何東澤， 布英磊， 史冬巖， 王青山

(1. 哈爾濱工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱 150001；2. 中國船舶及海洋工程設(shè)計(jì)研究院，上海 200011；3. 中南大學(xué) 高性能復(fù)雜制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙 410083)

目前，納米材料以及微型元器件在微/納米機(jī)電系統(tǒng)中的影響程度逐漸增大，得到了空前的發(fā)展。納米板結(jié)構(gòu)作為納米機(jī)電系統(tǒng)中的基本組成構(gòu)件，在納米傳感器、電荷傳感器以及諧振器等中均有著廣泛的應(yīng)用范圍，其動(dòng)力學(xué)特性的研究對納米機(jī)電系統(tǒng)的發(fā)展有著一定的影響作用[1-2]。采用經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)理論對微納米結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析時(shí)，無法考慮尺度效應(yīng)對微納米材料的影響。因此，眾多學(xué)者提出修正連續(xù)介質(zhì)理論模型，主要有表面彈性理論[3]、應(yīng)變梯度理論[4-5]、修正偶應(yīng)力理論[6]以及非局部理論[7]。其中，非局部理論是目前對微納米結(jié)構(gòu)以及機(jī)電系統(tǒng)分析中最常見的理論，Edelen等[8-9]建立了非局部場中的數(shù)學(xué)理論模型，后經(jīng)Eringen采用格林變換，將微分型非局部本構(gòu)關(guān)系轉(zhuǎn)化為積分型本構(gòu)關(guān)系，直接應(yīng)用于控制方程之中。

目前，對于納米板的研究取得了較大的研究進(jìn)展，眾多優(yōu)秀的學(xué)者發(fā)表多篇相關(guān)文獻(xiàn)。如，滕兆春等[10]采用微分變換法，結(jié)合非局部理論與經(jīng)典薄板理論，對Winkler-Pasternak彈性地基上面內(nèi)受壓的正交各向異性矩形板的自由振動(dòng)特性以及屈曲特性進(jìn)行了分析研究。討論了彈性基地剛度、幾何參數(shù)對矩形納米板固有頻率以及屈曲臨界載荷的影響。張大鵬等[11]采用非局部理論，結(jié)合Galerkin條形傳遞函數(shù)法對不同邊界條件下黏彈性基體上壓電納米板熱-機(jī)電振動(dòng)特性進(jìn)行分析研究，揭示了非局部效應(yīng)、外載荷等對納米板振動(dòng)特性的影響規(guī)律。王平遠(yuǎn)等[12]采用非局部應(yīng)變梯度理論，對功能梯度納米板彎曲和屈曲特性進(jìn)行分析。王平等[13]采用非局部理論，結(jié)合板殼磁彈性理論對載流納米板在簡支條件下的磁彈性穩(wěn)定性進(jìn)行了分析研究。研究發(fā)現(xiàn)，改變磁感強(qiáng)度以及納米板幾何尺寸對納米板穩(wěn)定性的提高有著明顯的促進(jìn)效果。Liu等[14]對不同邊界條件下周期納米板的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行分析研究。Karami等[15]對濕熱環(huán)境中多孔納米板結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)問題進(jìn)行分析研究。

本文結(jié)合非局部理論，對非局部彈性周期Mindlin納米板結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性進(jìn)行分析研究。因采用Lévy解形式，將周期納米板結(jié)構(gòu)兩端設(shè)置為簡支條件。采用波動(dòng)法，結(jié)合不同材料板間的協(xié)調(diào)條件對分析模型進(jìn)行建立。采取文獻(xiàn)對比與有限元對比方法驗(yàn)證本文模型建立正確性以及求解方法準(zhǔn)確性。同時(shí)，分析納米板周期數(shù)、彈性支撐條件以及納米板幾何參數(shù)對非局部彈性周期納米板結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響情況。

1 分析模型

本文所建立的研究模型如圖1所示。由N組不同材料構(gòu)成的納米板A和B在x軸方向上按照順序排列，形成周期性彈性納米板。圖1中：Ly為納米板的寬度；Lx1和Lx2為納米板A和B的長度；Kw為彈性支撐剛度；F(x0,y0)為外界施加力。在本文的研究中，對周期納米板在y=0和Ly邊界設(shè)置簡支條件。

圖1 彈性周期納米板示意圖Fig.1 The scketch diagram of elastic supporting periodic nanoplate

2 數(shù)值模型建立

與傳統(tǒng)的彈性力學(xué)理論不同，非局部理論認(rèn)為微元體中任意一點(diǎn)的應(yīng)力是整個(gè)物體的應(yīng)變狀態(tài)之和的疊加，需要考慮該點(diǎn)狀態(tài)在整體作用區(qū)域內(nèi)的影響。Eringen提出的非局部微分型本構(gòu)方程為

(1-μ?2)σ0=σ

(1)

式中：μ為非局部參數(shù)；σ0為非局部應(yīng)力向量；σ為局部應(yīng)力向量； ?2為二階拉普拉斯算子。根據(jù)胡克定律以及應(yīng)力應(yīng)變之間的關(guān)系，非局部力矩向量M={Mxx,Myy,Mxy}T可以表示為

(2)

式中：Mxx為x方向上的彎矩；Myy為y方向上的彎矩；Mxy為扭矩。根據(jù)Mindlin板理論，控制方程可以表示為[16]

(3)

式中：q=Kww;w為沿z軸的位移變量；φx和φy為旋轉(zhuǎn)變量；Qxx和Qyy為關(guān)于y軸和x軸的剪切力。結(jié)合式(1)與式(3)，可以得到

(4)

式(4)為Mindlin板彎曲振動(dòng)控制方程。式中：h為板的厚度；I0,I2為質(zhì)量慣性矩,I0=ρh，I2=ρh3/12；κ為剪切修正系數(shù)；D為板的彎曲剛度；G為剪切模量；v為泊松比。將位移變量以及旋轉(zhuǎn)變量設(shè)置為Lévy解形式，可以表示為[17]

(5)

式中：W0，Φx以及Φy為位移、旋轉(zhuǎn)幅值變量；Ky為y軸方向上的模態(tài)波數(shù)，Ky=nπ/Ly；kf為彎曲振動(dòng)特征波數(shù)；n為模態(tài)數(shù);ω為角速度； i為虛數(shù)單位；t為時(shí)間變量。將式(5)代入式(4)中，可得

[Tf]{Γ}=0

(6)

式中，Tf為彎曲振動(dòng)參數(shù)矩陣，具體表達(dá)為

(7)

(8)

式中：w1,2jn為不用模態(tài)數(shù)下的彎曲位移幅值參數(shù)；χ1,2j和λ1,2j(j=1～6)分別為旋轉(zhuǎn)位移幅值參數(shù)，為

(9)

根據(jù)所得到的彎曲波數(shù)以及位移、旋轉(zhuǎn)幅值參數(shù)，對不同材料納米板的位移向量進(jìn)行定義，為

(10)

式中：σ1,2n為位移波動(dòng)向量；Yfn(y)為y方向上的模態(tài)矩陣；D1,2n為位移參數(shù)矩陣；P1,2n為軸向波數(shù)矩陣；u1,2n為位移幅值向量。具體可以表示為

Yfn(y)=diag{sin(Kyy),sin(Kyy),cos(Kyy)}

(11)

P1,2n(x)=diag{ejkf1,21x, ejkf1,22x,…,ejkf1,26x}

(12)

(13)

u1,2n={w1,21n,w1,22n,…,w1,26n}T

(14)

相應(yīng)的，對力波動(dòng)向量f1,2n分別定義，為

(15)

式中，F(xiàn)1,2n為力參數(shù)矩陣，為

[F1,2n]1,j=KcGh(ikf1,2j+χ1,2j),
[F1,2n]2,j=D(-vKyλ1,2j+iχ1,2jkf1,2j),

(16)

對于不同材料構(gòu)成的納米板連接處(A和B)，需要滿足位移與力連續(xù)性條件，具體表示為

wA(x1,y,t)=wB(x2,y,t),
φx,A(x1,y,t)=φx,B(x2,y,t),
φy,A(x1,y,t)=φy,B(x2,y,t)

(17)

(1-μ1?2)Qxx,A(x1,y,t)=(1-μ2?2)Qxx,B(x2,y,t),
(1-μ1?2)Mxx,A(x1,y,t)=(1-μ2?2)Mxx,B(x2,y,t),

(1-μ1?2)Mxy,A(x1,y,t)=(1-μ2?2)Mxy,B(x2,y,t)

(18)

式中：x1和x2為連接處在納米板A和B中的橫向坐標(biāo)；μ1和μ2為納米板A和B的非局部參數(shù)；位移變量和力變量中的下角標(biāo)A和B分別對應(yīng)納米板A和B的變量參數(shù)。將式(17)和式(18)轉(zhuǎn)化為矩陣形式，可以表示為

(19)

式中，i=1-N，x(i-1)B

[K]{Γ}={F}

(20)

式中，K為總體結(jié)構(gòu)矩陣，具體表示為

(21)

式中，KA10和KBN1為邊界矩陣，由周期納米板具體的邊界情況決定。KAj0,1和KBj0,1(j=1-N)為板單元矩陣，可以表示為

(22)

式(20)中，F(xiàn)為外力向量，由周期納米板的具體受力情況決定。當(dāng)一作用集中力F(x0,y0)施加于納米板時(shí)，采用狄克拉函數(shù)進(jìn)行描述，為

F(x0,y0)=F0δ(x-x0)δ(y-y0)

(23)

式中，F(xiàn)0為力的幅值大小。因此，外力向量可以表示為：

(24)

Γ為整體位移向量，由各個(gè)單元納米板位移向量按照一定順序組合而成，可以表示為

{Γ}={u1n1,u2n1,…,u2n(N-1),u1nN,u2nN}T

(25)

結(jié)合周期納米板外界受力情況，邊界條件情況對總體控制方程進(jìn)行求解，得到總體位移向量。根據(jù)位移響應(yīng)點(diǎn)的位置對其位移值進(jìn)行求解，為

(26)

式中：x′,y′為位移響應(yīng)點(diǎn)的位置；u′ni為所在納米板對應(yīng)的單元位移向量；Dni和Pni為對應(yīng)的位移參數(shù)矩陣和軸向波數(shù)矩陣。

3 數(shù)值結(jié)果與討論

通過第2章介紹，首先對本文所建立的周期彈性納米板振動(dòng)特性的正確性進(jìn)行驗(yàn)證?；诘?章所建立的模型，在對固有頻率進(jìn)行求解時(shí)，忽略外界力向量F。采用搜根算法對整體矩陣K在一定頻率范圍內(nèi)進(jìn)行搜索，所求得的零點(diǎn)位置即為納米板結(jié)構(gòu)的固有頻率。在表1的對比算例中，邊界條件1和2分別設(shè)置為固支-固支和固支-簡支。因此，對于兩種邊界條件下整體矩陣中邊界矩陣KA10和KBN1進(jìn)行定義，為

Ki(x,y,t)=Yfn(y)[TσD1,2niP1,2ni(x)+
TfF1,2niP1,2ni(x)]u1,2nie-iωt

(27)

其中

(28)

接下來，對周期納米板結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性進(jìn)行分析。首先對周期納米板的組成材料進(jìn)行選取。本文中，選取兩種石墨烯材料作為板A和B的組成材料，屬性如表2所示[19-20]。

采用有限元法對局部周期板結(jié)構(gòu)彎曲位移響應(yīng)進(jìn)行求解，并與本文計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行對比，設(shè)定非局部參數(shù)μA=μB=0。所建立的有限元模型尺寸為：Lx1=Lx2=Ly=1 m，h1=h2=12.5 mm，N=2，Kw=0，F(xiàn)0=1 N。力的作用點(diǎn)為(0,0.5)，彎曲位移相應(yīng)點(diǎn)為(6,0.5)。由材料A構(gòu)成的單一材料板結(jié)構(gòu)在0～1 000 Hz內(nèi)的彎曲位移響應(yīng)曲線，如圖2(a)所示。通過計(jì)算得到，當(dāng)模態(tài)數(shù)M取值為10時(shí)，彎曲位移得到收斂，取得良好的結(jié)果。通過對比可以看出，本文所計(jì)算得到的位移響應(yīng)曲線與有限元法對比基本吻合，驗(yàn)證本文計(jì)算方法的計(jì)算正確性。同時(shí)，雙周期納米板結(jié)構(gòu)彎曲位移曲線對比，如圖2(b)所示。由圖2可知：在0～1 000 Hz的頻率內(nèi)，兩種計(jì)算方法所得到的彎曲位移曲線趨勢一致并且處于同一量級，計(jì)算結(jié)果吻合良好。

表1 不同邊界條件下納米板結(jié)構(gòu)頻率參數(shù)對比Tab.1 Comparison of frequency parameters of nanoplate structures under different boundary conditions

表2 石墨烯材料屬性表Tab.2 The table of graphene material properties

圖2 彎曲位移曲線對比Fig.2 The comparison of the flexural displacement curves

非局部模型與局部模型下彎曲位移曲線的對比情況，如圖3所示。其中，Lx1=Lx2=Ly=10 nm,h1=h2=0.125 nm，F(xiàn)0=1×10-11N，N=3，M=10。對于局部模型，設(shè)定材料A和B的非局部參數(shù)為零，即μA=μB=0。通過比較可以看出，隨著非局部參數(shù)的引入，0～20 GHz內(nèi)的彎曲位移曲線共振峰向左移動(dòng)，這種現(xiàn)象與單一納米板結(jié)構(gòu)相同[21]。出現(xiàn)該現(xiàn)象的原因是非局部參數(shù)降低了周期納米板結(jié)構(gòu)的等效結(jié)構(gòu)剛度。

圖3 非局部與局部模型下彎曲位移曲線對比Fig.3 The comparison of the flexural displacement response curves via local and nonlocal analysis model

通過對本文計(jì)算方法的驗(yàn)證，接下來將對周期納米板寬度，單元納米板長度，單元納米板厚度，周期數(shù)以及彈性支撐條件對周期納米板結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響規(guī)律進(jìn)行分析研究。三周期納米板結(jié)構(gòu)在不同納米板寬度下的彎曲位移響應(yīng)曲線，如圖4所示。由圖4可知：在0～20 GHz內(nèi)，彎曲位移曲線在低頻范圍內(nèi)具有較大的衰減效果。同時(shí)，隨著周期納米板寬度從10 nm到20 nm進(jìn)行變化，低頻范圍內(nèi)的衰減區(qū)域逐漸較小并且在衰減范圍內(nèi)的衰減程度有著明顯變小的趨勢，初始頻率下的彎曲位移數(shù)量級由1×10-17增加到1×10-12，具有明顯的數(shù)量級變化。因此，納米板寬度在低頻范圍內(nèi)對彎曲位移響應(yīng)具有明顯的影響。隨著周期納米板寬度的增加，頻率衰減范圍以及該范圍內(nèi)的衰減程度逐漸較小。

圖4 不同納米板寬度下位移曲線對比Fig.4 Comparison of displacement curves for various widths of periodic nanoplates

不同單元納米板長度情況下三周期納米板彎曲位移曲線的對比情況，如圖5所示。通過比較可以看出，隨著單元納米板長度的增加，低頻范圍內(nèi)的彎曲位移曲線變化較為明顯。當(dāng)單元納米板的長度由10 nm增加到20 nm時(shí)，低頻范圍內(nèi)的彎曲位移響應(yīng)出現(xiàn)明顯的數(shù)量級變化，初始頻率對應(yīng)的彎曲位移數(shù)量級從1×10-17下降到1×10-24，具有較大程度的衰減。同時(shí)，在低頻衰減范圍內(nèi)，不同的單元納米板寬度對應(yīng)的彎曲位移衰減頻率范圍基本保持不變。因此，隨著單元納米板長度的增加，低頻范圍內(nèi)的彎曲位移響應(yīng)逐漸較小，但衰減的頻率范圍基本保持不變。

圖5 不同單元納米板長度下位移曲線對比Fig.5 Comparison of displacement curves for various lengths of single nanoplates

不同單元納米板厚度下三種單元納米板彎曲位移曲線的對比情況，如圖6所示。通過比較可以看出，在0～20 GHz內(nèi)，當(dāng)單元納米板的寬度h1=h2=0.125 nm和h1=0.1 nm，h2=0.125 nm時(shí)，在初始頻率范圍內(nèi)的彎曲位移基本相同。h1=h2=0.125 nm情況下在低頻范圍內(nèi)的彎曲位移衰減程度最大。同時(shí)，當(dāng)h1=0.125 nm，h2=0.1 nm時(shí)，低頻范圍內(nèi)的彎曲位移衰減程度最小，同時(shí)衰減頻率范圍變小。因此，對于周期納米板而言，單元納米板厚度在低頻范圍內(nèi)對彎曲位移衰減程度有著一定的影響。隨著單元納米板的厚度增大，彎曲位移衰減程度以及頻率范圍均存在一定的增大現(xiàn)象。

圖6 不同單元納米板厚度下位移曲線對比Fig.6 Comparison of displacement curves for various thicknesses of single nanoplates

不同周期數(shù)下周期納米板的彎曲位移曲線的對比情況，如圖7所示。通過比較可以看出，在0～20 GHz內(nèi)，當(dāng)周期納米板從三周期增長到九周期后，在低頻范圍內(nèi)的彎曲位移具有較大程度的衰減，彎曲位移數(shù)量級從1×10-17下降到1×10-33。并且可以發(fā)現(xiàn)，隨著周期數(shù)的增大，低頻范圍內(nèi)的頻率衰減范圍基本保持不變。同時(shí)，在12.46～15.13 GHz內(nèi)的彎曲位移逐漸減小。因此，周期數(shù)對周期納米板的彎曲位移具有明顯的影響情況，隨著周期數(shù)的增加，彎曲位移衰減程度逐漸增大。

圖7 不同周期數(shù)下位移曲線對比Fig.7 Comparison of displacement curves for the period number of periodic nanoplate

彈性支撐條件下的彎曲位移曲線對比，如圖8所示。設(shè)定三周期納米板整體承受Kw=1×106Pa/nm的彈性支撐，并且與非彈性支撐條件下彎曲位移曲線進(jìn)行對比?？梢钥闯?，通過引入彈性支撐條件，低頻范圍內(nèi)的彎曲位移衰減程度變大。同時(shí)，衰減的頻率范圍由0～10.86 GHz增加到0～12.64 GHz，具有明顯的增大效果。因此，可以看出，彈性支撐條件對周期納米板彎曲位移具有較為明顯的衰減效果。

圖8 彈性支撐條件下位移曲線對比Fig.8 Comparison of displacement curves for elastic supporting conditions of periodic nanoplate

最后，對不同彈性支撐條件對三周期納米板結(jié)構(gòu)彎曲位移的影響情況進(jìn)行分析。三種不同彈性支撐條件下周期納米板結(jié)構(gòu)的彎曲位移曲線，如圖9所示。分別設(shè)置三周期納米板整體無彈性支撐，納米板A承受彈性支撐以及納米板B承受彈性支撐情況。通過比較可以看出，當(dāng)納米板A或納米板B承受彈性支撐條件時(shí)，相比較與無彈性支撐條件下，彎曲位移均存在一定的衰減效果。

圖9 不同支撐條件下位移曲線對比Fig.9 Comparison of displacement curves for various supporting conditions of periodic nanoplate

4 結(jié) 論

本文結(jié)合非局部理論以及Mindlin理論，對非局部彈性周期納米結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性進(jìn)行了研究。通過考慮不同材料納米板連接處的協(xié)調(diào)關(guān)系，結(jié)合波動(dòng)法，建立了非局部周期納米板結(jié)構(gòu)的數(shù)值分析模型。通過與文獻(xiàn)中單一納米板結(jié)構(gòu)不同邊界下的一階頻率參數(shù)以及局部理論下有限元法得到的彎曲位移響應(yīng)曲線進(jìn)行對比，驗(yàn)證了本文所建立模型以及求解方法的正確性。以此為基礎(chǔ)，開展了周期納米板寬度、單元納米板長度及厚度、周期數(shù)以及彈性支撐條件對周期納米板振動(dòng)特性的影響情況。主要得到的結(jié)論如下：

(1) 周期數(shù)的增大導(dǎo)致頻率范圍內(nèi)的彎曲位移具有明顯的衰減效果，但是對頻率范圍影響較小，可以忽略不計(jì)；周期納米板的長度對于彎曲位移響應(yīng)的影響情況與之相同。

(2) 彈性支撐條件會導(dǎo)致彎曲位移響應(yīng)的頻率衰減范圍變大，并且使頻率范圍內(nèi)的彎曲位移進(jìn)一步減??；當(dāng)不同納米板設(shè)置彈性支撐條件時(shí)，其對于彎曲位移響應(yīng)的影響效果與整體承受情況相同。

(3) 周期納米板的寬度增大會導(dǎo)致彎曲位移響應(yīng)的頻率衰減范圍減小，頻率范圍內(nèi)的響應(yīng)逐漸增大；周期納米板的厚度的增大會導(dǎo)致彎曲位移響應(yīng)的頻率衰減范圍變大，頻率范圍內(nèi)的響應(yīng)變小。