高繼浩

(四川省名山中學(xué) 625100)

1 試題呈現(xiàn)

(1)求曲線C的方程；

(2)過點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線l1,l2,l1交曲線C于A,B兩點(diǎn),l2交曲線C于S,T兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M,線段ST的中點(diǎn)為N.證明：直線MN過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

(2)直線MN過定點(diǎn)(3,0).

2 結(jié)論推廣

試題中點(diǎn)F為雙曲線的右焦點(diǎn),對(duì)第(2)問進(jìn)行一般化推廣得到：

將右焦點(diǎn)變?yōu)閤軸上異于坐標(biāo)原點(diǎn)的一點(diǎn),則命題1進(jìn)一步推廣為：

當(dāng)直線l1,l2的斜率都存在時(shí),將垂直關(guān)系變?yōu)樾甭手e為定值λ,則命題2再推廣為：

當(dāng)直線l1或l2的斜率不存在時(shí),易知命題2成立,當(dāng)直線l1,l2的斜率都存在時(shí),命題3更具一般性,故只證命題3.

證明(1)若λ≠0,設(shè)直線l1的方程為

y=k(x-t),

聯(lián)立直線l1與雙曲線的方程,消去y得

(b2-a2k2)x2+2a2tk2x-a2(b2+t2k2)=0.

則b2-a2k2≠0,Δ>0,且

易知λ≠k2.

故直線MN的斜率為0.

①若λ≠-k2,則

故直線MN的方程為

②若λ=-k2,則

故直線MN的方程為

(2)若λ=0,則直線l1,l2中有一條斜率為0,另一條斜率不為0,即M,N兩點(diǎn)中其中一個(gè)坐標(biāo)為(0,0),此時(shí)直線MN過定點(diǎn)(0,0),顯然命題成立.

綜上,命題得證.

3 類比引申

受文[1][2]啟發(fā),筆者將命題2和命題3引申到了橢圓和拋物線中.

命題4、命題5的證明方法分別同命題2、命題3,略.

證明顯然λ≠0,設(shè)直線l1的方程為y=k(x-t),

聯(lián)立直線l1與拋物線的方程,消去y得

k2x2-2(tk2+p)x+t2k2=0.

則Δ>0,且

同理可得

易知λ≠k2.

若λ≠-k2,則

故直線MN的方程為

若λ=-k2,則

故直線MN的方程為

綜上,命題得證.