鄧翔宇，呂亞輝，陳 巖

（西北師范大學物理與電子工程學院，蘭州 730070）

0 概述

隨著生物電子技術(shù)的發(fā)展，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究也不斷取得進展。文獻［1］根據(jù)哺乳動物視覺皮層神經(jīng)元信號傳導特性，構(gòu)建一種新的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。文獻［2］將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型改進為用于圖像處理領(lǐng)域的模型，并命名為脈沖耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Pulse Coupled Neural Network，PCNN）。傳統(tǒng)的PCNN 模型可分為耦合連接和無耦合連接兩種模式，被廣泛應(yīng)用于圖像分割［3-4］、圖像融合［5-6］、圖像去噪［7-8］、圖像檢索［9-10］以及圖像邊緣檢測［11-12］等領(lǐng)域。通常將無耦合連接模式下的網(wǎng)絡(luò)稱為無耦合PCNN。無耦合PCNN 模型雖然沒有耦合連接項，但是保留了PCNN模型的核心子系統(tǒng)部分，具有網(wǎng)絡(luò)參數(shù)少的特點，近年來，逐漸被應(yīng)用于圖像處理領(lǐng)域［13］。

研究人員通過對圖像進行信息提取或變換域處理，融合PCNN 模型進行參數(shù)自適應(yīng)設(shè)定，并應(yīng)用于特定的圖像處理領(lǐng)域。文獻［14］通過SIST（Shift Invariant Shearlet Transform）方法獲取圖像的高頻子帶和低頻子帶頻率，使用SOM（Self-Origanizing Maps）網(wǎng)絡(luò)進行初步分類，之后融合改進的PCNN 模型，獲得較優(yōu)的圖像分割效果。文獻［15］利用非下采樣輪廓波變換對圖像進行多尺度和多方向分解，獲得低通子帶和多個帶通方向子帶，并將其與改進后的PCNN 模型相結(jié)合用于多聚焦圖像融合。文獻［16］基于圖像NSCT（Non-Subsampled Contourlet Transform）域變換提取圖像的邊緣特征，提出一種結(jié)合自適應(yīng)PCNN 的紅外與可見光圖像融合算法。文獻［17］通過建立待分割圖像統(tǒng)計特性與PCNN 神經(jīng)元動態(tài)特性之間的直接關(guān)系，完成簡化PCNN 的參數(shù)自適應(yīng)設(shè)置。文獻［18］通過計算分割圖像的最小交叉熵，提出一種新的基于循環(huán)迭代的自適應(yīng)圖像分割算法，用于改進PCNN 閾值分割機制。此外，研究人員通過對網(wǎng)絡(luò)模型進行理論分析，以解釋網(wǎng)絡(luò)本質(zhì)特性并進行參數(shù)的自適應(yīng)設(shè)定。文獻［19］分析改進后PCNN 網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)行為，明確PCNN 的動態(tài)行為特性受網(wǎng)絡(luò)參數(shù)變化的影響，并提出網(wǎng)絡(luò)參數(shù)確定準則，使得所有神經(jīng)元只點火一次。文獻［20］通過分析PCNN 中神經(jīng)元的脈沖發(fā)放周期，定義了動態(tài)比，以得出近似的脈沖發(fā)放周期公式。文獻［21］根據(jù)PCNN 工作機理的時域分析，提出一種在點火神經(jīng)元沒有完全滅火時不允許滅火神經(jīng)元重新點火的網(wǎng)絡(luò)工作模式，并用于圖像的自適應(yīng)分割。然而，上述PCNN 模型的研究都只是從時域方面或圖像本身所含信息方面分析參數(shù)與模型之間的關(guān)系，在網(wǎng)絡(luò)本質(zhì)的特性挖掘方面還存在著一定的局限性和片面性。

本文從頻域角度對無耦合PCNN 的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)與模型特性之間的關(guān)系進行分析。通過推導動態(tài)門限子系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)，揭示動態(tài)門限子系統(tǒng)具有低通特性，同時分析參數(shù)對動態(tài)門限子系統(tǒng)頻率響應(yīng)的影響，推導無耦合連接時PCNN 有效點火時刻方程、動態(tài)門限衰減頻率和脈沖發(fā)放頻率的方程，解釋無耦合PCNN 的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)對網(wǎng)絡(luò)頻域特性的影響。

1 基本概念

1.1 數(shù)學模型

無耦合PCNN 模型由輸入子系統(tǒng)、動態(tài)門限子系統(tǒng)和輸出子系統(tǒng)組成，分別如式（1）～式（3）所示［22］：

其中：i、j為本神經(jīng)元像素坐標點；n為迭代次數(shù)；Sij為系統(tǒng)的輸入，常為歸一化之后的像素灰度值；aE、vE為控制動態(tài)門限子系統(tǒng)的2 個網(wǎng)絡(luò)參數(shù)。模型的輸出子系統(tǒng)由單位階躍函數(shù)構(gòu)成，決定該神經(jīng)元的脈沖發(fā)放狀態(tài)。當神經(jīng)元的輸入值大于動態(tài)門限值時，神經(jīng)元發(fā)放脈沖又稱為神經(jīng)元點火；否則，神經(jīng)元滅火。

1.2 第1 次有效點火時刻

在前期研究中［23］已經(jīng)得知無耦合PCNN 的第1 次神經(jīng)元點火時刻不受網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的影響，因此重點分析了網(wǎng)絡(luò)的第2 次點火時刻，又稱為第1 次有效點火時刻（所有輸入值在第1 次迭代時發(fā)生的點火稱為無效點火，其后各次點火為有效點火），通過推導所得第1 次有效點火時刻N1如式（4）所示：

由于網(wǎng)絡(luò)數(shù)學模型為差分方程，因此當理論點火時刻為小數(shù)時，實際點火時刻為下一個整數(shù)時刻。在第1 次有效點火時刻計算中引入向上取整函數(shù)ceil。由式（4）可知，當灰度值Sij=0時，無法發(fā)生第1次有效點火。本文主要針對網(wǎng)絡(luò)輸入的有效點火時刻及輸入灰度值Sij為1/255～1 時，網(wǎng)絡(luò)所表現(xiàn)出的特性。

2 無耦合PCNN 頻域分析

在實際圖像的處理過程中，輸入子系統(tǒng)的輸入為圖像對應(yīng)像素點的灰度值，是簡單的線性系統(tǒng)。本文對式（1）表示的輸入子系統(tǒng)不展開分析。由于無耦合網(wǎng)絡(luò)的時域特性完全受參數(shù)影響，因此本文對于網(wǎng)絡(luò)的頻域分析，根據(jù)動態(tài)門限子系統(tǒng)的頻域特性分析參數(shù)對動態(tài)門限子系統(tǒng)的影響，將式（1）、式（2）和式（3）聯(lián)系起來，分別分析網(wǎng)絡(luò)中動態(tài)變量Yij(n)和Eij(n)的頻域特性與參數(shù)之間的關(guān)系。

2.1 動態(tài)門限子系統(tǒng)的頻域特性

2.1.1 系統(tǒng)函數(shù)

動態(tài)門限子系統(tǒng)是無耦合PCNN 模型的核心子系統(tǒng)，由差分方程式（2）表示，對式（2）進行z變換可得式（5）：

動態(tài)門限子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)如式（6）所示：

根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)HE(z)可知，動態(tài)門限子系統(tǒng)沒有零點，只有1 個極點z=。此時系統(tǒng)函數(shù)的收斂域為。當aE>0 時，子系統(tǒng)的收斂域包含單位圓，此時的系統(tǒng)是一個因果穩(wěn)定系統(tǒng)。當aE≤0 時，系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此，無耦合PCNN 參數(shù)aE的取值范圍為(0，+∞)。

2.1.2 頻率響應(yīng)與參數(shù)影響分析

動態(tài)門限子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)HE(z)收斂域包含單位圓，根據(jù)z變換與傅里葉變換之間的關(guān)系可得子系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，如式（7）所示：

根據(jù)頻率響應(yīng)函數(shù)HE(ejw)可得其幅頻響應(yīng)，如式（8）所示：

由式（8）可知，參數(shù)aE和vE共同控制子系統(tǒng)的幅值特性。改變參數(shù)aE和vE，在ω∈(0，π)范圍內(nèi)觀察到的子系統(tǒng)HE(ejω)的幅頻特性曲線變化如圖1 所示。

圖1 參數(shù)對動態(tài)門限子系統(tǒng)幅頻特性的影響Fig.1 Influence of parameters on amplitude-frequency characteristics of the dynamic threshold subsystem

從圖1（a）可以看出，參數(shù)aE主要影響幅頻響應(yīng)峰值與谷值之間的差值，aE越小，差值越大，此時系統(tǒng)低頻分量的幅值較大，高頻分量的幅值較小，使得子系統(tǒng)具有較優(yōu)的低通特性。從圖1（b）可以看出，參數(shù)vE主要影響幅頻特性的幅值大小，vE越大，幅頻響應(yīng)的幅值也將增大。因此，無耦合PCNN 模型的動態(tài)門限子系統(tǒng)具有低通特性，不同的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)使得動態(tài)門限系統(tǒng)表現(xiàn)出不同的低通特性。子系統(tǒng)的低通特性主要受參數(shù)aE影響，參數(shù)vE主要影響子系統(tǒng)的幅值大小。

2.2 網(wǎng)絡(luò)脈沖發(fā)放頻域特性

2.2.1 有效點火脈沖方程

無耦合PCNN 是一個非線性系統(tǒng)，其神經(jīng)元的輸入與神經(jīng)元的脈沖發(fā)放頻率之間存在非線性關(guān)系。當參數(shù)aE=0.5，vE=5 時，在不同灰度值下神經(jīng)元的動態(tài)門限和點火時刻的變化曲線如圖2 所示。從圖2 可以看出，單個神經(jīng)元的脈沖點火過程和動態(tài)門限衰減過程都具有周期性，在輸入值Uij的激勵下，輸出Yij(n)和Eij(n)以一定的周期發(fā)放脈沖。

圖2 動態(tài)門限和點火時刻的變化Fig.2 Change of dynamic threshold and firing timing

因此，輸入值與神經(jīng)元點火周期和動態(tài)門限衰減存在非線性映射關(guān)系。為分析這種非線性關(guān)系，在單個神經(jīng)元的一個有效點火周期內(nèi)建立關(guān)系，如式（9）所示：

當單個神經(jīng)元的輸入值與動態(tài)門限最小值相等時，神經(jīng)元發(fā)生點火。由式（2）可知，動態(tài)門限的最大值是脈沖點火時刻后下一次的門限值，Eijmax=+vE，最小值為Eijmin=Sij，設(shè)兩次脈沖點火時刻的間隔為I，則由式（9）可得式（10）：

間隔I如式（11）所示：

脈沖發(fā)放間隔應(yīng)滿足I>0，由此可得vE>(1-)Sijmax。其中：Sijmax表示輸入最大值。當輸入的最大值與vE和aE滿足以上關(guān)系時，所有的輸入都能表現(xiàn)出良好的脈沖周期發(fā)放特性。由脈沖發(fā)放間隔得到脈沖發(fā)放周期，如式（12）所示：

不同輸入Sij的點火周期都為正整數(shù)，同樣的引入ceil 向上取整函數(shù)。因此，無耦合PCNN 的實際脈沖發(fā)放周期近似為：

無耦合PCNN 在得到能夠反映實際脈沖發(fā)放的周期后，脈沖發(fā)放時刻如式（14）所示：

其中：單位沖激函數(shù)δ(n)為脈沖發(fā)放；N1為第1 次有效點火時刻；r為正整數(shù)。

2.2.2 脈沖發(fā)放頻率與參數(shù)影響分析

由脈沖發(fā)放時刻方程可知，無耦合PCNN 脈沖點火具有周期性，而周期為N的序列可展開成離散傅里葉級數(shù)（Discrete Fourier Series，DFS）。因此，在一個周期內(nèi)對脈沖發(fā)放時刻式（14）進行傅里葉級數(shù)展開，如式（15）所示：

本文對脈沖發(fā)放時刻的傅里葉級數(shù)表達式進行傅里葉變換（Fourier Transform，F(xiàn)T），可得其脈沖發(fā)放頻率表達式，如式（16）所示：

幅值譜函數(shù)如式（17）所示：

由式（17）可知，無耦合PCNN 的脈沖發(fā)放幅值譜是由一系列幅值為和間隔為的沖擊序列構(gòu)成。當選取輸 入Sij=20/255 時，ω∈(0，π)范圍幅頻特性隨參數(shù)的aE和vE變化趨勢如圖3 和圖4所示。根據(jù)離散周期信號頻譜特性可知，頻域譜線越密，時域脈沖周期越大，頻域譜線越疏，時域脈沖周期越小。從圖3 和圖4 可以看出，參數(shù)變化不會引起脈沖發(fā)放頻譜函數(shù)幅值的變化。但是參數(shù)aE的增大使得脈沖發(fā)放頻譜函數(shù)的譜線間隔增大，從而增大脈沖點火時刻周期。參數(shù)vE的增大反而使得脈沖發(fā)放頻譜函數(shù)的譜線間隔變小，脈沖點火時刻周期減小。

圖3 參數(shù)aE 增大對脈沖發(fā)放幅頻特性的影響Fig.3 Influence of parameters aE increase on the amplitude-frequency characteristic of pulse firing

圖4 參數(shù)vE 增大對脈沖發(fā)放幅頻特性的影響Fig.4 Influence of parameters vE increase on the amplitude-frequency characteristic of pulse firing

因此，在無耦合PCNN 模型中，參數(shù)aE的增大使得脈沖發(fā)放時刻周期變小，參數(shù)vE的增大會使得脈沖發(fā)放時刻周期變大，但不影響脈沖發(fā)放的強度。

2.2.3 網(wǎng)絡(luò)動態(tài)門限衰減頻率與參數(shù)影響分析

動態(tài)門限子系統(tǒng)是一個衰減系統(tǒng)，因此將該子系統(tǒng)的輸出動態(tài)變量Eij(n)的頻率稱為動態(tài)門限衰減頻率。動態(tài)門限衰減頻率與脈沖發(fā)放頻率存在以下關(guān)系，如式（18）所示：

由于式中HE(ejω)和Yij(ejω)已由式（7）和式（15）給出，因此動態(tài)衰減頻率的頻域方程如式（19）所示：

頻譜函數(shù)如式（20）所示：

當選取輸入Sij=20/255 時，參數(shù)aE和vE增大在ω∈(0，π)范圍幅頻特性隨參數(shù)變化趨勢如圖5 和圖6所示。

圖5 aE 增大對動態(tài)門限幅頻特性的影響Fig.5 Influence of parameters aE increase on the amplitude-frequency characteristic of dynamic threshold

圖6 vE 增大對動態(tài)門限幅頻特性的影響Fig.6 Influence of parameters vE increase on the amplitude-frequency characteristic of dynamic threshold

從式（20）可知，動態(tài)門限幅頻函數(shù)|Eij(ejω)|的頻譜譜線間隔與脈沖發(fā)放頻譜函數(shù)的譜線間隔相同，參數(shù)對動態(tài)門限周期與脈沖發(fā)放周期的影響程度相同。從圖5 和圖6 可以看出，與脈沖發(fā)放頻譜相比，隨著參數(shù)aE的增大，動態(tài)門限幅頻函數(shù)的頻譜主要由高頻分量組成，使得動態(tài)門限的衰減頻率變大，衰減速度變快。參數(shù)vE的增大反而會使得動態(tài)門限幅頻函數(shù)的頻譜主要由低頻分量組成，動態(tài)門限Eij(n)的衰減頻率變低。

因此，在無耦合PCNN 模型中，參數(shù)aE和參數(shù)vE的變化會影響動態(tài)門限衰減周期及動態(tài)門限衰減頻率的高低。

3 實驗仿真與驗證

本文通過式（7）、式（16）和式（19）描述了無耦合PCNN 模型的頻域特性，通過分析參數(shù)對無耦合PCNN 模型頻域特性的影響，得出參數(shù)影響網(wǎng)絡(luò)運行的結(jié)論。在主頻2.8 GHz（雙核），內(nèi)存12 GB 的計算機上利用Python3.8 平臺完成數(shù)值模擬實驗，驗證了無耦合PCNN 頻域相關(guān)公式推導及理論分析結(jié)論的正確性。

3.1 實際網(wǎng)絡(luò)脈沖發(fā)放時刻

為驗證對脈沖發(fā)放時刻推導的正確性，本文構(gòu)建一幅灰度值已知的人工測試灰度圖與灰度值，如圖7所示。

圖7 人工測試灰度圖與灰度值Fig.7 Gray scale image of manual test and gray scale value

當網(wǎng)絡(luò)參數(shù)aE=0.9，vE=15 時，無耦合PCNN 實際迭代過程如圖8 所示。從圖8 可以看出，第1 次迭代為網(wǎng)絡(luò)的無效點火時刻，之后的各次點火均為有效點火?；叶戎翟?10～250 之間的像素第1 次有效點火時刻為第6 次迭代，點火周期T=5?；叶戎翟?0～100 之間的像素第1 次有效點火時刻為第7 次迭代，點火周期T=6?；叶戎翟?0～40 之間的像素第1 次有效點火時刻為第8 次迭代，點火周期T=7?；叶戎禐?0 的像素第1 次有效點火時刻為第9 次迭代，點火周期T=8。根據(jù)第1 次點火公式（4）可計算出各像素第1 次有效點火時刻，根據(jù)點火周期公式（13）可計算出各像素點火周期。不同像素的第1 次有效點火時刻和點火周期對比如圖9 所示。從圖9可以看出，本文所推導公式的脈沖發(fā)放過程與人工測試圖實際迭代過程相一致。

圖8 人工測試圖的迭代過程Fig.8 Iterative process of manual test image

圖9 不同像素第1 次有效點火時刻和點火周期Fig.9 The first effective firing time and firing cycle of different pixels

3.2 實際網(wǎng)絡(luò)參數(shù)對脈沖發(fā)放與動態(tài)門限的影響

本文分別選取灰度值Sij=10/255，Sij=110/255作為對網(wǎng)絡(luò)中動態(tài)變量Yij(n)受參數(shù)影響的觀測對象。當網(wǎng)絡(luò)迭代第60次時，其神經(jīng)元脈沖發(fā)放過程如圖10所示。從圖10 可以看出：在灰度值Sij相同的情況下，保持參數(shù)vE=15 不變，aE從0.5 增大到0.9 會使得網(wǎng)絡(luò)脈沖發(fā)放時刻周期變??；保持參數(shù)aE=0.5 不變，vE從15 增大到30 使得網(wǎng)絡(luò)脈沖發(fā)放時刻周期變大。因此，在實際的脈沖發(fā)放過程中，參數(shù)對脈沖發(fā)放頻率的影響與理論推導分析相一致。

本文分別選取灰度值Sij=10/255，Sij=110/255作為網(wǎng)絡(luò)中動態(tài)變量Eij(n)受參數(shù)影響分析的觀測對象。當網(wǎng)絡(luò)迭代第60 次時，不同灰度值下網(wǎng)絡(luò)實際動態(tài)門限變化過程如圖11 所示。從圖11 可以看出：在輸入Sij相同的情況下，保持參數(shù)vE=15 不變，aE從0.5 增大到0.9，使得動態(tài)門限Eij(n)衰減變快，衰減周期變??；保持參數(shù)aE=0.5 不變，vE從15增大到30，使得動態(tài)門限Eij(n)的幅值增益變大，衰減變慢，衰減周期變大。因此，動態(tài)變量Eij(n)的迭代過程與之前分析結(jié)果一致。

4 結(jié)束語

本文分析了無耦合PCNN 的頻域特性。通過對無耦合PCNN 動態(tài)門限子系統(tǒng)進行分析，得出動態(tài)門限子系統(tǒng)穩(wěn)定的條件，確定參數(shù)的取值范圍，并指出動態(tài)門限子系統(tǒng)具有低通特性。同時分析單個神經(jīng)元的脈沖發(fā)放頻率特性和動態(tài)閾值頻域特性，明確參數(shù)對網(wǎng)絡(luò)動態(tài)頻域的影響。仿真實驗結(jié)果驗證理論分析結(jié)論的正確性。后續(xù)將從圖像特性角度分析圖像統(tǒng)計特性對網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的影響，設(shè)計無耦合PCNN 模型用于圖像分割時的參數(shù)自適應(yīng)設(shè)置方法，使無耦合PCNN 模型廣泛應(yīng)用于圖像處理領(lǐng)域。