李團(tuán)飛， 劉 飛， 趙俊峰， 王 杰

(1.洛陽(yáng)市科技情報(bào)研究所， 河南 洛陽(yáng) 471003； 2.中材建設(shè)有限公司， 河北 唐山 063000； 3.洛陽(yáng)一拖眾成配件制造有限公司， 河南 洛陽(yáng) 471003)

并聯(lián)機(jī)構(gòu)(Parallel Mechanism)是指至少以?xún)蓷l可以獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的驅(qū)動(dòng)支鏈連接末端執(zhí)行器和一個(gè)固定平臺(tái)，從而使得末端執(zhí)行器實(shí)現(xiàn)多個(gè)自由度運(yùn)動(dòng)的機(jī)構(gòu)[1,2]。6-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)屬于六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的一種，由動(dòng)平臺(tái)、定平臺(tái)和六條驅(qū)動(dòng)支鏈構(gòu)成。其中：U代表虎克鉸，P代表移動(dòng)副，S代表球鉸。定平臺(tái)固定在基座上，驅(qū)動(dòng)支鏈伸縮桿端由球鉸連接到動(dòng)平臺(tái)上，缸體端由虎克鉸連接到定平臺(tái)上，驅(qū)動(dòng)支鏈借助伸縮運(yùn)動(dòng)完成動(dòng)平臺(tái)在空間內(nèi)6個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)。六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、定位精度高、剛度大、承載能力強(qiáng)、速度快等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于運(yùn)動(dòng)模擬、航空航天、汽車(chē)制造、國(guó)防軍事和生活?yuàn)蕵?lè)等領(lǐng)域[3]。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析是進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析、控制策略研究和優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)[4]，建立準(zhǔn)確的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型至關(guān)重要。本文將6-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的模型簡(jiǎn)化，進(jìn)行自由度計(jì)算，建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)變換矩陣確定動(dòng)平臺(tái)與定平臺(tái)的位姿關(guān)系，推導(dǎo)出6-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，對(duì)建立的6-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)模型進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真分析。

1 結(jié)構(gòu)分析與自由度計(jì)算

1.1 結(jié)構(gòu)分析

作為一種能夠在空間中完成6個(gè)自由度運(yùn)動(dòng)的機(jī)構(gòu)，6-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示。圖中，La～Lf表示電動(dòng)缸，Ra為動(dòng)平臺(tái)半徑，A1、A2、A3、A4、A5、A6為6個(gè)球鉸的位置，A4A5之間的距離da為上鉸鏈點(diǎn)短邊距。Rb為定平臺(tái)半徑，B1、B2、B3、B4、B5、B6為6個(gè)虎克鉸的位置，B1B2之間的距離db為下鉸鏈點(diǎn)短邊距。將鉸鏈點(diǎn)A1、A2、A3、A4、A5、A6與B1、B2、B3、B4、B5、B6按順序連接組成一個(gè)規(guī)則的六邊形，兩個(gè)六邊形之間的方位差為180°。Oa-XaYaZa為動(dòng)平臺(tái)連體坐標(biāo)系，Ob-XbYbZb為定平臺(tái)慣性坐標(biāo)系。

1.2 自由度計(jì)算

6-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)中，活動(dòng)構(gòu)件總數(shù)為13，機(jī)架構(gòu)件總數(shù)為14，球鉸自由度為3，虎克鉸自由度為2，移動(dòng)副自由度為1，運(yùn)動(dòng)副總數(shù)為18。

利用空間機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算公式[5]計(jì)算6-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度：

(a)主視圖 (b)俯視圖

(1)

式中：F為機(jī)構(gòu)自由度數(shù)；n為活動(dòng)構(gòu)件總數(shù)；m為運(yùn)動(dòng)副總數(shù)；Pi為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的限制自由度數(shù)。

利用Kutzbach-Grubler公式[6]進(jìn)行自由度校核計(jì)算：

(2)

式中：F為機(jī)構(gòu)自由度數(shù)；n為活動(dòng)構(gòu)件數(shù)(包括機(jī)架)；m為運(yùn)動(dòng)副數(shù)；fi為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度數(shù)。

計(jì)算結(jié)果表明：6-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度為6，滿(mǎn)足6個(gè)自由度運(yùn)動(dòng)的條件。

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

2.1 坐標(biāo)系建立與位姿描述

6-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)上的連體坐標(biāo)系可以看作是定平臺(tái)上的慣性坐標(biāo)系經(jīng)過(guò)平移和旋轉(zhuǎn)后得到的。為了定量描述動(dòng)平臺(tái)各處的坐標(biāo)，在動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)心處建立連體坐標(biāo)系Oa-XaYaZa，在定平臺(tái)的質(zhì)心處建立慣性坐標(biāo)系Ob-XbYbZb。

將慣性坐標(biāo)系按照沿X軸、Y軸、Z軸的順序進(jìn)行平移，使得慣性坐標(biāo)系原點(diǎn)Ob與連體坐標(biāo)系原點(diǎn)Oa重合(如圖2(a)所示)獲得平移變換矩陣。

(a)平移示意圖 (b)旋轉(zhuǎn)示意圖

在經(jīng)過(guò)3次平移變換之后，獲得最終的平移變換矩陣：

(3)

將慣性坐標(biāo)系按照繞Z軸、Y軸、X軸的順序進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，使得慣性坐標(biāo)系和連體坐標(biāo)系坐標(biāo)軸完全重合如圖2(b)所示，獲得旋轉(zhuǎn)變換矩陣。

第1次繞軸OaZa旋轉(zhuǎn)偏航角γ時(shí)，旋轉(zhuǎn)矩陣為

(4)

第2次繞軸OaY′a旋轉(zhuǎn)偏航角β時(shí)，旋轉(zhuǎn)矩陣為

(5)

第3次繞軸OaX″a旋轉(zhuǎn)偏航角α?xí)r，旋轉(zhuǎn)矩陣為

(6)

在經(jīng)過(guò)3次旋轉(zhuǎn)變換之后，獲得最終的旋轉(zhuǎn)變換矩陣：

(7)

因此，由慣性坐標(biāo)系到連體坐標(biāo)系的變換矩陣為

(8)

2.2 位置分析

選取電動(dòng)缸為研究對(duì)象，利用空間坐標(biāo)變換的方法，在已知?jiǎng)悠脚_(tái)空間位置和姿態(tài)的情況下求解6條電動(dòng)缸的位移(稱(chēng)為位置反解)。

由圖1可知，在已知?jiǎng)悠脚_(tái)半徑Ra和定平臺(tái)半徑Rb的情況下，上下鉸鏈點(diǎn)Ai、Bi(i=1，2，…，6)可以在各自的坐標(biāo)系上表示，從而確定電動(dòng)缸長(zhǎng)度矢量Li：

Li=RAi+Ei-Bi(i=1，2，…，6)

(9)

設(shè)

(10)

代入式(9)得

(11)

式中：R為經(jīng)過(guò)3次旋轉(zhuǎn)變換后得到的旋轉(zhuǎn)變換矩陣。

根據(jù)向量模的定義可知?jiǎng)悠脚_(tái)的位置反解為

(12)

式中：li為第i個(gè)電動(dòng)缸的長(zhǎng)度。

電動(dòng)缸的位移為

Si=li-l0(i=1，2，…，6)

(13)

式中：l0為電動(dòng)缸的初始長(zhǎng)度。

2.3 速度分析

利用坐標(biāo)變換法和矩陣微分法，將動(dòng)平臺(tái)各缸的位移表達(dá)式對(duì)時(shí)間t求一階導(dǎo)數(shù)，可以得到各缸的速度表達(dá)式[7]。

令φi表示沿電動(dòng)缸長(zhǎng)度矢量Li的單位矢量，則

(14)

li與Li的關(guān)系為

(15)

兩邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，整理得第i個(gè)電動(dòng)缸的速度表達(dá)式：

(16)

(17)

對(duì)矩陣R的每一項(xiàng)求一階導(dǎo)數(shù)：

(18)

整理后，第i個(gè)電動(dòng)缸的速度為

(19)

2.4 加速度分析

將動(dòng)平臺(tái)各缸的位移表達(dá)式對(duì)時(shí)間t求二階導(dǎo)數(shù)，可以得到各缸的加速度表達(dá)式，其中第i個(gè)電動(dòng)缸的加速度表達(dá)式為

(20)

(21)

對(duì)矩陣R的每一項(xiàng)求二階導(dǎo)數(shù)：

(22)

整理后，第i個(gè)電動(dòng)缸的加速度為

(23)

3 運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真分析

在Catia中建立6-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的模型，將其導(dǎo)入到Adams中，對(duì)模型添加材料屬性，在電動(dòng)缸與動(dòng)平臺(tái)之間的球鉸上添加球副，電動(dòng)缸與定平臺(tái)之間的虎克鉸上添加虎克副，電動(dòng)缸的伸縮桿上添加移動(dòng)副。6-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)模型如圖3所示。

圖3 6-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)模型

當(dāng)動(dòng)平臺(tái)的位姿參數(shù)或電動(dòng)缸的運(yùn)動(dòng)參數(shù)按某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)時(shí)，利用Adams中的PostProcessor模塊可以直接獲取各種隨時(shí)間變化的曲線(xiàn)[8]。為分析6-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性，在Adams中利用Step函數(shù)為動(dòng)平臺(tái)添加位姿參數(shù)，使其先沿X軸、Y軸、Z軸平動(dòng)，再繞X軸、Y軸、Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)。位姿參數(shù)如表1所示。

表1 位姿參數(shù)

驅(qū)動(dòng)設(shè)置好之后將仿真參數(shù)中的時(shí)間設(shè)置為60 s，步數(shù)設(shè)置為100，對(duì)6-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真，結(jié)果如圖4～圖8所示。

由圖4和圖5可知，動(dòng)平臺(tái)位移在0～20 s范圍內(nèi)保持不變，在20～30 s范圍內(nèi)增加100 mm，在30～60 s范圍內(nèi)再次保持不變，這是由于沿X軸、Y軸的平動(dòng)與繞X軸、Y軸、Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)不影響動(dòng)平臺(tái)幅值的變化。動(dòng)平臺(tái)速度與加速度在0～30 s范圍內(nèi)呈周期性變化，在30～60 s范圍內(nèi)保持0值不變，而動(dòng)平臺(tái)的角速度與角加速度變化趨勢(shì)相反，這是由于動(dòng)平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)只具有角速度與角加速度，而與速度、加速度無(wú)關(guān)。

圖4 動(dòng)平臺(tái)位移、速度與加速度曲線(xiàn)

圖5 動(dòng)平臺(tái)角速度、角加速度曲線(xiàn) 圖6 電動(dòng)缸位移-時(shí)間曲線(xiàn)

圖7 電動(dòng)缸速度-時(shí)間曲線(xiàn) 圖8 電動(dòng)缸加速度-時(shí)間曲線(xiàn)

結(jié)合圖6～圖8可知，在0～60 s范圍內(nèi)，臺(tái)架中各電動(dòng)缸不同伸縮量完成預(yù)期的動(dòng)平臺(tái)位姿，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各電動(dòng)缸速度與加速度變化趨勢(shì)保持一致，位移、速度和加速度變化曲線(xiàn)與定義的動(dòng)平臺(tái)位姿相匹配，各仿真曲線(xiàn)整體變化平穩(wěn)、無(wú)波動(dòng)、無(wú)異常點(diǎn)。6-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)橫移、縱移、升降、俯仰、側(cè)傾和橫擺6個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)，具有良好的運(yùn)動(dòng)特性。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文將六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的模型簡(jiǎn)化，通過(guò)坐標(biāo)變換確定了機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)與定平臺(tái)的位姿關(guān)系，推導(dǎo)了機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。利用Adams軟件對(duì)建立的6-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了仿真分析，為后續(xù)6-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析和控制策略研究奠定了基礎(chǔ)。