劉 帥，王傳玉，王 奕

(安徽工程大學 數(shù)理與金融學院金融系，安徽 蕪湖 241000)

目前，世界各國的私人養(yǎng)老金計劃就給付方式的不同可以分為三類：一是確定福利計劃(DB型計劃)，二是確定繳費計劃(DC型計劃)，三是將DB型計劃和DC型計劃有效結合而成的混合型計劃。三者基本特點的比較如表1所示。DB型計劃：養(yǎng)老金計劃發(fā)起人或管理人向計劃參與者作出承諾，保證其養(yǎng)老金收益按事先的約定發(fā)放。對計劃的參與者承諾了一個固定收益，具有一定的保障性。但是，未對計劃參與者建立個人投資賬戶，而是由計劃發(fā)起人集體投資，統(tǒng)一管理，參與者不享有超額的投資收益。投資選擇與投資風險由發(fā)起人承擔，一旦投資收益無法履行對參與人承諾的保障義務，這對發(fā)起人公司就意味著長期負債，面臨著償付能力風險。DC型計劃：計劃參與者向養(yǎng)老金計劃的繳費是確定的，但參與者退休后的福利由投資收益所決定。計劃的發(fā)起者對計劃參與者建立了個人賬戶，由參與者根據(jù)自己的投資選擇和風險偏好進行投資，可以獲得超額的投資收益，但投資風險由參與者自己承擔。但是，當金融市場發(fā)生大的波動時，將導致個人賬戶的資產縮水，參與者退休后的收入將無法得到保障。混合型養(yǎng)老金計劃：計劃的發(fā)起人或者管理人向計劃的參與者承諾在其退休時能得到一個固定的收益，同時為計劃的參與者建立個人賬戶進行獨立投資。退休后的最終福利由承諾的固定收益和投資收益組成，不僅具有一個固定的保障，而且還可以獲得超額的投資收益。但是，房連泉[1]從風險共享機制的角度指出國際上混合型養(yǎng)老金計劃在設計、制度、監(jiān)管等方面較為復雜，可能存在激勵沖突。

表1 DB、DC和混合型計劃的基本特點比較

隨著世界人口死亡率的逐步下降和預期壽命的提高，長壽風險是世界各國養(yǎng)老金機構面臨的主要系統(tǒng)性風險之一，各國的養(yǎng)老金計劃發(fā)起人對計劃參與者養(yǎng)老金的支付額也隨之增加，面臨著償付風險。因此，為了度量養(yǎng)老金發(fā)起人的這一增量資本，長壽風險的評估已成為國內外學者研究的重點。

基于長壽風險的養(yǎng)老保險負債評估的研究中，國外學者Mikkel等[2]研究了具有系統(tǒng)死亡風險的人壽保險合同的評估和對沖問題，利用CIR模型推導了人壽保險負債的無差異價格和風險最小化的對沖策略。Juan等[3]采用綜合會計、個人生命周期概況和一般均衡模型對西班牙人口老齡化下的社會保障支出進行評估。Norbert等[4]使用廣義的雙因素Lee-Carter死亡率模型對未來死亡率預測，并評估微觀和宏觀壽命風險對資金比率不確定性的影響。Borger[5]應用隨機死亡率模型，通過在險價值(VaR)方法，計算了死亡率被低估的長壽風險的償付能力資本要求。國內學者祝偉等[6]在動態(tài)死亡率的框架下運用wang轉換的風險定價方法分析長壽風險對個人年金產品定價的影響。韓猛等[7]將破產概率與年金合同定價相結合研究了即期年金保單組未來現(xiàn)金流的分布特征，測算了即期年金保單組的未來現(xiàn)金流，探討了保單規(guī)模和性別對長壽風險的影響。封鐵英等[8]利用生命表技術和隨機死亡率預測方法，評估農村社會養(yǎng)老保險的長壽風險，并給出了優(yōu)化制度設計、強化參保人責任、引入市場機制等應對策略。謝琳[9]采用基于有限數(shù)據(jù)的雙隨機Lee-Carter模型構建全因素區(qū)間估計方法度量長壽風險，從年度基金率和平衡率、長期存量債務和長期平衡率等方面考察中國城鎮(zhèn)職工基本養(yǎng)老保險的償付能力狀況。

本文在Dirk等[10]基礎上將混合型養(yǎng)老金計劃的負債估值納入長壽風險因素進行理論研究。首先，對混合型養(yǎng)老金的福利機制、金融市場以及長壽風險進行合理的假設與建模。其次，利用伊藤公式和隨機微分方程理論知識推導出混合型養(yǎng)老金計劃的未償總負債的估值表達式。最后，對估值表達式進行數(shù)值模擬，分析混合性參數(shù)、養(yǎng)老基金投資政策中的股權分配比例、股票波動率對混合型養(yǎng)老金計劃的未償總負債估值的影響。

1 模型建立

設置一個基于55個重疊世代組成的混合型養(yǎng)老金計劃，假設該計劃中參與人員的年齡25～80歲，所有個人在25歲開始工作，65歲退休，且這55個群體是同質的?？紤]到長壽風險，混合型養(yǎng)老金計劃內生存超過80歲的世代視為長壽世代，計劃發(fā)起人承擔長壽世代的福利支付，假設最大壽命105歲。混合型養(yǎng)老基金在t=0時開始運作，遵循自融資策略，除了初始投資之外，在投資過程中，不追加任何投資，也不從投資中轉移資本，這是為了防止計劃參與者的投機行為。隨著時間的推移，模型中的混合養(yǎng)老基金人口將由越來越少的工作世代組成，直到t=40時，整個混合養(yǎng)老基金人口由退休世代組成。

1.1 福利機制

假設1所有退休的世代最初都在i時獲得相同的福利。

(1)

(2)

此外，可以通過參數(shù)α定義一個連續(xù)的養(yǎng)老金合同：若α=0，則養(yǎng)老金合同具有DB計劃的特點，因為受益人的業(yè)績是無風險回報。若α=1，則養(yǎng)老金合同具有DC計劃的特點，因為受益人收到養(yǎng)老基金資產的實際回報。若α∈(0,1)，則養(yǎng)老金合同是一個由DB和DC元素組成的混合型計劃。

由式(2)得

(3)

1.2 金融市場

假設混合型養(yǎng)老基金在基金存續(xù)期間[0,T]時投資于只含有兩種交易資產的金融市場上運作：一種是股票S，另一種是無風險債券B。

假設2 在風險中性定價測度p下，股票的價值演變滿足隨機微分方程：

(4)

假設3在風險中性定價測度p下，無風險債券的價值演變滿足隨機微分方程：

dBt=rtBtdt。

(5)

(6)

(7)

由式(7)可知：

(8)

假設5混合型養(yǎng)老基金以β比例投資股票，1-β比例投資無風險債券?；旌闲宛B(yǎng)老基金的資產價值變化如下：

(9)

給定風險中性測度p，應用伊藤公式，Xt在[0,t]上的對數(shù)回報表示為

(10)

由式(10)可知：

(11)

1.3 長壽風險

Antolin[12]定義長壽風險是指由于未來死亡率的實際值與預期值不一致而給保險公司和養(yǎng)老金機構帶來的可能損失。因此，對于未來死亡率的研究成為長壽風險分析的基礎。Lee等[13]最早提出了一個簡潔的動態(tài)死亡率模型，構造t時刻年齡x世代的中心死亡率mx,t得：

ln(mx,t)=αx+βxkt+εx,t,

(12)

式中，αx是與年齡相關的常數(shù);kt是時間趨勢;βx是對數(shù)中心死亡率對時間趨勢的敏感性,隨著年齡的增長而降低;εx,t是誤差項。

假設6 中心死亡率在一年內是恒定的，即mx+s,t+s=mx,t(0≤s≤1)。所以一年的死亡概率qx,t滿足

qx,t≈1-e-mx,t,

(13)

則一年的生存概率px,t為

px,t≈e-mx,t,

(14)

累積生存概率為

(15)

式中，ipx,t表示年齡x的世代在t時刻生存到i時刻的生存概率。

Olivieri[14]以期初年金精算現(xiàn)值的方法對長壽風險度量。在該混合型養(yǎng)老金計劃中，對生存超過80歲的世代(最大105歲)，按照1單位的期初年金的方式給予混合型養(yǎng)老金福利。通過計算，該年金福利在t時刻的現(xiàn)值為

(16)

1.4 未償總負債

將混合型養(yǎng)老金計劃未來支付給參與人的福利的現(xiàn)值看做混合型養(yǎng)老金計劃發(fā)起人的未償總負債，引入長壽世代的福利支付，以此來刻畫混合型養(yǎng)老金中的長壽風險。模型區(qū)分了兩種情況：t≥40(既有工作世代也有退休世代)和t>40(只有退休世代)。模型中的關鍵變量是未償總負債在時間t的貼現(xiàn)，表示為

(17)

2 混合型養(yǎng)老金負債估值的推導

本節(jié)對模型進行推導，確定未償總負債在t=1,…,55時的未償總負債的值?；旌闲宛B(yǎng)老金計劃的負債在時間t時的市場一致性估值可以表示為

(18)

(19)

考慮到混合型養(yǎng)老金的福利是期間收益，運用Geman等[15]提出的數(shù)值不變性原理的測度轉換方法進行推導，將期望從風險中性的概率度量p轉換為遠期風險調整度量pi，其中使用到期日i的零息票債券作為數(shù)字。推出了在遠期風險調整pi下的期望，并且獲得了混合型養(yǎng)老金負債估值的表達式(證明見附錄)。

命題1 長壽風險下混合型養(yǎng)老金在t時刻的估值表達式：

(20)

式中，H(i-1,i)表示為

η(u,i)=ρβσs-σ(u,i)

γ(u,t,i)=σ(u,t)-σ(u,i),

(21)

J(i-1,i)表示為

(22)

Y(t,i-1)表示為

(23)

3 數(shù)值分析與啟示

3.1 數(shù)據(jù)來源

人口死亡率數(shù)據(jù)選取了比利時2010～2018年的人口總死亡率水平(見表2)，這是因為《安聯(lián)全球養(yǎng)老金報告》指出瑞典和比利時的養(yǎng)老金系統(tǒng)是最佳的，而比利時的養(yǎng)老金體系中包含了混合型養(yǎng)老金計劃，計劃參與人工作40～45年，65歲退休并開始獲得養(yǎng)老金福利，這更符合本文模型的假設。其中對工作世代(25～64歲)、退休世代(65～79歲)、長壽世代(80～105歲)分別取死亡率平均值作為各個世代的死亡率水平，忽略性別因素。隨機利率模型參數(shù)來自Brennan等[16]的數(shù)據(jù)(見表3)。利率的長期均值為0.0315/0.63=0.05。初始利率水平被認為等于利率長期均值水平，以抵消利率系統(tǒng)性增減的影響。

表2 比利時2010～2018年人口死亡率

年份年齡段總死亡率2010～201865～690.013 0372010～201870～740.019 9692010～201875～790.033 1012010～201880～840.059 7312010～201885～890.111 7782010～201890～940.194 5582010～201895～990.315 7692010～2018100～1050.466 802

表3 相關參數(shù)

變量取值符號其他參數(shù)0.013 5b股票波動率0.25σs相關系數(shù)-0.129ρ股權分配比例0.6β混合性參數(shù)0.5α

3.2 數(shù)值模擬

根據(jù)理論估值表達式(20)，將上述參數(shù)值帶入計算，運用Matlab軟件進行數(shù)值模擬分析，分別比較了未考慮長壽風險和考慮長壽風險情況下混合性參數(shù)α、股權分配比例β、股票波動率σs對未償總負債的影響，數(shù)值模擬結果如圖1～6所示。

3.3 討論與啟示

通過比較圖1、2可知，第一，混合型養(yǎng)老金計劃在運作前50期，長壽風險下的未償總負債比未考慮長壽風險的未償總負債估值大約低125個單位。不同世代在考慮死亡率因素后，其每個世代的人數(shù)都有所降低，計劃發(fā)起人不承擔死亡人數(shù)的福利。在運作后5期，長壽風險下的未償總負債比未考慮長壽風險的未償總負債估值大約高30個單位?？紤]長壽風險下，混合型計劃運行周期期末時存在長壽世代，計劃發(fā)起人仍然需要對其支付混合養(yǎng)老金福利。第二，混合型養(yǎng)老金計劃的未償總負債值與混合性參數(shù)α之間呈負相關。這是由于α的增加使混合型方案中的DB型計劃占比逐漸減小，計劃發(fā)起人承諾的福利隨之減小，未償總負債減少。第三，混合性參數(shù)α隨著時間的變化對混合型養(yǎng)老金計劃的未償總負債的影響程度逐漸減弱。因為隨著時間的推移，混合型養(yǎng)老基金到期日的時間縮短，導致資產回報波動周期縮短。

通過比較圖3、4可知，股權分配比例β對未償總負債估值的影響與混合性參數(shù)α一致；混合型養(yǎng)老金計劃的未償總負債值與股權分配比例β之間呈負相關，因為混合型計劃中的DC型部分的投資賬戶是由個人自主投資的，自負盈虧；混合型養(yǎng)老基金資產的風險與股權分配比例呈正相關，投資股票的比重越高，資產風險越高；β=1時，即完全投資于股票，混合型養(yǎng)老金計劃在長壽風險下的未償總負債相較于未考慮長壽風險下的未償總負債在運行中期有小幅向上的趨勢，這是因為股票的波動率較大，一些風險偏好低的投資者開始轉變DC型部分的占比，使DB型的占比更高。

通過比較圖5、6可知，股票波動率σs對混合型養(yǎng)老金的未償總負債估值的影響與混合性參數(shù)α一致；股票波動率σs與未償總負債之間呈負相關；不同的股票波動率對未償總負債的影響在期初有較大的差別，但隨著基金運作期的減少而趨于一致；隨著股票波動率σs的增加，未償總負債減少的幅度更大。

圖1 混合性參數(shù)α對未償總負債的影響圖2 長壽風險下混合性參數(shù)α對未償總負債的影響

圖3 股權分配比例β對未償總負債的影響圖4 長壽風險下股權分配比例β對未償總負債的影響

圖5 股票波動率σs對未償總負債的影響圖6 長壽風險下股票波動率σs對未償總負債的影響

本文研究結果的政策啟示：對于政府來說，首先，積極穩(wěn)健地推行漸進式延遲退休年齡政策，鼓勵推遲退休和漸進退休，鼓勵推遲養(yǎng)老金領取年齡，建立多層次和多渠道的養(yǎng)老金體系。其次，制定混合型養(yǎng)老金混合性參數(shù)α和股權投資比例β的合理范圍。因為在混合型養(yǎng)老基金中，計劃發(fā)起人更偏向于較高的混合性參數(shù)比例和股權投資比例，這樣可以減少定期給付于計劃參與者的福利。相反，計劃參與者更偏向于較低的混合性參數(shù)和股權投資比例，這樣可以提高自身的福利領取。因此，政府應制定混合性參數(shù)和股權投資比例的合理范圍，保護混合型養(yǎng)老金計劃的利益雙方。對計劃參與者來說，混合型養(yǎng)老金計劃拓展了居民的養(yǎng)老策略選擇，但是計劃參與者要結合自身的資產狀況、投資偏好、投資期限等理性地選擇混合性參數(shù)和股權投資比例。對于金融市場來說，首先，金融市場應多渠道為計劃發(fā)起人資金融資，并積極探索長壽風險證券化的創(chuàng)新性途徑。其次，計劃發(fā)起人可以在金融市場上利用再保險和分紅型年金業(yè)務來轉移部分長壽風險。最后，金融市場要擴大養(yǎng)老基金的投資范圍，改變養(yǎng)老金投資收益率低、投資方式單一和投資種類受限的局面，實現(xiàn)養(yǎng)老金的保值增值。

4 總結與展望

本文研究了長壽風險下混合型養(yǎng)老金計劃中未償總負債的市場一致性價值的模型，運用測度轉換的方法推出了長壽風險下混合型養(yǎng)老金未償總負債的封閉表達式，通過數(shù)值分析比較考慮長壽風險和未考慮長壽風險下混合性參數(shù)、股權分配比例、股票波動率與混合型養(yǎng)老金負債的估值影響。結果顯示：混合性參數(shù)、股權分配比例、股票波動率與混合型養(yǎng)老金負債的估值都呈負相關。研究得出的相關啟示可以為政策或混合型養(yǎng)老金計劃的設計提供借鑒。

雖然將混合型養(yǎng)老金未償總負債估值模型納入了長壽風險這一系統(tǒng)性風險，但仍有一定的局限性。下一步將考慮通貨膨脹風險這另一系統(tǒng)性風險，因為養(yǎng)老金的投資通常是長期投資，通貨膨脹影響著混合型養(yǎng)老基金的投資收益與負債水平，計劃參與人的福利也會受其影響。因此，為了使混合型養(yǎng)老金計劃負債的估值更加精確，更加符合實際，納入通貨膨脹因素是必要的，也具有一定的現(xiàn)實意義。