李京寰，楊 帆，周煦之

北京大學(xué)地球與空間科學(xué)學(xué)院，北京 100871

0 引言

在復(fù)雜的空間等離子體環(huán)境中，一系列電磁結(jié)構(gòu)可通過(guò)波動(dòng)、湍流以及不穩(wěn)定性等非線性能量串級(jí)過(guò)程產(chǎn)生，其中包括電流片（current sheet，參考Yuan et al.,2020）、磁洞（magnetic hole 或magnetic cavity,magnetic dip，參考Haynes et al.,2015; Huang et al.,2017; Yao et al.,2020a）、磁峰（magnetic peak，參考Burlaga et al.,2006; Yao et al.,2018a）和磁通量繩（magnetic flux rope，參考Sun et al.,2019; Russell and Qi,2020）等.這些結(jié)構(gòu)廣泛分布于日地空間中.以磁洞為例，人們已陸續(xù)通過(guò)實(shí)地衛(wèi)星觀測(cè)，在太陽(yáng)風(fēng)（Winterhalter et al.,1994）、日球?qū)忧剩˙urlaga et al.,2006）、地球磁鞘（Tsurutani et al.,2011）、磁尾（Ge et al.,2011）、行星磁鞘（Cattaneo et al.,1998）和彗尾（Plaschke et al.,2018）中觀測(cè)到了磁洞的存在.它們的時(shí)空尺度可以從磁流體動(dòng)力學(xué)尺度一直跨越到離子甚至電子動(dòng)理學(xué)尺度.因此，它們通常被認(rèn)為可在能量串級(jí)、轉(zhuǎn)化以及耗散中扮演重要的角色.

隨著觀測(cè)手段的進(jìn)步，人們對(duì)空間電磁結(jié)構(gòu)中的電磁場(chǎng)以及粒子分布有了愈加清晰的認(rèn)知.尤其在MMS（Magnetospheric Multiscale Mission）衛(wèi)星升空后，其粒子數(shù)據(jù)擁有的極高時(shí)空分辨率使得我們可以對(duì)小至動(dòng)理學(xué)尺度的電磁結(jié)構(gòu)進(jìn)行觀測(cè)和分析.人們發(fā)現(xiàn)，無(wú)論磁洞（Gershman et al.,2016;Huang et al.,2017; Liu et al.,2019a）、磁峰（Yao et al.,2018a）還是磁通量繩（Yao et al.,2020b）等不同結(jié)構(gòu)，其大小均可能小至動(dòng)理學(xué)尺度.然而，即使多顆衛(wèi)星的同時(shí)觀測(cè)給出了豐富的電磁場(chǎng)和粒子信息，人們?nèi)噪y以完整地描述一個(gè)三維的結(jié)構(gòu)，更無(wú)法對(duì)其物理本質(zhì)進(jìn)行更為深入的理解.因此，人們還需要發(fā)展理論模型，或利用數(shù)值模擬方法對(duì)這些電磁結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析.

近年來(lái)，一種用于描述空間電磁結(jié)構(gòu)的常用方法是構(gòu)建動(dòng)理學(xué)平衡態(tài)模型，隨后結(jié)合衛(wèi)星觀測(cè)作為輔助，對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證以確保其可靠性.動(dòng)理學(xué)平衡態(tài)模型本質(zhì)上是動(dòng)理學(xué)方程（例如無(wú)碰撞情況下的Vlasov-Maxwell 方程）的定常解，其電磁場(chǎng)及帶電粒子分布均不隨時(shí)間變化，可用于描述處于平衡狀態(tài)下的電磁結(jié)構(gòu).動(dòng)理學(xué)平衡態(tài)模型的構(gòu)建不僅可以幫助我們理解其物理本質(zhì)，還可以為數(shù)值模擬工作提供初始條件，用以分析這些結(jié)構(gòu)的不穩(wěn)定性及演化特征等.在這些模型中，一個(gè)應(yīng)用最為廣泛的例子是著名的Harris 電流片（Harris,1962）.該模型通過(guò)在直角坐標(biāo)系下求解Vlasov-Maxwell方程組，得到自洽的電磁場(chǎng)空間分布以及粒子在六維相空間的分布函數(shù).隨后，人們陸續(xù)提出了一系列用于描述電流片的平衡態(tài)模型（Lembege and Pellat,1982; Yoon and Lui,2004; Sitnov et al.,2006）.類似的方法也被用于構(gòu)建其他結(jié)構(gòu)（如磁洞和磁通量管等）的動(dòng)理學(xué)平衡態(tài)模型（Shustov et al.,2016; Li et al.,2020; Li et al.,2021a; Yang et al.,2022）.這些模型往往可以直接與衛(wèi)星觀測(cè)進(jìn)行比較，其相似的結(jié)果也很大程度上驗(yàn)證了模型的可靠性，并證實(shí)了平衡態(tài)電磁結(jié)構(gòu)在空間中的普遍性.同時(shí)，這些平衡態(tài)模型也可作為數(shù)值模擬的初始條件，用于幫助理解空間電磁結(jié)構(gòu)的演化過(guò)程（Li et al.,2021b）.本文將簡(jiǎn)要回顧人們近年來(lái)在動(dòng)理學(xué)平衡態(tài)模型的構(gòu)建和應(yīng)用中取得的進(jìn)展.

1 電流片模型

電流片是日地空間中廣泛存在的電流薄層結(jié)構(gòu)，其兩側(cè)方向的磁場(chǎng)顯著不同，并常常呈現(xiàn)相反的方向.電流片中的不穩(wěn)定性過(guò)程與磁場(chǎng)重聯(lián)的發(fā)生息息相關(guān)，從而導(dǎo)致了空間中的眾多爆發(fā)過(guò)程，如磁層的亞暴、太陽(yáng)的日冕物質(zhì)拋射以及耀斑等.在大多數(shù)時(shí)候，電流片可被視為處于穩(wěn)態(tài)之中，因此平衡態(tài)電流片的建模工作對(duì)于人們理解其磁力線構(gòu)型以及帶電粒子的運(yùn)動(dòng)十分重要.通過(guò)在直角坐標(biāo)系下求解Vlasov-Maxwell 方程，Harris（1962）提出了一維的穩(wěn)態(tài)電流片動(dòng)理學(xué)解析模型，即一個(gè)電流片的自洽平衡解.這一模型的出發(fā)方程如下：

式中，fα代表了等離子體中不同成分的分布函數(shù)（α=e,i 分別代表了電子和質(zhì)子），E、B、A與 φ則分別代表電場(chǎng)、磁場(chǎng)、磁矢勢(shì)與電勢(shì).在這一動(dòng)理學(xué)框架下，如果fα可以寫(xiě)為粒子運(yùn)動(dòng)不變量的函數(shù)，則平衡態(tài)Vlasov 方程（1）將被自動(dòng)滿足.在Harris（1962）中，作者假設(shè)物理量?jī)H依賴于x坐標(biāo).由于粒子的哈密頓量：

不依賴于y坐標(biāo)，所以粒子沿著y方向的廣義動(dòng)量保持守恒：

因此，電子與離子的分布函數(shù)可以依靠（4）與（5）式中的守恒量來(lái)構(gòu)造：

這一分布函數(shù)形式為漂移麥?zhǔn)戏植迹渲衯e、vi分別代表了電子和離子的平均速度，Te與Ti則表示電子和離子溫度.將分布函數(shù)求矩并代入方程（2）與（3），可以得到兩個(gè)關(guān)于 φ 與Ay的方程.在Harris（1962）中，作者假設(shè)平均速度滿足ve/Te=?vi/Ti，因此電勢(shì)方程滿足 φ(x)=0，即電場(chǎng)恒為0.隨后，對(duì)方程求解可獲得Ay隨x的函數(shù)，對(duì)其進(jìn)一步求旋度可以得到磁場(chǎng)Bz=B0tanh(x/L)（圖1），其中B0為最大的磁場(chǎng)強(qiáng)度，而L則代表了電流片特征寬度.將磁場(chǎng)分布代入方程（6）即得到粒子的分布函數(shù)，對(duì)其求矩后則可獲得粒子數(shù)密度（圖1）、平均速度以及壓強(qiáng)的一維分布.至此，一個(gè)自洽的電流片模型被完整地構(gòu)造了出來(lái).該模型已成為描述電流片的一個(gè)經(jīng)典模型，被廣泛地應(yīng)用于日地空間物理的研究中.

圖1 Harris 電流片模型中的磁場(chǎng)以及數(shù)密度的分布（修改自Harris,1962）Fig.1 The magnetic field and number density profiles in the Harris model (modified from Harris,1962)

值得注意的是，Harris（1962）模型只是Vlasov-Maxwell 方程組在直角坐標(biāo)系下的一個(gè)特殊的平衡解.人們可以將方程（6）替換為另一種形式的粒子分布函數(shù)，構(gòu)建各種不同的模型以描述定常態(tài)的等離子體電流片.例如，Yoon 和Lui（2004）在（6）式的基礎(chǔ)上疊加了一個(gè)與空間位置無(wú)關(guān)的麥克斯韋分布函數(shù)，從而使粒子數(shù)密度在遠(yuǎn)離電流片中心的位置不再趨近于零，并允許空間電場(chǎng)的存在，因此與觀測(cè)更為接近.Sitnov 等（2006）則在（6）式的基礎(chǔ)上引入了一個(gè)新的不變量，即在電流片中近似成立的絕熱不變量Iz（Sonnerup,1971）.這一模型可呈現(xiàn)更為復(fù)雜的電磁場(chǎng)形態(tài)（如電流的分岔型或鑲嵌型結(jié)構(gòu)）和粒子的各向異性分布，從而獲得與衛(wèi)星觀測(cè)更為接近的結(jié)果（Zhou et al.,2009）.

2 磁洞模型

磁洞是局部磁場(chǎng)強(qiáng)度下降，但粒子密度與溫度上升，從而使得整體壓強(qiáng)仍近似保持平衡的結(jié)構(gòu).磁洞在空間中的分布極為廣泛，并且其尺度可以跨越多個(gè)量級(jí)，從電子離子的動(dòng)理學(xué)尺度一直到磁流體尺度.MMS 衛(wèi)星的成功發(fā)射為人們提供了高時(shí)間以及空間分辨率的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，這也使得人們對(duì)動(dòng)理學(xué)尺度的磁洞及其粒子分布的認(rèn)識(shí)有了長(zhǎng)足的進(jìn)步.圖2 左側(cè)給出了MMS 衛(wèi)星在地球磁鞘中對(duì)于一個(gè)嵌套型磁洞（即在離子回旋尺度的磁洞中心嵌著另一個(gè)電子回旋尺度的磁洞）的電磁場(chǎng)及粒子分布的觀測(cè)（Yao et al.,2017）.根據(jù)這一事件的衛(wèi)星數(shù)據(jù)，Liu 等（2019a）提出該磁洞在電子尺度下?lián)碛薪咏鼒A形的橫截面并近似軸對(duì)稱，其中心處磁場(chǎng)強(qiáng)度的下降則源于磁洞中的環(huán)向電流.這些性質(zhì)與Haynes 等（2015）在PIC 模擬中再現(xiàn)的電子渦旋結(jié)構(gòu)具有高度的相似性.

圖2 MMS1 衛(wèi)星嵌套磁洞的觀測(cè)與虛擬衛(wèi)星經(jīng)過(guò)平衡態(tài)模型之間的對(duì)比（修改自Li et al.,2020）.（a）磁場(chǎng)強(qiáng)度以及質(zhì)子能譜；（b～d）粒子數(shù)密度，電子平行與垂直溫度，離子垂直溫度；（e）磁場(chǎng)強(qiáng)度以及電子能譜；（f～g）電子數(shù)密度與溫度；（h～i）140 eV 與379 eV 電子投擲角分布；（j～k）140 eV 與379 eV 電子相位角分布；（l）磁洞參考系下的電子速度；（m）磁洞參考系下的電場(chǎng)；（n～z）與圖（a～m）格式相同F(xiàn)ig.2 Comparison between the MMS1 observations of nested magnetic cavities and the virtual spacecraft observations across the equilibrium model (modified from Li et al.,2020).(a) Magnetic field strength and the proton energy spectrogram;(b～d)Number density,electron parallel and perpendicular temperatures,and proton perpendicular temperature;(e) Magnetic field strength and electron energy spectrogram;(f～g) Electron number density and temperature;(h～i) Electron pitch angle distributions in the 140 eV and 379 eV energy channels;(j～k) Electron gyro-phase distributions in the 140 eV and 379 eV energy channels;(l-m) Electron bulk velocity and electric field in the rest frame of magnetic cavity.Panels (n～z) are in the same format as in panels (a～m)

圖2 左側(cè)的上下兩部分分別展示了MMS1 衛(wèi)星對(duì)離子與電子尺度磁洞的觀測(cè).離子尺度磁洞（圖2a～2d，半徑約為500 km）的主要特征包括磁場(chǎng)強(qiáng)度的下降、離子數(shù)密度與離子垂直溫度的升高.圖2e～2m 則展示了放大后的電子尺度磁洞（半徑約為10 km）在等離子體靜止參考系下的觀測(cè)（該事件中磁場(chǎng)方向幾乎保持不變，用z軸來(lái)表示，x軸反向于背景等離子體流的方向）.可以看出，磁洞中磁場(chǎng)強(qiáng)度的快速下降伴隨著電子數(shù)密度與電子垂直溫度的升高.圖2h～2k 展示了電子在各能檔的投擲角分布以及投擲角90°電子的相位角分布.顯然，電子集中于90°投擲角附近，即被束縛于垂直磁場(chǎng)的平面內(nèi).電子在相位角分布上存在著明顯的各向異性，這一特性在等離子體速度vy分量（圖2l）上也被表現(xiàn)為明顯的雙峰特征，對(duì)應(yīng)于環(huán)向電流.圖2m 中展示了雙峰特征的電場(chǎng)Ex分量（已通過(guò)洛倫茲變換），證實(shí)了磁洞中存在著徑向電場(chǎng).

僅僅通過(guò)觀測(cè)本身仍然很難判斷磁洞的電磁場(chǎng)三維結(jié)構(gòu)以及粒子的全空間分布.與此同時(shí)，人們也很難單純依靠觀測(cè)理解以下一系列問(wèn)題：磁洞能否穩(wěn)定存在？不同尺度的磁洞是如何相互嵌套的？徑向電場(chǎng)是如何形成的？磁洞是如何演化的？因此，人們需要通過(guò)構(gòu)建自洽模型，試圖從整體上了解一個(gè)結(jié)構(gòu)，并通過(guò)模擬來(lái)更加深刻的理解結(jié)構(gòu)演化中的動(dòng)理學(xué)過(guò)程.為了構(gòu)建一個(gè)動(dòng)理學(xué)平衡態(tài)的磁洞模型，人們可以利用與Harris（1962）類似的方法求解Vlasov-Maxwell 方程（Shustov et al.,2016; Li et al.,2020）.鑒于磁洞的形態(tài)與電流片不同，這一構(gòu)建過(guò)程使用了柱坐標(biāo)系（ρ,φ,z）以取代電流片模型中的直角坐標(biāo)系.

假設(shè)磁矢勢(shì)只有環(huán)向分量，表示為A=A(ρ)eφ，那么磁場(chǎng)的方向?qū)⒀刂鴝軸方向.同時(shí)假設(shè)靜電勢(shì)φ(ρ)只依賴于 ρ坐標(biāo)，那么模型中將會(huì)只存在徑向的電場(chǎng)，且整個(gè)電磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)是關(guān)于 φ對(duì)稱的.在Shustov 等（2016）模型中，粒子分布可被表達(dá)為以下兩個(gè)運(yùn)動(dòng)不變量的函數(shù)，即：

即哈密頓量以及粒子在φ 方向上的廣義角動(dòng)量.鑒于電子尺度磁洞的特征半徑遠(yuǎn)大于熱電子的回旋半徑，在Li 等（2020）模型中，電子的磁矩 μe被視為另一個(gè)運(yùn)動(dòng)不變量，即：

式中，v0代表了回旋中心的漂移速度.隨后，電子以及質(zhì)子的分布函數(shù)被表示為：

式中，下標(biāo)為0 的各項(xiàng)中包含Pφ，其固定的系數(shù)Ωα代表了粒子繞著軸向轉(zhuǎn)動(dòng)的平均角速度，而電子與離子不同的平均角速度則代表了不同尺度磁洞的嵌套：在電子尺度內(nèi)，電流主要由電子的運(yùn)動(dòng)提供，而在離子尺度下，電流則主要由離子攜帶.在磁洞內(nèi)部，粒子的分布特征主要由以上各項(xiàng)決定.值得注意的是，這部分粒子的平均速度隨著距離線性增長(zhǎng)，數(shù)密度則是指數(shù)下降，這顯然不符合實(shí)際.因此，在分布函數(shù)上還需要一個(gè)不攜帶電流的背景分布（用下標(biāo)1 表示）.這些粒子在遠(yuǎn)距離處占據(jù)主導(dǎo)地位，從而使電流強(qiáng)度隨中心距離逐漸降低至零，磁場(chǎng)強(qiáng)度得以收斂在一個(gè)定值.可以想象，如果分布函數(shù)中只有前兩個(gè)不變量（Shustov et al.,2016），那么粒子將呈現(xiàn)麥?zhǔn)戏植蓟蛘咂汽準(zhǔn)戏植?，而粒子的溫度則是各向同性的，與電子集中于90°投擲角的觀測(cè)特征（見(jiàn)圖2h～2i）不一致.在Li 等（2020）中，電子溫度的各向異性正源于磁矩不變量的引入.在這一分布函數(shù)中，θ表征了不同粒子不同成分的平行溫度，而常數(shù) β決定了平行與垂直溫度之間的比值：當(dāng) β>0或者 β<0時(shí)，垂直溫度將會(huì)分別低于或高于平行溫度.

將以上分布函數(shù)求矩并代入Maxwell 方程組中[在實(shí)際操作中，泊松方程（2）可被準(zhǔn)中性條件代替]，可得：

給定合適的邊界條件（磁洞模型中心處的參數(shù)），通過(guò)數(shù)值求解方程（15）與（16）即可得到電磁場(chǎng)的分布.將其代入方程（10）中，可得電子和質(zhì)子在六維相空間的分布函數(shù)，進(jìn)而求矩得到粒子數(shù)密度、速度以及溫度的分布特征.

這一模型可直接與衛(wèi)星觀測(cè)進(jìn)行比較.對(duì)于圖2中展現(xiàn)的事件而言，由于MMS1 衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)軌跡極為接近磁洞中心（Liu et al.,2019a），其在中心處的觀測(cè)數(shù)據(jù)可被用于選定模型參數(shù)，進(jìn)而重構(gòu)出磁洞中的電磁及粒子分布函數(shù).令虛擬衛(wèi)星穿越這一磁洞模型，其結(jié)果（見(jiàn)圖2 的右側(cè)）很好地重現(xiàn)了左側(cè)MMS1 的真實(shí)觀測(cè).在Li 等（2020）中，作者將MMS3 和MMS4 衛(wèi)星的觀測(cè)結(jié)果也與模型的預(yù)測(cè)進(jìn)行了對(duì)比，發(fā)現(xiàn)它們之間同樣擁有很好的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，這也進(jìn)一步驗(yàn)證了該模型的可靠性.鑒于多顆衛(wèi)星相繼觀測(cè)到這一小尺度的結(jié)構(gòu)，該平衡態(tài)模型與觀測(cè)的高度相似性也支持了該小尺度結(jié)構(gòu)可以穩(wěn)定存在于空間當(dāng)中的論斷.

在以上模型中，由于A=A(ρ)eφ的設(shè)定，磁場(chǎng)僅存在軸向分量.但實(shí)際觀測(cè)中還存在著另一類磁洞，其磁場(chǎng)還存在著環(huán)向分量.鑒于這類磁洞中的磁力線呈現(xiàn)出扭轉(zhuǎn)的形態(tài)，它們被稱為螺旋型磁洞（Li et al.,2021a）.顯然在這樣的結(jié)構(gòu)當(dāng)中，電流除了包含以上模型中的環(huán)向分量之外，也必須存在有軸向分量.圖3 左側(cè)展示了MMS 衛(wèi)星觀測(cè)到的螺旋型磁洞（等離子體靜止參考系，LMN坐標(biāo)系，其中L軸方向平行于背景磁場(chǎng)）.可以看出，這一磁洞除了展示出與前述磁洞的基本特征（例如軸向磁場(chǎng)強(qiáng)度的下降、密度與垂直溫度的上升以及環(huán)向電流的出現(xiàn)，見(jiàn)圖3a～3d）之外，還有較強(qiáng)的平行電流（圖3d）以及與之對(duì)應(yīng)的環(huán)向磁場(chǎng)（圖3f）.

圖3 MMS1 衛(wèi)星螺旋磁洞的觀測(cè)與虛擬衛(wèi)星經(jīng)過(guò)平衡態(tài)模型之間的對(duì)比（修改自Li et al.,2021a）.(a～c)磁場(chǎng)強(qiáng)度,粒子數(shù)密度以及電子平行與垂直溫度；（d～e）磁洞參考系下的電子速度與電場(chǎng)（LMN 坐標(biāo)系）；（f）垂直平面MN 磁場(chǎng)分量；（g～i）80 eV、103 eV 與131 eV 電子投擲角分布；（j～r）與圖（a～i）格式相同F(xiàn)ig.3 Comparison between MMS1 observations of helical magnetic cavity and the virtual spacecraft observations across the equilibrium model (modified from Li et al.,2021a).(a～c) Magnetic field strength,number density,and electron parallel and perpendicular temperatures;(d～e) Electron bulk velocity and electric field in the rest frame of magnetic cavity (LMN coordinates);(f) Magnetic field MN components;(g～i) Electron pitch angle distributions in the 80 eV,103 eV and 131 eV energy channels.Panels (j～r) are in the same format as in panels (a～i)

為了構(gòu)造可以描述螺旋型磁洞的動(dòng)理學(xué)平衡態(tài)模型（Li et al.,2021a），人們?cè)诓蛔兞浚?～9）的基礎(chǔ)上引入另一個(gè)運(yùn)動(dòng)不變量，用于構(gòu)建電子分布函數(shù).這一不變量為軸向的廣義動(dòng)量，即：

顯然，這一不變量的出現(xiàn)可在磁洞中提供軸向電流，其使用條件則是粒子的哈密頓量不依賴于z坐標(biāo).因此，磁矢勢(shì)可表示為A=Aφ(ρ)eφ+Az(ρ)ez，這也意味著模型中存在著與軸向電流自洽的環(huán)向磁場(chǎng)Bφ.在這一模型（Li et al.,2021a）中，電子分布函數(shù)為：

將其代入方程（3），則會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)不同方向分量，其中環(huán)向的方程同（15），軸向的方程可寫(xiě)為：

對(duì)方程（15，16，19）進(jìn)行求解，即可得到自洽的螺旋磁洞模型.圖3 右側(cè)展示了模型中虛擬衛(wèi)星穿越該螺旋磁洞的觀測(cè)結(jié)果.可以看出，這一模型描述的電磁場(chǎng)和粒子分布均與觀測(cè)一致.在這一模型中，磁洞中心磁場(chǎng)強(qiáng)度的下降源于被束縛的粒子在垂直平面的環(huán)形運(yùn)動(dòng)，而軸向電流則導(dǎo)致了環(huán)向磁場(chǎng)的出現(xiàn)，從而使得磁力線被扭曲為螺旋式的結(jié)構(gòu).

螺旋型磁洞的位形很容易使人們聯(lián)想到常見(jiàn)的磁通量繩結(jié)構(gòu).二者在磁場(chǎng)位型上的區(qū)別主要在于中心磁場(chǎng)：磁洞的中心磁場(chǎng)較弱，而磁通量繩的中心磁場(chǎng)通常高于遠(yuǎn)處.因此，人們意識(shí)到，對(duì)磁洞模型進(jìn)行適當(dāng)修改即可用于描述磁通量繩.相關(guān)工作將在下一節(jié)進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹.

3 磁通量繩模型

磁通量繩是一種以螺線狀磁力線，中心磁場(chǎng)強(qiáng)度上升為特征的空間結(jié)構(gòu).在衛(wèi)星數(shù)據(jù)中，其主要觀測(cè)特征為一個(gè)磁場(chǎng)分量的雙極信號(hào)和中心磁場(chǎng)強(qiáng)度增強(qiáng).磁通量繩在磁尾、磁層頂、太陽(yáng)風(fēng)等不同區(qū)域的觀測(cè)中廣泛存在.在早期空間觀測(cè)中，磁層頂區(qū)域的磁通量繩經(jīng)常被稱為通量傳輸事件（flux transfer events,FTEs）（Russell and Elphic,1978），并且被廣泛認(rèn)為和磁重聯(lián)相關(guān)（Lee and Fu,1985;Southwood et al.,1988）.最近的數(shù)值模擬顯示，磁通量繩大至磁流體尺度，小至離子甚至電子尺度都可以存在，并且小尺度（動(dòng)理學(xué)尺度）磁通量繩在磁層的物理過(guò)程中扮演了重要的角色（Daughton et al.,2011; Hoilijoki et al.,2019; Lu et al.,2020）.近年來(lái)，MMS 衛(wèi)星提供的高精度觀測(cè)數(shù)據(jù)為直接觀測(cè)小尺度磁通量繩結(jié)構(gòu)帶來(lái)可能.例如，觀測(cè)中可以看到互相纏繞的磁通量繩的結(jié)構(gòu)（Qi et al.,2020），從而間接佐證了數(shù)值模擬中看到的小尺度磁通量繩相互作用并形成更大尺度的磁通量繩結(jié)構(gòu)的過(guò)程.小尺度磁通量繩結(jié)構(gòu)同樣也在磁重聯(lián)的離子擴(kuò)散區(qū)和電子擴(kuò)散區(qū)被觀測(cè)到（Dong et al.,2020）.磁通量繩在隨磁層對(duì)流向磁尾移動(dòng)的過(guò)程中，可能會(huì)伴隨尺度的變化（Hasegawa et al.,2016; Akhavan-Tafti et al.,2019），也可能呈現(xiàn)相對(duì)穩(wěn)態(tài)的特征（Eastwood et al.,2012）.在小尺度磁通量繩中，也觀測(cè)到各種等離子體波動(dòng)的激發(fā)（Wang et al.,2019）以及粒子的加速（Zhong et al.,2020）.

磁通量繩的觀測(cè)經(jīng)常顯示出無(wú)力場(chǎng)結(jié)構(gòu)，即電流與磁力線平行.根據(jù)電流是否線性依賴于磁場(chǎng)強(qiáng)度，這類磁通量繩可被分為線性與非線性無(wú)力場(chǎng)結(jié)構(gòu).早期磁通量繩的研究中，人們經(jīng)常依據(jù)磁通量繩的無(wú)力場(chǎng)特性構(gòu)造磁場(chǎng)模型并與觀測(cè)擬合，例如Lundquist 線性無(wú)力場(chǎng)模型（Lundquist,1951）和Gold-Hoyle 非線性無(wú)力場(chǎng)模型（Gold and Hoyle,1960）.近期的觀測(cè)研究表明，許多磁通量繩都顯示了非線性的無(wú)力場(chǎng)特征（Yang et al.,2014），同時(shí)人們也觀測(cè)到了非無(wú)力場(chǎng)的磁通量繩（Bai et al.,2020）.在離子尺度無(wú)力場(chǎng)磁通量繩的典型觀測(cè)中（Eastwood et al.,2016; Yao et al.,2020b），人們發(fā)現(xiàn)由電子攜帶的電流可被嵌套于穩(wěn)定的離子流中，同時(shí)也時(shí)常觀測(cè)到絲狀電流和非理想的離子特征.根據(jù)Sun 等（2019）的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，具有二維結(jié)構(gòu)的離子尺度磁通量繩更可能具有無(wú)力場(chǎng)特征，并且經(jīng)?？梢员痪哂袌A形截面的磁通量繩模型擬合.

盡管觀測(cè)中小尺度磁通量繩顯示出豐富的粒子觀測(cè)特征，傳統(tǒng)的磁通量繩模型仍以磁場(chǎng)模型為主，不能很好地解釋動(dòng)理學(xué)尺度的物理過(guò)程.其中一種方法是根據(jù)EMHD 理論對(duì)觀測(cè)到的磁通量繩結(jié)構(gòu)進(jìn)行重構(gòu)（Hasegawa et al.,2021），這種方法已經(jīng)被廣泛用于磁重聯(lián)中電子擴(kuò)散區(qū)的研究.另外一種方法則是構(gòu)建動(dòng)理學(xué)平衡解（Allanson et al.,2016;Vinogradov et al.,2016; Ng,2020），并利用衛(wèi)星觀測(cè)數(shù)據(jù)確定模型參數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)重構(gòu)的目標(biāo)（Yang et al.,2022）.

圖4 展示了MMS 衛(wèi)星對(duì)離子尺度磁通量繩的一個(gè)典型觀測(cè).這一事件最早由Yao 等（2020b）報(bào)道，其磁場(chǎng)信號(hào)（圖4a、4b）顯示出了典型的磁通量繩特征（一個(gè)分量呈現(xiàn)雙極信號(hào)，總磁場(chǎng)強(qiáng)度增強(qiáng)）.這一事件的粒子觀測(cè)則顯示出了等離子體密度（圖4c）、速度（圖4d、4e）和溫度（圖4f、4g）在磁通量繩內(nèi)的變化.此外，電子的投擲角分布在30～66 eV 的能量范圍內(nèi)顯示出了在90°附近集中的特征.為了解釋這些觀測(cè)特征，Yang 等（2022）構(gòu)造了一個(gè)自洽的磁通量繩模型.

考慮到磁通量繩的幾何形態(tài)，磁通量繩的動(dòng)力學(xué)模型構(gòu)造和螺旋磁洞非常類似，即使用不變量Hα、Pφα、Pzα構(gòu)造分布函數(shù)，同時(shí)為了解釋電子溫度各向異性，在電子分布函數(shù)中使用了磁矩 μe.磁通量繩和螺旋磁洞的一個(gè)主要區(qū)別在于中心磁場(chǎng)是增強(qiáng)的，因此可以用如下的分布函數(shù)構(gòu)造：

在這一分布函數(shù)中，離子的分布函數(shù)被設(shè)定為麥?zhǔn)戏植?，電子被設(shè)定為多個(gè)類Harris 雙麥?zhǔn)戏植嫉木€性組合.這一設(shè)定與Vinogradov 等（2016）的磁通量繩模型類似，只是增加了對(duì)磁矩不變量的依賴.值得注意的是，為了保證距離磁通量繩足夠遠(yuǎn)處電流為零，（21）式的第二項(xiàng)（環(huán)向電流項(xiàng)）系數(shù)需要為負(fù)，即 αr>0.如果 αr<0，則環(huán)向電流項(xiàng)系數(shù)為正，模型將會(huì)給出類似于螺旋型磁洞的結(jié)果.由于當(dāng) αr>0時(shí)電子分布函數(shù)可能出現(xiàn)負(fù)值，在模型參數(shù)的選取中需要進(jìn)行額外的限制（例如，Tb>Tr）以避免這一非物理形式的出現(xiàn).

將分布函數(shù)代入式（15）、（16）、（19）求解，可得到自洽的磁通量繩電磁場(chǎng)和分布函數(shù).圖4a～4g的虛線展示了這一事件中模型給出的磁場(chǎng)、密度、電子速度、電子溫度，它們與衛(wèi)星觀測(cè)結(jié)果（實(shí)線）符合得很好.圖4m～4p 展示了模型給出的投擲角分布和觀測(cè)投擲角分布對(duì)比，可以看到，模型同樣復(fù)現(xiàn)了30～66 eV 能檔處90°附近電子通量上升的現(xiàn)象.MMS 星座其他3 顆衛(wèi)星的觀測(cè)和模型結(jié)果也符合得很好（Yang et al.,2022），證明了這一模型的可靠性，并支持了磁通量管作為一個(gè)小尺度平衡態(tài)結(jié)構(gòu)，可以穩(wěn)定存在于空間中的論斷.

圖4 MMS1 衛(wèi)星對(duì)磁通量繩的觀測(cè)與平衡態(tài)模型結(jié)果的對(duì)比（修改自Yang et al.,2022）.(a～g) 一些觀測(cè)量的時(shí)間序列圖.(a～b) 磁場(chǎng)三分量；(c) 電子數(shù)密度；(d～e) 電子相對(duì)離子速度；(f～g) 電子垂直溫度和平行溫度；(h) 觀測(cè)總磁場(chǎng)強(qiáng)度；(i～l) 觀測(cè)32 eV、40 eV、66 eV、85 eV 投擲角分布；(m～p) 模型對(duì)應(yīng)能量的投擲角分布Fig.4 Comparison between MMS1 observations and model results of flux ropes (modified from Yang et al.,2022).(a～g) Time series plots for some quantities;(a～b) Magnetic components;(c) Electron number density;(d-e) Electron bulk velocity relative to ion;(f～g) Electron perpendicular and parallel temperature;(h) Total magnetic strength;(i～l) Pitch angle distribution at 32 eV,40 eV,66 eV,85 eV given by observations;(m～p) Pitch angle distribution given by model results at the same energy channels

在這個(gè)模型中，泊松方程（2）被簡(jiǎn)化為準(zhǔn)中性方程（16）.這一簡(jiǎn)化成立的前提是，徑向電場(chǎng)造成的電荷分離效應(yīng)相比電子總密度可以忽略不計(jì)（δn?n）.盡管這一條件在絕大多數(shù)情況下均成立，人們也同樣進(jìn)行了直接求解泊松方程以構(gòu)建磁通量繩模型的嘗試.Ng（2020）考慮了fe∝exp(?H/T)?形式的分布函數(shù)，并假設(shè)離子密度為恒定值，通過(guò)直接求解（2）式和（3）式獲得了自洽解.這種模型充分考慮了電子和離子密度分離的效應(yīng)，因此對(duì)徑向電場(chǎng)的估計(jì)更加準(zhǔn)確.

在Allanson 等（2016）中，作者不僅設(shè)定了粒子分布函數(shù)，還額外預(yù)設(shè)了電場(chǎng)和磁場(chǎng)的形式：

通常而言，這些額外的假設(shè)會(huì)造成Maxwell 方程超定.但在這里，電磁場(chǎng)特殊的形式使得（2）式和（3）式兩邊都可化為A(1+r2)Bexp(Cr2)的組合形式，從而將微分方程化為兩邊系數(shù)相等的代數(shù)方程，并最終獲得一個(gè)非準(zhǔn)中性的解析特解.應(yīng)當(dāng)指出，在Allanson 等（2016）模型中，為了保持電磁場(chǎng)和分布函數(shù)的解析性，作者加入了多個(gè)模型參數(shù)的約束.因此，這一模型的自由度遠(yuǎn)小于其他磁通量繩的動(dòng)理學(xué)模型（例如Vinogradov et al.,2016; Yang et al.,2022）.這些額外的約束未必具有物理意義：在不滿足這些約束時(shí)，人們也可以通過(guò)數(shù)值方法得到磁通量繩的自洽解.

4 動(dòng)理學(xué)平衡態(tài)模型的應(yīng)用

動(dòng)理學(xué)平衡態(tài)模型的構(gòu)建對(duì)人們理解空間結(jié)構(gòu)的演化有很大的幫助.例如，模型結(jié)果可以作為初始條件代入數(shù)值模擬過(guò)程，從而協(xié)助人們理解這些結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和演化過(guò)程.由于這些模型中包含了電磁場(chǎng)和粒子的自洽分布，因此人們可以使用動(dòng)理學(xué)方法（如Particle-in-Cell 等）進(jìn)行數(shù)值模擬，也可以基于其中的部分信息，使用相對(duì)簡(jiǎn)單的數(shù)值方法（如傳統(tǒng)的磁流體動(dòng)力學(xué)模擬或試驗(yàn)粒子模擬）對(duì)感興趣的物理過(guò)程進(jìn)行分析.

這一方法已在電流片微觀不穩(wěn)定性及磁重聯(lián)的研究被廣泛應(yīng)用.其中，一個(gè)著名的例子是美國(guó)國(guó)家科學(xué)基金會(huì)（NSF）地球空間環(huán)境模型（GEM）項(xiàng)目組織開(kāi)展的磁重聯(lián)挑戰(zhàn)活動(dòng)（Birn et al.,2001）.在這一活動(dòng)中，人們將Harris（1962）電流片模型作為初始條件，利用各種數(shù)值模擬程序分析電流片的演化過(guò)程，并通過(guò)對(duì)不同數(shù)值模擬結(jié)果的對(duì)比，試圖理解磁重聯(lián)背后的物理過(guò)程.除此之外，也有大量研究基于類似的方法，分析各種電流片平衡態(tài)模型在不同條件下的演化過(guò)程，并試圖用其解釋近地空間中發(fā)生的一系列物理過(guò)程（Pritchett and Buechner,1995; Pritchett and Runov,2017）.鑒于這一方法已歷經(jīng)長(zhǎng)期的發(fā)展，此處不再詳述.

另一方面，由于磁洞或磁通量管的動(dòng)理學(xué)平衡態(tài)模型發(fā)展較晚，基于這些模型開(kāi)展的數(shù)值模擬工作還十分有限，但仍不乏亮點(diǎn).Li 等（2021b）基于此前發(fā)展的磁洞模型（Li et al.,2020），并利用單粒子模擬程序，試圖理解MMS 衛(wèi)星觀測(cè)到的“甜甜圈”型電子投擲角分布（Yao et al.,2018b）.圖5a展示了MMS 衛(wèi)星在磁鞘中觀測(cè)到的一連串磁洞，以及與之對(duì)應(yīng)的兩種不同的電子投擲角分布（圖5b和圖5c）.其中，一種分布更加集中于90°投擲角（見(jiàn)圖5h），這種分布與Li 等（2020）平衡態(tài)模型特征一致.另一種則呈現(xiàn)“甜甜圈”形態(tài)（見(jiàn)圖5e）：在磁洞的中心處，投擲角為90°的電子相空間密度低于中等投擲角的電子相空間密度，而在磁洞的邊緣處，90°投擲角電子的相空間密度最高.由于這兩種分布是交替出現(xiàn)的，作者推測(cè)，后者可能源于前者在磁洞演化過(guò)程當(dāng)中的演變，并通過(guò)磁洞演化疊加單粒子模擬的方法來(lái)對(duì)該假設(shè)進(jìn)行驗(yàn)證.

圖5j～5m 給出了模擬的初始狀態(tài)，即基于Li等（2020）模型的平衡態(tài)磁洞.此時(shí)電子的投擲角分布呈現(xiàn)出集中于90°的特征.鑒于在觀測(cè)中，人們時(shí)常發(fā)現(xiàn)磁洞在演化過(guò)程中可經(jīng)歷加深與收縮（Ahmadi et al.,2018; Liu et al.,2019b），在這一模擬過(guò)程中，Li 等（2021b）在平衡態(tài)模型電磁場(chǎng)的基礎(chǔ)上疊加了隨時(shí)空變化的擾動(dòng)場(chǎng)，用以表征磁洞的演化過(guò)程（如圖5n 和5o 所示）.隨后，作者通過(guò)反向追蹤電子的軌跡，并基于劉維定理（粒子隨體的相空間密度保持不變），得到磁洞演化過(guò)程中任意時(shí)間與空間位置的投擲角分布（圖5p）.模擬結(jié)果呈現(xiàn)出了與觀測(cè)非常相似的“甜甜圈”特征，且該特征隨著演化程度的加深愈加顯著（由圖5n到圖5r）.這一結(jié)果支持了電子“甜甜圈”分布起源于磁洞收縮和加深的演化過(guò)程的假說(shuō).基于這一模擬結(jié)果，作者還分析了典型電子軌跡與能量變化，討論了電子Betatron 減速、徑向傳輸和投擲角變化在這一過(guò)程中的作用.

圖5 MMS1 衛(wèi)星對(duì)一系列磁洞的觀測(cè)以及虛擬衛(wèi)星在磁洞演化過(guò)程中的觀測(cè)（修改自Li et al.,2021b）.(a～c) 磁場(chǎng)強(qiáng)度與電子投擲角分布；（d～f）以及（g～i）與圖（a～c）欄格式相同；（i～k）平衡態(tài)磁洞電磁場(chǎng)分布；（l～m）平衡態(tài)磁洞電子投擲角分布；（n～o）磁洞演化過(guò)程中擾動(dòng)磁場(chǎng)與電場(chǎng)；（p～q）磁洞演化過(guò)程中電子投擲角分布；（r～u）與圖（n～q）欄格式相同F(xiàn)ig.5 MMS1 observations of coherent magnetic cavities and virtual spacecraft observations across the evolving magnetic cavity(modified from Li et al.,2021b).(a～c) Magnetic field strength and electron pitch angle distributions; Panels (d～f) and (g～i)are in the same format as in panels (a～c);(j～k) Electromagnetic fields in the equilibrium magnetic cavity model;(l～m)Electron pitch angle distributions in the equilibrium magnetic cavity model;(n～o) Perturbed electromagnetic fields during the magnetic cavity evolution;(p～q) Electron pitch angle distributions during the magnetic cavity evolution; Panels (r～u) are in the same format as in panels (n～q)

在這一例子中，作者僅使用了單粒子模擬對(duì)磁洞演化過(guò)程中粒子的響應(yīng)進(jìn)行了分析，但并沒(méi)有考慮粒子對(duì)磁洞演化過(guò)程的反作用.更為精確的物理描述將有賴于更為自洽的數(shù)值模擬方法（如Particlein-Cell 模擬等）.這一模擬的初始條件同樣可由動(dòng)理學(xué)平衡態(tài)模型給出.

5 討論與未來(lái)展望

本文主要關(guān)注空間等離子體環(huán)境中的多種多樣的電磁結(jié)構(gòu)（如電流片、磁洞和磁通量繩等），并針對(duì)這些結(jié)構(gòu)，回顧了動(dòng)理學(xué)平衡態(tài)模型的構(gòu)建方法.這種方法基于統(tǒng)一的物理框架，即通過(guò)構(gòu)建帶電粒子隨運(yùn)動(dòng)不變量的分布函數(shù)求解平衡態(tài)Vlasov-Maxwell 方程組，自洽的獲得結(jié)構(gòu)內(nèi)部的帶電粒子及電磁場(chǎng)分布.隨著多衛(wèi)星、高精度觀測(cè)數(shù)據(jù)的逐漸增多，這些理論模型得以被更充分的驗(yàn)證.目前，關(guān)于動(dòng)理學(xué)平衡態(tài)模型的研究仍在進(jìn)行之中，其主要發(fā)展方向和存在的問(wèn)題如下：

（1）除電流片外，目前的動(dòng)理學(xué)平衡態(tài)模型大多局限于一個(gè)空間變量（即一維模型）.而空間觀測(cè)中許多結(jié)構(gòu)（例如磁鏡模結(jié)構(gòu)）無(wú)法用單個(gè)空間變量的平衡態(tài)模型描述.在柱坐標(biāo)系下，若電磁場(chǎng)和粒子分布函數(shù)與r、z兩個(gè)空間坐標(biāo)有關(guān)時(shí)，是否存在平衡解？

（2）長(zhǎng)期以來(lái)，關(guān)于動(dòng)理學(xué)平衡態(tài)模型的工作大多偏向于理論，其重點(diǎn)在于分布函數(shù)形式的構(gòu)造及其與電磁場(chǎng)形態(tài)之間的關(guān)系等.相對(duì)而言，這些工作在模型與觀測(cè)對(duì)比方面的處理則通常比較簡(jiǎn)略.近年來(lái)，伴隨高精度多點(diǎn)觀測(cè)數(shù)據(jù)增多，電磁結(jié)構(gòu)的多衛(wèi)星觀測(cè)工作十分豐富.關(guān)于如何利用多衛(wèi)星觀測(cè)技術(shù)進(jìn)行模型和觀測(cè)的對(duì)比，不同的對(duì)比方法的可靠性和不確定度如何，目前尚沒(méi)有成體系的工作.

（3）盡管人們利用電流片平衡態(tài)模型作為初始條件開(kāi)展了大量數(shù)值模擬工作，基于磁洞或磁通量管的相關(guān)工作仍然很少.鑒于人們?cè)诖哦磁c磁通量管的觀測(cè)中已發(fā)現(xiàn)了多種多樣的等離子體波動(dòng)以及豐富的粒子動(dòng)力學(xué)特征，未來(lái)的一個(gè)重要研究方向?qū)⑹峭ㄟ^(guò)模擬工作重現(xiàn)這些特征，從而協(xié)助人們反推這些電磁結(jié)構(gòu)的演化過(guò)程，并對(duì)波粒相互作用等能量傳輸過(guò)程建立更深刻的理解.