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        高中數(shù)學(xué)解題中不等式的應(yīng)用

        2022-06-23 02:46:50徐天保
        數(shù)理化解題研究 2022年16期
        關(guān)鍵詞:最值題意單調(diào)

        徐天保

        (安徽師范大學(xué)附屬中學(xué) 241001)

        應(yīng)用不等式可解答高中數(shù)學(xué)中的求最值、比較大小、求取值范圍、證明結(jié)論等問題.常用的思路有:運(yùn)用基本不等式、運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性、運(yùn)用放縮法等.授課中除為學(xué)生講解相關(guān)理論,提高其應(yīng)用不等式解題的意識(shí),還應(yīng)做好相關(guān)的應(yīng)用示范,使其積累相關(guān)的應(yīng)用經(jīng)驗(yàn).

        1 用于求最值

        高中數(shù)學(xué)習(xí)題中的求最值無外乎求最大值、最小值,尤其遇到求單個(gè)參數(shù)的最值時(shí)通常分離參數(shù),而后結(jié)合已知條件拼湊出基本不等式的形式,運(yùn)用基本不等式求解.運(yùn)用基本不等式求最值應(yīng)確保其滿足“一正二定三相等”,尤其不能生搬硬套,否則可能得出錯(cuò)誤結(jié)果.

        例1已知x,y為正實(shí)數(shù)且滿足關(guān)系式x+y+3=xy,對(duì)任意的x,y均有(x+y)2-a(x+y)+6≥0恒成立,則實(shí)數(shù)a的最大值為____.

        該題不滿足運(yùn)用基本不等式的條件,此時(shí)需要運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行突破.

        解析因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x,y滿足關(guān)系式

        即(x+y)2-4(x+y)-12≥0.

        解得x+y≥6或x+y≤-2(舍去).

        又因?yàn)?x+y)2-a(x+y)+6≥0恒成立,

        由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知,其在[6,+∞)上單調(diào)遞增,則f(t)min=7.

        因此,a的最大值為7.

        2 用于比較大小

        運(yùn)用不等式比較大小主要有兩種思路:思路1,借助所學(xué)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行比較.思路2,構(gòu)造出新的函數(shù),運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究其在對(duì)應(yīng)區(qū)間的單調(diào)性,而后比較大小.其中思路2難度較大,教學(xué)中應(yīng)注重為學(xué)生展示經(jīng)典的例題,使其掌握相關(guān)的解題技巧.

        例2設(shè)a=3π,b=π3,c=33,則a,b,c的大小關(guān)系為( ).

        A.b>a>cB.c>a>b

        C.a>b>cD.b>c>a

        觀察可知a和c,b和c可直接運(yùn)用指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行比較.而比較a,b的大小,則需要構(gòu)造函數(shù),運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)分析.

        解析因?yàn)閮绾瘮?shù)y=x3在(0,+∞)上單調(diào)遞增,而π>3,所以b>c.

        又因?yàn)閥=3x在R上單調(diào)遞增,π>3,

        所以a>c.

        因?yàn)閍=3π,b=π3,等式兩邊均取對(duì)數(shù)得到lna=πl(wèi)n3,lnb=3lnπ.

        則當(dāng)x>e時(shí),f′(x)<0,則f(x)單調(diào)遞減.

        即πl(wèi)n3>3lnπ,lna>lnb.

        即a>b,所以a>b>c,故選C.

        3 用于求取值范圍

        求解參數(shù)取值范圍是高中數(shù)學(xué)中的重要題型.相關(guān)的習(xí)題情境復(fù)雜多變,解題思路靈活多樣,其中從不等式視角切入有時(shí)會(huì)取得意想不到的效果,因此,高中數(shù)學(xué)授課中應(yīng)做好該類題型的歸類,與學(xué)生一起總結(jié)相關(guān)的解題思路.

        該題具有一定的技巧性,需要運(yùn)用不等式知識(shí)構(gòu)建新的不等關(guān)系,而后結(jié)合函數(shù)性質(zhì)求出其最值.

        即1

        4 用于證明結(jié)論

        高中數(shù)學(xué)證明類的習(xí)題一般具有較大的難度,對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高.其中證明不等關(guān)系時(shí)需要結(jié)合所學(xué)的不等式知識(shí)進(jìn)行針對(duì)性的放縮.

        該習(xí)題以數(shù)列為背景考查了構(gòu)造法、錯(cuò)位相減法、放縮法等知識(shí),難度較大,尤其放縮時(shí)應(yīng)結(jié)合證明的結(jié)論,把握放縮的度.

        解析因?yàn)閍n+1=2an+2,

        所以an+1+2=2(an+2).

        而a1+2=5,所以{an+2}是以5為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列.

        5 用于解答新情境問題

        新情境問題在高中數(shù)學(xué)測(cè)試以及高考中多有出現(xiàn),能很好地考查學(xué)生遷移所學(xué)知識(shí)解決問題的能力.解答該類問題的關(guān)鍵在于對(duì)要求解的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,化陌生為熟悉,尤其能夠根據(jù)題干描述構(gòu)建新的不等關(guān)系,運(yùn)用不等式以及函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行突破.

        例5 若兩個(gè)函數(shù)y=f(x)和y=g(x)對(duì)任意的x∈[a,b]都有|f(x)-g(x)|>2,則稱函數(shù)在[a,b]上是疏遠(yuǎn)的.

        (1)已知命題“函數(shù)f(x)=x2+2x-1和g(x)=x-2在[0,1]上是疏遠(yuǎn)的”,試判斷該命題真假,若為真命題請(qǐng)予以證明,若為假命題請(qǐng)舉出反例;

        (2)若函數(shù)f(x)=x2+2x-1和g(x)=x-2在[a,a+1]上是疏遠(yuǎn)的,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

        該習(xí)題創(chuàng)設(shè)的情境較為新穎,解題的關(guān)鍵在于吃透題意,并根據(jù)給出的新定義將問題轉(zhuǎn)化為在特定區(qū)間求不等式的問題.

        解析對(duì)于問題(1)根據(jù)給出的新定義,可知要想滿足題意,則|f(x)-g(x)|>2在[0,1]上恒成立.即|x2+x+1|>2在[0,1]上恒成立.

        問題(2)將問題轉(zhuǎn)化為|x2+x+1|>2在[a,a+1]上恒成立,因?yàn)閥=x2+x+1,Δ<0,所以問題轉(zhuǎn)化為x2+x-1>0在[a,a+1]上恒成立.

        問題(3)問題轉(zhuǎn)化為|F(x)-G(x)|>2在[1,2]上恒成立,整理得到

        即cx+c-x>4.

        6 用于解決實(shí)際問題

        不等式在解決實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用.運(yùn)用不等式解答實(shí)際問題時(shí)應(yīng)注重充分吃透題意,通過認(rèn)真審題把握相關(guān)參數(shù)之間的邏輯關(guān)系,構(gòu)建對(duì)應(yīng)的不等關(guān)系.

        (1)要使調(diào)整后的研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前的100人的年總投入,調(diào)整后的技術(shù)人員最多有多少人?

        (2)是否存在實(shí)數(shù)m,同時(shí)滿足:技術(shù)人員的年人均投入始終不減少;調(diào)整后研發(fā)人員的年總投入始終不低于調(diào)整后技術(shù)人員的年總投入?若存在求出m的值,若不存在,說明理由.

        該題來源于生活.要想正確作答需要認(rèn)真審題,從題干中抽象出相關(guān)參數(shù)的不等關(guān)系,運(yùn)用不等式性質(zhì)進(jìn)行求解.

        解析(1)根據(jù)題意可知,調(diào)整后研發(fā)人員有(100-x)人,年人均投入[1+(4x)%)]a.

        由題意可知(100-x)[1+(4x)%)]a≥100a,解得0≤x≤75.

        又因?yàn)?5≤x≤75,所以調(diào)整后的技術(shù)人員最多有75人.

        綜上可得存在這樣的m滿足題意,此時(shí)m=7.

        高中數(shù)學(xué)教學(xué)中為使學(xué)生認(rèn)識(shí)到不等式的重要作用,掌握運(yùn)用不等式解答相關(guān)習(xí)題的思路與技巧,應(yīng)注重與學(xué)生一起推導(dǎo)不等式的相關(guān)性質(zhì)與結(jié)論.同時(shí),優(yōu)選經(jīng)典習(xí)題,在課堂上為學(xué)生展示具體的解題過程,并鼓勵(lì)學(xué)生做好聽課的總結(jié),更好地加深印象,牢固地掌握所學(xué).

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