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        高中數(shù)學解題中不等式的應用

        2022-06-23 02:46:50徐天保
        數(shù)理化解題研究 2022年16期
        關鍵詞:最值題意單調

        徐天保

        (安徽師范大學附屬中學 241001)

        應用不等式可解答高中數(shù)學中的求最值、比較大小、求取值范圍、證明結論等問題.常用的思路有:運用基本不等式、運用函數(shù)單調性、運用放縮法等.授課中除為學生講解相關理論,提高其應用不等式解題的意識,還應做好相關的應用示范,使其積累相關的應用經驗.

        1 用于求最值

        高中數(shù)學習題中的求最值無外乎求最大值、最小值,尤其遇到求單個參數(shù)的最值時通常分離參數(shù),而后結合已知條件拼湊出基本不等式的形式,運用基本不等式求解.運用基本不等式求最值應確保其滿足“一正二定三相等”,尤其不能生搬硬套,否則可能得出錯誤結果.

        例1已知x,y為正實數(shù)且滿足關系式x+y+3=xy,對任意的x,y均有(x+y)2-a(x+y)+6≥0恒成立,則實數(shù)a的最大值為____.

        該題不滿足運用基本不等式的條件,此時需要運用函數(shù)性質進行突破.

        解析因為正實數(shù)x,y滿足關系式

        即(x+y)2-4(x+y)-12≥0.

        解得x+y≥6或x+y≤-2(舍去).

        又因為(x+y)2-a(x+y)+6≥0恒成立,

        由對勾函數(shù)性質可知,其在[6,+∞)上單調遞增,則f(t)min=7.

        因此,a的最大值為7.

        2 用于比較大小

        運用不等式比較大小主要有兩種思路:思路1,借助所學函數(shù)的單調性直接進行比較.思路2,構造出新的函數(shù),運用導數(shù)研究其在對應區(qū)間的單調性,而后比較大小.其中思路2難度較大,教學中應注重為學生展示經典的例題,使其掌握相關的解題技巧.

        例2設a=3π,b=π3,c=33,則a,b,c的大小關系為( ).

        A.b>a>cB.c>a>b

        C.a>b>cD.b>c>a

        觀察可知a和c,b和c可直接運用指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)性質進行比較.而比較a,b的大小,則需要構造函數(shù),運用導數(shù)知識分析.

        解析因為冪函數(shù)y=x3在(0,+∞)上單調遞增,而π>3,所以b>c.

        又因為y=3x在R上單調遞增,π>3,

        所以a>c.

        因為a=3π,b=π3,等式兩邊均取對數(shù)得到lna=πl(wèi)n3,lnb=3lnπ.

        則當x>e時,f′(x)<0,則f(x)單調遞減.

        即πl(wèi)n3>3lnπ,lna>lnb.

        即a>b,所以a>b>c,故選C.

        3 用于求取值范圍

        求解參數(shù)取值范圍是高中數(shù)學中的重要題型.相關的習題情境復雜多變,解題思路靈活多樣,其中從不等式視角切入有時會取得意想不到的效果,因此,高中數(shù)學授課中應做好該類題型的歸類,與學生一起總結相關的解題思路.

        該題具有一定的技巧性,需要運用不等式知識構建新的不等關系,而后結合函數(shù)性質求出其最值.

        即1

        4 用于證明結論

        高中數(shù)學證明類的習題一般具有較大的難度,對學生的綜合能力要求較高.其中證明不等關系時需要結合所學的不等式知識進行針對性的放縮.

        該習題以數(shù)列為背景考查了構造法、錯位相減法、放縮法等知識,難度較大,尤其放縮時應結合證明的結論,把握放縮的度.

        解析因為an+1=2an+2,

        所以an+1+2=2(an+2).

        而a1+2=5,所以{an+2}是以5為首項,以2為公比的等比數(shù)列.

        5 用于解答新情境問題

        新情境問題在高中數(shù)學測試以及高考中多有出現(xiàn),能很好地考查學生遷移所學知識解決問題的能力.解答該類問題的關鍵在于對要求解的問題進行轉化,化陌生為熟悉,尤其能夠根據(jù)題干描述構建新的不等關系,運用不等式以及函數(shù)性質進行突破.

        例5 若兩個函數(shù)y=f(x)和y=g(x)對任意的x∈[a,b]都有|f(x)-g(x)|>2,則稱函數(shù)在[a,b]上是疏遠的.

        (1)已知命題“函數(shù)f(x)=x2+2x-1和g(x)=x-2在[0,1]上是疏遠的”,試判斷該命題真假,若為真命題請予以證明,若為假命題請舉出反例;

        (2)若函數(shù)f(x)=x2+2x-1和g(x)=x-2在[a,a+1]上是疏遠的,求實數(shù)a的取值范圍;

        該習題創(chuàng)設的情境較為新穎,解題的關鍵在于吃透題意,并根據(jù)給出的新定義將問題轉化為在特定區(qū)間求不等式的問題.

        解析對于問題(1)根據(jù)給出的新定義,可知要想滿足題意,則|f(x)-g(x)|>2在[0,1]上恒成立.即|x2+x+1|>2在[0,1]上恒成立.

        問題(2)將問題轉化為|x2+x+1|>2在[a,a+1]上恒成立,因為y=x2+x+1,Δ<0,所以問題轉化為x2+x-1>0在[a,a+1]上恒成立.

        問題(3)問題轉化為|F(x)-G(x)|>2在[1,2]上恒成立,整理得到

        即cx+c-x>4.

        6 用于解決實際問題

        不等式在解決實際問題中有著廣泛的應用.運用不等式解答實際問題時應注重充分吃透題意,通過認真審題把握相關參數(shù)之間的邏輯關系,構建對應的不等關系.

        (1)要使調整后的研發(fā)人員的年總投入不低于調整前的100人的年總投入,調整后的技術人員最多有多少人?

        (2)是否存在實數(shù)m,同時滿足:技術人員的年人均投入始終不減少;調整后研發(fā)人員的年總投入始終不低于調整后技術人員的年總投入?若存在求出m的值,若不存在,說明理由.

        該題來源于生活.要想正確作答需要認真審題,從題干中抽象出相關參數(shù)的不等關系,運用不等式性質進行求解.

        解析(1)根據(jù)題意可知,調整后研發(fā)人員有(100-x)人,年人均投入[1+(4x)%)]a.

        由題意可知(100-x)[1+(4x)%)]a≥100a,解得0≤x≤75.

        又因為45≤x≤75,所以調整后的技術人員最多有75人.

        綜上可得存在這樣的m滿足題意,此時m=7.

        高中數(shù)學教學中為使學生認識到不等式的重要作用,掌握運用不等式解答相關習題的思路與技巧,應注重與學生一起推導不等式的相關性質與結論.同時,優(yōu)選經典習題,在課堂上為學生展示具體的解題過程,并鼓勵學生做好聽課的總結,更好地加深印象,牢固地掌握所學.

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