牛紅麗，趙亞枝

北京科技大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京 100083

股票市場(chǎng)是金融市場(chǎng)的重要組成部分，能夠在一定程度上反映國(guó)家的經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r。提前預(yù)判股票市場(chǎng)的走勢(shì)，有助于國(guó)家監(jiān)管部門了解經(jīng)濟(jì)的運(yùn)行情況，出臺(tái)相關(guān)政策對(duì)市場(chǎng)進(jìn)行調(diào)整，維護(hù)經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定健康發(fā)展。同時(shí)，股票市場(chǎng)也是投資市場(chǎng)最重要的組成部分，與其他行業(yè)相比，股票市場(chǎng)是高投資回報(bào)率與高風(fēng)險(xiǎn)并存的，有效的股票價(jià)格預(yù)測(cè)可以幫助投資者規(guī)避投資時(shí)的高風(fēng)險(xiǎn)。因此預(yù)測(cè)股票價(jià)格對(duì)政策制定者和投資者有著十分重要的意義。

由于影響股票價(jià)格的因素眾多，使得股票價(jià)格時(shí)間序列具有非線性、非平穩(wěn)性和高噪聲的特點(diǎn)，導(dǎo)致對(duì)其價(jià)格的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)非常困難。國(guó)內(nèi)外學(xué)者在股票價(jià)格研究方法上做了許多的研究。早期，計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法被學(xué)者們用于股票價(jià)格預(yù)測(cè)，學(xué)者們利用統(tǒng)計(jì)學(xué)理論對(duì)股票價(jià)格的波動(dòng)和趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)研究，指導(dǎo)投資者的投資活動(dòng)。學(xué)者們常用的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型包括自回歸滑動(dòng)平均模型（ARMA）、差分整合移動(dòng)平均自回歸模型（ARIMA）、廣義自回歸條件異方差模型（GARCH）。例如，吳玉霞等[1]使用ARIMA模型預(yù)測(cè)創(chuàng)業(yè)板股票價(jià)格的走勢(shì)和變化趨勢(shì)，投資者和企業(yè)在決策時(shí)可參考其預(yù)測(cè)結(jié)果。李木易等[2]對(duì)股票波動(dòng)率特征進(jìn)行分析并提出了新的動(dòng)態(tài)混合HGARCH模型對(duì)股票日內(nèi)波動(dòng)率進(jìn)行分析預(yù)測(cè)，提出模型能夠更好地刻畫波動(dòng)率特征。金瑤和蔡之華[3]將AR模型和Kalman濾波結(jié)合起來(lái)預(yù)測(cè)股票價(jià)格，新的方法克服了單一模型的缺點(diǎn)，取得了更好的預(yù)測(cè)結(jié)果。上述研究雖然取得了一定的成果，然而，計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型有很嚴(yán)格的假設(shè)條件，其在處理線性數(shù)據(jù)占有優(yōu)勢(shì)，而股票價(jià)格時(shí)間序列數(shù)據(jù)具有非線性、非平穩(wěn)和高噪聲的特征，使得運(yùn)用傳統(tǒng)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法難以取得令人滿意的效果。

相對(duì)于計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法，機(jī)器學(xué)習(xí)方法無(wú)需設(shè)置任何假設(shè)條件能直接挖掘輸入數(shù)據(jù)之間的非線性關(guān)系，它的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)模式使得它具有學(xué)習(xí)精度高和泛化能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，非常適合于處理非線性、非平穩(wěn)的數(shù)據(jù)集。因此，近年來(lái)機(jī)器學(xué)習(xí)方法逐漸取代了計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法，被廣泛應(yīng)用于股票價(jià)格預(yù)測(cè)領(lǐng)域。常用的機(jī)器學(xué)習(xí)方法包括支持向量機(jī)（SVM）、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ANN）等。SVM方法的預(yù)測(cè)精度難以令人滿意，因?yàn)槠湓趯?duì)輸入數(shù)據(jù)集進(jìn)行特征選擇時(shí)，無(wú)法篩選出最合適的特征數(shù)量[4]。而人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)模式使其擁有更強(qiáng)大的學(xué)習(xí)能力，在處理非線性、非平穩(wěn)和高頻高噪聲的數(shù)據(jù)集時(shí)更有優(yōu)勢(shì)，因而，在股票價(jià)格預(yù)測(cè)領(lǐng)域的應(yīng)用更有應(yīng)用前景。近年來(lái)，學(xué)者們利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在股票價(jià)格預(yù)測(cè)領(lǐng)域做了大量的研究。例如，于卓熙等學(xué)者[5]首先采用主成分分析方法對(duì)輸入變量進(jìn)行降維后，然后通過(guò)廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)股票價(jià)格進(jìn)行預(yù)測(cè)，將其預(yù)測(cè)結(jié)果與ARIMA模型的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比，目標(biāo)模型具有更好的預(yù)測(cè)性能。由于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在參數(shù)尋優(yōu)過(guò)程中容易陷入局部最優(yōu)解，綦方中等[6]針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，利用改進(jìn)的果蠅算法尋找BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)最優(yōu)解，使其獲得了更好的預(yù)測(cè)效果。肖菁和潘中亮[7]利用LM算法改進(jìn)了三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并用遺傳算法來(lái)尋找參數(shù)的最優(yōu)解，來(lái)解決傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)容易陷入局部最優(yōu)解的問(wèn)題，實(shí)驗(yàn)結(jié)果也表明，該種方式提高了預(yù)測(cè)精度。對(duì)于高維的輸入變量，鄧烜堃等[8]使用基于受限布爾茲曼機(jī)的深度自編碼器方法對(duì)輸入數(shù)據(jù)集進(jìn)行降維，降維后的數(shù)據(jù)使用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行預(yù)測(cè)，所提出的降維方法減少了運(yùn)算開銷同時(shí)提高了BP的預(yù)測(cè)精度。利用技術(shù)方法改進(jìn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)在一定程度上避免了在參數(shù)尋優(yōu)過(guò)程中陷入局部最優(yōu)解，通過(guò)構(gòu)建降維方法篩選有效的輸入變量可以減少神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的計(jì)算負(fù)擔(dān)同時(shí)可以提高模型的預(yù)測(cè)精度，但傳統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在預(yù)測(cè)時(shí)往往容易出現(xiàn)過(guò)度擬合的現(xiàn)象，導(dǎo)致模型的樣本外預(yù)測(cè)能力變差[9]。

與傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比，深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)金融時(shí)間序列預(yù)測(cè)更加具有優(yōu)勢(shì)，能夠更好地學(xué)習(xí)輸入變量之間的復(fù)雜非線性關(guān)系，取得更好的樣本外擬合結(jié)果[10]。隨著計(jì)算機(jī)運(yùn)算能力的提升，深度學(xué)習(xí)方法受到廣泛關(guān)注。以RNN（recurrent neural network），LSTM（long short-term memory）和GRU（gated recurrent unit）為代表的深度學(xué)習(xí)方法，在股票價(jià)格預(yù)測(cè)領(lǐng)域開展了很多的研究。谷麗瓊等[11]使用LSTM和GRU預(yù)測(cè)股票價(jià)格，實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)GRU的預(yù)測(cè)效果略優(yōu)于LSTM模型且具有更快的訓(xùn)練速度，總體要好于LSTM模型。朱偉等[12]針對(duì)電力負(fù)荷時(shí)間序列的隨機(jī)性，使用集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解算法結(jié)合GRU模型預(yù)測(cè)短期電力負(fù)荷，發(fā)現(xiàn)與RNN相比，GRU的預(yù)測(cè)效果更好。Saud等[13]比較了三種深度學(xué)習(xí)模型，RNN、LSTM和GRU的股票價(jià)格預(yù)測(cè)性能，發(fā)現(xiàn)GRU能夠更快更高質(zhì)量的訓(xùn)練模型，有更好的股價(jià)預(yù)測(cè)能力。張倩玉等[14]將集成經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解算法結(jié)合門控循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行股票價(jià)格預(yù)測(cè)實(shí)驗(yàn)，得出與RNN、LSTM相比，GRU模型能夠有效減少預(yù)測(cè)誤差，提高模型預(yù)測(cè)能力的結(jié)論。黨建武和從筱卿[15]針對(duì)股票數(shù)據(jù)非線性的特點(diǎn)，將CNN與GRU結(jié)合，發(fā)現(xiàn)GRU能夠利用其獨(dú)特的門結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)的時(shí)間依賴關(guān)系和復(fù)雜非線性關(guān)系。門控循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（GRU）克服了RNN在學(xué)習(xí)長(zhǎng)期依賴關(guān)系時(shí)存在的梯度消失和梯度爆炸的缺點(diǎn)[16]，能夠充分保留時(shí)間序列的歷史信息且運(yùn)算速度快，成為了當(dāng)今預(yù)測(cè)股票價(jià)格走勢(shì)的熱門工具。

Bagging[17]方法是一種集成學(xué)習(xí)方法，可以將多個(gè)預(yù)測(cè)模型組合起來(lái)，每種預(yù)測(cè)模型都使用經(jīng)原始訓(xùn)練集采樣得到的訓(xùn)練樣本集來(lái)構(gòu)建預(yù)測(cè)模型。當(dāng)它用于預(yù)測(cè)時(shí)，不僅可以降低預(yù)測(cè)的誤差，還可以降低結(jié)果的方差，避免過(guò)擬合的發(fā)生，使得預(yù)測(cè)結(jié)果更加穩(wěn)定。例如，Karol[18]將Bagging算法與單個(gè)隱含層的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合預(yù)測(cè)波蘭的通貨膨脹數(shù)據(jù)，通過(guò)與單個(gè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果比較，該模型表現(xiàn)出更好的預(yù)測(cè)性能。Yin等[19]使用Bagging方法對(duì)股票溢價(jià)進(jìn)行預(yù)測(cè)，與LASSO方法相比，不管是經(jīng)濟(jì)繁榮還是衰退時(shí)期均取得了更多的經(jīng)濟(jì)收益。王康等[20]為了提高電力系統(tǒng)短期負(fù)荷預(yù)測(cè)精度，引入Bagging算法對(duì)雙向加權(quán)GRU模型進(jìn)行集成處理來(lái)提高模型的預(yù)測(cè)能力。Khwaja等[21]提出將裝袋與ANN結(jié)合來(lái)改善短期電力負(fù)荷預(yù)測(cè)，通過(guò)實(shí)際數(shù)據(jù)證明，與單個(gè)ANN相比，兩個(gè)方法結(jié)合后減少了負(fù)荷預(yù)測(cè)誤差，并且在不同實(shí)例為并行的10個(gè)集合中，負(fù)荷預(yù)測(cè)的誤差變化較小。

上述研究表明，GRU能夠捕獲金融時(shí)間序列的長(zhǎng)期依賴關(guān)系且運(yùn)算速度快，在股價(jià)預(yù)測(cè)中極具優(yōu)勢(shì)。Bagging方法用于預(yù)測(cè)研究時(shí)可以減少預(yù)測(cè)誤差，提高預(yù)測(cè)精度。為此，本文引入Bagging方法并結(jié)合GRU神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)股價(jià)指數(shù)進(jìn)行建模分析。首先，用Bagging方法對(duì)訓(xùn)練集進(jìn)行采樣10次，然后使用GRU模型對(duì)采樣得到的訓(xùn)練集樣本分別進(jìn)行預(yù)測(cè)，最后對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果取平均值得到最終預(yù)測(cè)結(jié)果。通過(guò)一個(gè)國(guó)內(nèi)指數(shù)（上證指數(shù)）和一個(gè)國(guó)際指數(shù)（德國(guó)DAX）為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)本文構(gòu)建的預(yù)測(cè)模型與其他三個(gè)基準(zhǔn)模型（未加入裝袋算法的GRU模型，極限學(xué)習(xí)機(jī)模型ELM和BP）的預(yù)測(cè)效果進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證本文所提出方法的有效性和實(shí)用性。

本文旨在提出一種有效的股價(jià)預(yù)測(cè)方法，為監(jiān)管部門了解股市運(yùn)行狀況，制定有效的調(diào)整政策和幫助投資者規(guī)避股市的高風(fēng)險(xiǎn)，提高投資回報(bào)率提供一個(gè)有力的工具。本文的主要?jiǎng)?chuàng)新之處在于：（1）將Bagging方法引入到股指建模預(yù)測(cè)中去，通過(guò)對(duì)訓(xùn)練數(shù)據(jù)集進(jìn)行多次采樣，引入了隨機(jī)性，降低了預(yù)測(cè)結(jié)果的方差和誤差。（2）針對(duì)采樣生成的多個(gè)訓(xùn)練集，采用GRU對(duì)其分別進(jìn)行預(yù)測(cè)，GRU模型更好地捕獲了復(fù)雜金融時(shí)間序列的長(zhǎng)期依賴性，能夠?yàn)榉蔷€性的金融時(shí)間序列建模提供參考。（3）引入Bagging方法與GRU神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合，構(gòu)建了集成學(xué)習(xí)框架，給機(jī)器學(xué)習(xí)建模設(shè)計(jì)提供了參考方向。

1 模型構(gòu)建

1.1 GRU神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

RNN不能很好地學(xué)習(xí)股票時(shí)間序列的長(zhǎng)期依賴關(guān)系，在訓(xùn)練過(guò)程中極易發(fā)生梯度消失和爆炸現(xiàn)象，使得模型陷入局部最優(yōu)解[22]。為了解決這一問(wèn)題，Hochreiter和Schmidhuber提出了LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[23]。LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與RNN相比做了一些改進(jìn)，增加了能夠保存長(zhǎng)期狀態(tài)的單元狀態(tài)（cell state）結(jié)構(gòu)，以及三個(gè)對(duì)單元狀態(tài)進(jìn)行控制的門（gate）結(jié)構(gòu)，分別是遺忘門（forget gate）、輸入門（input gate）和輸出門（output gate）。三個(gè)控制門的存在，使得LSTM可以保存更長(zhǎng)時(shí)間的信息。此外，可以通過(guò)LSTM的內(nèi)部參數(shù)共享，設(shè)置權(quán)重矩陣維度控制輸出維度。LSTM在輸入和反饋之間建立長(zhǎng)時(shí)間的延遲可以避免產(chǎn)生梯度消失或者梯度爆炸現(xiàn)象，能夠很好地學(xué)習(xí)長(zhǎng)期依賴關(guān)系。而GRU[24]改進(jìn)了LSTM復(fù)雜的單元結(jié)構(gòu)，減少并且合并了LSTM的門結(jié)構(gòu)，在保證精度的基礎(chǔ)上增加了網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的速度[25]。與LSTM有三個(gè)門（輸入門、遺忘門、輸出門）相比，GRU只有更新門（update gate）和重置門（reset gate），相關(guān)細(xì)節(jié)如下所示：

（1）將輸入門、遺忘門、輸出門變?yōu)楦麻TZt和重置門rt。

（2）將LSTM的單元狀態(tài)ct與輸出合并為一個(gè)狀態(tài)ht，圖1為GRU神經(jīng)元的單元結(jié)構(gòu)。

圖1 GRU神經(jīng)元結(jié)構(gòu)Fig.1 GRU neuron structure

更新門Zt決定了上一時(shí)刻隱藏狀態(tài)中有多少信息傳遞到當(dāng)前隱藏狀態(tài)ht中，重置門rt決定了上一時(shí)刻隱藏層狀態(tài)中的信息有多少是需要被遺忘的，h?t為當(dāng)前時(shí)刻的隱藏層的候選狀態(tài)，使用重置門可以決定當(dāng)前候選狀態(tài)中需要遺忘多少上一時(shí)刻隱藏狀態(tài)ht-1的內(nèi)容。W是權(quán)重矩陣，b是偏差向量，[ht-1,xt]表示兩個(gè)向量的連接，σ和tanh是S型或者雙曲正切函數(shù)。GRU單元的工作流程可以歸納為式（1）～式（4）：

其中，?代表矩陣相乘，⊙代表矩陣對(duì)應(yīng)元素相乘。與LSTM相比，GRU僅通過(guò)更新門Zt和重置門rt實(shí)現(xiàn)對(duì)信息的保留和遺忘，加快了訓(xùn)練速度。

1.2 裝袋（Bagging）

Bagging[17]方法是一種集成學(xué)習(xí)方法，可以將多個(gè)預(yù)測(cè)模型組合起來(lái)，每種預(yù)測(cè)模型都使用經(jīng)過(guò)原始訓(xùn)練集采樣產(chǎn)生的訓(xùn)練集樣本來(lái)構(gòu)建預(yù)測(cè)模型。當(dāng)它用于預(yù)測(cè)時(shí)，通過(guò)對(duì)訓(xùn)練集進(jìn)行隨機(jī)化采樣處理，可以有效減少預(yù)測(cè)結(jié)果的方差，避免過(guò)擬合的發(fā)生，使得預(yù)測(cè)結(jié)果更加穩(wěn)定[20]。Bagging方法的主要過(guò)程是從初始訓(xùn)練集中隨機(jī)有放回地采樣得到T個(gè)訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，利用采樣得到的訓(xùn)練集樣本訓(xùn)練基學(xué)習(xí)器。對(duì)于預(yù)測(cè)問(wèn)題，將T個(gè)預(yù)測(cè)模型產(chǎn)生的T個(gè)預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行平均加權(quán)處理得到強(qiáng)學(xué)習(xí)器。Bagging涉及的步驟如下所示：

（1）輸入訓(xùn)練樣本集：假設(shè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入節(jié)點(diǎn)數(shù)為p，全部數(shù)據(jù)集預(yù)處理后得到m個(gè)樣本。則處理后的樣本為A1=(x1,x2,…,xp,xp+1),…,Ai=(xi,…,xi+p-1,xi+p),…,Am=(xm,…,xm+p-1,xm+p)。

（2）根據(jù)預(yù)處理得到的初始訓(xùn)練集D={A1,A2,…,Am}，從初始訓(xùn)練集中隨機(jī)有放回采集m個(gè)樣本，得到一次采樣結(jié)果Ft。

（3）迭代次數(shù)為T，對(duì)于每個(gè)t=1,2,…,T:對(duì)初始訓(xùn)練集進(jìn)行第t次隨機(jī)有放回采樣，得到采樣集Ft，用采樣集Ft訓(xùn)練第t個(gè)基模型。

1.3 Bagging-GRU集成模型

Bagging-GRU集成的架構(gòu)如圖2所示，模型結(jié)構(gòu)主要分為數(shù)據(jù)預(yù)處理、隨機(jī)采樣、訓(xùn)練、預(yù)測(cè)和集合。首先數(shù)據(jù)預(yù)處理將數(shù)據(jù)分為訓(xùn)練集和測(cè)試集，然后從輸入層的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集中隨機(jī)有放回地抽取樣本數(shù)m的樣本集，共采集T次，得到T個(gè)訓(xùn)練集。隨機(jī)有放回采樣使得這T個(gè)訓(xùn)練集互不影響。將GRU神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為基學(xué)習(xí)器，用采樣得到的樣本集訓(xùn)練GRU神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。通過(guò)T個(gè)訓(xùn)練好的GRU模型對(duì)測(cè)試集數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到T個(gè)預(yù)測(cè)結(jié)果，最后將T個(gè)預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行平均加權(quán)處理獲得最終預(yù)測(cè)結(jié)果。

圖2 Bagging集成策略Fig.2 Bagging integration strategy

2 實(shí)驗(yàn)分析

2.1 數(shù)據(jù)來(lái)源及預(yù)處理

本文采用國(guó)內(nèi)上證指數(shù)（000001）、滬深300指數(shù)和標(biāo)普500指數(shù)、恒生指數(shù)的日收盤價(jià)數(shù)據(jù)作為預(yù)測(cè)變量，數(shù)據(jù)來(lái)源于Wind數(shù)據(jù)庫(kù)。為了消除數(shù)據(jù)之間的量綱差距，首先將指數(shù)取自然對(duì)數(shù)lnP，后對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理。歸一化過(guò)程采用以下公式：

上證指數(shù)數(shù)據(jù)和標(biāo)普500指數(shù)時(shí)間范圍從2016年10月25日起至2020年11月30日止，共1 000條數(shù)據(jù)。滬深300指數(shù)數(shù)據(jù)時(shí)間范圍從2017年5月18日起至2021年6月25日止，共1 000條數(shù)據(jù)。恒生指數(shù)數(shù)據(jù)時(shí)間范圍從2017年6月7日起至2021年6月25日止，共1 000條數(shù)據(jù)。為了觀察不同預(yù)測(cè)方法對(duì)股指的預(yù)測(cè)效果，本文取各指數(shù)整體數(shù)據(jù)集最后100天作為測(cè)試數(shù)據(jù)集，剔除測(cè)試集即為對(duì)應(yīng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)集。

2.2 模型構(gòu)建與參數(shù)設(shè)置

本文的Bagging-GRU和GRU預(yù)測(cè)模型是在Python3.7中的Keras框架下搭建并完成計(jì)算的，Keras版本為2.0.5，采用Keras中的Sequential模型結(jié)構(gòu)，建立GRU預(yù)測(cè)模型。ELM和BP模型的預(yù)測(cè)是用Matlab搭建完成的。四種模型，Bagging-GRU、GRU、ELM、BP的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)都為4-4-1，即輸入節(jié)點(diǎn)數(shù)量為4，隱藏節(jié)點(diǎn)數(shù)為4，輸出節(jié)點(diǎn)為1。其中GRU模型的批處理大小（batch_size）為2，迭代次數(shù)（epoch）為100。基學(xué)習(xí)器的數(shù)目取10。

2.3 評(píng)價(jià)指標(biāo)

為了評(píng)估目標(biāo)模型Bagging-GRU的對(duì)股票價(jià)格的預(yù)測(cè)性能，本文采用平均絕對(duì)（MAE）、均方根誤差（RMSE）、平均絕對(duì)百分比誤差（MAPE）和平均絕對(duì)百分比誤差的標(biāo)準(zhǔn)差（SDAPE）[9]四種誤差評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)模型預(yù)測(cè)性能進(jìn)行評(píng)價(jià)，四種指標(biāo)的計(jì)算公式如下所示：

MAE、RMSE、MAPE是用來(lái)度量真實(shí)值與預(yù)測(cè)值之間的誤差，數(shù)值越小證明誤差越小。SDAPE的值越小代表預(yù)測(cè)結(jié)果越穩(wěn)定。

2.4 股票價(jià)格預(yù)測(cè)

為了比較它們的預(yù)測(cè)性能，進(jìn)行了對(duì)比實(shí)驗(yàn)，觀察不同模型對(duì)同一指數(shù)的單步預(yù)測(cè)效果和同一模型對(duì)不同指數(shù)的預(yù)測(cè)效果，對(duì)比分析目標(biāo)模型與其他模型的預(yù)測(cè)精度和穩(wěn)定性差異情況。

本文采用100個(gè)交易日的長(zhǎng)度衡量Bagging-GRU模型與GRU模型，ELM模型和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)四種預(yù)測(cè)算法的表現(xiàn)。圖3展示了4種建模方法的100天預(yù)測(cè)結(jié)果，表1～表4展示了4個(gè)不同指數(shù)的測(cè)試集的預(yù)測(cè)誤差。

表4 100個(gè)交易日恒生指數(shù)預(yù)測(cè)結(jié)果Table 4 Hang Seng index forecast results for 100 trading days

從圖3中可以看出，四條曲線都圍繞在真實(shí)值周圍上下波動(dòng)，其中Bagging-GRU的預(yù)測(cè)曲線與真實(shí)值曲線最為接近。從表1～4的誤差統(tǒng)計(jì)表中可以看出，GRU對(duì)上證指數(shù)的預(yù)測(cè)精度高于ELM和BP模型，穩(wěn)定度低于ELM模型高于BP模型。GRU對(duì)標(biāo)普500指數(shù)的預(yù)測(cè)精度高于ELM和BP模型，穩(wěn)定度低于上述兩種模型。對(duì)滬深300指數(shù)的預(yù)測(cè)精度要高于ELM和BP模型，但是穩(wěn)定度稍微低于ELM模型。對(duì)恒生指數(shù)的預(yù)測(cè)精度和穩(wěn)定度均高于ELM和BP模型。而ELM模型對(duì)上證指數(shù)、標(biāo)普500指數(shù)、滬深300指數(shù)和恒生指數(shù)的預(yù)測(cè)精度和穩(wěn)定度優(yōu)于BP模型。將Bagging方法和GRU模型結(jié)合以后，顯著提高了GRU的預(yù)測(cè)精度和穩(wěn)定度。以恒生指數(shù)為例，Bagging-GRU模型的MAE、RMSE、MAPE值分別為0.012 7、0.015 8、0.124 0相對(duì)于ELM的0.014 7、0.018 6、0.142 9，它的預(yù)測(cè)精度分別提高了13.6%、15.1%和13.2%；相對(duì)于BP的0.016 8、0.021 8、0.163 4，分別提高了24.4%、27.5%、24.1%；相對(duì)于GRU的0.013 3、0.017 1、0.129 5，分別提高了4.5%、7.6%和4.2%；Bagging-GRU的預(yù)測(cè)SDAPE值為0.009 1，相對(duì)于GRU（0.010 4）、ELM（0.011 1）、BP（0.013 6）穩(wěn)定度分別提升了12.5%、18.0%、33.1%，穩(wěn)定度有了大幅度提升。對(duì)于另外三個(gè)指數(shù)、精度和穩(wěn)定度都有相似程度的提升。由此可見，Bagging-GRU方法在預(yù)測(cè)股價(jià)指數(shù)時(shí)，對(duì)多種股指數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)都有效，可提高預(yù)測(cè)精度和穩(wěn)定度，對(duì)股指預(yù)測(cè)具有優(yōu)越性。

圖3 4種建模方法的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Fig.3 Comparison of long-term prediction results of four modeling methods

表1 100個(gè)交易日上證指數(shù)預(yù)測(cè)結(jié)果Table 1 Shanghai Stock exchange index forecast results in 100 trading days

表2 100個(gè)交易日標(biāo)普500指數(shù)預(yù)測(cè)結(jié)果Table 2 Forecast results of SPX500 index in 100 trading days

表3 100個(gè)交易日滬深300指數(shù)預(yù)測(cè)結(jié)果Table 3 Forecast results of the Shanghai and Shenzhen 300 index in 100 trading days

綜合來(lái)看，GRU模型在對(duì)100天股價(jià)指數(shù)預(yù)測(cè)時(shí)，相對(duì)于ELM和BP模型，在大多數(shù)情況下都有較小的預(yù)測(cè)誤差和較高的穩(wěn)定度，比較適合于用來(lái)預(yù)測(cè)非線性、非平穩(wěn)的股票價(jià)格時(shí)間序列。將Bagging方法和GRU結(jié)合起來(lái)對(duì)股票價(jià)格指數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，它的預(yù)測(cè)誤差明顯小于其他三種對(duì)比模型，預(yù)測(cè)穩(wěn)定度高于對(duì)比模型。由此可見，引入Bagging算法可以進(jìn)一步提高模型預(yù)測(cè)精度和穩(wěn)定度。

3 結(jié)語(yǔ)

本文根據(jù)股指時(shí)間序列長(zhǎng)期依賴性的特點(diǎn)，引入目前前沿的深度學(xué)習(xí)領(lǐng)域的GRU神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，結(jié)合Bagging集成方法，構(gòu)造Bagging-GRU模型，對(duì)國(guó)內(nèi)外代表性股指時(shí)間序列進(jìn)行單步預(yù)測(cè)研究。同時(shí)，與三種對(duì)照模型（GRU模型、ELM模型和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型）的100天預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，并系統(tǒng)地分析了各個(gè)預(yù)測(cè)模型的評(píng)價(jià)指標(biāo)數(shù)據(jù)，得到如下結(jié)論：（1）GRU網(wǎng)絡(luò)模型確實(shí)是比較好的股價(jià)預(yù)測(cè)模型，在預(yù)測(cè)股價(jià)時(shí)，能夠較好地捕獲非線性時(shí)間序列的特征，取得更好的預(yù)測(cè)效果。（2）將Bagging方法與GRU模型結(jié)合以后，顯著提高了GRU模型的預(yù)測(cè)效果，該模型的預(yù)測(cè)結(jié)果顯示最小的預(yù)測(cè)誤差和最大的預(yù)測(cè)穩(wěn)定度。（3）Bagging-GRU模型對(duì)多種股指時(shí)間序列的預(yù)測(cè)都有優(yōu)越的預(yù)測(cè)效果，非常適合于股票價(jià)格預(yù)測(cè)。

結(jié)合上述結(jié)論，可以看出本文構(gòu)建的Bagging-GRU模型能夠比較全面、準(zhǔn)確地掌握股指數(shù)據(jù)的變化情況，有助于決策部門和政策制定者對(duì)股票市場(chǎng)乃至金融市場(chǎng)提前預(yù)判，為相關(guān)政策制定提供參考。其次，本文構(gòu)建的機(jī)器學(xué)習(xí)模型可以監(jiān)控股票市場(chǎng)變動(dòng)，幫助投資者發(fā)現(xiàn)投資機(jī)會(huì)，提高投資回報(bào)率。本文構(gòu)建的模型還可以為其他金融市場(chǎng)時(shí)間序列預(yù)測(cè)提供實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的可調(diào)節(jié)性，未來(lái)可以對(duì)模型可以進(jìn)行進(jìn)一步改進(jìn)，例如在輸入變量上可以選擇其他非同質(zhì)化信息，也可以在技術(shù)方面對(duì)模型優(yōu)化和改進(jìn)，這是未來(lái)值得探究的方向。