魯溟峰,武進(jìn)敏,楊文明，張 峰,陶 然

(1.北京理工大學(xué) 信息與電子學(xué)院，北京 100081；2.北京信息科技大學(xué) 自動化學(xué)院，北京 100101；3.上海交通大學(xué) 物理與天文學(xué)院，上海 200240)

牛頓環(huán)實驗是大學(xué)物理的基礎(chǔ)實驗，它面向全校理工科開設(shè)，受眾很廣. 實驗利用牛頓環(huán)干涉條紋測量平凸透鏡的曲率半徑，研究等厚干涉現(xiàn)象. 圖1為牛頓環(huán)實驗的示意圖，將曲率半徑很大的平凸透鏡放在玻璃板上，使凸面與平板玻璃接觸，形成空氣劈尖. 用單色光垂直照射，經(jīng)空氣劈尖的上下表面反射得到2束相干光，相干光疊加形成牛頓環(huán)干涉條紋. 通過第k級暗環(huán)的半徑rk可求得平凸透鏡的曲率半徑為

(1)

圖1 牛頓環(huán)實驗(等厚干涉)

為了使學(xué)生能夠較好地觀察牛頓環(huán)，完成曲率半徑的測量，可以在傳統(tǒng)牛頓環(huán)實驗儀的基礎(chǔ)上增加攝像頭(CCD/CMOS)采集整幅牛頓環(huán)圖像到計算機(jī)中，利用數(shù)字圖像處理軟件處理牛頓環(huán)，完成曲率半徑測量. 例如，利用Matlab軟件對牛頓環(huán)圖的環(huán)心和條紋半徑/直徑進(jìn)行測量[1-2]，再依據(jù)相關(guān)公式計算得到曲率半徑；或采用數(shù)據(jù)處理軟件(Origin，Excel，Matlab，Python等)進(jìn)行最小二乘法擬合[3-4]. 這種基于數(shù)字圖像的數(shù)環(huán)法較傳統(tǒng)數(shù)環(huán)法更為方便，無回程誤差，觀測視場范圍大. 除此之外，也可利用高級圖像處理方法來測量牛頓環(huán)的環(huán)心、半徑/直徑，實現(xiàn)一定程度的自動測量. 例如，利用圖像灰度閾值化、圖像極值跟蹤法、梯度矢量場等相關(guān)方法提取牛頓環(huán)的骨架線(條紋中心線)[5-7]，利用Hough變換及衍生方法檢測牛頓環(huán)的環(huán)心[8-10]，進(jìn)行各環(huán)定級和測量各級圓環(huán)的直徑/半徑，再根據(jù)相關(guān)公式計算得到平凸透鏡的曲率半徑. 另外，也有采用線性回歸等數(shù)據(jù)處理方法來獲取環(huán)心位置和半徑/直徑[11-12]，或者利用圓內(nèi)接三角形的思路來獲得相關(guān)參量[13-14]，增加了測量的便捷性.

以上方法是把基于肉眼的傳統(tǒng)數(shù)環(huán)改為基于數(shù)字圖像的數(shù)環(huán)，是針對傳統(tǒng)數(shù)環(huán)法的升級和補(bǔ)充，方法繁瑣、魯棒性差、自動化程度不高，并且這些圖像處理方法與牛頓環(huán)成像機(jī)理及信號本質(zhì)無太大關(guān)系，也不適合納入大學(xué)物理教學(xué)中. 本文從2個新的視角來觀測牛頓環(huán)，分別是基于信號處理和深度學(xué)習(xí)的牛頓環(huán)干涉條紋分析，無需數(shù)環(huán)，即可對牛頓環(huán)進(jìn)行自動分析，測量平凸透鏡的曲率半徑和牛頓環(huán)的環(huán)心，為牛頓環(huán)實驗提供了具有創(chuàng)新性和實用性的擴(kuò)展實驗手段.

1 牛頓環(huán)的信號處理

對于等間隔條紋，可以用傅里葉變換(Fourier transform，F(xiàn)T)來處理，但是對于牛頓環(huán)這類非等間隔的閉合干涉條紋，其表征無論是在空域還是在傅里葉域都過于復(fù)雜(圖2)，很難直接進(jìn)行分析[15].

(a)空域 (b)傅里葉域圖2 牛頓環(huán)的空域、傅里葉域

目前，Victor Nascov等人根據(jù)牛頓環(huán)的信號特性，采用最小二乘法、轉(zhuǎn)動慣量法和傅里葉法對牛頓環(huán)進(jìn)行了分析[16-18]，這些方法雖脫離了數(shù)環(huán)法的框架，但操作步驟繁瑣復(fù)雜，測量的精度和魯棒性也不盡人意.

1.1 牛頓環(huán)是Chirp信號

如圖1所示，單色光垂直照射被測件和平板玻璃，在空氣劈尖的上下表面反射形成2束相干光，其光程差為

(2)

根據(jù)光程差,可得2束光之間的相位差為

(3)

根據(jù)光波疊加原理，頻率相同、振動方向相同、相位差恒定的2束光在某點相遇疊加后，形成穩(wěn)定的干涉條紋，其疊加后的平均光強(qiáng)為

(4)

其中I1,I2為2束反射光的光強(qiáng)，它們近似一致，可用Ic表示，代入式(4)，聯(lián)立式(3)，可得

(5)

I(x,y)=2Ic+2Iccos (πKx2-2πKx0x+

(6)

由式(6)可知牛頓環(huán)的干涉條紋是二次相位信號，其每行/列都和雷達(dá)通信中常用的Chirp信號形式一致，其信號本質(zhì)是二維Chirp信號[19]，如圖3所示.

圖3 牛頓環(huán)條紋的信號本質(zhì)

1.2 基于分?jǐn)?shù)傅里葉變換的牛頓環(huán)處理

在電子信息領(lǐng)域，Chirp信號處理工具非常豐富，包括分?jǐn)?shù)傅里葉變換(Fractional Fourier transform，F(xiàn)RFT)、Chirp傅里葉變換(Chirp-Fourier transform， CFT)、Chirplet變換、菲涅耳變換等. 本文從牛頓環(huán)的信號本質(zhì)出發(fā)，來分析干涉條紋，在分?jǐn)?shù)傅里葉域觀測牛頓環(huán)，獲得被測件的曲率半徑等物理參量. 其中，F(xiàn)RFT的定義式為

(7)

式中，α為時頻平面旋轉(zhuǎn)的角度，Kα(u,x)=Bαexp [jπ(u2cotα-2uxcscα+x2cotα)]為核函數(shù).

基于牛頓環(huán)的任何行/列都可表示為Chirp信號，取其中1行為例，其簡化的復(fù)指數(shù)形式可寫為Ir(x)=Aexp (jπKx2-j2πKx0x+jφy)，利用FRFT分析，可得沖激函數(shù)

(K+cotα)x2]}dx.

(8)

當(dāng)cotα=-K時，此時α為匹配旋轉(zhuǎn)角，代入式(8)，計算得到

Iαr(u)=Aαyδ(Kx0+ucscα).

(9)

基于以上分析，本文開發(fā)了牛頓環(huán)信號分析軟件用于物理實驗教學(xué)，從成像信號的角度來觀測牛頓環(huán)，該方法原理簡單、無需數(shù)環(huán)，利用積分公式即可計算出結(jié)果. 由于該方法充分挖掘了信號特征，因此測量的精度和魯棒性較好. 另外，該信號分析軟件還可以讓學(xué)生在信號視角下觀測牛頓環(huán). 學(xué)生在理解FRFT積分的基礎(chǔ)上，調(diào)試參量，觀測牛頓環(huán)在分?jǐn)?shù)傅里葉域的能量聚集性，測量曲率半徑.

1.3 基于Chirp傅里葉變換的牛頓環(huán)處理

分?jǐn)?shù)傅里葉變換(FRFT)、Chirp傅里葉變換(CFT)為普通傅里葉變換(FT)的廣義形式，F(xiàn)T適合處理正弦信號，而FRFT和CFT適合處理Chirp信號，信號經(jīng)過變換會形成沖激信號. CFT是FRFT的簡化形式，其離散形式更適合數(shù)值計算[20-21]. 其中，CFT的定義為

(10)

式中，k為頻率，l為線性調(diào)頻率.當(dāng)l固定時，對I(x)的Chirp傅里葉變換就變?yōu)閷(x)exp (-jlx2)的傅里葉變換.當(dāng)l=0時，Chirp傅里葉變換就是傅里葉變換.

與分?jǐn)?shù)傅里葉域分析牛頓環(huán)過程類似，牛頓環(huán)的任何行/列都可表示為Chirp信號，以其中1行為例，其簡化的復(fù)指數(shù)形式可寫為

Ir(x)=Ayexp [j(β0x2+α0x)],

(11)

其中，α0=-2Kπx0,β0=Kπ分別為待估計行信號的頻率和調(diào)頻率.使用CFT處理Ir(x)，計算得到

Ay2πδ(k-α0).

(12)

在Chirp傅里葉域中通過搜索峰值，得到α0和β0，進(jìn)而推導(dǎo)出牛頓環(huán)條紋的曲率半徑Rrow=2π/(λ0β0)和圓心橫坐標(biāo)x0=-α0/(2β0).同理，對列信號做類似處理，也可以得到列曲率半徑Rcol和圓心坐標(biāo)y0.最后通過對計算得到的行和列信號的半徑求均值，得到待測平凸透鏡的曲率半徑和牛頓環(huán)的環(huán)心坐標(biāo)(x0,y0).

CFT比FRFT具有更簡明的公式形式，因此更適合進(jìn)行數(shù)值計算，但是這種簡化導(dǎo)致CFT不具備FRFT的光學(xué)特性，例如在近代物理光學(xué)領(lǐng)域中，F(xiàn)RFT經(jīng)常用來描述光的衍射，CFT則無法描述.

2 牛頓環(huán)的深度學(xué)習(xí)

近年來，深度學(xué)習(xí)已被各行各業(yè)廣泛應(yīng)用，并取得了良好的效果. 但大部分應(yīng)用是對圖像進(jìn)行分類，諸如對人臉分類，而如何從圖像中獲取參量的應(yīng)用屬于深度學(xué)習(xí)的擬合問題，相對分類任務(wù)更難. 圖4為采用深度卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)牛頓環(huán)參量端到端的估計[22-24]. 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)采用的VGG卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，是2014年牛津大學(xué)計算機(jī)視覺組和Google DeepMind公司共同研發(fā)出的深度卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Visual Geometry Group Network，VGGNet)[25]，由5層卷積層、3層全連接層以及softmax輸出層構(gòu)成. 本文基于該網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)進(jìn)行改進(jìn)，設(shè)計了適合牛頓環(huán)參量估計的改進(jìn)VGG網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，網(wǎng)絡(luò)共11層，包含10個卷積層和1層全連接，如圖5所示. 其中卷積層采用3×3大小的卷積核，其激活函數(shù)為ReLU，用這樣的結(jié)構(gòu)來提取牛頓環(huán)中的特征；最大池化用于減少特征圖的尺寸、冗余的信息和網(wǎng)絡(luò)參量；非線性激活函數(shù)ReLU代替原來的softmax，用來保持網(wǎng)絡(luò)的非線性擬合能力，并在網(wǎng)絡(luò)的輸出層設(shè)置3個神經(jīng)元，即環(huán)心坐標(biāo)(x0,y0)和曲率半徑R.

圖4 基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的牛頓環(huán)直接參量估計

圖5 改進(jìn)VGG網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)用于牛頓環(huán)分析

基于該科研成果，開發(fā)了適合牛頓環(huán)實驗的深度學(xué)習(xí)實驗平臺，訓(xùn)練和測試流程基于tensorflow的keras框架，在英偉達(dá)Quardro RTX 5000的GPU上進(jìn)行，如圖6～7所示.

圖6 深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練流程

圖7 深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分析牛頓環(huán)結(jié)果

1)數(shù)據(jù)集準(zhǔn)備.

120 000張尺寸為640×480的仿真牛頓環(huán). 這些圖像以10∶1的比例分為了訓(xùn)練集和測試集，每張圖都有標(biāo)注環(huán)心坐標(biāo)和曲率半徑. 另外，利用牛頓環(huán)實驗儀采集1 500張真實的牛頓環(huán)條紋圖作為訓(xùn)練集.

2)訓(xùn)練.

損失函數(shù)：均方誤差函數(shù)；

Adam優(yōu)化器：起始的學(xué)習(xí)率為0.001，動量更新的參量為0.9和0.999；

批量梯度下降：batchsize為16；

分批訓(xùn)練：12 000張/批.

3)測試驗證.

a. 仿真理想牛頓環(huán)：曲率半徑相對偏差為0.01%～0.05%，環(huán)心誤差≤1 pixel；

b. 仿真均勻光照牛頓環(huán)：

高斯噪聲(信噪比為25～-5 dB)：曲率半徑相對偏差為0.01%～0.18%，環(huán)心誤差≤1 pixel；

椒鹽噪聲(噪聲密度為0～60)：曲率半徑相對偏差為0.01%～0.23%，環(huán)心誤差≤1 pixel；

c. 仿真非均勻光照牛頓環(huán)：

高斯噪聲(信噪比為25～-5 dB)：曲率半徑相對偏差為0.02%～0.35%，環(huán)心誤差≤1 pixel；

椒鹽噪聲(噪聲密度為0～60)：曲率半徑相對偏差為0.02%～0.25%，環(huán)心誤差≤1 pixel；

d. 實測牛頓環(huán)：曲率半徑相對估計誤差<0.62%，環(huán)心誤差≤1 pixel，單張(640×480)測試時間約為0.01 s.

3 教學(xué)效果

3.1 具有創(chuàng)新啟發(fā)性

基于信號處理和深度學(xué)習(xí)的牛頓環(huán)實驗不拘泥于傳統(tǒng)的數(shù)環(huán)法，而是從2個新穎的角度觀測牛頓環(huán). 該實驗可以作為數(shù)環(huán)法實驗的補(bǔ)充，以擴(kuò)展傳統(tǒng)教學(xué)思路，具有較好的創(chuàng)新性和啟發(fā)性. 通過牛頓環(huán)干涉條紋在分?jǐn)?shù)傅里葉變換域的能量聚集性，深刻理解牛頓環(huán)干涉成像的機(jī)理和數(shù)學(xué)本質(zhì). 通過大數(shù)據(jù)訓(xùn)練深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，使其具有分析牛頓環(huán)的智能性，幫助學(xué)生理解牛頓環(huán)的數(shù)據(jù)特征，激發(fā)學(xué)生對干涉現(xiàn)象的深入思考，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，拓寬學(xué)生的視野.

3.2 具有知識拓展性和通用性

基于信號處理和深度學(xué)習(xí)的牛頓環(huán)實驗是對傳統(tǒng)等厚干涉實驗的良好補(bǔ)充，在完成傳統(tǒng)基礎(chǔ)實驗后，通過拓展實驗完成新視角下的牛頓環(huán)觀測，擴(kuò)展新知識，可以支撐大學(xué)物理、信號處理、人工智能等多學(xué)科課程乃至大創(chuàng)和競賽.

3.2.1 基礎(chǔ)實驗(面向理工科專業(yè))

實驗名稱：基于數(shù)環(huán)法分析的透鏡曲率半徑測量(4學(xué)時).

實驗?zāi)康模豪斫馀ｎD環(huán)等厚干涉成像原理，掌握基本光路的搭建和調(diào)試，了解visio畫圓.

實驗原理：牛頓環(huán)本質(zhì)上屬于等厚干涉，由1塊曲率半徑較大的平凸透鏡放在光學(xué)平板玻璃上構(gòu)成，平板玻璃表面與凸透鏡球面之間形成楔形的空氣間隙. 當(dāng)用單色光照射牛頓環(huán)儀時，在球面與平玻璃接觸點周圍形成同心圓干涉環(huán)——牛頓環(huán). 如果已知入射光波長λ，測得第k級暗環(huán)直徑Dk，則可求得透鏡曲率半徑R.

實驗步驟：

1) 根據(jù)透、反射式牛頓環(huán)實驗光路示意圖搭建光路；

2) 觀察、拍攝反射式牛頓環(huán)；

3) 定標(biāo)圖像拍攝；

4) 利用visio工具，標(biāo)定各級圓環(huán)，記錄相應(yīng)級數(shù)直徑，計算曲率半徑，完成實驗報告.

3.2.2 擴(kuò)展實驗1(面向物理、光學(xué)、信息專業(yè))

實驗名稱：基于分?jǐn)?shù)傅里葉變換(FRFT)的透鏡曲率半徑測量(4學(xué)時).

實驗?zāi)康模毫私馀ｎD環(huán)成像原理并完成光路搭建和調(diào)試，理解基于FRFT算法的牛頓環(huán)條紋分析原理.

實驗原理：將1塊曲率半徑較大的平凸透鏡放在光學(xué)平板玻璃上，使其凸面與平面接觸，兩者之間形成楔形的空氣間隙，當(dāng)用單色平行光照射牛頓環(huán)儀時，在球面與平玻璃接觸點周圍形成同心圓干涉環(huán)——牛頓環(huán). 作為傅里葉變換(FT)的一般形式，從信號處理角度出發(fā)，F(xiàn)RFT是基于Chirp基函數(shù)分解的信號處理工具，從光學(xué)傳播角度出發(fā)，F(xiàn)RFT可以描述光的衍射.

實驗步驟：

1) 根據(jù)透、反射式牛頓環(huán)實驗光路示意圖搭建光路；

2) 觀察、拍攝反射式牛頓環(huán)，拍攝定標(biāo)圖像；

3) 理解基于FRFT的牛頓環(huán)參量估計原理；

4) 根據(jù)實驗指導(dǎo)書，熟悉基于FRFT的牛頓環(huán)分析軟件；

5) 輸入所需參量，計算曲率半徑，記錄結(jié)果；

6) 調(diào)整輸入?yún)⒘?，記錄曲率半徑測量結(jié)果，完成實驗報告.

3.2.3 擴(kuò)展實驗2(面向物理、光學(xué)、信息專業(yè))

實驗名稱：基于深度學(xué)習(xí)的透鏡曲率半徑測量(4學(xué)時).

實驗?zāi)康模毫私馀ｎD環(huán)成像原理并完成光路搭建和調(diào)試，理解基于深度學(xué)習(xí)的牛頓環(huán)條紋分析原理.

實驗原理：將1塊曲率半徑較大的平凸透鏡放在光學(xué)平板玻璃上，使其凸面與平面接觸，兩者之間形成楔形的空氣間隙，當(dāng)用平行單色光照射牛頓環(huán)儀時，在球面與平玻璃接觸點周圍形成同心圓干涉環(huán)——牛頓環(huán). 從數(shù)據(jù)處理角度出發(fā)，深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是先進(jìn)的數(shù)據(jù)分析工具，可以通過訓(xùn)練使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)從牛頓環(huán)條紋中學(xué)習(xí)參量.

實驗步驟：

1) 根據(jù)透、反射式牛頓環(huán)實驗光路示意圖搭建光路；

2) 觀察、拍攝反射式牛頓環(huán)，拍攝定標(biāo)圖像；

3) 理解基于深度學(xué)習(xí)的牛頓環(huán)參量估計原理；

4) 根據(jù)實驗指導(dǎo)書，熟悉基于深度學(xué)習(xí)的牛頓環(huán)分析方法；

5) 設(shè)置超參量，訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)，測量曲率半徑，記錄結(jié)果，完成實驗報告.

3.3 具有實用性

基于信號處理(FRFT和VGG)的牛頓環(huán)實驗法比數(shù)環(huán)法具有更好的精度和魯棒性，即使在圖像被污損的情況下也能保證測量精度，這是由于牛頓環(huán)的信號特性和數(shù)據(jù)特性是數(shù)環(huán)法及基于數(shù)字圖像處理后的改進(jìn)數(shù)環(huán)法所無法比擬的. 而且，比起Victor Nascov等人提出的最小二乘法、傅里葉法[16-18]，本文介紹的牛頓環(huán)實驗法測量的精度和魯棒性更好. 本文仿真不同噪聲情況下的牛頓環(huán)圖(圖8)，測試各種方法的魯棒性，如表1～2所示.

(a)理想情況 (b)均勻光照含高斯噪聲

表1 不同方法對均勻光照牛頓環(huán)仿真圖的曲率半徑估計(相對偏差)效果比較

表2 不同方法對非均勻光照牛頓環(huán)仿真圖的曲率半徑估計(相對偏差)效果比較

用大學(xué)物理等厚干涉實驗儀測量不同曲率半徑的平凸透鏡(0.855～1.443 m),采集到的真實牛頓環(huán)條紋如圖9所示，進(jìn)行各種方法的魯棒性測試，進(jìn)一步證實本文介紹的牛頓環(huán)實驗法的測量精度和魯棒性更好的結(jié)論，如表3所示.

(a) (b)

表3 不同方法對真實牛頓環(huán)圖像的曲率半徑估計(相對偏差)效果比較

基于信號處理和深度學(xué)習(xí)的實驗方法可以完成傳統(tǒng)數(shù)環(huán)法所不能實現(xiàn)的環(huán)心定位，在仿真圖(640×480)中，F(xiàn)RFT和VGG的環(huán)心定位精度≤1 pixel；在實測圖(640×480)中，F(xiàn)RFT和VGG環(huán)心定位精度≤3 pixel. 無論是信號處理還是深度學(xué)習(xí)實驗法，單張牛頓環(huán)圖(640×480)的測試時間都在1 s以內(nèi)，而visio數(shù)環(huán)則需要10 min左右.

大部分高校采用顯微鏡觀測牛頓環(huán)，可以在顯微鏡上加裝電子目鏡，實現(xiàn)對牛頓環(huán)圖像的獲取，如圖10所示，配上信號處理和深度學(xué)習(xí)軟件就可以實現(xiàn)內(nèi)容翔實的實驗，該實驗方案所需裝置成本低、易于推廣.

圖10 電子目鏡方案

4 結(jié)束語

基于信號處理和深度學(xué)習(xí)的牛頓環(huán)實驗是對經(jīng)典等厚干涉實驗的創(chuàng)造性改進(jìn)，無需數(shù)環(huán)即可完成曲率半徑測量，還可進(jìn)一步得到牛頓環(huán)的環(huán)心坐標(biāo). 有別于基于數(shù)字圖像處理的數(shù)環(huán)法，本文所提出的基于信號處理的方法根據(jù)牛頓環(huán)干涉信號形成機(jī)理，提出牛頓環(huán)是具有二次相位的二維Chirp信號，引入FRFT和CFT分析牛頓環(huán)；基于深度學(xué)習(xí)的方法充分挖掘牛頓環(huán)的數(shù)據(jù)特性，采用改進(jìn)的VGG卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分析牛頓環(huán). 該方法將信息技術(shù)與傳統(tǒng)實驗融合，將科學(xué)前沿融入教學(xué)，在傳統(tǒng)等厚干涉實驗的基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展，不僅滿足大學(xué)物理實驗的教學(xué)需求，還可擴(kuò)展到信號處理、人工智能等信息學(xué)科領(lǐng)域的教學(xué)中，鍛煉學(xué)生的綜合能力和創(chuàng)新性思維. 此外，該實驗方法具有實用性，可以用于球面光學(xué)元件的專業(yè)測量.