姜恩華，朱 旋，陳東華

（淮北師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，安徽 淮北 235000）

0 引言

數(shù)字信號處理教材中常常把FIR（Finite Impulse Response）數(shù)字濾波器設(shè)計與數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)基本結(jié)構(gòu)內(nèi)容放在不同章節(jié)講解，這樣導(dǎo)致關(guān)于FIR 數(shù)字濾波器的知識點比較分散［1-2］，不利于學(xué)生系統(tǒng)掌握FIR數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)方面的知識.本文借助Matlab軟件，以FIR數(shù)字濾波器設(shè)計與數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)為線索，開展FIR數(shù)字濾波器章節(jié)內(nèi)容的課堂輔助教學(xué).根據(jù)單位脈沖響應(yīng)h(n)關(guān)于（N-1）/2的對稱性和FIR數(shù)字濾波器的線性相位，借助Matlab函數(shù)，通過FIR數(shù)字濾波器設(shè)計方法，求解單位脈沖響應(yīng)h(n)；通過單位脈沖響應(yīng)h(n)得到FIR 數(shù)字濾波器的直接型濾波網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)；對h(n)進行Z變換，得到系統(tǒng)函數(shù)H(z)，對H(z)進行因式分解，把H(z)分解為若干個一階或二階因式相乘的形式，得到FIR數(shù)字濾波器的級聯(lián)型濾波網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).通過MATLAB范例，把FIR數(shù)字濾波器設(shè)計和數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)作為一個整體進行輔助教學(xué)［3-4］，有助于學(xué)生加深對該部分知識的掌握和理解.

在Matlab軟件中，一方面提供FIR數(shù)字濾波器設(shè)計函數(shù)，例如：窗函數(shù)法、頻率采樣法和等波紋逼近法的設(shè)計函數(shù)，通過函數(shù)調(diào)用，設(shè)計FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)；另一方面，也提供FIR數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)的直接型結(jié)構(gòu)和級聯(lián)型濾波函數(shù)，借助它們完成FIR數(shù)字濾波的輔助教學(xué).把FIR數(shù)字濾波器設(shè)計與數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)兩方面的知識作為一個整體講解，豐富輔助教學(xué)的內(nèi)容，使得教學(xué)思路清晰，教學(xué)內(nèi)容完整飽滿［5-6］，形象直觀地展現(xiàn)FIR數(shù)字濾波器設(shè)計與數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)的理論知識，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，起到較好的教學(xué)示范作用.

1 FIR數(shù)字濾波器

1.1 FIR數(shù)字濾波器的類型

單位脈沖響應(yīng)h(n)關(guān)于（N-1）/2的對稱性和N的奇偶性決定設(shè)計的FIR數(shù)字濾波器的類型；FIR數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)H(ejω)決定其幅頻特性，系統(tǒng)函數(shù)H(z)決定其零極點分布，當(dāng)z=ejω，表示系統(tǒng)函數(shù)H(z)在單位圓上取值，即傳輸函數(shù)H(ejω)的值，對ω取0和π 時，對應(yīng)的z值為1和-1.系統(tǒng)函數(shù)H(z)如式（1）所示：

若單位脈沖響應(yīng)h(n)偶對稱且N為奇數(shù)，把z值為1和-1代入式（1）中，式（1）的值可能為零也可能不為零，與幅頻特性曲線 ||H(ejω) 比較，該情況可以設(shè)計FIR數(shù)字低通、高通、帶通和帶阻濾波器；若單位脈沖響應(yīng)h(n)偶對稱且N為偶數(shù)，把z值為-1代入式（1）中，式（1）為零，該情況可以設(shè)計FIR數(shù)字低通和帶通濾波器，不能設(shè)計高通和帶阻濾波器；若單位脈沖響應(yīng)h(n)奇對稱且N為奇數(shù)，把z值為1和-1代入式（1）中，式（1）都為零，該情況只能設(shè)計FIR數(shù)字帶通濾波器；若單位脈沖響應(yīng)h(n)奇對稱且N為偶數(shù)，把z值為1 代入式（1）中，式（1）為零，該情況只能設(shè)計FIR 數(shù)字高通和帶通濾波器，不能設(shè)計低通和帶通濾波器.

1.2 基于MATLAB的FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計

由于FIR數(shù)字濾波器的歸一化傳輸函數(shù)H(ejω)能夠根據(jù)線性相位特性直接得出，其歸一化的幅頻特性曲線 ||H(ejω) 和幅度響應(yīng)函數(shù)Hg(ω)曲線也很容易表示出來.

FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法主要包括窗函數(shù)法、頻率采樣法和等波紋最佳逼近法等，每種設(shè)計方法都能實現(xiàn)FIR數(shù)字低通、高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計，求得單位脈沖響應(yīng)h(n).

在Matlab 軟件中，提供窗函數(shù)設(shè)計法函數(shù)fir1（N，wp，’ftype’，win）及其窗函數(shù)win，頻率采樣法函數(shù)fir2（N-1，F(xiàn)，A，win），其中F表示邊界頻率，等波紋最佳逼近法函數(shù)［N，fo，mo，W］=remezord（f，m，dev，F(xiàn)s）和remez（N，fo，mo，W），借助Matlab軟件提供的設(shè)計函數(shù)，根據(jù)FIR數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)，按照FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法，求得FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)［7］.

2 FIR數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)

FIR數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)基本結(jié)構(gòu)主要為直接型和級聯(lián)型結(jié)構(gòu)，通過FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)，可以得到直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).對h(n)進行Z變換，求得FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)，通過對H(z)進行因式分解，分解為若干個一階或二階因式相乘的形式，如式（2）所示，可以得到FIR數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)［8］.

在Matlab軟件中，調(diào)用函數(shù)filter2（hn，x），采用直接型濾波網(wǎng)絡(luò)進行濾波；調(diào)用函數(shù)［s，g］=tf2sos（hn，1），把FIR 濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H（z）轉(zhuǎn)換為級聯(lián)型的形式，調(diào)用函數(shù)y（n）=filtfilt（s，g，x），采用級聯(lián)型濾波網(wǎng)絡(luò)進行濾波［9］.

2.1 FIR直接型數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)

2.1.1 FIR直接型數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

由FIR 數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)可以得到FIR 直接型數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)，其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖1所示［1-2］.

圖1 FIR直接型數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

2.1.2 基于MATLAB的FIR直接型數(shù)字濾波輔助教學(xué)

采用窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字帶阻濾波器，根據(jù)FIR數(shù)字帶阻濾波器的設(shè)計指標(biāo)：邊界頻率：wp=［（wls+wlp）/2/pi，（wus+wup）/2/pi］，階數(shù)為N-1，調(diào)用Matlab函數(shù)hn=fir1（N，wp，‘stop’，blackman（N+1）），設(shè)計FIR數(shù)字帶阻濾波器，得到其單位脈沖響應(yīng)h(n)；采用FIR直接型帶阻濾波網(wǎng)絡(luò)完成濾波.設(shè)計的輸入序列x(n)如式（3）所示；輸入序列x(n)通過FIR 直接型帶阻濾波網(wǎng)絡(luò)，即調(diào)用函數(shù)y（n）=filter2（hn，x）完成濾波［10］，得到輸出y(n).h(n)、x(n)和y(n)的時域波形及其頻譜如圖2所示，同理，采用窗函數(shù)法也可以設(shè)計FIR低通、高通和帶通數(shù)字濾波器及其直接型結(jié)構(gòu)的數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)［11-12］.

圖2 直接型FIR帶阻濾波網(wǎng)絡(luò)的輸入和輸出信號及其頻譜

比較圖2的子圖（b）和（f）可以看出，低頻和高頻信號被保留，帶通信號被濾除.通過MATLAB范例，基本完成了窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器及其濾波過程的輔助教學(xué).

2.2 FIR級聯(lián)型數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)

2.2.1 FIR級聯(lián)型數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

對FIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H（z）進行因式分解，分解為若干個一階或二階因式的相乘形式，可以得到FIR級聯(lián)型數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，如圖3所示［13］.采用等波紋最佳逼近法和頻率采樣法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器，采用級聯(lián)型數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)完成濾波.

圖3 FIR級聯(lián)型數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

2.2.2 基于MATLAB的FIR級聯(lián)型數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)輔助教學(xué)

采用等波紋最佳逼近法設(shè)計FIR高通濾波器，其技術(shù)指標(biāo)為：邊界頻率：f=［0.15，0.25］，階數(shù)為N-1，調(diào)用函數(shù)［N，fo，mo，W］=remezord（f，m，dev，F(xiàn)s）和hn=remez（M，fo，mo，w），求得FIR 數(shù)字高通濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)；采用FIR級聯(lián)型高通濾波網(wǎng)絡(luò)完成濾波.設(shè)計的輸入序列x(n)如式（4）所示，輸入序列x(n)通過FIR高通濾波網(wǎng)絡(luò)，調(diào)用函數(shù)［s，g］=tf2sos（hn，1），把FIR數(shù)字濾波器的直接型結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換為級聯(lián)型結(jié)構(gòu)，調(diào)用函數(shù)y（n）=filtfilt（s，g，x）完成級聯(lián)型高通濾波，得到輸出y(n).h(n)、x(n)和y(n)的時域波形及其頻譜如圖4所示，同理，采用等波紋最佳逼近法也可以設(shè)計FIR低通、帶通和帶阻數(shù)字濾波器及其級聯(lián)型結(jié)構(gòu)的數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)［14］.

圖4 級聯(lián)型FIR高通濾波網(wǎng)絡(luò)的輸入和輸出信號及其頻譜

從圖4的子圖（b）和（f）可以看出，高頻信號被保留，低頻信號被濾除.通過MATLAB范例，基本完成等波紋最佳逼近法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器及其濾波過程的輔助教學(xué).

采用頻率采樣法設(shè)計FIR 數(shù)字低通濾波器，其技術(shù)指標(biāo)為：通帶截止頻率：ωc=π/4，過渡帶寬度Bt=π/16，階數(shù)為N-1，調(diào)用函數(shù)hn=fir2（N-1，F(xiàn)，A，win）完成FIR數(shù)字低通濾波器設(shè)計，win采用boxcar矩形窗函數(shù)，求得單位脈沖響應(yīng)h(n).設(shè)計的輸入序列如式（5）所示，輸入序列x（n）通過級聯(lián)型FIR低通濾波網(wǎng)絡(luò)完成濾波.調(diào)用函數(shù)［s，g］=tf2sos（hn，1），把FIR低通濾波器的直接型結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換為級聯(lián)型結(jié)構(gòu)，調(diào)用函數(shù)y（n）=filtfilt（s，g，x）完成級聯(lián)型低通濾波，得到輸出y(n).h(n)、x(n)和y(n)的時域波形及其頻譜如圖5所示，同理，采用頻率采樣法也可以設(shè)計FIR高通、帶通和帶阻數(shù)字濾波器及其級聯(lián)型結(jié)構(gòu)的數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)［15］.

圖5 級聯(lián)型FIR低通濾波網(wǎng)絡(luò)的輸入和輸出信號及其頻譜

從圖5中的子圖（b）和（f）可以看出，低頻信號被保留，高頻信號被濾除.通過MATLAB范例，基本完成頻率采樣法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器及其濾波過程的輔助教學(xué).

3 結(jié)論

本文借助MATLAB軟件，完成FIR數(shù)字濾波器設(shè)計和數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)的輔助教學(xué)，借助Matlab函數(shù)，通過FIR數(shù)字濾波器設(shè)計，求得單位脈沖響應(yīng)h(n).通過h(n)可以得到FIR數(shù)字濾波器直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，對系統(tǒng)函數(shù)H(z)因式分解為若干個一階和二階因式相乘的形式，可以得到FIR數(shù)字濾波器的級聯(lián)型濾波網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).通過MATLAB 范例，把FIR 數(shù)字濾波器設(shè)計和數(shù)字濾波網(wǎng)絡(luò)基本結(jié)構(gòu)作為整體進行輔助教學(xué).借助Matlab函數(shù)，設(shè)計FIR數(shù)字濾波器，通過FIR數(shù)字濾波器直接型和級聯(lián)型濾波網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，完成對輸入序列的濾波.形象直觀地展現(xiàn)了FIR濾波器的設(shè)計和濾波過程，使得教學(xué)思路清晰，教學(xué)內(nèi)容完整飽滿，起到較好的教學(xué)示范作用.