李秀元

(湖北省武穴市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) 435400)

解題經(jīng)驗(yàn)?zāi)茏屛覀兛焖偕钊腩}目，獲得試題的解，為考試贏得寶貴時(shí)間.然而，經(jīng)驗(yàn)又會(huì)形成思維定勢(shì)，有時(shí)能使人入乎其內(nèi)，久而不得其勢(shì).如果缺乏高瞻遠(yuǎn)矚、審時(shí)度勢(shì)、運(yùn)籌帷幄的大局觀，反而會(huì)阻礙解題，實(shí)在是一把雙刃劍.審題度式，具體問題具體分析，縱橫捭闔才是解題應(yīng)有的模樣.《中國高考評(píng)價(jià)體系說明》指出，高考試題應(yīng)“關(guān)注與創(chuàng)新密切相關(guān)的能力和素養(yǎng)，比如獨(dú)立思考能力、發(fā)散思維、逆向思維等，考查學(xué)生敏銳發(fā)覺舊事物缺陷、捕捉新事物萌芽的能力，考查學(xué)生進(jìn)行新穎的推測(cè)和設(shè)想，并周密論證的能力，考查學(xué)生探索新方法、積極主動(dòng)解決問題的能力，鼓勵(lì)學(xué)生擺脫思維定勢(shì)的束縛，勇于大膽創(chuàng)新”，這為破除題海戰(zhàn)、機(jī)械刷題，培養(yǎng)和提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)指明了方向.

下面以2021年安徽省黃山市聯(lián)考的一道導(dǎo)數(shù)解答題為例，談解題經(jīng)驗(yàn)下的解題實(shí)踐，由此獲得一些思考，希望對(duì)同學(xué)們有所幫助.

1 試題呈現(xiàn)與解讀

題目已知函數(shù)f(x)=x2-(a-2)x-alnx(a∈R).

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a=1時(shí)，證明：對(duì)任意的x>0，f(x)+ex>x2+x+2.

該題結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，設(shè)問層次分明，指向明確，主要考查利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及導(dǎo)數(shù)背景下函數(shù)不等式的證明，涉及的思想方法包括分類討論和數(shù)形結(jié)合，核心素養(yǎng)涵蓋數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)建模等.作為周測(cè)題，我們認(rèn)為該題比較基礎(chǔ)，況且第(2)小題不等式還不含參數(shù)，但考試結(jié)果卻不是很理想.

2 試題解法探究與思考

2.1 第(1)問解析

解析函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).

①若a≤0，則f′(x)>0.

所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

因此，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,+∞)；

反思2函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)的單調(diào)性是不同對(duì)象，要區(qū)別對(duì)待，很多學(xué)生在表述時(shí)往往混為一團(tuán).函數(shù)的單調(diào)性是描述函數(shù)值隨自變量變化而變化的整體表現(xiàn)，依托自變量的取值范圍，而函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是反映函數(shù)相同變化規(guī)律下，自變量取值的最大連續(xù)范圍，以增區(qū)間或減區(qū)間的形式出現(xiàn)，間隔的單調(diào)增(減)區(qū)間一般需要分開寫.

2.2 第(2)問解析

解析a=1時(shí)，f(x)=x2+x-lnx.

不等式f(x)+ex>x2+x+2可化為ex-lnx>2.

方法1 借助隱零點(diǎn).

證明函數(shù)不等式，一般先研究函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的最值(或取值范圍)以獲得問題的解.如果函數(shù)的極值點(diǎn)不確定，那么就會(huì)使用隱零點(diǎn).

當(dāng)0

當(dāng)x>x0時(shí)，g′(x)>0.

所以g(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減，在(x0,+∞)上單調(diào)遞增，從而g(x)min=g(x0)，下面只需證明g(x0)>2.但似乎又回到了起點(diǎn)，于事無補(bǔ)，因?yàn)閺慕Y(jié)構(gòu)上看最小值與原函數(shù)是一樣的，僅僅是多了一個(gè)更小的范圍，因此需要對(duì)式子進(jìn)行變形.

策略1 替換指數(shù)式.

則需證明m(x)>2.

反思4 導(dǎo)數(shù)并非是確定函數(shù)單調(diào)性的唯一方式，也不一定是最簡(jiǎn)潔的方式，卻是確定函數(shù)單調(diào)性的最后方式.對(duì)于較復(fù)雜函數(shù)，一般通過求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，受這種思維定勢(shì)的影響，不少學(xué)生凡函數(shù)必求導(dǎo)，反而舍去了利用基本初等函數(shù)單調(diào)性來確定復(fù)雜函數(shù)單調(diào)性這一直接方法，于無形中增大了思維量和運(yùn)算量，少了解題的靈活性.

反思5 為什么所證不等式不成立？難道是題目存在問題？如果題目沒有問題，問題究竟出在哪里？如何去修正？

即g(x0)>2，證畢.

策略2 指對(duì)式同時(shí)替換.

如果化簡(jiǎn)的力度再大點(diǎn)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)不等式中的指數(shù)和對(duì)數(shù)式都可以被替換.

兩邊取自然對(duì)數(shù)，得lnx0=-x0，

利用指數(shù)式和對(duì)數(shù)式互化，將函數(shù)化為一般函數(shù)，所證不等式轉(zhuǎn)化為基本不等式模型，少了更多計(jì)算與嘗試，輕輕松松便解決了問題，實(shí)在是妙！

方法2 重構(gòu)不等式，分別求值.

回到原不等式，如果僅僅抵消x2，便得到ex-lnx+x>x+2，把ex和lnx調(diào)整到不等式的兩邊，重組后有ex-x-1>lnx-x+1.有沒有眼前一亮的感覺？

令y1=ex-x-1，y2=lnx-x+1，則

顯然y1>y2，即ex-x-1>ln-x+1，不等式證畢.

多么精妙的證法呀！

反思7 方法2的證明，完全避開了方法1中的各種不適，要的只是一種結(jié)構(gòu)重組.然而，在進(jìn)行不等式化簡(jiǎn)時(shí)，貪圖方便簡(jiǎn)潔，我們?cè)缭绲叵チ讼嗤?xiàng)，看似簡(jiǎn)單，卻完全忽視不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，實(shí)則是給自己挖了一個(gè)大坑.簡(jiǎn)單問題復(fù)雜化，實(shí)在可惜！

基于方法2，我們有下面的方法3.

方法3 利用指數(shù)不等式放縮.

由上可知，當(dāng)x>0時(shí)，ex>x+1.

因此ex-lnx>x+1-lnx，如果x+1-lnx≥2恒成立，則原不等式也就恒成立.

事實(shí)上，x+1-lnx≥2即為lnx≤x-1，這也是成立的.

所以ex-lnx>x+1-lnx≥2.

即ex-lnx>2.

類似地，也可以利用對(duì)數(shù)不等式進(jìn)行放縮，請(qǐng)大家自己完成.

反思8ex>x+1(x≠0)和lnx≤x-1(x>0)是導(dǎo)數(shù)問題中經(jīng)常用來“化曲為直”的放縮方式，也是教材習(xí)題，理當(dāng)被記住.從幾何結(jié)構(gòu)來看，由于函數(shù)y=ex是下凸，而函數(shù)y=lnx是上凸，兩條平行直線(其實(shí)就是曲線的切線)將兩曲線完全分割開，使得不等式具有非常明顯的幾何特點(diǎn)，基于此，我們可以求出兩曲線上點(diǎn)間距離的最小值，如2012年高考全國卷理科試題，摘錄如下，供大家參考.

在解題經(jīng)驗(yàn)指引下，通過對(duì)試題解法研究，我們經(jīng)歷了很多變數(shù)，最終獲得了更優(yōu)證明方法.這中間解題經(jīng)驗(yàn)起到了很好的指導(dǎo)作用，但完全依賴解題經(jīng)驗(yàn)，如果不能突破思維定勢(shì)，解題的局限性就顯露無疑，面對(duì)新的問題情境，可能就會(huì)束手無策，解題當(dāng)思之.