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        耦合變分包含系統(tǒng)解的存在性

        2022-06-21 11:27:36熊益英何家洪
        北部灣大學(xué)學(xué)報 2022年2期
        關(guān)鍵詞:集值定理耦合

        熊益英, 何家洪

        (北部灣大學(xué) 理學(xué)院,廣西 欽州 535011)

        0 引言

        在文獻[1-7]中引入一類耦合變分包含系統(tǒng)問題,求解(x0,y0)∈H1×H2,使得

        (1)

        其中,H1,H2為實Hilbert空間,F(xiàn)1∶H1→2H1;F2∶H2→2H2為給定的非空集值映射,f1∶H1×H2→H1;f2∶H1×H2→H2為給定的非空單值映射。

        該問題的求解有以下幾種特別的情形:

        (a)如果H1=H2=H,η∶H×H→H,F1(x)=Δηg1(x),F2(y)=Δηg2(y),其中,Δηg1(·)和Δηg2(·)分別表示真η-次可微泛函g1∶H→∪{+∞}和g2∶H→∪{+∞}的η-次微分映射(參見文獻[8]),那么問題(1)變?yōu)椋呵蠼?x0,y0)∈H×H,使得

        (2)

        問題(2)稱為非線性似變分不等式系統(tǒng)問題。

        (b)如果F1(x)=?g1(x),F2(y)=?g2(y),其中,?g1(·)和?g2(·)分別表示真凸下半連續(xù)泛函g1∶H1→∪{+∞}和g2∶H2→∪{+∞}的次微分映射,那么該問題退化為:求解(x0,y0)∈H1×H2,使得

        (3)

        問題(3)稱為非線性變分不等式系統(tǒng)問題。文獻[9-10]研究了該問題。

        (4)

        其中,K1,K2分別為H1,H2中的非空凸閉集。文獻[11-12]研究了該問題。

        (e)如果H1=H2=H,f1(x,y)=-g(x,y),f2(y,x)=-g(y,x),F1(x)=G(x),F2(y)=G(y),問題(4)退化為:求解(x0,y0)∈H×H,使得

        g(x0,y0)∈G(x0),g(y0,x0)∈G(y0)。

        (5)

        由于G為多值映射,問題(5)也稱為多值耦合重合點問題。特別地,如果G(x)={φ(x)},問題(5)退化為:求解(x0,y0)∈H×H,使得

        g(x0,y0)=φ(x0),g(y0,x0)=φ(y0)。

        (6)

        問題(6)也稱為耦合重合點問題。文獻[13]證明了它的解存在。如果φ是恒等映射,問題(6)退化為:存在(x0,y0)∈H×H,使得

        g(x0,y0)=x0,g(y0,x0)=y0。

        (7)

        問題(7)也稱為耦合不動點問題。文獻[14]證明了它的解存在。

        本文主要研究在賦范線性空間中,問題(1)的解的存在性及其相關(guān)問題。在文獻[5-6]研究的問題中,集值映射要求的條件非常強,且并未給出實例,很難找到滿足條件的映射。因此,本文在文獻[5-6]的基礎(chǔ)上,將集值凸映射的條件去掉,適當加強單值映射條件,利用KKM引理來研究問題(1),改進了文獻[5-6]的研究結(jié)果。

        1 預(yù)備知識

        設(shè)X為賦范空間,對任意的集合A,B?X,定義αA+βB={αa+βb|a∈A,b∈B},α,β∈和本文在集合上定義的‖·‖并非范數(shù),而是一個記號,它具有如下的性質(zhì):(i)A?B?‖B‖≤‖A‖;(ii)‖A+B‖≤‖A‖+‖B‖。

        注1.1 ‖A-B‖≤‖A‖-‖B‖不成立,例如:X=,A=[1,2],B=[3,4],‖A‖=1,‖B‖=3,‖A‖-‖B‖=1-3=-2。另一方面,‖A-B‖=‖[-3,-1]‖=1,因此,‖A-B‖≤‖A‖-‖B‖不成立。

        定義1.1[15]設(shè)X為賦范空間,A,B?X,A與B的Hausdorff度量H(·,·)定義如下:

        定義1.2[16]設(shè)X為賦范空間,{Bn}為X中的非空集合序列,稱{Bn}在Hausdorff度量下收斂于B,當且僅當H(Bn,B)→0。

        定義1.3[17]設(shè)X是賦范空間,K和U是X中的非空凸集,f:K×K→X。如果對任意的(x,y),(x1,y1)∈K×K,λ∈[0,1],u∈X,有

        ‖f(λ(x,y)+(1-λ)(x1,y1)-u‖≤max{‖f(x,y)-u‖,‖f(x1,y1)-u‖},

        則稱f是幾乎擬凸映射。

        定義1.4[17]設(shè)X,Y為拓撲空間,集值映射F:X→2Y,x0∈X。若對包含F(xiàn)(x0)的任一開集U,存在x0的鄰域V,使得F(V)?U,則稱F在x0處上半連續(xù)。F在每一點x處上半連續(xù),則稱F為X上的上半連續(xù)映射。

        定義1.5[17]設(shè)X,Y為拓撲空間,集值映射F:X→2Y,x0∈X。若對任意的y∈F(x0)和對X中收斂于x0的一個網(wǎng){xn,n∈+},存在網(wǎng){yn,n∈+}滿足對任意的n∈+,yn∈F(xn),且{yn}收斂于y,則稱F在x0處下半連續(xù)。F在每一點x處下半連續(xù),則稱F為X上的下半連續(xù)映射。

        定義1.6[17]設(shè)X,Y為拓撲空間,集值映射F:X→2Y。對任意的x∈X,若F在x處既上半連續(xù)又下半連續(xù),則稱F在x處是連續(xù)的,若F在x中的任一點都連續(xù),稱F在X上連續(xù)映射。

        定義1.7[17]設(shè)X,Y為拓撲空間,非空集值映射F:X→2Y,若對任意的x∈X,F(xiàn)(x)為閉集(凸、有界、緊等)集,則稱F為閉值(凸值、有界值、緊值等)映射。

        引理1.1[18]設(shè)X,Y為拓撲空間,F:X→2Y為緊值映射,那么F是連續(xù)映射,當且僅當F在Hausdorff度量下連續(xù)。

        定理1.2 設(shè)X是賦范空間,K是X中的非空凸集,U?X,如果f:K×K→X為幾乎擬凸映射,則對任意的(x1,y1),(x,y)∈K×K,λ∈[0,1],有

        ‖f(λ(x,y)+(1-λ)(x1,y1))+U‖≤max{‖f(x,y)+U‖,‖f(x1,y1)+U‖}。

        證明:由f為幾乎擬凸映射,(x1,y1),(x,y)∈K×K,λ∈[0,1],u∈X,有

        ‖f(λ(x,y)+(1-λ)(x1,y1))-u‖≤max{‖f(x,y)-u‖,‖f(x1,y1)-u‖},

        由于-u∈X,故‖f(λ(x,y)+(1-λ)(x1,y1))+u‖≤max{‖f(x,y)+u‖,‖f(x1,y1)+u‖}。

        當max{‖f(x,y)+u‖,‖f(x1,y1)+u‖}=‖f(x,y)+u‖時,兩邊分別取下確界,則有‖f(λ(x,y)+(1-λ)(x1,y1))+U‖≤‖f(x,y)+U‖。

        同理,則有‖f(λ(x,y)+(1-λ)(x1,y1))+U‖≤‖f(x1,y1)+U‖。因此,‖f(λ(x,y)+(1-λ)(x1,y1))+U‖≤max{‖f(x,y)+U‖,‖f(x1,y1)+U‖},故定理1.2成立。

        證明:由定理1.1和定理1.2可得推論1.1成立。

        2 主要結(jié)論

        定理2.1 設(shè)X為賦范空間,K是X中的非空凸緊集,fi:K×K→X為連續(xù)、幾乎擬凸映射,Fi:K→2X是連續(xù)、緊值映射,i=1,2,則存在(x0,y0)∈K×K,使得

        證明:定義集值映射G:K×K→2K×K,對任意的(u,v)∈K×K,

        G(u,v):={(x,y)∈K×K:‖F(xiàn)1(x)+f1(x,y)‖+‖F(xiàn)2(y)+f2(x,y)‖≤‖F(xiàn)1(x)+f1(u,v)‖+‖F(xiàn)2(y)+f2(u,v)‖}。

        步驟1 對任意的(u,v)∈K×K,(u,v)∈G(u,v),故G(u,v)≠?。

        步驟2 任意固定的(u,v)∈K×K,任意序列{(xn,yn)}?G(u,v),(xn,yn)→(x,y),有

        ‖F(xiàn)1(xn)+f1(xn,yn)‖+‖F(xiàn)2(yn)+f2(xn,yn)‖≤‖F(xiàn)1(xn)+f1(u,v)‖+‖F(xiàn)2(yn)+f2(u,v)‖。

        因為Fi是連續(xù)、緊值映射,i=1,2,由引理1.1知Fi在Hausdorff度量下連續(xù),由文獻[15]知

        |‖F(xiàn)1(xn)+f1(xn,yn)‖-‖F(xiàn)1(x)+f1(x,y)‖|≤H(F1(xn)+f1(xn,yn),F1(x)+f1(x,y))=0。

        則有‖F(xiàn)1(xn)+f1(xn,yn)‖=‖F(xiàn)1(x)+f1(x,y)‖。

        同理可得

        ‖F(xiàn)2(yn)+f2(yn,xn)‖=‖F(xiàn)2(y)+f2(y,x)‖,

        ‖F(xiàn)1(xn)+f1(u,v)‖=‖F(xiàn)1(x)+f1(u,v)‖,

        ‖F(xiàn)2(yn)+f2(v,u)‖=‖F(xiàn)2(y)+f2(v,u)‖。

        故有

        ‖F(xiàn)1(x)+f1(x,y)‖+‖F(xiàn)2(y)+f2(x,y)‖≤‖F(xiàn)1(x)+f1(u,v)‖+‖F(xiàn)2(y)+f2(u,v)‖。

        且(x,y)∈K×K,因此(x,y)∈G(u,v),故G(u,v)為閉集。

        步驟3 由于K為X中的緊集,且對任意的(u,v)∈K×K,閉集G(u,v)?K×K,故對任意的(u,v)∈K×K,G(u,v)為緊集。

        ‖F(xiàn)1(u0)+f1(u0,v0)‖+‖F(xiàn)2(v0)+f2(v0,u0)‖>‖F(xiàn)1(u0)+f1(ui,vi)‖+‖F(xiàn)2(v0)+f2(ui,vi)‖。

        因此當i=1,2,…,n時,有

        ‖F(xiàn)1(u0)+f1(u0,v0)‖+‖F(xiàn)2(v0)+f2(v0,u0)‖>max{‖F(xiàn)1(u0)+f1(ui,vi)‖+‖F(xiàn)2(v0)+f2(ui,vi)‖}。

        ‖F(xiàn)1(u0)+f1(u0,v0)‖≤max{‖F(xiàn)1(u0)+f1(ui,vi)‖,i=1,2,…,n},

        ‖F(xiàn)2(v0)+f2(v0,u0)‖≤max{‖F(xiàn)2(v0)+f2(ui,vi)‖,i=1,2,…,n}。

        故‖F(xiàn)1(u0)+f1(u0,v0)‖+‖F(xiàn)2(v0)+f2(v0,u0)‖≤max{‖F(xiàn)1(u0)+f1(ui,vi)‖+‖F(xiàn)2(v0)+f2(vi,ui)‖},這與假設(shè)產(chǎn)生矛盾,因此假設(shè)不成立,故G是KKM映射。

        定理2.2 設(shè)X為賦范空間,K是X中的非空凸緊集,fi:K×K→2X是連續(xù)、線性映射,Fi:K→2X是連續(xù)、凸緊值映射,則存在(x0,y0)∈K×K,使得

        證明:定義集值映射G:K×K→2K×K,任意(u,v)∈K×K,

        G(u,v):={(x,y)∈K×K:‖F(xiàn)1(x)+f1(x,y)‖+‖F(xiàn)2(y)+f2(x,y)‖≤‖F(xiàn)1(x)+f1(u,v)‖+‖F(xiàn)2(y)+f2(u,v)‖}。

        由定理2.1的證明步驟1至步驟3可知G為非空、閉值和緊值映射。

        下面用反證法證明G是KKM映射。假設(shè)存在有限點集{(ui,vi)}∈K×K,i=1,2,3,…,n,

        ‖F(xiàn)1(u0)+f1(u0,v0)‖+‖F(xiàn)2(v0)+f2(u0,v0)‖>‖F(xiàn)1(u0)+f1(ui,vi)‖+‖F(xiàn)2(v0)+g2(ui,vi)‖,i=1,2,…,n。

        因為fi是線性映射,且Fi為凸值映射,i=1,2,由定理1.1有

        這與假設(shè)產(chǎn)生了矛盾,因此假設(shè)不成立,故有G是KKM映射。

        定理2.3 假設(shè)定理2.1的條件成立,對任意的(x,y)∈K×K,

        0∈F1(x)+f1(K,K),0∈F2(y)+f2(K,K)

        成立,則存在(x0,y0)∈K×K,使得問題(1)的解存在,即存在(x0,y0)∈K×K,使得

        證明:由定理2.1知,存在(x0,y0)∈K×K,使得

        ‖F(xiàn)1(x0)+f1(x0,y0)‖+‖F(xiàn)2(y0)+f2(x0,y0)‖=0,

        即存在(x0,y0)∈K×K,使得問題(1)的解存在。

        類似地,由定理2.3推知有下述定理成立。

        定理2.4 假設(shè)定理2.2的條件成立,對任意的(x,y)∈K×K,

        0∈F1(x)+f1(K,K),0∈F2(y)+f2(K,K)成立,則存在(x0,y0)∈K×K,使得問題(1)的解存在,即存在(x0,y0)∈K×K,使得

        3 耦合變分包含問題的相關(guān)問題

        在這一部分,主要研究問題(1)的相關(guān)問題。應(yīng)用定理2.3得到多值耦合重合點定理。

        定理3.1 設(shè)X為賦范空間,K是X中的非空凸緊集,f:K×K→X為連續(xù)、幾乎擬凸映射,F:K→2X是連續(xù)、緊值映射,i=1,2,使得f(K,K)?F(K),則f和F有一個多值耦合重合點。

        證明:對任意的x,y∈K,令f1(x,y)=-f(x,y),f2(y,x)=-f(y,x),F1(x)=F(x),F(xiàn)2(y)=F(y),那么f和F滿足定理2.3的要求,因此存在(x0,y0)∈K×K,使得

        0∈F(x0)-f(x0,y0),0∈F(y0)-f(y0,x0),那么f(x0,y0)∈F(x0),f(y0,x0)∈F(y0),即f和F有一個多值耦合重合點。

        推論3.1設(shè)X為賦范空間,K是X中的非空凸緊集,f:K×K→X為連續(xù)、幾乎擬凸映射,g:K→X是連續(xù)映射,使得f(K,K)?g(K),則f和g有一個耦合重合點。

        證明:對任意的x∈K,F(x)={g(x)},運用定理3.1,就可以得到f(x0,y0)=g(x0),f(y0,x0)=g(y0),即f和g有一個耦合重合點。

        推論3.2設(shè)X為賦范空間,K是X中的非空凸緊集,f:K×K→X為連續(xù),則f有一個耦合不動點。

        證明:對任意的x∈K,g(x)=x,運用推論3.1,就可以得到f(x0,y0)=x0,f(y0,x0)=y0,即f有一個耦合不動點。

        接下來,應(yīng)用定理2.1得到耦合最佳逼近定理。

        定理3.2 設(shè)X為賦范空間,K是X中的非空凸緊集,f:K×K→X為連續(xù)、幾乎擬凸映射,F:K→2X是連續(xù)、緊值映射,i=1,2,則存在(x0,y0)∈K×K,使得

        證明:對任意x,y∈K×K,令f1(x,y)=-f(x,y),f2(y,x)=-f(y,x),F(xiàn)1(x)=x,F2(y)=y,那么f,F滿足定理2.1的要求,因此存在(x0,y0)∈K×K,使得結(jié)論成立。

        推論3.3設(shè)X為賦范空間,K是X中的非空凸緊集,f:K×K→X為連續(xù)、幾乎擬凸映射,g:K→X是連續(xù)映射,則存在(x0,y0)∈K×K,使得

        證明:對任意的x∈K,令F(x)={g(x)},應(yīng)用推論3.2,則存在(x0,y0)∈K×K,使得結(jié)論成立。

        推論3.4設(shè)X為賦范空間,K是X中的非空凸緊集,f:K×K→X為連續(xù)映射,則存在(x0,y0)∈K×K,使得

        證明:對任意的x∈K,令g(x)=x,應(yīng)用推論3.3,則存在(x0,y0)∈K×K,使得結(jié)論成立。

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