卓曉萍

(廣東省莆田第二中學(xué) 351131)

含參數(shù)恒成立問(wèn)題在近年高考及各地市高三質(zhì)檢試題中頻頻出現(xiàn)，這類問(wèn)題常常與導(dǎo)數(shù)結(jié)合起來(lái)考查，解法靈活多變，難度不?。疚囊砸坏栏呷|(zhì)檢試題為抓手，從不同的角度進(jìn)行思路分析，對(duì)解題難點(diǎn)進(jìn)行分析突破，領(lǐng)悟其中的方法與規(guī)律，揭示求解這類問(wèn)題的基本策略．

1 題目呈現(xiàn)

題目已知函數(shù)g(x)=x3+mx+2，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，均有g(shù)(ex+1)≥g(x)，求m的取值范圍.

2 解法賞析

解法1(參變分離)由g(ex+1)≥g(x) ，得

(ex+1)3+mex+1≥x3+mx.

即-m(ex+1-x)≤(ex+1)3-x3

=(ex+1-x)[(ex+1)2+xex+1+x2].

易證ex+1>x.

上式可化為-m≤(ex+1)2+xex+1+x2.

令h(x)=(ex+1)2+xex+1+x2，

則h′(x)=2e2x+2+xex+1+ex+1+2x

=2(ex+1-1)(ex+1+1)+(x+1)(ex+1+2).

因?yàn)閔′(-1)=0，

當(dāng)x>-1時(shí)，ex+1-1>0，

x+1>0，ex+1+1>0，

ex+1+2>0，

得h′(x)>0；

當(dāng)x<-1時(shí)，ex+1-1<0，

x+1<0，

ex+1+1>0，

ex+1+2>0，

得h′(x)<0.

所以h(x)在區(qū)間(-1,+∞)上單調(diào)遞增，h(x)在區(qū)間(-∞,-1)上單調(diào)遞減.

所以h(x)≥h(-1)=1.

即-m≤1.

即m≥-1.

評(píng)析本法解題策略是完全分離參數(shù)，難點(diǎn)是分參過(guò)程中要注意觀察不等式兩邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)有相同因式“ex+1-x”，從而轉(zhuǎn)化為-m≤(ex+1)2+xex+1+x2，則把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為新函數(shù)h(x)=(ex+1)2+xex+1+x2的最小值，對(duì)h(x)求導(dǎo)后得h′(x)=2e2x+2+xex+1+ex+1+2x，若繼續(xù)進(jìn)行求導(dǎo)有h″(x)=4e2x+2+xex+1+2ex+1+2，h?(x)=8e2x+2+xex+1+3ex+1都難以確定導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)和符號(hào).故先觀察h′(x)式子的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)到h′(-1)=0，則轉(zhuǎn)換為對(duì)h′(x)進(jìn)行變形h′(x)=2e2x+2-2+(x+1)ex+1+2(x+1)=2(ex+1-1)(ex+1+1)+(x+1)(ex+1+2)，實(shí)現(xiàn)了部分因式分解，有利于進(jìn)一步分析x=-1兩側(cè)h′(x)的符號(hào)，從而突破了本題的難點(diǎn).

解法2 (巧妙放縮)由g(x)=x3+mx+2，

記h(x)=ex+1-x，

易證ex≥x+1，

ex+1-x≥x+2-x=2

當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)等號(hào)成立.

令ex+1-x=t，則

g(ex+1)-g(x)

=[(x+t)3+m(x+t)+2]-(x3+mx+2)

對(duì)t≥2恒成立，

所以1+m≥0.

解得m≥-1.

3 解題反思

3.1含參數(shù)不等式f(x)≥0(x∈D)恒成立問(wèn)題切入點(diǎn)

(1)區(qū)間的端點(diǎn)值為a，若f(a)=0，可借助f′(a)≥0探尋必要條件；

(2)區(qū)間中間值為m，若f(m)=0，可轉(zhuǎn)化為x=m是f(x)的極值點(diǎn)；

(3)特殊值x0代入f(x0)≥0，探尋必要條件；

(4)優(yōu)化不等式的結(jié)構(gòu)，有利于后續(xù)對(duì)導(dǎo)函數(shù)的進(jìn)一步分析.

3.2 含參數(shù)不等式f(x)≥0(x∈D)恒成立問(wèn)題常見解法

(1)把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=f(x)的最小值；

(2)完全分離參數(shù)得a≥g(x)，求函數(shù)y=g(x)的最大值；

(3)部分分離參數(shù)F(x)≥G(x)，數(shù)形結(jié)合或分析函數(shù)y=F(x)與y=G(x)的最值.

3.3 求解函數(shù)f(x)最值過(guò)程的關(guān)注點(diǎn)

(1)f(x)的最值在端點(diǎn)處取到可能利用洛必達(dá)法則；

(2)f(x)的最值在顯極值點(diǎn)處取到，需要觀察f′(x)的零點(diǎn)，以及因式分解或?qū)′(x)結(jié)構(gòu)分析；

(3)f(x)的最值在隱極值點(diǎn)處取到，需要用零點(diǎn)存在定理分析f′(x)的零點(diǎn)x0，以及對(duì)f′(x0)=0整體代換以便化簡(jiǎn)f(x0).

4 變式訓(xùn)練

變式1 已知f(x)=(x+3)e-x+2x，若f(x)≤ax2+3，求a的取值范圍.

解析令F(x)=(x+3)e-x+2x-ax2-3，

觀察F(0)=0，

分析知x=0是F(x)的極大值點(diǎn)，

進(jìn)一步逆推

F″(x)在x=0處取到最大值，

另外，由F(1)≤0，得

縮小了參數(shù)的范圍，減少了分類討論的情況.

解析特?cái)?shù)值代入不等式探尋必要條件：

0·e0+0·cos0-0-0≥m，

解得m≤0.

再證明當(dāng)m≤0時(shí)，

xex+xcosx-2x-x2=x(ex+cosx-2-x)≥m.

觀察h′(2)=0，

從而對(duì)h′(x)因式分解，

分析出x=2是h(x)的極小值點(diǎn).