苗水清, 閆文耀, 張 靜, 吳夢(mèng)蝶

(延安大學(xué)西安創(chuàng)新學(xué)院,陜西 西安 710100)

0 引 言

互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代,人們對(duì)于大量圖像的保存,共享以及攜帶都發(fā)生了很大的變化,以數(shù)字圖像進(jìn)行存儲(chǔ)則更受用戶的青睞,但是針對(duì)海量的圖像所需的存儲(chǔ)空間是無法估量的,正因?yàn)槿绱藞D像壓縮技術(shù)在圖像處理中一直備受研究員和用戶關(guān)注的科學(xué)問題。圖像壓縮為用戶通過網(wǎng)絡(luò)傳輸共享多媒體信息不僅提供了較小的存儲(chǔ)空間,而且通過較少的數(shù)據(jù)量即可表達(dá)出用戶所需的信息,成為數(shù)據(jù)攜帶和共享的有效手段。除此之外,圖像壓縮在其他領(lǐng)域也應(yīng)用較多,視頻會(huì)議、遙感、文本和醫(yī)學(xué)圖像處理,傳真?zhèn)鬏數(shù)萚1]。圖像壓縮,又稱為圖像編碼,是指以較少的數(shù)據(jù)比特有損或無損地表示原始圖像的技術(shù)[2]。目前許多學(xué)者致力于多媒體信息壓縮的研究,經(jīng)過幾十年的發(fā)展研究,小波理論,人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),視覺仿真紛紛誕生并應(yīng)用到圖像壓縮技術(shù)中。其中也有一些壓縮技術(shù)是在空間域中進(jìn)行一些數(shù)學(xué)變換,有的研究快速方向離散余弦變換[3],DCT 變換[4]等等。主要研究了在空域中直接對(duì)圖像進(jìn)行PCA 變換進(jìn)行圖像壓縮的方法和基于頻域?qū)D像進(jìn)行傅里葉變換(FFT)后,然后再用PCA變換進(jìn)行圖像壓縮并重構(gòu)的方法,將這兩種方法做了比較,研究證明:采用后者能夠快速提取較少的主成分對(duì)頻域圖像進(jìn)行壓縮,對(duì)壓縮后圖像重構(gòu)后有較好的還原度。

1 FFT 變換基本原理[5,6]

DFT(離散傅利葉變換)將任何的信號(hào)如一維數(shù)字信號(hào)或二維圖像信號(hào)等表示成一系列正弦信號(hào)的疊加,從而在頻域中能夠?qū)r(shí)域或空間域信號(hào)分解成無數(shù)個(gè)離散的正弦波。而FFT(快速傅里葉變換)是DFT 的一種快速的計(jì)算方法。它是庫利(Cooley)和圖基(Tukey)于1965 年提出的。FFT 使DFT 的次數(shù)由N^2減少到Nlog2(N)次,使DFT 應(yīng)用于實(shí)際變?yōu)楝F(xiàn)實(shí),使DFT 進(jìn)一步得到完善。

在數(shù)字圖像處理中,傅里葉變換將圖像由空間域轉(zhuǎn)換到頻域,在頻域研究圖像的頻率分布或者進(jìn)行一些濾波去噪處理等,也可以通過FFT 逆變換實(shí)線圖像從頻域到空間域的轉(zhuǎn)換。

一維DFT 計(jì)算公式如式(1),(2):

式(1),(2)中x(n)表示輸入的離散數(shù)字信號(hào)序列,WN為旋轉(zhuǎn)因子,X(k)為輸入序列x(n)對(duì)應(yīng)的N 個(gè)離散頻率點(diǎn)的相對(duì)幅度。 一般情況下,假設(shè)x(n)來自于低通采樣,采樣頻率為fs,那么X(k)表示了從-fs/2率開始,頻率間隔為fs/N,到fs/2,-fs/N 截至的N 個(gè)頻率點(diǎn)的相對(duì)幅度。因?yàn)镈FT 計(jì)算得到的一組離散頻率幅度值實(shí)際上是在頻率軸上成周期變化的,即X(k + N)=X(k)。因此任意取連續(xù)的N 個(gè)點(diǎn)均可以表示DFT 的計(jì)算效果,負(fù)頻率成分比較抽象,難于理解,根據(jù)X(k)的周期特性,于是又可以認(rèn)為X(k)表示了從零頻率開始,頻率間隔為fs/N,到fs,-fs/N 截至的N 個(gè)頻率點(diǎn)的相對(duì)幅度。

1)DFT 及IDFT(離散傅立葉逆變換)變換

DFT 計(jì)算公式如(3):

式(3),(4)中,f(x,y)是M *N 的二維數(shù)據(jù),u,v 為頻域變量,x,y 為空間域變量;u,x=0,1,2…,M -1,v,y=0,1,2,…,N -1。

2)空間和頻率間隔的關(guān)系

在連續(xù)函數(shù)f(t,z)取樣生成了數(shù)字圖像f(x,y),它分別由在t和z 方向所取的M*N 個(gè)樣點(diǎn)組成。

式(5),(6)中,ΔT ,ΔZ 表示M *N 個(gè)樣本點(diǎn)間的間隔,從公式中反應(yīng)出頻域樣本間的間隔與空間樣本間的間距和樣本數(shù)成反比。

2 PCA 基本原理[7][8]

PCA 是一種將高維數(shù)據(jù)通過變換矩陣投影到低維度空間以實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)降維的一種方法,通常具有很好的壓縮比,且降維的數(shù)據(jù)能夠很好的表現(xiàn)原始數(shù)據(jù)的特征,對(duì)于數(shù)量較大指標(biāo)有明顯的優(yōu)勢(shì),并對(duì)提高系統(tǒng)運(yùn)行效率有著重要的意義。具體計(jì)算步驟如下:

1)構(gòu)造樣本矩陣S,如有p 個(gè)樣本并將其中心化,如式(7):

2)計(jì)算樣本協(xié)方差矩陣,如式(8),(9):

式(8),(9)中:i,j=1,2,3,...,p;通過公式(4)可以得出協(xié)方差矩陣的特征值λi和特征向量,選出最大的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量,組成新的特征向量矩陣。每個(gè)特征值λi對(duì)應(yīng)的單位特征向量為ai,那么第i個(gè)主成分Fi為:

3)計(jì)算累積貢獻(xiàn)率,其中貢獻(xiàn)率αi為:

通常當(dāng)累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)到一定程度時(shí)候,就可以用來評(píng)價(jià)原始數(shù)據(jù);

4)計(jì)算樣品的主成分:

通過上述步驟得到的即是降維后的圖像數(shù)據(jù)。

PCA 圖像變換的過程中通過降維能夠?qū)崿F(xiàn)圖像壓縮,同時(shí)PCA 對(duì)于噪聲信號(hào)也具有一定的過濾作用,PCA 將圖像數(shù)據(jù)投影到低維空間后會(huì)屏蔽掉一些噪聲信息。

3 基于FFT 和PCA 的圖像壓縮

將灰度圖像應(yīng)用FFT 變換到頻域,然后對(duì)頻域圖像采用PCA 進(jìn)行降維以實(shí)現(xiàn)壓縮,圖像壓縮后需要通過PCA 反變換和FFT 逆變換返回到空間域。

M 表示分塊后的每一小塊圖像為M *M 維,N 表示將原始圖像分塊的個(gè)數(shù),R 和C 表示原始圖像為R*C 維,Size表示圖像的大小,FD 是降維后的數(shù)據(jù),UL為變換矩陣,Mean是均值矩陣,End是結(jié)束標(biāo)志符號(hào),PCA 到PCA 逆變換之間的數(shù)據(jù)格式由Size+FD+UL+Mean+End組成。具體實(shí)現(xiàn)步驟如下:

Step1:把原始圖像灰度化后通過FFT 變換到頻域;

Step2:對(duì)頻域圖像進(jìn)行分塊處理分成N 個(gè)M *M 的矩陣,組成一個(gè)M *M 行N 列數(shù)據(jù)陣列;

Step3:對(duì)步驟2中的圖像進(jìn)行PCA 變換,選擇累積貢獻(xiàn)率達(dá)到0.999的主成分組成變換矩陣,并將原始數(shù)據(jù)變換到主成分投影空間中。一般情況下分塊后的矩陣維數(shù)如果比較大的話,那么含有的主成分信息量相對(duì)較大,舍棄一塊會(huì)丟失較多信息,還原后的圖像失真比較大,因此累積貢獻(xiàn)率選取值要大一些;

Step4:對(duì)壓縮后的圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行PCA 逆變換,并將分塊矩陣合并成頻域方陣,其中主成分區(qū)域采用主成分?jǐn)?shù)據(jù),其他區(qū)域則用0代替表示這些區(qū)域的數(shù)據(jù),使其信息量為0;

Setp5:將步驟4中的頻域信號(hào)去中心化處理,并利用FFT 逆變換將圖像還原。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

對(duì)256*256圖像分別進(jìn)行64*64,32*32維度的分割實(shí)驗(yàn),其中圖1表示含有高斯噪聲的原始圖像,圖2表示FFT 變換后的頻域圖像。

圖1 原始圖像

圖2 原始圖像轉(zhuǎn)換到頻域后

1)將圖像按照64*64像素進(jìn)行分割

圖4 復(fù)原后圖像

圖3中采用7個(gè)頻域中的分割塊還原了圖像,圖像壓縮比為:7*64*64/(256*256)=0.4375。

圖3 PCA 逆變換后的頻域圖像

2)將圖像按照32*32像素進(jìn)行分割

圖6 復(fù)原后圖像

圖5 中采用29 個(gè)頻域中的分割塊還原了圖像,圖像壓縮比為:29*32*32/(256*256)=0.453125。

圖5 PCA 逆變換后的頻域圖像

3)結(jié)果分析:

圖3、圖5 中可以看出對(duì)頻域圖像進(jìn)行PCA變換后,再逆變換回來,通常需要一半左右的數(shù)據(jù)量就能滿足效果,這也是傅里葉的對(duì)稱性作用的結(jié)果;隨著分塊矩陣維度減小,對(duì)于相同的復(fù)原清晰度,圖像的壓縮比在逐漸增大,而噪聲信號(hào)更容易去除,因?yàn)閷㈩l域圖像分塊后,分塊圖像中的噪聲信號(hào)比有用信號(hào)少,去掉噪聲信號(hào)的同時(shí)會(huì)去除較多的有用信息,因此,圖像分塊數(shù)據(jù)維度越大計(jì)算過程越快,圖像壓縮比越大,但是對(duì)噪聲的處理效果會(huì)越差;

通過對(duì)頻域圖像應(yīng)用PCA 變換,并且根據(jù)FFT 的對(duì)稱性原理,利用一半的數(shù)據(jù)量就能還原到和原始圖像相差不大的程度,壓縮比0.5以下,并且能起到一定的降噪作用。

5 結(jié) 語

該方法將圖像轉(zhuǎn)換到頻域后使得圖像的能量信息更集中,采用PCA 變換后能夠很好的提取主成分,如果在空間域直接對(duì)圖像進(jìn)行PCA 變換降維后將去掉的是圖像實(shí)際數(shù)據(jù),還原效果不好,而通過該方法在頻域中去掉的是一些微弱的圖像信號(hào)和一些噪聲信號(hào),能夠取得較好的還原效果,同時(shí)對(duì)圖像壓縮效果較為明顯;此外該方法在處理噪聲方面對(duì)于分塊維度較大情況下雖然計(jì)算速度快,但是在去除噪聲會(huì)噪聲方面會(huì)失去較多有用的頻域信息,相反采用較小的分割維度進(jìn)行處理,對(duì)于去噪方面效果會(huì)更好,但是又會(huì)犧牲較多的計(jì)算時(shí)間,因此針對(duì)頻域圖像PCA 變換后的降噪處理和計(jì)算時(shí)間效率上的矛盾是后期研究的重點(diǎn)。