趙富強 李釗鈺 高智穎 吳紅慶 牛志剛

1.太原科技大學(xué)重型機械教育部工程研究中心，太原，0300242.太原理工大學(xué)極地工程與裝備研究院，太原，030024

0 引言

當(dāng)前機械臂正向著高精度、高穩(wěn)定性方向發(fā)展，其中，采用推桿作為驅(qū)動方式的雙推桿機械臂具有安裝方便、維護簡單、行程控制精確等優(yōu)點，可應(yīng)用于特種機器人、換電站、自動生產(chǎn)線等重載場合。在實際工程中，由于雙推桿機械臂的轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)中存在間隙，會對機械臂的運動精度和控制精度造成不良影響，因此，有必要分析關(guān)節(jié)間隙對雙推桿機械臂運動性能的影響。

目前關(guān)于關(guān)節(jié)間隙對機構(gòu)運動特性影響的理論研究主要是在構(gòu)建含間隙關(guān)節(jié)的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上建立典型機構(gòu)的運動學(xué)和動力學(xué)方程。WANG等[1]提出了一種非線性關(guān)節(jié)接觸力模型，通過數(shù)值模擬分析恢復(fù)系數(shù)和材料參數(shù)對曲柄滑塊機構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)的影響；TAN等[2]分析了含間隙關(guān)節(jié)內(nèi)摩擦因數(shù)對機構(gòu)運動特性的影響，得出動摩擦因數(shù)越大，系統(tǒng)能耗越大，但穩(wěn)定性更好的結(jié)論；TING等[3]建立了含間隙關(guān)節(jié)的曲柄滑塊機構(gòu)運動學(xué)數(shù)學(xué)模型，研究了含間隙關(guān)節(jié)對機構(gòu)輸出位置的影響；SUN等[4]采用混合接觸力模型構(gòu)建了含間隙機構(gòu)的動力學(xué)方程，通過將間隙尺寸作為模糊數(shù)代入方程中來預(yù)測機構(gòu)的動態(tài)響應(yīng)；FLORES等[5-6]建立了同時滿足彈性接觸和塑性接觸的關(guān)節(jié)碰撞力模型，對比含間隙關(guān)節(jié)在有無潤滑條件下對曲柄滑塊機構(gòu)轉(zhuǎn)動角度的影響；張義民等[7]利用虛位移原理建立了關(guān)節(jié)間隙導(dǎo)致的原始誤差與曲柄滑塊機構(gòu)末端位姿誤差的映射關(guān)系；張志雄等[8]建立了6自由度機械臂的對中誤差傳遞數(shù)學(xué)模型，分析不同間隙尺寸下機械臂末端運動誤差范圍和概率密度。上述基礎(chǔ)研究為揭示含間隙關(guān)節(jié)對機構(gòu)運動規(guī)律的影響提供了理論依據(jù)。

近年來，國內(nèi)外多采用數(shù)值模擬、實驗驗證等方法開展不同機構(gòu)的運動特性規(guī)律研究。鄧培生等[9]利用ADAMS建立了含間隙曲柄滑塊機構(gòu)的動力學(xué)模型，并對關(guān)節(jié)磨損進行預(yù)測；ERKAYA等[10-11]通過數(shù)值模擬和實驗方法分析了球面關(guān)節(jié)間隙和桿件柔性對曲柄滑塊機構(gòu)動力學(xué)特性的影響。對于其他機構(gòu)，王見等[12]建立了含徑向和軸向兩個間隙方向的3-CPaRR 并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)和動力學(xué)模型，分析不同尺寸間隙對動平臺位移、速度和加速度的影響；ZHANG等[13]以3-RRR機構(gòu)和4-RRR機構(gòu)為研究對象，建立了考慮關(guān)節(jié)間隙的機構(gòu)運動學(xué)和動力學(xué)模型，對比間隙對兩機構(gòu)定位精度和振動的影響程度；WANG等[14]提出了改進的碰撞力模型以描述間隙關(guān)節(jié)中軸頸和軸承之間的沖擊特性，得到四桿機構(gòu)的間隙關(guān)節(jié)軸心軌跡運動規(guī)律；彭京徽等[15]通過搭建含間隙轉(zhuǎn)動副的平行雙曲柄四桿機構(gòu)虛擬樣機，分析了不同間隙大小、驅(qū)動轉(zhuǎn)速對各桿件運動速度的影響。

上述研究主要以曲柄滑塊、關(guān)節(jié)電機驅(qū)動機構(gòu)等為研究對象，分析不同間隙關(guān)節(jié)類型、間隙大小和間隙關(guān)節(jié)材料對機構(gòu)運動特性的影響規(guī)律，為開展新型復(fù)雜機構(gòu)的運動學(xué)研究提供了研究基礎(chǔ)。不同間隙關(guān)節(jié)位置和數(shù)量對雙推桿驅(qū)動機械臂末端運動的影響規(guī)律尚不明確，本文以含間隙關(guān)節(jié)的雙推桿機械臂為研究對象，建立雙推桿機械臂運動學(xué)模型，開展含間隙關(guān)節(jié)的機械臂模型的數(shù)值模擬和實驗驗證，以揭示間隙關(guān)節(jié)對機械臂末端軌跡、速度和加速度運動特性變化規(guī)律的影響。

1 雙推桿機械臂介紹

雙推桿機械臂具有安裝方便、驅(qū)動力大等優(yōu)點，被應(yīng)用于六足肢腿履帶足機器人的肢腿結(jié)構(gòu)，可滿足機器人行走、越障等需求[16]。機器人整體結(jié)構(gòu)如圖1所示，其肢腿結(jié)構(gòu)如圖2所示。雙推桿機械臂主要由基座、大臂、小臂、一級推桿、二級推桿組成，如圖3所示?；糜诠潭ㄕ麄€機械臂，大臂上端與基座通過轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)A鉸接，長度為l1，擺動角為φ1。小臂與大臂下端通過轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)B鉸接，長度為l2，擺動角為φ2。關(guān)節(jié)A的間隙為e1、關(guān)節(jié)B的間隙為e2。一級推桿安裝在基座與大臂之間，二級推桿安裝在大臂與小臂之間，機械臂通過驅(qū)動一、二級推桿實現(xiàn)在平面內(nèi)的運動。

圖1 六足肢腿履帶足機器人

圖2 機器人肢腿試驗臺

1.基座 2.一級推桿 3.大臂 4.二級推桿 5.小臂

為分析雙推桿機械臂在推桿驅(qū)動下的運動狀態(tài)，規(guī)定機械臂的驅(qū)動方式為雙推桿同步驅(qū)動，將推桿伸長、換向和收縮三個階段定為一個運動周期，其運動狀態(tài)如圖4所示。雙推桿收縮到極限位置時機械臂處于初始狀態(tài)；然后雙推桿同時伸長，二級推桿先伸長極限位置后停止，隨后一級推桿伸長到極限位置后停止；兩推桿完成換向后同步收縮，二級推桿先收縮到極限位置后停止，最后一級推桿收縮到極限位置后停止。

圖4 雙推桿機械臂運動工況圖

2 含間隙關(guān)節(jié)的雙推桿機械臂運動學(xué)分析

2.1 含間隙關(guān)節(jié)的數(shù)學(xué)模型

為了準確描述含間隙關(guān)節(jié)機構(gòu)的運動特性，有必要建立含間隙關(guān)節(jié)的數(shù)學(xué)模型。含間隙關(guān)節(jié)模型如圖5所示，OXY為全局坐標系，oBxByB和oJxJyJ分別為軸套、銷軸在質(zhì)心處的局部坐標系，CB和CJ分別表示軸套、銷軸的中心點。

圖5 含間隙關(guān)節(jié)模型

在機構(gòu)運動中，含間隙關(guān)節(jié)的軸套與銷軸的間隙量不斷變化，由圖5可知，軸套與銷軸中心的間隙矢量e為

e=rJO-rBO

(1)

rBO=rB+ABs′BC

(2)

rJO=rJ+AJs′JC

(3)

式中，rBO、rJO分別為軸套、銷軸中心在全局坐標下的位置矢量；rB、rJ分別為軸套、銷軸質(zhì)心在全局坐標系下的位置矢量；AB、AJ為軸套、銷軸局部坐標系到全局坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣；s′BC、s′JC為局部坐標系下軸套、銷軸中心點的位置矢量。

含間隙關(guān)節(jié)模型中，ex和ey為間隙矢量沿坐標軸X和Y的分量，間隙矢量的大小可以表示為

(4)

2.2 運動學(xué)模型

為分析含不同間隙關(guān)節(jié)的位置和數(shù)量對雙推桿機械臂運動特性的影響，需建立含間隙關(guān)節(jié)的雙推桿機械臂運動學(xué)模型。雙間隙關(guān)節(jié)A和B的雙推桿機械臂示意圖見圖6，其中O11和O12為關(guān)節(jié)A處軸套和銷軸的中心，O21和O22為關(guān)節(jié)B處軸套和銷軸的中心；θ1為大臂相對于X軸方向的角度，θ2為小臂相對于X軸方向的角度，其中機械臂角度在X軸上方為正，在X軸下方為負，ex1和ey1分別為關(guān)節(jié)A處的間隙在X軸和Y軸的分量；ex2和ey2分別為關(guān)節(jié)B處的間隙在X軸和Y軸的分量。

圖6 雙間隙關(guān)節(jié)A和B的雙推桿機械臂運動分析圖

由圖6可得大臂、小臂的質(zhì)心(x1，y1)、(x2，y2)和雙推桿機械臂機構(gòu)末端在X、Y軸方向的位置(xC，yC)，分別為

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

式(5)～式(13)即為雙間隙關(guān)節(jié)A和B的雙推桿機械臂運動學(xué)模型；將e2=0代入式(5)～式(13)可得到單間隙關(guān)節(jié)A的機械臂運動學(xué)模型；將e1=0代入式(5)～式(13)可得到單間隙關(guān)節(jié)B的機械臂運動學(xué)模型。

3 含間隙關(guān)節(jié)的雙推桿機械臂仿真分析

3.1 建立仿真模型

雙推桿機械臂的仿真模型如圖7所示，模型幾何參數(shù)如表1所示。為得到不同間隙關(guān)節(jié)位置和數(shù)量對雙推桿機械臂末端運動軌跡、速度和加速度運動特性的影響曲線，取含間隙關(guān)節(jié)的間隙尺寸為0.5 mm，且機械臂各個桿件設(shè)置為剛體，將不同間隙關(guān)節(jié)位置和數(shù)量分為單間隙關(guān)節(jié)A、單間隙關(guān)節(jié)B、雙間隙關(guān)節(jié)A和B三種情況進行仿真分析。雙推桿機械臂在仿真初始時刻，推桿都處于收縮極限位置，然后運動單個周期后回到初始位置，兩個推桿的運行速度用STEP函數(shù)表達，時間單位為s，速度單位為mm/s，其驅(qū)動函數(shù)表達式如表2所示。

圖7 雙推桿機械臂仿真模型

表1 含間隙雙推桿機械臂幾何參數(shù)

表2 推桿驅(qū)動函數(shù)

3.2 評價指標

不同間隙關(guān)節(jié)位置和數(shù)量會對雙推桿機械臂末端運動造成不同程度的影響，為了定量分析間隙關(guān)節(jié)對雙推桿機械臂運動特性的影響程度，采用平均絕對誤差eMA作為評價指標，該指標數(shù)值越大則間隙關(guān)節(jié)對機械臂運動影響程度越大，進一步表明機械臂運動精度和穩(wěn)定性越低，其表達式如下：

(14)

式中，xci為含間隙關(guān)節(jié)的雙推桿機械臂末端速度、加速度等運動參數(shù)；xti為無間隙關(guān)節(jié)的雙推桿機械臂速度、加速度等運動參數(shù)；i為雙推桿機械臂在單個周期內(nèi)從初始時刻運動時，每間隔 0.01 s的第i采樣點數(shù)；N為采樣點的數(shù)量。

3.3 仿真結(jié)果分析

不同間隙關(guān)節(jié)位置和數(shù)量時，機械臂末端運動軌跡和軌跡誤差曲線如圖8所示。在機構(gòu)運動初始時刻，一、二級推桿收縮到極限位置，機械臂末端位于圖7中右上角，之后隨著雙推桿伸長逐漸移動到右下角，最后隨著雙推桿收縮返回至初始位置，由于一、二級推桿在伸長階段的運行時間短于收縮階段，所以機械臂末端軌跡在伸長階段長于收縮階段，單個運動周期內(nèi)為一條封閉的曲線。

當(dāng)間隙為單間隙A時，機械臂末端軌跡和誤差曲線如圖8a和圖8d所示。推桿處于伸長階段時，根據(jù)雙推桿機械臂運動學(xué)模型和圖6坐標系可知，小臂相對于X軸的夾角θ2逐漸增大，而機械臂末端軌跡運動方向與X軸夾角逐漸減小，使得軌跡誤差在X軸分量逐漸由0.1 mm近似線性增大至9.2 mm，同時機械臂末端軌跡運動方向與Y軸夾角逐漸增大，使得軌跡誤差在Y軸分量由11.9 mm近似線性減小至5.2 mm。推桿處于換向階段時，系統(tǒng)未對推桿施加驅(qū)動力，該階段機械臂X、Y軸方向末端軌跡誤差曲線近似水平；推桿處于收縮階段時，機械臂末端軌跡誤差X軸分量逐漸減小，Y軸分量逐漸增大，其軌跡誤差變化規(guī)律與伸長階段相反。

當(dāng)間隙為單間隙B時，機械臂末端軌跡和誤差曲線如圖8b和圖8e所示。雙推桿由初始狀態(tài)伸長，小臂從起始點擺動到與Y軸平行過程中，關(guān)節(jié)B的銷軸受到沿著二級推桿伸長反方向的作用力，這使銷軸軸心偏向該作用力方向，進一步分析可知，小臂的桿軸線在單間隙關(guān)節(jié)B狀態(tài)與無間隙關(guān)節(jié)B狀態(tài)存在由間隙和二級推桿對小臂的拉力共同作用形成的偏向夾角。隨著推桿伸長量的增加，小臂受到的拉力逐漸減小，偏向夾角逐漸減小，這使得軌跡誤差在X軸分量由4.2 mm逐漸減小至0.1 mm，在Y軸分量由11.7 mm減小至0.8 mm，該狀態(tài)中單間隙關(guān)節(jié)B狀態(tài)下的小臂末端點低于無間隙狀態(tài)下的小臂末端點。推桿繼續(xù)伸長，小臂受到二級推桿的推力作用，而關(guān)節(jié)B的銷軸受到沿著二級推桿伸長方向的作用力，該作用力使銷軸軸心向二級推桿伸長方向偏移，從而小臂桿軸線在單間隙關(guān)節(jié)B狀態(tài)與無間隙關(guān)節(jié)B狀態(tài)下形成偏向夾角，此過程中推桿對小臂的推力逐漸增大，偏向夾角逐漸增大，軌跡誤差在X軸分量增大至0.9 mm，Y軸分量增大至1.2 mm，且單間隙關(guān)節(jié)B狀態(tài)下的機械臂末端點高于無間隙狀態(tài)下的機械臂末端點。推桿處于換向階段時，系統(tǒng)未對推桿施加驅(qū)動力，該階段機械臂X、Y軸方向末端軌跡誤差曲線為近似水平。推桿處于收縮階段時，其軌跡誤差變化規(guī)律與伸長階段相反。

(a)單間隙關(guān)節(jié)A軌跡 (b)單間隙關(guān)節(jié)B (c)雙間隙關(guān)節(jié)A和B

當(dāng)間隙關(guān)節(jié)A和B耦合作用時，機械臂末端軌跡和誤差曲線如圖8c和圖8f所示。機械臂末端軌跡誤差近似為上述兩個單間隙軌跡誤差之和，在機械臂末端點運動到軌跡的右上角時，軌跡誤差在Y軸分量達到最大值23.2 mm，這表明含0.5 mm間隙關(guān)節(jié)A的雙推桿機械臂末端軌跡最大誤差在該尺度效應(yīng)下放大至間隙量的46.5倍。

不同間隙關(guān)節(jié)位置和數(shù)量時機械臂末端速度曲線如圖9所示，三種不同間隙情況下機械臂的末端速度曲線整體變化趨勢與無間隙時相一致，雙推桿機械臂末端速度在0.05 s、6.05 s、6.65 s、12.85 s和14.45 s處發(fā)生階躍響應(yīng)，其原因在于一、二級推桿在以上時刻做加速或減速運動。由于機械臂在運動過程中間隙關(guān)節(jié)內(nèi)銷軸和軸套會在接觸、自由飛行和沖擊三種狀態(tài)下不斷變化，故末端速度曲線呈現(xiàn)脈沖波動。當(dāng)間隙為單間隙A時，末端速度的平均絕對誤差為11.45 mm/s，僅比間隙為單間隙B時大1.66%，表明在雙推桿機械臂中，單間隙在不同位置下對機械臂末端速度的影響程度相當(dāng)；而與雙間隙A和B相比小22.01%，表明機械臂末端速度在雙間隙的耦合作用下，比單間隙影響程度高，運動穩(wěn)定性更差。

(a)單間隙關(guān)節(jié)A (b)單間隙關(guān)節(jié)B (c)雙間隙關(guān)節(jié)A和B

不同間隙關(guān)節(jié)數(shù)量時機械臂末端加速度曲線如圖10所示，無間隙關(guān)節(jié)的雙推桿機械臂末端加速度在一、二級推桿啟動和制動時刻出現(xiàn)峰值。與無間隙關(guān)節(jié)相比，三種不同間隙情況下機械臂的末端加速度曲線整體呈現(xiàn)脈沖波動。當(dāng)間隙為單間隙A時，末端加速度的平均絕對誤差為4649.24 mm/s2，比單間隙B時大13.35%，比雙間隙A和B時小114.39%，表明在雙推桿機械臂中，單間隙A與單間隙B對機械臂末端加速度影響程度相差不大，而雙間隙在耦合作用下影響程度遠大于單間隙影響程度。

(a)無間隙關(guān)節(jié)

4 實驗研究

4.1 實驗系統(tǒng)設(shè)計

為了探究含間隙關(guān)節(jié)的雙推桿機械臂運動特性，搭建雙推桿機械臂實驗臺，對單間隙A、單間隙B、雙間隙A和B三種情況下的機構(gòu)末端運動軌跡、速度和加速度進行實驗測試，其中間隙關(guān)節(jié)的間隙尺寸為0.5 mm，無間隙關(guān)節(jié)的間隙尺寸為0.054 mm，并采用低通濾波算法對實驗數(shù)據(jù)進行噪聲處理，實驗臺如圖11所示。大臂和小臂分別由XTL100電動推桿驅(qū)動，其角度變化由角度傳感器實時測量，關(guān)節(jié)間隙采用電渦流位移傳感器測量，所測得的數(shù)據(jù)由數(shù)據(jù)采集儀采集，并通過含間隙關(guān)節(jié)的雙推桿機械臂運動學(xué)方程計算得到機構(gòu)末端軌跡、速度、加速度，實驗臺中的設(shè)備參數(shù)如表3所示。

圖11 含間隙雙推桿機械臂實驗臺

表3 設(shè)備參數(shù)

4.2 實驗結(jié)果分析

實驗測得雙推桿機械臂末端運動軌跡、速度和加速度曲線如圖12～圖14所示。不同間隙位置和數(shù)量下雙推桿機械臂末端運動軌跡和速度的實驗曲線與仿真曲線擬合程度高，驗證了含間隙雙推桿機械臂末端軌跡、速度仿真結(jié)果的正確性；機構(gòu)末端加速度的實驗曲線與仿真曲線相比數(shù)值小一個數(shù)量級，這是因為機械臂仿真模型的各個桿件為剛體，而實驗臺在運動過程中轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)和各個桿件會發(fā)生彈性形變，減弱了轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)內(nèi)部軸套與軸相互碰撞產(chǎn)生的沖擊。實驗結(jié)果表明，雙間隙關(guān)節(jié)A和B對機構(gòu)末端加速度的影響大于單間隙關(guān)節(jié)A和單間隙關(guān)節(jié)B，仍與仿真加速度曲線所得結(jié)論一致。

(a)單間隙關(guān)節(jié)A (b)單間隙關(guān)節(jié)B (c)雙間隙關(guān)節(jié)A和B

(a)單間隙關(guān)節(jié)A (b)單間隙關(guān)節(jié)B (c)雙間隙關(guān)節(jié)A和B

(a)單間隙關(guān)節(jié)A (b)單間隙關(guān)節(jié)B (c)雙間隙關(guān)節(jié)A和B

5 結(jié)論

(1)雙推桿機械臂在單個運動周期內(nèi)，當(dāng)關(guān)節(jié)A、B無間隙或含間隙時，機械臂末端軌跡均為封閉曲線。由于一、二級推桿在伸長階段的運行時間短于收縮階段，故機械臂的末端軌跡在伸長階段長于收縮階段；一、二級推桿在加速或減速運動階段，機械臂末端速度發(fā)生階躍響應(yīng)。

(2)當(dāng)間隙關(guān)節(jié)為單間隙A且推桿處于伸長階段時，機械臂末端軌跡運動方向與X軸夾角逐漸減小，導(dǎo)致末端軌跡誤差在X軸分量近似線性增大，Y軸分量近似線性減小；推桿收縮階段時，軌跡誤差變化規(guī)律與伸長階段相反。當(dāng)間隙關(guān)節(jié)為單間隙B且推桿處于伸長階段時，由于二級推桿對小臂由拉力逐漸變?yōu)橥屏?，末端軌跡誤差在X、Y軸分量先減小后逐漸增大；推桿收縮階段時，軌跡誤差變化規(guī)律與伸長階段相反。當(dāng)間隙關(guān)節(jié)為A和B時，軌跡誤差近似為兩個單間隙軌跡誤差之和，且軌跡誤差在Y軸分量的最大值為間隙量的46.5倍。

(3)雙推桿機械臂間隙關(guān)節(jié)內(nèi)的銷軸和軸套在運動過程中會在接觸、自由飛行和沖擊三種狀態(tài)下不斷變化，使得機械臂末端運動速度和加速度曲線呈現(xiàn)脈沖波動，其中單間隙關(guān)節(jié)A和單間隙關(guān)節(jié)B對機械臂末端速度和加速度影響程度相當(dāng)，而雙間隙關(guān)節(jié)A和B耦合作用對機械臂末端速度和加速度影響程度遠大于單間隙關(guān)節(jié)的影響程度。