趙 睿，劉 勇，張仁貢

（1.山東省陽谷縣水利局，山東 聊城 252326；2.山東弘潤建設(shè)集團(tuán)有限公司，山東 聊城 252000；3.浙江禹貢信息科技有限公司，浙江 杭州 310009）

1 問題的描述

遺傳算法（Genetic Algorihm，簡(jiǎn)稱GA 算法）是一種目前比較成熟的優(yōu)化算法[1]，它可以從多點(diǎn)出發(fā)同時(shí)在整個(gè)約束空間上作快速搜索。但是它也有明顯的缺陷：①采用二進(jìn)制編碼，當(dāng)計(jì)算變量較多且取值范圍較大時(shí)，編碼長度也將過長，大大降低算法效率。②遺傳算法是整個(gè)約束空間上的搜索算法，追求全局最優(yōu)解，會(huì)出現(xiàn)收斂脹滯或收斂速度很低。但很多工程性的優(yōu)化問題，獲取局部最優(yōu)解就能滿足條件，從而提高收斂速度是根本。為此筆者經(jīng)過研究，提出了一種對(duì)變量進(jìn)行實(shí)數(shù)染色體編碼，并對(duì)傳統(tǒng)遺傳算法的收斂值函數(shù)進(jìn)行改造的改進(jìn)型遺傳算法，即螺旋梯度法向逼近遺傳算法（Spiral Gradient Normal Approximation Genetic Algorithm，簡(jiǎn)稱SGNA-GA）。

2 螺旋周期法向逼近遺傳算法

傳統(tǒng)的遺傳算法是在適應(yīng)值函數(shù)上加概率函數(shù)進(jìn)行全局搜索，但針對(duì)水電站機(jī)組負(fù)荷優(yōu)化調(diào)度的工程性應(yīng)用，獲取局部最優(yōu)解即可滿足條件[2]。為此，需要在適應(yīng)值函數(shù)上加螺旋函數(shù)，再采用高斯分布隨機(jī)矢量的梯度法向逼近，構(gòu)造一個(gè)螺旋梯度法向逼近函數(shù)，具體方法如下：

先構(gòu)造螺旋函數(shù)g（X），對(duì)求最小值的優(yōu)化問題：

min?（X）X=[x1，x2，…xn]

在發(fā)生第t次求解迭代時(shí)，在Xt處將有λ個(gè)隨機(jī)分布高斯矢量[3]，表示為Zi（i=1，…，λ），矢量的標(biāo)準(zhǔn)方差為σt/n0.5，服從均值為0，從而該矢量在螺旋函數(shù)g（X）的點(diǎn)Xt上具有垂直于切線方向即“法向”的特性，且點(diǎn)Xt具有螺旋時(shí)間周期性，簡(jiǎn)稱螺旋周期。

現(xiàn)在令Ti=Xt+Zi,可定義函數(shù)G（Xt）：

此處，稱g（Xt）為函數(shù)f（X）在點(diǎn)Xt的螺旋周期法向逼近函數(shù)。

2.1 SGNA-GA 的編碼方法

令s為SGNA-GA的二維個(gè)體編碼，s=[X，g（X）]，其中X為實(shí)際變量值，g（X）為螺旋函數(shù)。X采用實(shí)際變量值而不是二進(jìn)制，可以節(jié)約計(jì)算存儲(chǔ)容量和提升計(jì)算速度；針對(duì)水電站而言，X可取在t時(shí)刻每臺(tái)機(jī)組的輸出功率Pit，(i=1,2,…n)[4-5]。g（X）為螺旋函數(shù)，記錄和加強(qiáng)了父代個(gè)體進(jìn)化到當(dāng)前個(gè)體的變化方向，該方向正是優(yōu)化求解的收斂梯度法向方向。

2.2 SGNA-GA 雜交與精英選擇

SGNA-GA 雜交在個(gè)體編碼參數(shù)段上進(jìn)行，即從第t 代群體的匹配集中已選擇好待雜交的兩個(gè)父代個(gè)體分別為：svt=＜v1,v2,…,vn＞和swt=＜w1,w2, …,wn＞，則子代個(gè)體的參數(shù)由父代個(gè)體的參數(shù)加權(quán)和產(chǎn)生，即：

式中α為動(dòng)態(tài)因子[6]，取值范圍在0～1 之間。父代的樣本群體m可以生成2m的后代樣本個(gè)體，然后采用SGNA-GA 算法進(jìn)行選擇并依據(jù)計(jì)算策略優(yōu)先排序，再取排在最先的m個(gè)個(gè)體作為新的樣本群體，這種優(yōu)先排序選擇法可以加快收斂速度且有效避免群體早熟。

2.3 SGNA-GA 變異

SGNA-GA 變異是通過一種自構(gòu)造函數(shù)實(shí)現(xiàn)的變異運(yùn)算。

式中Xt是第t個(gè)待優(yōu)化的個(gè)體參數(shù)；g（Xt）是點(diǎn)Xt在螺旋法向逼近時(shí)的適應(yīng)值函數(shù)；ζ為權(quán)系數(shù)（1.0～2.0）；α為動(dòng)態(tài)因子（0～1）；sit+1是sit個(gè)體變異后的新個(gè)體。

2.4 懲罰函數(shù)和收斂值函數(shù)

收斂值是判斷算法是否收斂的關(guān)鍵值[7-9]，收斂值由收斂值函數(shù)決定，在SGNA-GA 中目標(biāo)變量在其定義域內(nèi)，采用懲罰函數(shù)方式的目標(biāo)函數(shù)為：

式中，n為機(jī)組臺(tái)數(shù)，Q為總流量，WF（t，A）為t時(shí)段A組合下的發(fā)電用水量，WZt為機(jī)組運(yùn)行狀態(tài)從t-1 時(shí)刻到t時(shí)刻的耗水量總和，σ為懲罰因子，C（t）為懲罰函數(shù)，P（t）為t時(shí)刻的總出力，Pi（t）為第i臺(tái)機(jī)組的出力。在SGNA-GA 進(jìn)化計(jì)算過程中，如何選取懲罰函數(shù)非常關(guān)鍵，它的大小直接決定了算法的收斂性能，一般懲罰因子σ可以取為σ=1/Tt，Tt+1=αTt。當(dāng)T減少時(shí)，σ將增大，以保證約束條件得到滿足，為此可以構(gòu)造收斂值函數(shù)：

其中Qmax，Qmin為目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值；K為自定義參數(shù)（取0.0～0.1）。

2.5 收斂準(zhǔn)則

收斂準(zhǔn)則可以采用：

式中ε為收斂設(shè)定閾值，x為迭代次數(shù)[10]，F(xiàn)（x）為x次時(shí)的適應(yīng)值，F(xiàn)（x+1）為迭代x+1 次時(shí)的適應(yīng)值。

3 計(jì)算機(jī)求解程序

SGNA-GA算法的計(jì)算機(jī)計(jì)算程序求解流程[12-13]如圖1 所示。

圖1 計(jì)算機(jī)求解程序框圖

4 應(yīng)用實(shí)例分析

4.1 動(dòng)態(tài)不確定優(yōu)化調(diào)度模型

本文的研究參照了母親河黃河流域劉家峽水電站實(shí)例進(jìn)行，該水電站為混流式水電站，共有5 臺(tái)機(jī)組，其中1 號(hào)與3 號(hào)發(fā)電機(jī)組為一致品牌和廠家，裝機(jī)容量為260 MW,2 號(hào)與4 號(hào)發(fā)電機(jī)組為一致品牌和廠家，裝機(jī)容量為255 MW，5 號(hào)發(fā)電機(jī)組為另外品牌和廠家，裝機(jī)容量為320 MW?？紤]水電站的開機(jī)停機(jī)耗用水量、振動(dòng)區(qū)域、汽蝕區(qū)域、日負(fù)荷計(jì)劃、最大功率限制等，結(jié)合時(shí)間和空間優(yōu)化數(shù)學(xué)模型[14]。根據(jù)水電站最小耗用水量優(yōu)化準(zhǔn)則，一天日負(fù)荷計(jì)劃分為m時(shí)段時(shí)的數(shù)學(xué)模型：

式中，n表示發(fā)電機(jī)組的臺(tái)數(shù)，Pi（t）為第i臺(tái)發(fā)電機(jī)組的輸出功率，Hdi（t）表示在t時(shí)刻第i臺(tái)機(jī)組的機(jī)組段水頭，f（Hdi（t）,Pi（t））表示在t時(shí)刻在機(jī)組段水頭Hdi（t）下的第i臺(tái)機(jī)組的耗水流量，W（i）表示在t時(shí)刻第i號(hào)機(jī)組的開停機(jī)耗水流量,Woni為開機(jī)時(shí)第i臺(tái)發(fā)電機(jī)組的耗用水流量，Woffi為停機(jī)時(shí)第i臺(tái)發(fā)電機(jī)組的耗用水流量，Wzi為開機(jī)和停機(jī)時(shí)第i臺(tái)機(jī)組的設(shè)備耗用水流量總和；v表示檢修機(jī)組，Wsi為檢修計(jì)劃改變時(shí)所引起的耗用水流量；P為電力系統(tǒng)某一天所給定的總負(fù)荷；Ps（t）為瞬時(shí)負(fù)荷（t時(shí)刻），Ph（t）為日計(jì)劃負(fù)荷（t時(shí)刻），Hdi1[Pmin1,Pmax1]為在機(jī)組段水頭Hdi1下第i號(hào)第1 個(gè)發(fā)電機(jī)組的汽蝕或振動(dòng)區(qū)域出力上下限，Pmini為第i號(hào)發(fā)電機(jī)組的最小輸出功率，Pmaxi為第i號(hào)發(fā)電機(jī)組的最大輸出功率[15]。

該日的動(dòng)態(tài)不確定因素有：①第2～8 時(shí)段4 號(hào)機(jī)組在檢修狀態(tài)；②5 號(hào)機(jī)組20～100 MW 時(shí)為汽蝕或振動(dòng)區(qū)域；③日負(fù)荷的計(jì)劃特性有突變發(fā)生，如圖2 所示。第6～8 時(shí)段計(jì)劃負(fù)荷為50 萬kW，分別突變?yōu)?0 萬kW、90 萬kW 和80 萬kW；第14～15 時(shí)段，負(fù)荷計(jì)劃由85 萬kW 突變?yōu)?0 萬kW 和95 萬kW。

圖2 水電站日負(fù)荷圖

按照式（10）計(jì)算動(dòng)態(tài)不確定因素，由該水電站的動(dòng)力特性分析可知，Hd1（t）=Hd2（t）=Hd3（t）=Hd4（t）=Hd5（t）=93.5 m，t=8，m=24，n=5，v=4，T=1，R5=[0,100]，0≤P1(t)≤260，0≤P2（t）≤255，0≤P3（t）≤260，0≤P4（t）≤255，0≤P5（t）≤320，Won1=37.0 m3/s，Won2=36.6 m3/s，Won3=49.4 m3/s，Won4=36.4 m3/s，Won5=43.6 m3/s，Woff1=37.5 m3/s，Woff2=36.0 m3/s，Woff3=48.6 m3/s，Woff4=37.0 m3/s，Woff5=36.0 m3/s，查詢開機(jī)和停機(jī)設(shè)備耗用水量總和曲線，Ws1=3.21 m3/s，Ws2=3.62 m3/s，Ws3=2.93 m3/s，Ws4=3.21 m3/s，Ws5=4.22 m3/s，建立不確定動(dòng)態(tài)優(yōu)化調(diào)度模型。

目標(biāo)函數(shù)：

開停機(jī)耗水：

檢修瞬變計(jì)劃：

日瞬變負(fù)荷：

振動(dòng)或汽蝕區(qū)域：

各臺(tái)發(fā)電機(jī)組輸出功率限制：

4.2 算法求解

采用SGNA-GA 算法對(duì)其進(jìn)行最優(yōu)分配，經(jīng)過軟件調(diào)試，取m=40，ζ=1.82，α=0.6，k=0.05,ε=0.001，編碼精度保留一位小數(shù)，分配結(jié)果如表1 所示。

當(dāng)水電站機(jī)組具有振動(dòng)或汽蝕率定區(qū)域時(shí)，可以采用SGNA-GA 算法將懲罰函數(shù)中增加一個(gè)懲罰因子，增加樣本在振動(dòng)或汽蝕率定區(qū)域時(shí)的淘汰率[17]，從而在樣本替代選種過程中淘汰振動(dòng)或汽蝕率定區(qū)域內(nèi)的樣本，避開汽蝕或振動(dòng)區(qū)域。

從表1 可知，采用SGNA-GA 算法進(jìn)行計(jì)算，日耗用水量計(jì)算結(jié)果為27515.13×3600 m3，而當(dāng)日實(shí)際耗用水量計(jì)算結(jié)果為28115.04×3600 m3，效益γ=×100%，通過計(jì)算可得γ=2.168%。同理計(jì)算2020 年6 月整個(gè)月的數(shù)據(jù)，效益大致在2.0%左右，如圖3 所示。

表1 水電站2020 年6 月12 日SGNA-GA 算法最優(yōu)分配表

圖3 該月水電站優(yōu)化效益圖

4.3 應(yīng)用問題處理

SGNA-GA 算法能同時(shí)在空間上和時(shí)間上進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，在實(shí)際運(yùn)行中，SGNA-GA 算法雖然比其他算法具有占內(nèi)存少、實(shí)時(shí)性好，編程簡(jiǎn)便等特點(diǎn)[18-20]，但是在實(shí)踐應(yīng)用過程中要注意以下問題：

（1）懲罰因子σ選擇要恰當(dāng)

由懲罰函數(shù)C（t）的計(jì)算公式可以看出σ的選取對(duì)F（Q）值是有影響的，即不同的σ選取方法能影響SGNA-GA 算法的收斂速度[21-23]。由公式可以看出，懲罰因子σ是懲罰假設(shè)的運(yùn)行負(fù)荷與給定負(fù)荷的偏離程度，如果懲罰因子σ選取過小時(shí)，會(huì)導(dǎo)致約束條件不滿足P=5∑i=1Pi。因此如何合理地選取罰因子σ變得相當(dāng)重要。①當(dāng)Pi大于第i臺(tái)發(fā)電機(jī)組在最大出力限制負(fù)荷或振動(dòng)區(qū)域限制負(fù)荷時(shí)，則σ選4 100～5 900；②當(dāng)該發(fā)電機(jī)組的Pi在最優(yōu)效率區(qū)外 時(shí)，σ可 選 取410～620；③正 常 情 況 下 選 取σ=150～220，可以獲得比較滿意結(jié)果。

（2）處理早熟問題

SGNA-GA 算法的隨機(jī)收斂特性會(huì)帶來個(gè)體的早熟問題[24-25]。即個(gè)體沒達(dá)到最優(yōu)時(shí)就計(jì)算結(jié)果收斂。我們可以采用以下策略：①在迭代次數(shù)x小于1 500 次的時(shí)候就出現(xiàn)了收斂情況，則繼續(xù)進(jìn)行SGNA-GA 運(yùn)算，使得計(jì)算次數(shù)大于1 500 次；②對(duì)于迭代次數(shù)x 大于1 500 次出現(xiàn)早熟現(xiàn)象，則可以插入一批干擾個(gè)體，直到下次收斂為止[26-28]。當(dāng)總負(fù)荷1 100 MW，水頭95.30 m時(shí)，收斂圖如圖4所示，縱坐標(biāo)是βmin/106。

圖4 水電站1100 MW 時(shí)的SGNA-GA 算法收斂圖

（3）合理選取各種參數(shù)

m，ζ，α，k，ε選取對(duì)實(shí)時(shí)性、收斂速度及最優(yōu)解都有一定的影響。因此合理地選取m，ζ，α，k，ε的值也是很重要的。當(dāng)母體的數(shù)目m過小時(shí)，可能導(dǎo)致最優(yōu)解的不穩(wěn)定性，而當(dāng)m過大時(shí)，則運(yùn)算速度變慢，可能實(shí)時(shí)性的要求達(dá)不到[29]。權(quán)系數(shù)ζ和動(dòng)態(tài)因子α的選擇對(duì)算法雜交具有較大的影響，大小不合理會(huì)出現(xiàn)早熟或收斂速度過緩，甚至出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象[30-31]。經(jīng)過反復(fù)參數(shù)選取調(diào)試，設(shè)置參數(shù)m=42，k=0.48，ζ=1.83，α=0.58，ε=0.001 時(shí)，取得比較滿意的計(jì)算結(jié)果。

5 結(jié)論

本研究提出一種基于螺旋梯度法向逼近改進(jìn)型遺傳算法，在實(shí)踐中比較應(yīng)用可以得出如下結(jié)論：

（1）采用SGNA-GA 算法對(duì)水電站不確定模型求解，可以做到在時(shí)間上和空間上進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，工程實(shí)踐表明是可行的。

（2）SGNA-GA 算法與傳統(tǒng)遺傳算法相比，具有收斂速度較快、占內(nèi)存少、實(shí)時(shí)性好，編程簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)。

（3）由于SGNA-GA 算法可能引起早熟問題或收斂速度慢問題，合理選取各種參數(shù)非常關(guān)鍵，這需要長期的測(cè)試和調(diào)節(jié)。