張家豪

（徽縣虞關(guān)鄉(xiāng)初級中學(xué) 甘肅 徽縣 742300）

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂,它們都具有持續(xù)性、可遷移性，對數(shù)學(xué)課堂教學(xué)具有導(dǎo)向性作用。分類討論思想體現(xiàn)出了人們分析和解決問題的先進智慧，不論是在生產(chǎn)活動、科學(xué)實驗，還是日常生活中都會用到這種思維，它是從古至今人們常用的重要思想方法之一，當然，分類討論思想也符合初中生的思維發(fā)展特點。因此在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注重數(shù)學(xué)分類討論思想方法的滲透,它能有效地幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)的解題思路，提升數(shù)學(xué)思維能力。

近幾年來，多地中考數(shù)學(xué)試題中頻繁涉及“分類討論”的有關(guān)問題，既是考查學(xué)生對基本知識與基本技能的靈活運用，又反映出學(xué)生數(shù)學(xué)思維的邏輯性、嚴謹性與思考問題的深度。學(xué)生在解答這類問題時，往往會因考慮不周全而導(dǎo)致失分。因此，在平時的教學(xué)與解題訓(xùn)練中，教師完全可以根據(jù)學(xué)生的實際情況，在課堂教學(xué)中結(jié)合具體內(nèi)容，積極引導(dǎo)學(xué)生通過獨立思考、交流分享等方式，讓學(xué)生從中獲得新的認識、感悟到新的思想內(nèi)涵，努力培養(yǎng)學(xué)生思考問題的條理性和嚴謹性，不斷提高學(xué)生分類討論思想的自覺意識與靈活運用的能力。下面筆者結(jié)合具體案例談?wù)?自己在初中數(shù)學(xué)日常教學(xué)中對分類討論思想運用的一些做法與體會。

1.在定理證明題中恰當運用分類討論思想

定理證明是指數(shù)學(xué)領(lǐng)域中對臆測的定理尋求一個證明，證明定理時，不僅需要有根據(jù)假設(shè)進行演繹的能力，而且需要有某些知覺的技巧，這是一項需要智慧和能力才能完成的任務(wù)。在定理教學(xué)中，我們要多聯(lián)系已有的數(shù)學(xué)知識，多角度探究定理的證明方法，在此過程中加強對分類討論思想的應(yīng)用，讓定理證明教學(xué)更加完美，更具數(shù)學(xué)內(nèi)涵。如人教版9年級上冊第86頁，圓周角定理的證明問題。

教學(xué)分析：圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。證明時在☉O上任取一個圓周角∠BAC,沿AO所在直線將圓對折，由于點A的位置不同，折痕會有三種不同的情況，分別是（1）在圓周角的一條邊上；（2）在圓周角的內(nèi)部；（3）在圓周角的外部。折痕所在的位置則充分體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想。引導(dǎo)學(xué)生分析第（1）種情況時，可以很簡單的就推導(dǎo)出圓心O點在∠BAC的一條邊上。因為OA=OC，所以∠A=∠C，又因為∠BOC=∠A+∠C所以∠A=1/2∠BOC。對于第（2）（3）種情況，可以通過添加輔助線的方法,將它們轉(zhuǎn)化為第（1）種情況，從而得到相同的結(jié)論。在定理證明題的教學(xué)中通過正確應(yīng)用分類討論思想，使復(fù)雜的問題得到清晰、完整、嚴密的解答。圓周角定理的證明，整個過程不但思路明確，方法簡單，而且可以按照既定的分類步驟有序推進，既能訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維的敏捷性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，又能豐富學(xué)生的知識視野，讓原本無處著手的問題分析情況變的有條不紊了。

2.在含參數(shù)的函數(shù)與方程題中綜合運用分類討論思想

函數(shù)與方程是初中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”模塊中最為重要的組成部分，這類問題的解決也一直是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點與難點。同時“函數(shù)思想”“方程思想”等又是重要的數(shù)學(xué)思想方法。在解決這類問題時，準確靈活地運用分類討論思想能夠讓解題過程更完善。如在已知函數(shù)y=（t-1）x2+（t-2）（t是實數(shù)），如果函數(shù)的圖像和x軸只有一個交點，求t的值。針對這類包含函數(shù)方程的問題解決中，首先要對涉及的函數(shù)和方程進行具體的以下教學(xué)分析。

教學(xué)分析：本體給定的條件是函數(shù)，但不能確定是一次函數(shù)還是二次函數(shù)，所以需要根據(jù)t的不同取值，進行分類討論。當t-1=0,即t=1時，函數(shù)就是一個一次函數(shù)y=-x-1,它與x軸只有一個交點（-1,0）；當t-1≠0時，函數(shù)就是一個二次函數(shù)y=（t-1）x2+（t-2）x-1，要使得函數(shù)圖像與x軸只有一個交點，需滿足Δ=（t-2）2+4（t-1）=0，得t=0，拋物線y=-x2-2x-1的頂點（-1,0）在x軸上。

又如：關(guān)于x的方程（k-1）x2-4（k+1）x+4k=0，當x在實數(shù)范圍內(nèi)時存在實數(shù)根，求滿足條件的實數(shù)k的取值范圍?？吹竭@類問題，教師首先要將x的取值范圍進行針對性的分析，從實數(shù)的范圍界定之后，進而根據(jù)不同的情況開展分類討論分析。

教學(xué)分析：已知并未說明是關(guān)于x的什么方程，因此，就要對二次項系數(shù)是否為0進行分類討論.顯然當k-1=0，即k=1時，該方程可整理為一元一次方程-8x+4=0,解得實數(shù)根。而當k-1≠0，即k≠1時,方程為一元二次方程，由方程存在實數(shù)根的條件，可得Δ=[-4(k+1)]2-16k(k-1)≥0，解得，所以當且k≠1時，方程有實數(shù)根。綜上所述，時，方程有實數(shù)根。上述有關(guān)函數(shù)與方程實際應(yīng)用的解題教學(xué)，通過對定義本身的解讀。如果題設(shè)條件中沒有指明相關(guān)字母的取值，那么由于字母本身的不確定性，必須考慮字母所有可能的取值，結(jié)合相關(guān)知識體系進行分類討論。

3.在動態(tài)問題中精準運用分類討論思想

動態(tài)問題是數(shù)學(xué)中“經(jīng)久不衰”的經(jīng)典問題，圖形中的點、線的運動，構(gòu)成了數(shù)學(xué)中的一個新問題——動態(tài)幾何問題。在解決這類問題時，由于學(xué)生分類討論的意識不敏感，畫動態(tài)變換過程中的靜態(tài)示意圖的習(xí)慣沒養(yǎng)成。對數(shù)學(xué)分類討論思想的重視程度僅限于教師強調(diào)后的被動了解或接受,自主研究、自主提煉意識不到位,數(shù)學(xué)解題策略與思考途徑、步驟等概括不明顯，導(dǎo)致解題過程不完備，錯解、漏解現(xiàn)象迭出。如圖，AB是O的直徑，弦BC=2cm，F(xiàn)是弦BC的中點，∠ABC=60°，若動點E以2cm/s的速度從A點出發(fā)沿著A→B→A方向運動，設(shè)運動時間為t（s）（0≤t<3），連接EF,當ΔBEF是直角三角形時，求t（s）的值。

教學(xué)分析：若ΔBEF是直角三角形，則有兩種情況：∠BFE=90°,∠BEF=90°；在上述兩種情況所得到的直角三角形中，已知BC邊和∠B的度數(shù)，即可求得BE的長；AB的長易求得，由AE=AB-BE即可求出AE的長，也就能得出E點運動的距離，根據(jù)時間＝路程÷速度即可求得t的值。

解析：∵AB是0的直徑，∴∠ACB=90°，RtΔABC中，BC=2，∠ABC=60°，∴AB=2BC=4cm。①當∠BFE=90°時，RtΔBEF中，∠ABC=60°,則BE=2BF=2cm，故此時AE=AB-BE=2cm，∴E點運動的距離為：2cm，故t=1s，所以當∠BFE=90°時，t=1s；②當∠BEF=90°時，同①可求得BE=0.5cm，此時AE=AB-BE=3.5cm，∴E點運動的距離為：3.5cm，故t=1.75s；③當E從B回到O的過程中，再運動的距離是：2（4-3.5）=1cm,則時間是：1.75+0.5=2.25s。

綜合上面三種情況可以得出這樣的結(jié)論，當t的值為1s或1.75s和2.25s時，ΔBEF是直角三角形。當然某些問題在一級討論的基礎(chǔ)上還需進行二級討論，如第二類當∠BEF=90°時，又分為A→B和B→A兩種情況?？傊?，分類的結(jié)果只能讓具體的問題更加細節(jié)化。

4.在生活問題中有效運用分類討論思想

在一些實際應(yīng)用問題中，也存在由于變量的不同取值導(dǎo)致結(jié)果不同而需要進行分類討論的情況。解決這類問題時，需分析問題變量在整個過程中的不同取值產(chǎn)生的不同結(jié)果，把他們一一羅列出來，系統(tǒng)地進行分類，才能正確求解，讓問題的解決更趨全面。如某超市五一期間舉行促銷優(yōu)惠活動，方案一：憑50元錢購買會員卡，憑會卡購買超市內(nèi)商品享受八折優(yōu)惠；方案二：若不購買會員，則購買超市內(nèi)商品只能享受九折優(yōu)惠。若按照方案一購買商品應(yīng)付款額為y1元，若按照方案二購買商品應(yīng)付款額為y2元，購買商品的價格為x元請用含有x的代數(shù)式表示y1和y2；購買商品的價格在什么范圍內(nèi)，如何選擇購買方案更劃算？生活中這樣的數(shù)學(xué)實際事例比比皆是，要讓數(shù)學(xué)成為學(xué)生解決實際問題的工具，分類討論這一環(huán)節(jié)必不可少。

教學(xué)分析：（1）y1=50+0.8x，y2=0.9x；（2）當y1>y2時，50+0.8x>0.9x解得x＜ 500；當y1=y2，時，50+0.8x=0.9x,解寫x=500；當y1500；所以當購買商品的價格小于500元時，選擇方案二更劃算，當購買商品的價格等于500元時，選擇兩種方案一樣劃算，當購買商品的價格大于500元時，選擇方案一更劃算。從整個教學(xué)的過程和案例分析我們不難看出，分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的運用是極其廣泛的。合理地運用分類討論方法思想，可以簡化研究對象，清楚地暴露問題的原有特性，使題目中的限制條件更加明確、問題相對容易解決。當然，在運用分類討論數(shù)學(xué)思想解決問題時，必須明確分類的標準，遵循不重復(fù)、不遺漏的分類討論的原則。當然，分類不是萬能的，不是唯一的，能夠避免分類討論的要盡量回避，切不可盲目地運用，要認真審查題目特點，從而提高分類討論的效果。

綜上所述，分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中可以說是占據(jù)了主流部分，從分類中探討問題，在歸納中分類梳理，從而達到解決問題，掌握方法的教學(xué)目標，這本身就是分類討論思想的優(yōu)勢所在，特別是常常碰見的概率問題，在解題當中更是蘊含豐富的分類討論思想方法，只有合理運用，才能有效解決數(shù)學(xué)實踐中的具體問題。因此，作為初中數(shù)學(xué)教師，只有在教學(xué)中進一步探究分類討論教學(xué)的方法和方式，不斷啟智學(xué)生的思辨能力，并創(chuàng)造性的將分類討論思想融入到具體的數(shù)學(xué)實踐中，才能讓數(shù)學(xué)教學(xué)更加突出具體問題具體實踐探究的意義，才能夯實學(xué)生數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的基礎(chǔ)。