宋小芹

嚴(yán)格上講，黎曼猜想與哥德巴赫猜想并沒有特別明顯的聯(lián)系（至少現(xiàn)在應(yīng)該沒有什么定理可表明二者是等價的），不過在對哥德巴赫猜想的研究過程中黎曼猜想確實扮演了類似“敲門磚”的角色.

最后一個便是大名鼎鼎的黎曼猜想.需要指出的是，黎曼承認(rèn)自己證不出猜想三，且認(rèn)為猜想一、二都是比較簡單的，但他并沒有給出完整證明過程.猜想一直到黎曼的論文發(fā)表46年后才被證明;猜想二直到現(xiàn)在也沒被證明.

五、哥德巴赫猜想（ Goldbach Problem）

在1742年給歐拉的一封信中，哥德巴赫提出了兩個猜想，歐拉用稍微簡練的語言修改后表述如下，（1）哥德巴赫猜想：每一個偶數(shù)，n（n≥6）都能用兩奇素數(shù)之和，即n =p1P2表示;（2）弱哥德巴赫猜想：每一個奇數(shù)，。（n≥9）都能用三個奇素數(shù)之和，即n =P1P2P3表示.

很明顯，哥德巴赫猜想可以推出弱哥德巴赫猜想.在1900年的第二屆國際數(shù)學(xué)家大會上，大衛(wèi)·希爾伯特（D.Hilbert）向仝世界的數(shù)學(xué)家們提出23個問題，其中哥德巴赫猜想便是第8個問題的一部分.12年后，在第五屆國際數(shù)學(xué)家大會上，蘭道（ Landau）又將其作為素數(shù)論中未解決的4個難題加以推薦.從這個意義上來講，哥德巴赫猜想可謂是素數(shù)淪中的核心問題.

六、弱哥德巴赫猜想與GRH

19世紀(jì)20年代，哈代（Hardy）和李特爾伍德（Lit-tlewood）在其“算術(shù)分拆”的系列文章中創(chuàng)立并發(fā)展了“圓法”，即把方程n =P1P2P3的解用積分表示，并將積分區(qū)間[0，1）分為兩段：一段“優(yōu)弧”對應(yīng)的區(qū)間和一段“劣弧”對應(yīng)的區(qū)間.然而此積分的上下界估計均需要根據(jù)廣義黎曼假設(shè)（ GRH）來得到.在GRH成立的前提下，哈代和李特爾伍德證明了：每個充分大的奇數(shù)n都是3個奇素數(shù)之和，以及幾乎所有的偶數(shù)都是2個素數(shù)之和，即令E（x）為不超過x的不能表示成兩素數(shù)之西格爾（C.L.Siegel）分別先后獨立證明有π（x，k，l）的估計式，他們的結(jié)果已經(jīng)比當(dāng)時已取得的結(jié)果要強不少，也足以導(dǎo)出優(yōu)弧上的積分估計.數(shù)學(xué)家們意識到哈代和李特爾伍德證明中的GRH是有可能被取消的，之后維諾格拉多夫（ Vinogradov）和埃斯特曼（Sterman）證明了：每一個充分大的奇數(shù)n皆可以表示成2個素數(shù)乘積n =P1P2P3P4，以及每一個充分大的整數(shù)n都是2個素數(shù)與1個數(shù)的平方之積n=p1p：m2.大多數(shù)人認(rèn)為在不依賴于GRH的傳統(tǒng)圓法證明中，這已經(jīng)是很好的結(jié)果了，很難被超越了

1937年，維諾格拉多夫改造了傳統(tǒng)網(wǎng)法，將劣弧上的積分化為估計三角和

，其中

，他給出了S（a）的一個非同尋常的估計，并證明了：每個充分大的奇數(shù)n都是3個奇素數(shù)之和.但是這個“充分大”到底要多大才行呢？維諾格拉多夫的學(xué)生波歲斯特金（ Borozdin）計算出來33'5，這個數(shù)已經(jīng)足夠大了，但這個下界太大，難以用計算機驗證.緊接著波羅斯特金又將下界改進(jìn)成了

.但是依然太大……直到2002年，香港大學(xué)的廖明哲和王天澤將下限降到了

，但這還是不夠！ 2012年，加州大學(xué)洛杉磯分校的陶哲軒（T.Tao）首次不借助用GRH證明了：奇數(shù)都可以表示成最多5個素數(shù)之和.2012、2013年，巴黎的哈洛德·賀歐夫各特（Harold Hofgate）連發(fā)兩篇論文將下界降到了史無前例的1030，其同事大衛(wèi)·帕拉特（D.Platt）利用計算機驗證了小于該下界的所有奇數(shù)均符合要求，從而完成了弱哥德巴赫猜想的全部證明.

七、哥德巴赫猜想與GRH

對哥德巴赫猜想的研究主要是圍繞網(wǎng)法進(jìn)行的，以華羅庚為代表的中國解析數(shù)論學(xué)派在其中發(fā)揮著舉足輕重的作用.篩法源于公元前250年的埃拉托色尼（ Eralosthenes）篩法，埃拉托色尼用該方法制作出了世上第一張素數(shù)表.1919年，布倫（Brenda）對傳統(tǒng)篩法進(jìn)行了大幅度的改進(jìn)，并首先將其應(yīng)用于哥德巴赫猜想的研究，他證明了：每一個充分大的偶數(shù)都是兩個素因子個數(shù)不超過9的整數(shù)之和，簡記為“9+9”.我們可以類似定義ab，布倫的這個結(jié)果開辟了一條證明哥德巴赫猜想的新思路，即不斷降低a，b的值，直到降到11，也就證明了哥德巴赫猜想.有了布倫的方法作為基礎(chǔ)，有關(guān)哥德巴赫猜想的結(jié)果成井噴式增長：1924年，拉代馬海（ H.Rademacher）證明了“7+7”：1932年，埃斯特曼證明了“6+6”;1937年，里奇（Ricci）證明了“5+7”“4+9”“3+15”“2+366”：1938年，布赫施塔布（ Buchstab）改進(jìn)布倫篩法，證明了“5+-5”;1940年，布赫施塔布證明了“4+4”.隨后，塞爾伯格（A.Selberg）發(fā)表了著名的A2一方法.起初A2一方法是被塞爾伯格用于研究孿生素數(shù)問題，華羅庚首開先河將其應(yīng)用于哥德巴赫猜想的研究，其想法便是利用A2一方法改進(jìn)布倫篩法的上界估計，同時利用布赫施塔布篩法得到更好的下界估計，在華羅庚的幫助下王元于1955年證明了“3+4”，這標(biāo)志著中圖解析數(shù)論學(xué)派開始在該問題的研究領(lǐng)域占據(jù)領(lǐng)導(dǎo)地位.幾乎同時維諾格拉多夫證明了“3+3”.王元發(fā)現(xiàn)維諾格拉多夫的結(jié)果可以直接由A2一方法得到，他指出維諾格拉多夫證明中的不足，并加入了一些新的想法，維諾格拉多夫?qū)λ摹?+3”證明作了更正.同年，孔恩（P.Kuhn）發(fā)表了關(guān)于x21序列中素數(shù)問題的幾篇文章，里面包含了不少的新想法.結(jié)合孔恩的方法，王元證明了“3+3”和ab（ab≤5）.在王元之前，其同事潘承洞證明了“1+5”和“1+4”.1957年春天，王元在假定GRH成立的情況下證明了“1+3”，在此之前的最好結(jié)果是埃斯特曼的在假定GRH成立的情況下“1+6”和王元、維諾格拉多夫在假定GRH成立的情況下的“1+4”.后來，陳景潤發(fā)表了論文《大偶數(shù)可表示為一個素數(shù)及一個不超過2個素數(shù)之和》，該成果遠(yuǎn)超此前取得的所有結(jié)果.在陳景潤證明“1+2”后，人們普遍認(rèn)為：南于篩法自身的局限性，很有可能“1+2”便是最好的結(jié)果，因此如果想在陳氏定理的基礎(chǔ)上更進(jìn)一步證明甚至證明哥德巴赫猜想，就需要引進(jìn)更加新穎而且強有力的“工具”.

筆者覺得，哥德巴赫猜想是無法與黎曼猜想匹敵的.因為哥德巴赫猜想只是一個數(shù)論問題，而且從日前來看它也并未對除堆壘數(shù)淪以外的數(shù)論分支產(chǎn)生過熏大影響。而黎曼猜想則不同，其證明不但對數(shù)論領(lǐng)域有深遠(yuǎn)的影響，而且可以對復(fù)變函數(shù)論的發(fā)展起積極的推動作用.迄今為止，數(shù)學(xué)家對哥德巴赫猜想的證明中并未用到黎曼猜想，用的是廣義黎曼猜想.另外，單從證明上講，很有可能黎曼猜想就要比哥德巴赫猜想難得多，更別提廣義黎曼猜想.

哥德巴赫猜想跟孿生素數(shù)猜想有著極為深刻的聯(lián)系，哥德巴赫猜想的相關(guān)結(jié)果一般而言是可以轉(zhuǎn)換成孿生素數(shù)猜想的相關(guān)結(jié)果的，比如陳景潤也曾證明過這樣一個定理：存在無窮對素數(shù)P1和殆素數(shù)P1P2，使得其為相鄰的奇數(shù).這跟他的“1+2”很像，也跟孿生素數(shù)猜想很接近.