界條件。射線波函數(shù)雖然已滿足控制方程(Helmholtz方程和Sommerfield輻射條件)，但由于近場聲全息技術(shù)的限制，通常只能獲得少量的聲學(xué)測量信息作為“配點邊界條件”，該配點邊界條件逼近真實邊界條件的程度與波函數(shù)、波數(shù)以及節(jié)點位置等均密切相關(guān)[22]。如果射線波函數(shù)的指向性太強(qiáng)，將導(dǎo)致等效源輻射的聲波過于集中在主指向的射線束內(nèi)，此時其重建聲場除在主測點的吻合度較高之外，在其他邊界點上將因波函數(shù)衰減太快而產(chǎn)生較大誤差，無法正確的描述真實聲場。這就是圖4中3階和4階射線波函數(shù)在波數(shù)時k=1聲場不吻合的原因。而當(dāng)波數(shù)k=5時之所以具有較好的吻合結(jié)果，則是由于射線波函數(shù)在該波數(shù)下的指向性減弱，因此提高了配點邊界條件逼近真實邊界條件的精度。圖6中對比了0～4階射線波函數(shù)在波數(shù)分別為k=1(實線)和k=5(虛線)時的指向性。可以發(fā)現(xiàn)，在波數(shù)由k=1增加至k=5后，除0階和1階射線波函數(shù)的指向性無變化外，2～4階射線波函數(shù)的指向性確實出現(xiàn)明顯減弱。值得注意的是，雖然3階和4階射線波函數(shù)的指向性減弱了，但仍比0階和1階射線波函數(shù)的指向性更強(qiáng)，因而傳遞矩陣的條件數(shù)更低，在噪聲影響下的重建效果也必然更穩(wěn)定。

圖5 當(dāng)波數(shù)k=5時，球面活塞聲源的無量綱解析聲壓與0～4階射線波函數(shù)的重建聲壓Fig.5 When the wave number k=5, the dimensionless analytical sound pressure of spherical piston sound source and reconstruction sound pressure of 0-4 order ray wave function

圖6 波數(shù)分別為k=1和k=5時，0～4階射線波函數(shù)的指向性對比Fig.6 When the wave number is k=1 and k=5 respectively the directivity comparison of 0-4 order ray wave functionss

綜合上述分析可知，在射線波函數(shù)法中，聲場重建的穩(wěn)定性和精度與射線波函數(shù)的指向性強(qiáng)度息息相關(guān)。雖然射線波函數(shù)的指向性越強(qiáng)，傳遞矩陣越趨于主對角占優(yōu)，其條件數(shù)也越低，但如果波函數(shù)的指向性過強(qiáng)，等效源所輻射的聲場將過于集中在主指向附近，導(dǎo)致重建聲場精度降低。反之，如果射線波函數(shù)的指向性太弱，那么傳遞矩陣將具有較大的條件數(shù)，導(dǎo)致重建聲場的重建穩(wěn)定性較差。

實際上，射線波函數(shù)的上述特性與正則化方法非常相似，下文將通過射線波函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov正則化方法的類比來說明其指向性在聲全息計算中對精度和穩(wěn)定性的影響。

Tikhonov正則化方法所獲得的源強(qiáng)向量正則化解為[23]

(10)

3 組合型射線波函數(shù)的構(gòu)造及參數(shù)選擇

3.1 組合型射線波函數(shù)的構(gòu)造

(11)

圖7 組合型射線波函數(shù)隨組合參數(shù)α增大時的指向性變化Fig.7 Directivity variation of combined ray wave function with increasing combination parameters α

3.2 組合型射線波函數(shù)的參數(shù)選擇

實際重建過程中，聲場信息通常是未知的，可結(jié)合輔助點法[24]和在波疊加法中已被廣泛應(yīng)用的遺傳算法[25-26]選擇權(quán)重系數(shù)α。在本文中的具體實施步驟為：首先在聲源面與全息測量面之間設(shè)置若干輔助點，然后將參數(shù)α的選取范圍設(shè)為[0， 100]并映射到一個長度為20的二進(jìn)制的集合；為了保證收斂速度，選取40個參數(shù)α編碼成染色體作為第一代種群，然后以輔助測點上的實際測量值p與重建值pα之間的相對誤差最小作為目標(biāo)函數(shù)對種群中的染色體進(jìn)行篩選，即

(12)

相對誤差較小的染色體α，其在下一代出現(xiàn)的概率較大，將下一代出現(xiàn)的概率定義為適應(yīng)度函數(shù)如下

(13)

采用輪盤賭(即每一個體被選擇概率正比于其適應(yīng)度函數(shù)值)在第一代種群中重復(fù)選取得到40個新的染色體。為了避免參數(shù)選取陷入局部最優(yōu)，對選取的40個染色體按照一定的概率pc交換其部分基因編碼區(qū)間，同時隨機(jī)選取染色體的個別基因進(jìn)行變異。將經(jīng)過交叉和變異后的染色體作為下一代種群，再次計算適應(yīng)度函數(shù)進(jìn)行篩選，反復(fù)迭代，當(dāng)?shù)竭_(dá)其終止條件時，算法終止。

4 數(shù)值算例

經(jīng)過大量計算驗證，在選定以上交叉概率和變異概率的情況下，經(jīng)過30～40次迭代計算后，輔助點重建誤差及組合參數(shù)變化已經(jīng)基本趨于穩(wěn)定，因此文中將算法終止條件設(shè)定為50次迭代。

4.1 剛性球面活塞聲源的重建效果對比

由圖8(a)可見，隨著遺傳算法迭代次數(shù)的增加，輔助測點的重建誤差逐漸減小，直至趨近于0。與之相應(yīng)的組合參數(shù)α也呈下降趨勢，如圖8(b)所示。這表明對于該重建模型，波函數(shù)的組合參數(shù)α越小，重建的數(shù)值精度越高。但是，在選擇α?xí)r還必須考慮重建過程的穩(wěn)定性。因為α決定了組合型射線波函數(shù)的整體指向性，若α過小，將可能導(dǎo)致傳遞矩陣由于指向性太弱而病態(tài)。例如，如果選擇迭代次數(shù)為50時對應(yīng)的α，雖然重建精度較高，但其傳遞矩陣的條件數(shù)很大，如圖8(c)所示。因而，在選擇α?xí)r，最好在保證精度滿足需求的前提下盡量選取條件數(shù)較小時所對應(yīng)的組合參數(shù)。

圖8 遺傳算法迭代過程Fig.8 Iterative process of genetic algorithm

圖9 組合型射線波函數(shù)的重建無量綱聲壓Fig.9 Reconstruction of dimensionless sound pressure based on combined ray wave function

4.2 隨機(jī)分布點聲源的重建效果對比

在實際工程中，由于聲源形狀、結(jié)構(gòu)和材料的復(fù)雜性，其振動產(chǎn)生的聲場通常較為復(fù)雜且無解析解可循。因此，利用“替代法[27]”模擬實際聲源的聲場。該聲場由100個單極子點聲源產(chǎn)生，這些點源隨機(jī)分布于以原點為中心，大小為1 m×1 m×1 m的正方體區(qū)域內(nèi)，它們在空間r處的輻射聲壓可由式(14)計算

(14)

式中，σi為第i個點源的強(qiáng)度系數(shù)，其大小從0～10中隨機(jī)選取。

全息面設(shè)置為橢球面，z方向的長半軸為1 m，x和y方向的兩個短半軸均為0.8 m，并按緯度間隔為π/11，經(jīng)度間隔為2π/11布置測點，測點數(shù)量共100個。等效虛擬源點布置在半徑為0.07 m球面上，分布間隔和數(shù)目與全息測點相同。重建面設(shè)置為高度位于z=0.65 m，邊長1 m的正方形面，并以10×10的方式均勻布置100個重建節(jié)點。為了進(jìn)一步考察組合型射線波函數(shù)在低波數(shù)處的重建效果，該算例中選擇重建波數(shù)為k=0.2。

首先在重建面和全息面間設(shè)置20個輔助測點，并利用遺傳算法搜索組合參數(shù)α。輔助點的重建誤差隨迭代次數(shù)的下降過程如圖10(a)所示，與之相對應(yīng)的組合參數(shù)α和傳遞矩陣的條件數(shù)如圖10(b)和圖10(c)所示。由于遺傳算法在前幾次迭代后就已經(jīng)搜索出了較優(yōu)的組合參數(shù)α，因而圖10中3個子圖的曲線在整個迭代過程的相對變化都不大。輔助測點的重建誤差保持在1×10-3量級，組合參數(shù)α穩(wěn)定在95～100，傳遞矩陣條件數(shù)穩(wěn)定在1×1012量級。在該算例中我們選取了迭代到第20次時獲得的組合參數(shù)α=96。

圖10 遺傳算法迭代過程Fig.10 Iterative process of genetic algorithm

為了更為深入和詳細(xì)的討論，分別在無噪聲和信噪比為40 dB的高斯白噪聲下，采用0～4階射線波函數(shù)和組合型射線波函數(shù)計算重建面上100個節(jié)點的聲壓幅值，并與解析聲壓幅值對比，如圖11所示。波函數(shù)相應(yīng)的傳遞矩陣條件數(shù)見表1。由圖11(a)和圖11(b)可以看到，無論是在無噪聲還是有噪聲情況下，0階和1階射線波函數(shù)的重建誤差均很大。無噪聲時重建誤差較大的原因在于0階和1階射線波函數(shù)的指向性太弱，導(dǎo)致傳遞矩陣嚴(yán)重病態(tài)，放大了輸入數(shù)據(jù)的數(shù)值誤差。顯然，在添加噪聲之后，其重建結(jié)果的誤差必然更大。由圖11(c)可以看到，2階射線波函數(shù)在無噪聲情況下的重建結(jié)果與解析解基本吻合，但在添加噪聲后出現(xiàn)了較大誤差。這說明2階射線波函數(shù)的指向性強(qiáng)度大于0階和1階射線波函數(shù)，可以改善傳遞矩陣的病態(tài)，進(jìn)而提高計算的精度。但是，其指向性強(qiáng)度仍然不足，傳遞矩陣仍存在一定的病態(tài)，因此在添加噪聲后其穩(wěn)定性下降，即欠正則化。由圖11(d)和11(e)可以看到，在無噪聲的情況下，3階和4階射線波函數(shù)的重建誤差與解析解有較大誤差，在添加了噪聲后，重建結(jié)果幾乎無變化。這說明3階和4階射線波函數(shù)由于指向性過強(qiáng)，已無法正確重建聲場，即過正則化。但是，添加噪聲后的重建結(jié)果與無噪聲時的結(jié)果相差并不大，這又說明此時重建過程是穩(wěn)定的。以上結(jié)果表明，對于該重建模型，無論采用哪一階射線波函數(shù)，都無法同時保證計算精度及重建穩(wěn)定性，即離散型射線波函數(shù)失效。當(dāng)采用組合型射線波函數(shù)后，無噪聲和有噪聲情況下的重建結(jié)果均與解析解吻合，如圖11(f)所示。由表1的傳遞矩陣條件數(shù)還可以發(fā)現(xiàn)，組合型射線波函數(shù)的條件數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于離散型波函數(shù)中的0階和1階波函數(shù)，并且與3階波函數(shù)幾乎一致，表明組合型射線波函數(shù)能有效改善離散型射線波函數(shù)的缺陷，可以同時保證計算精度和重建穩(wěn)定性。

圖11 0～4階射線波函數(shù)和組合型射線波函數(shù)在無噪聲和40 dB高斯白噪聲下的重建聲壓和解析聲壓對比Fig.11 Comparison of reconstructed sound pressure and analytical sound pressure of 0-4 order ray wave function and combined ray wave function under no noise and 40 dB white Gaussian noise respectively

表1 0～4階射線波函數(shù)和組合型射線波函數(shù)的傳遞矩陣條件數(shù)Tab.1 Condition number of transfer matrix for 0-4 order ray wave function and combined ray wave function

4.3 簡支板輻射聲場的重建效果對比

在實際應(yīng)用中，連續(xù)分布的結(jié)構(gòu)振動聲源(例如板、殼等)較為常見。因此，本文采用簡支板聲源算例進(jìn)一步驗證組合型射線波函數(shù)的有效性。已知四邊為無限大障板的簡支板振速分布[28]為

(15)

第(m,n)階模態(tài)振型

第(m,n)階模態(tài)頻率為

式中： 以簡支板左下角為原點，在(x0,y0)處施加角頻率為ω； 幅值為F的激勵力時，簡支板(x,y)處的振速為v(x,y,ω)；a，b和h分別為簡支板的長度、寬度和厚度；E為楊氏模量；υ為泊松比；ρ1為簡支板材料的密度。

根據(jù)Rayleigh積分公式可進(jìn)一步得到簡支板在空間r處的輻射聲壓[29]

(16)

式中：S為板的面積；G(r,r′)為格林函數(shù)； 空氣密度ρ2=1.23 kg/m3；r′為板上任意一點。

該仿真中，設(shè)置簡支板為一長寬尺寸為1 m×1 m，厚度為0.005 m的鋁板，楊氏模量E= 7×1010Pa，泊松比υ=0.3，密度為ρ1=2.7×103kg/m3。全息面的大小與簡支板相同并位于其正上方0.2 m處，全息面上均勻分布25×25個測點。等效源面位于簡支板正下方0.1 m處，等效源分布方式與測點相同。在簡支板中心施加幅值為100 N，頻率為500 Hz的簡諧激勵力。仿真中對全息面測量聲壓添加信噪比為30 dB的高斯白噪聲，然后分別采用0階射線波函數(shù)、3階射線波函數(shù)和組合型射線波函數(shù)重建簡支板上方0.15 m平面處的聲場，并與簡支板輻射的解析聲場進(jìn)行對比。其中，用于搜索組合參數(shù)α的輔助測點設(shè)置為16個，均勻分布在簡支板正上方0.18 m處1 m×1 m的平面上。經(jīng)過搜索后得到的組合參數(shù)為α=10.25。

為了量化各個波函數(shù)的重建精度，定義重建誤差為

(17)

式中，P與P′分別為重建面上的解析聲壓向量和重建聲壓向量。

簡支板的解析聲壓與重建聲壓如圖12所示。結(jié)合表2發(fā)現(xiàn)，由于0階射線波函數(shù)構(gòu)成的傳遞矩陣條件數(shù)較大，在信噪比為30 dB高斯白噪聲的干擾下，重建聲壓與解析聲壓偏離較大，相對誤差為17.14%。而3階射線波函數(shù)和組合型射線波函數(shù)由于降低了傳遞矩陣的條件數(shù)，因而具有更高的重建穩(wěn)定性，較好的還原了聲場分布特征。進(jìn)一步對比兩者的重建誤差可以發(fā)現(xiàn)，盡管組合型射線波函數(shù)的傳遞矩陣條件數(shù)略高于3階射線波函數(shù)，但其重建聲壓相對誤差僅為3.08%，低于3階射線波函數(shù)的4.53%。為進(jìn)一步考察簡支板受偏心激勵時本文方法的聲場重建效果，將激勵點位置設(shè)在(0.8，0.8)處，重建結(jié)果如圖13所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，此時組合型射線波函數(shù)依然獲得了較好的重建結(jié)果，其相對誤差為4.15%。

圖12 中心激勵簡支板的解析聲壓及0，3階射線波函數(shù)和組合型射線波函數(shù)的重建聲壓Fig.12 Analytical sound pressure of a simply supported plate under central excitation and reconstruction sound pressure of 0,3 order ray wave function and combined ray wave function

表2 0階射線波函數(shù)、3階射線波函數(shù)和組合型射線波函數(shù)的傳遞矩陣條件數(shù)Tab.2 Condition number of transfer matrix for 0, 3 order ray wave function and combined ray wave function

由此可見，即便是重建空間連續(xù)型的簡支板聲源，組合型射線波函數(shù)仍具有更高的計算精度和穩(wěn)定性。

圖13 偏心激勵的簡支板解析聲壓及組合型射線波函數(shù)的重建聲壓Fig.13 Analytical sound pressure of a simply supported plate under eccentric excitation and reconstruction sound pressure of combined ray wave function

5 結(jié) 論

針對傳統(tǒng)波疊加法近場聲全息的病態(tài)性，本文在向宇等提出的格林函數(shù)導(dǎo)數(shù)型射線波函數(shù)法的基礎(chǔ)上，通過將0階和帶組合參數(shù)α的m階射線波函數(shù)進(jìn)行組合，構(gòu)造了一種可連續(xù)調(diào)節(jié)指向性強(qiáng)度的組合型射線波函數(shù)，并結(jié)合輔助測點法和遺傳算法提出了一種選擇組合參數(shù)α的優(yōu)化算法，可根據(jù)重建模型的特點構(gòu)造具有合適指向性強(qiáng)度的射線波函數(shù)。利用球面活塞聲源、隨機(jī)點聲源以及簡支板聲源驗證了本文提出的組合型射線波函數(shù)在聲場重建中的效果，并與格林函數(shù)導(dǎo)數(shù)型射線波函數(shù)法的計算結(jié)果進(jìn)行了比較。計算結(jié)果表明，組合型射線波函數(shù)可有效改善離散型射線波函數(shù)的缺陷，并在同樣保證計算精度的前提下，顯著降低傳遞矩陣的條件數(shù)。而且，即使在離散型射線波函數(shù)法失效的情況下，本文方法仍能保證重建精度和穩(wěn)定性。